Tính chất số học của dãy số

tai lieu, luan van1 of 98 PHỤ LỤC Trang Báo cáo tóm tắt nội dung, chất, hiệu sáng kiến 2 Sự cần thiết, mục đích việc thực sáng kiến kinh nghiệm…… Phạm vi triển khai thực hiện…………………………………………… Mô tả sáng kiến………………………………………………………… 4.1 Đặt vấn đề ……………………………………………… 4.2 Giải vấn .…………………………………………… Kết hiệu mang lại……………………………………………23 Đánh giá phạm vi ảnh hưởng sáng kiến………………………….23 Kiến nghị, đề xuất……………………………………………………….23 Tài liệu tham khảo……………………………………………………….25 document, khoa luan1 of 98 tai lieu, luan van2 of 98 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hanh phúc Điện Biên phủ, ngày 15 tháng năm 2017 BÁO CÁO TÓM TẮT NỘI DUNG, BẢN CHẤT, HIỆU QUẢ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến kinh nghiệm: Tính chất số học dãy số Người thực hiện: Phạm Thị Hà Định Thời gian thực hiện: Từ tháng 01/1/2017 đến ngày 10/4/2017 1.Sự cần thiết, mục đích việc thực hiện sáng kiến: - Nhiệm vụ chủ yếu trường THPT chuyên Lê Quý Đôn đào tạo học sinh mũi nhọn đào tạo ng̀n nhân lực có chất lượng cao cho tỉnh nhà Đứng trước nhiệm vụ đó, đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy học, nhằm đáp ứng yêu cầu việc dạy học - Dãy số phần quan trọng chương trình tốn phở thơng ngành đại số giải tích tốn học Các tốn dãy số đa dạng phong phú, khai thác tính chất số học, đại số, giải tích lượng giác chúng Trong đề thi học sinh giỏi cấp, toán dãy số thường xuất hiện, đặc biệt đề thi học sinh giỏi quốc gia Nhằm giúp học sinh đội tuyển chuẩn bị tốt cho kì thi chọn học sinh giỏi cấp, sâu vào nghiên cứu tốn dãy số có tính chất số học tơi chọn đề tài: “ Tính chất số học dãy số ” với mong muốn giúp em học sinh đội tuyển thi học sinh giỏi có được hệ thống phương pháp “đủ mạnh” giải tốn dãy số tích lũy thêm phương pháp giải dạng tốn khác đờng thời tăng khả tư logic rèn luyện tính sáng tạo cho em Giúp em có tác phong độc lập giải toán Đứng trước document, khoa luan2 of 98 tai lieu, luan van3 of 98 tốn chủ động, linh hoạt, biết đặt câu hỏi tìm câu trả lời thích hợp để giải tốn cách trọn vẹn Phạm vi triển khai thực hiện: +) Đối tượng nghiên cứu: - Mục tiêu, nội dung chương trình nâng cao Tốn chun THPT - Sách giáo khoa nâng cao chuyên Toán - Các tốn chương trình thi học sinh giỏi bậc THPT - Đề tài nghiên cứu dựa khả nhận thức cũng lực tư học sinh lớp chuyên toán 10, 11 chủ yếu học sinh nòng cốt đội tuyển học sinh giỏi tỉnh dự thi quốc gia +) Phạm vi nghiên cứu: - Chương trình nâng cao chun tốn THPT - Các chuyên đề thi học sinh giỏi quốc gia - Học sinh lớp chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Quý Đôn +) Tiến hành thực nghiệm đội tuyển học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 Mô tả sáng kiến: 3.1 Đặt vấn đề Chứng minh tính chất số học dãy số vấn đề hay khó Vì đề tài tơi muốn nghiên cứu sâu tính chất số học dãy số thơng qua số tốn cụ thể đưa phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai tốn chứng minh số phương 3.2 Giải quyết vấn đề 3.2.1 Cơ sở lí