(Luận văn) một số tính chất số học của định thức wendt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN HOÀNG ĐẠO lu an n va tn to p ie gh MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC d oa nl w CỦA ĐỊNH THỨC WENDT u nf va an lu ll LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2018 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN HOÀNG ĐẠO lu an n va tn to MỘT SỐ TÍNH CHẤT SỐ HỌC p ie gh CỦA ĐỊNH THỨC WENDT w Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp d oa nl Mã số: 8460113 va an lu ll u nf LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC z TS Nguyễn Duy Tân m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2018 n va ac th si Mục lục Lời mở đầu lu an Một số kiến thức chuẩn bị n va Định thức ma trận chu trình 1.2 Kết thức hai đa thức Vài nét số nguyên đại số 11 gh tn to 1.1 p ie 1.3 14 oa nl w Một số tính chất định thức Wendt Định thức Wendt số tính chất 2.2 Định thức Wendt định lý Fermat lớn 14 d 2.1 nf va an lu Một số tính chất số học định thức Wendt 19 26 lm ul Một số tính chất chia hết Wn 26 3.2 Một tính chất đồng dư Wpn 33 38 gm @ 39 m co l Tài liệu tham khảo z Kết luận z at nh oi 3.1 an Lu n va ac th si Lời mở đầu Tính chất số học, mà cụ thể tính chất chia hết đồng dư số học chủ đề cổ điển ẩn chứa nhiều kết đẹp đẽ sâu lu an sắc nhiều thú vị, thu hút nhà tốn học q trình nghiên n va cứu Tính chất số học định thức chu trình hệ số nhị thức mang tn to tên nhà toán học E Wendt số Trong báo "On a ie gh resultant connected with Fermat’s last theorem” nhà toán học Emma p Lehmer, bà đánh giá dường E Wendt người giới thiệu oa nl w định thức mối quan hệ với định lý Fermat lớn Năm 1894 Wendt có tiêu chuẩn dạng định thức d lu an cho tồn nghiệm không tầm thường đồng dư thức nf va Fermat xp + y p = z p (mod q), p, q số nguyên tố lẻ khác lm ul mà p | q − Kết nghiên cứu E Wendt tạo tiền đề z at nh oi cảm hứng cho nhà toán học khác việc mở rộng tính chất số học định thức Wendt Wn Nhiều kết Wendt nêu z lên chưa giải nhà tốn học khác giải @ gm triệt để, với nhiều tính chất số học thú vị liên co l quan đến định thức Wendt nhà toán học khác phát m thêm Tiêu biểu cơng trình nhà tốn học Matthews an Lu (1895), E Lehmer (1935), Bang (1935), Frame (1980) Chẳng hạn n va ac th si E Lehmer chứng minh Wn = n ≡ 0(mod6), p số nguyên tố lẻ Wp−1 số chia hết cho pp−2 qp (2), 2p−1 − qp (2) = thương Fermat p Mục đích luận văn tìm hiểu định thức Wendt, số tính chất số học mối liên hệ định thức Wendt với định lý Fermat lớn Luận văn có cấu trúc sau: Mở đầu, ba chương, Kết luận Tài liệu tham khảo lu an Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị n va Chương phát biểu khái niệm định thức ma trận chu trình, tn to kết thức, với số kết liên quan tới kiến thức ie gh chương p Chương 2: Một số tính chất định thức Wendt oa nl w Chương trình bày định thức Wendt định lý Fermat lớn, mối quan hệ chúng số tính chất định thức Wendt d lu nf va an Chương 3: Một số tính chất số học định thức Wendt Chương trình bày số tính chất chia hết tính chất đồng dư lm ul định thức Wendt z at nh oi Luận văn thực hoàn thành vào tháng năm 2018 trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Để hồn thành z khóa luận tốt nghiệp này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến @ l gm sĩ Nguyễn Duy Tân, người thầy tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình làm việc để hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm co m ơn chân thành đến Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học - Đại học an Lu Thái Ngun nói chung, thầy giảng dạy lớp Cao học 10C n va ac th si nói riêng, tạo điều kiện để giúp tác giả học tập hoàn thành luận văn chương trình thạc sĩ Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học 10C đồng hành tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Gia Bình số tạo điều kiện cho tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn lu Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018 an n va Tác giả gh tn to p ie Trần Hoàng Đạo d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức chuẩn bị lu an Trong chương giới thiệu khái niệm số kiến va n thức định thức ma trận chu trình, kết thức hai đa thức để tn to hỗ trợ cho chương p ie gh Định thức ma trận chu trình oa nl w 1.1 d Định nghĩa 1.1.1 Cho a0 , a1 , , an−1 n số phức Định thức chu lu nf va an trình Circ(a0 , a1 , , an−1 ) định thức n × n có hàng lấy từ hàng z at nh oi lm ul thứ (a0 , a1 , , an−1 ) hoán vị a0 a2 a m j=0 P (ξnj ), co n−1 Y l Circ(a0 , a1 , , an−1 ) = gm @ Bổ đề 1.1.2 Ta có an Lu P (x) = a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 , ξn = e2πi/n n va ac th si Chứng minh Đặt  a a1   an−1 a0 A=    a1 a2 an−1    an−2      a0 Để đơn giản ta ký hiệu j = ξnj , j = 1, , n Khi j , j = 1, , n lu an n va p ie gh tn to n bậc n đơn vị, nj = Xét ma trận   1 ···      1 2 · · · n      2 V =  1 2 · · · n       · · ··· ·    n−1 n−1 n−1 1 2 · · · n oa nl w Nhân A với V ta ma trận AV = B = [bij ] cỡ n × n Ta có hệ số bij d bij = an−i+1 + an−i+2 j + · · · + an−1 i−2 + a0 i−1 + · · · + an−i n−1 j j j an lu  z at nh oi Do ta có lm ul = ji−1 P (j ) nf va = ji−1 (a0 + a1 j + · · · + an−1 n−1 ) j ···   ···    ··· ·   · · · P (n ) z P (1 )    P (2 ) AV = V    · ·  0  m co l gm @ Lấy định thức hai vế đẳng thức ta suy an Lu |A||V | = |B| = P (1 ) · · · P (n )|V | n va ac th si Q Vì |V | = − i ) 6= (đây định thức Vandermonde), nên Q j |A| = P (1 ) · · · P (n ) = n−1 j=0 P (n ) 1.2 1≤i