luận thực tiễn a) Cơ sở lí luận: Lý thuyết bản * Dãy Fibonacci dãy Lucas * Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai * Một số kết quả liên quan đến số học +) Đồng dư +) Các định lí bản số học document, khoa luan3 of 98 tai lieu, luan van4 of 98 b) Cơ sở thực tiễn – Thực trạng đối tượng nghiên cứu Mặc dù toán dãy số toán quen thuộc đối với học sinh THPT, dạng mà em được học, em còn lúng túng chưa có hướng giải đối với nhiều tốn chứng minh tính số học dãy số Khó khăn đối với em học sinh đứng trước toán phải lựa chọn được phương pháp giải hiệu Khả hệ thống, tổng hợp, sâu chuỗi kiến thức phương pháp em học sinh còn nhiều hạn chế Trong trình giảng dạy thực tế phân loại dạng dãy số với dấu hiệu để chọn được phương pháp phù hợp hiệu giúp em xác định được hướng giải toán dãy số, đặc biệt phát tính chất số học dãy số 3.2.2 Giải pháp thực hiện: Sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai toán chứng minh số phương  a u  b u  c n  n  n Công thức tổng quát dãy (un ) thỏa mãn u Tính chất bản dãy tuyến tính cấp hai Phương pháp thường dùng để chứng minh f (un ) số phương,  a u  b u  c n  n  n (un ) thỏa mãn u Để chứng minh dãy số (bn ) thỏa mãn bn số phương với mọi số nguyên dương n ta thường sử dụng số hướng sau: c , n ¥ Dãy số Hướng 1: Ta chỉ tồn dãy số nguyên (cn ) thỏa mãn b n n (cn ) thường dự đoán bằng cách tính số giá trị đầu c1, c2 , tìm quy luật dãy (cn ) Hướng 2: Ta chứng minh bnbn  số phương với mọi số tự nhiên n , sau chứng minh bằng quy nạp Hướng 3: Dựa vào cơng thức truy hời ta tính được bn  cn 3.2.3 Điểm kết quả nghiên cứu: document, khoa luan4 of 98 tai lieu, luan van5 of 98 Trong đề tài lựa chọn phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai để chứng minh tính chất số học dãy số (chủ yếu chứng minh số phương) Giúp cho tơi q trình giảng dạy cho đội tuyển, học sinh tìm lời giải tốn nhanh chóng hiệu Kết quả, hiệu quả mang lại Qua thực tế áp dụng nhận thấy em học sinh biết vận dụng cách linh hoạt phương pháp chứng minh tính chất số học vào toán cụ thể tỏ hứng thú với phương pháp Không em còn biết áp dụng với nhiều kiểu khác cho làm kết hợp với dạng tập khác Sau áp dụng đề tài này, thấy chất lượng đội tuyển học sinh giỏi được nâng lên rõ rệt Kết cụ thể đội tuyển qua năm mà dạy thử nghiệm đạt được sau: +) Đội tuyển lớp 10, năm học 2014-2015: Đạt huy chương vàng thi chọn học sinh giỏi khu vực đồng bằng Duyên hải bắc bộ; 1huy chương vàng, huy chương đồng thi chọn học sinh giỏi trại hè Hùng Vương +) Đội tuyển lớp 11, năm học 2015-2016: Đạt huy chương bạc, huy chương đồng thi chọn học sinh giỏi khu vực đồng bằng Duyên hải bắc học sinh giỏi trại hè Hùng Vương +) Đội tuyển lớp 12, năm học 2016-2017: Đạt giải khuyến khích học sinh giỏi quốc gia Đánh giá về phạm vi ảnh hưởng sáng kiến Đề tài được triển khai nâng cao chất lượng đội tuyển học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 cấp tỉnh đội tuyển quốc gia Kiến nghị, đề xuất: Đề tài nên được nhân rộng trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn số trường tỉnh để góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi cấp mơn Tốn Trong đề tài tơi mới nghiên cứu được vài tính chất số học dãy số, khả thời gian có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất document, khoa luan5 of 98 tai lieu, luan van6 of 98 mong nhận được ý kiến đóng góp đờng nghiệp để đề tài được hồn thiện Tơi xin trân trọng cảm ơn ! Ý kiến xác nhận Điện Biên Phủ, ngày 15 tháng năm 2017 thủ trưởng đơn vị Người báo cáo Phạm Thị Hà Định document, khoa luan6 of 98 tai lieu, luan van7 of 98 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA DÃY SỐ 1.Sự cần thiết, mục đích việc thực hiện sáng kiến: - Nhiệm vụ chủ yếu trường THPT chuyên Lê Quý Đôn đào tạo học sinh mũi nhọn đào tạo nguồn nhân lực có chất lượng cao cho tỉnh nhà Đứng trước nhiệm vụ đó, đòi hỏi người giáo viên ln phải đởi mới phương pháp dạy học, nhằm đáp ứng yêu cầu việc dạy học - Dãy số phần quan trọng chương trình tốn phở thơng ngành đại số giải tích toán học Các toán dãy số đa dạng phong phú, khai thác tính chất số học, đại số, giải tích lượng giác chúng Trong đề thi học sinh giỏi cấp, toán dãy số thường xuất hiện, đặc biệt đề thi học sinh giỏi quốc gia Nhằm giúp học sinh đội tuyển chuẩn bị tốt cho kì thi chọn học sinh giỏi cấp, tơi sâu vào nghiên cứu toán dãy số có tính chất số học tơi chọn đề tài: “ Tính chất số học dãy số ” với mong muốn giúp em học sinh đội tuyển thi học sinh giỏi có được hệ thống phương pháp “đủ mạnh” giải tốn dãy số tích lũy thêm phương pháp giải dạng tốn khác đờng thời tăng khả tư logic rèn luyện tính sáng tạo cho em Giúp em có tác phong độc lập giải tốn Đứng trước tốn chủ động, linh hoạt, biết đặt câu hỏi tìm câu trả lời thích hợp để giải toán cách trọn vẹn Phạm vi triển khai thực hiện: +) Đối tượng nghiên cứu: - Mục tiêu, nội dung chương trình nâng cao Toán chuyên THPT - Sách giáo khoa nâng cao chun Tốn - Các tốn chương trình thi học sinh giỏi bậc THPT document, khoa luan7 of 98 tai lieu, luan van8 of 98 - Đề tài nghiên cứu dựa khả nhận thức cũng lực tư học sinh lớp chuyên toán 10, 11 chủ yếu học sinh nòng cốt đội tuyển học sinh giỏi tỉnh dự thi quốc gia +) Phạm vi nghiên cứu: - Chương trình nâng cao chuyên toán THPT - Các chuyên đề thi học sinh giỏi quốc gia - Học sinh lớp chun Tốn trường THPT chun Lê Quý Đơn +) Tiến hành thực nghiệm đội tuyển học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 Mô tả sáng kiến: 3.1 Đặt vấn đề Chứng minh tính chất số học dãy số vấn đề hay khó Vì đề tài tơi muốn nghiên cứu sâu tính chất số học dãy số thơng qua số tốn cụ thể đưa phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai tốn chứng minh số phương 3.2 Giải quyết vấn đề 3.2.1 Cơ sở lí luận thực tiễn a) Cơ sở lí luận: Lý thuyết bản * Dãy Fibonacci dãy Lucas FF 2  ( F )  +) Dãy Fibonacci n dãy cho hệ thức truy hồi: F F  F  n   n  n  n Dùng phương pháp xác định số hạng tổng quát dãy số bằng phương trình đặc trưng ta dễ dàng thấy công thức tổng quát dãy ( Fn ) là: n n      1     Ta quy ước F0  F      n 2        +) Một vài tính chất số học dãy Fibonacci : ,F )1với mọi n  (F n n1  Nếu n chia hết cho m Fn chia hết cho Fm  Nếu Fn chia hết cho Fm n chia hết cho m với m  document, khoa luan8 of 98 tai lieu, luan van9 of 98 d (mn , ) , n1)F  (FF n d với  Nếu n  Fn số nguyên tố n cũng số nguyên tố  Dãy ( Fn ) chứa tập vô hạn số đôi nguyên tố  F 5Fq qn không chia hết cho 5n n n với M 5k  n M 5k  F n 15  Fn có tận chỉ nM 150  Fn có tận hai chữ số chỉ nM L  ;L   +) Dãy Lucas ( Ln ) được xác định sau:  L  L  L , n   n  n  n Ta có cơng thức tởng qt dãy Lucas: n n      L   ,n     n 2    * Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai +) Định nghĩa Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai ẩn (un ) phương trình u  b u  c uf ( n )( ) sai phân dạng: a n  n  n Phương trình sai phân tuyến tính tương ứng với phương trình (1) có u  b u  c u  ( ) dạng: a n  n  n Nghiệm tởng qt (1) có dạng un xn yn, xn nghiệm tởng qt (2), còn yn nghiệm riêng (1) Để tìm nghiệm (2) ta lập phương trình đặc trưng (2) là: a x  b xc  0( ) TH1 Nếu phương trình đặc trưng (3) có hai nghiệm thực phân biệt t1 , t2 thì: xn A t1nB t2n TH2 Nếu phương trình đặc trưng (3) có nghiệm kép t1 t2 t0 thì: x (A B n )t0n n TH3 Nếu phương trình đặc trưng (3) có nghiệm phức document, khoa luan9 of 98 tai lieu, luan van10 of 98   y 2 t  x  i y  r ( c o s i s i n )  , r  x y , a r c t a n với i Khi đó: x   n xr  (c A o s n  B s i n n ) n Ở A, B hằng số thực được xác định dựa vào điều kiện ban đầu * Một số kết quả liên quan đến số học +) Đồng dư Cho hai số nguyên a b Ta nói rằng a đơng dư với b theo o dm ) chỉ a  b module m ( m số nguyên dương) kí hiệu ab(m Chia hết cho m Các tính chất đồng dư: o dm ) cd(m o dm )thì a  c  b  dm ( m o d ) ; a c  b dm ( m o d ) i) Nếu ab(m b0 (m o dp )thì a0(m odp) ii) Nếu p số nguyên tố a b0(m odp) +) Các định lí bản số học i) Định lí Fermat nhỏ Nếu p số nguyên tố a số nguyên tùy ý, p  ap a (m o dp ) Đặc biệt (a, p) 1 a  (m o dp )  (m ) (m o d m ), ii) Định lí Euler Nếu m số nguyên dương (a,m) 1 a   (m) số số nguyên dương nhỏ m nguyên tố với m iii) Định lí Wilson p số nguyên tố chỉ (p1)!1chia hết cho p b) Cơ sở thực tiễn – Thực trạng đối tượng nghiên cứu Mặc dù toán dãy số toán quen thuộc đối với học sinh THPT, dạng mà em được học, em còn lúng túng chưa có hướng giải đối với nhiều tốn chứng minh tính số học dãy số Khó khăn đối với em học sinh đứng trước toán phải lựa chọn được phương pháp giải hiệu Khả hệ thống, tổng hợp, sâu chuỗi kiến thức phương pháp em học sinh còn nhiều hạn chế Trong q trình giảng dạy thực tế tơi phân loại dạng dãy số với dấu hiệu để chọn được phương pháp phù hợp hiệu document, khoa luan10 of 98 10 tai lieu, luan van12 of 98 A t1nB t2n, +) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt t1 , t2 x n A, B hằng số được tính theo số hạng x1 , x2  (A B nt ).0n, +) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép t1 t2 t0 x n A, B hằng số được tính theo số hạng x1 , x2 +) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phức x  yi   n xr  ( A c o s n  B s i n n ) , A, B hằng số được tính theo số n hạng x1 , x2 r a2 b2 ,  arcgument x  yi Tính chất bản dãy tuyến tính cấp hai  a u  b u , n  , , Xét dãy số (un ) xác định bởi: u n  n  n Ta có u  b u u  b u n  nn  1n    u ( u  b u )(  u u  b u ) n n  nn  n  1n  u u n  n 2 n   u u  u   b ( u u  u )   (  b ) ( u u u ) n n  n  n  n  n 2 n  u uu   (  b ) ( u u  u ) Do dãy (un ) thỏa mãn  n n  n  1 Đây tính chất quan trọng dãy tuyến tính cấp hai, tính chất thường được sử dụng chứng minh đẳng thức liên quan đến số hạng dãy tính chất số học dãy Phương pháp thường dùng để chứng minh f (un ) số phương,  a u  b u  c (un ) thỏa mãn u n  n  n Để chứng minh dãy số (bn ) thỏa mãn bn số phương với mọi số nguyên dương n ta thường sử dụng số hướng sau: c , n ¥ Dãy số Hướng 1: Ta chỉ tồn dãy số nguyên (cn ) thỏa mãn b n n (cn ) thường dự đốn bằng cách tính số giá trị đầu c1, c2 , tìm quy luật dãy (cn ) Hướng 2: Ta chứng minh bnbn  số phương với mọi số tự nhiên n , sau chứng minh bằng quy nạp Hướng 3: Dựa vào công thức truy hời ta tính được bn  cn document, khoa luan12 of 98 12 tai lieu, luan van13 of 98 Bài tập minh họa a ) : a  , a  , aa   a , n  Bài Cho dãy số ( Chứng minh rằng: n n  n  n i) an  số phương với mọi n lẻ ii) an  số phương với mọi n chẵn Lời giải Cách 1: Ta dự đoán dãy số (cn ) cho a2n1 1cn , ta có a  , a , a  , a   , c  , c  , c  suy c Khi ta thử thiết lập quan hệ truy hồi dãy (cn ) theo dãy tuyến tính cấp 2, giả sử c  a c  b c c  , c  , c  , c  ta được n  n  n từ a  b   a      Do ta dự đốn dãy số (cn ) là: a  b b     ccc  ,  , c  c , n  , , , n  n  n n 0,1 ,2, Thật (1) Ta chứng minh bằng quy nạp a2n1 1cn (1),  với n  , giả sử (1) đến n  , ta chứng minh (1) đến n  Ta có a   a  a   ( a  a )  a   a a  a  n  n  22 n  n  12 n n  n  n2 n  2  a ( a  a )   a a   ( c  )  c   n  n  12 n  n  12 n  n n  22  c  c  ( ) nn  Theo hệ thức dãy tuyến tính cấp ta được: 2 2 c c  c    ( c  c ) c  c    c  c  c c   ( ) n  n  n n n  n  n n nn  n  Ta có 2 2 2 2 c  ( c  cc )   c c  c  c  ( c  cc  )  n  n n  nn nn  11  n n n  n  2  41 c  c  ( ) n n  1cn21 Từ (2) (4) suy a 2n document, khoa luan13 of 98 13 tai lieu, luan van14 of 98 Do ta chứng minh được (1) đến n  suy (1) a  a  , n  Cách 2: Ta có a Từ hệ thức ta được: n  2n n  2 ( a  ) ( a  )  a a  a  a   a   a   ( a  ) ( ) n  2n n  n n  n n  n  n  Từ hệ thức (5) bằng phương pháp quy nạp suy an  số phương với mọi số nguyên dương lẻ n ii) Ta chứng minh theo hướng sau: a  a  a a  a  a  a  aa  42  n  n n  n n  n n  1n   n     Ta có  6 6  Từ đẳng thức bằng phương pháp quy nạp suy an  số phương a ) : a  , aa  ,  a a , n  Bài Cho dãy số ( Chứng minh rằng n n  n  n với số tự nhiên n , tồn số tự nhiên k , l cho 22 3 a  kk  (  ) , al  (1  )  l n n 2 2  k  ( k  )  k  k   a   ( k  ) Lời giải Nhận xét: Ta có a n n 3 2  ( l  )  lll     a   ( l  ) Và a n n a  ,1 a  3là số phương Như tốn quy chứng minh n n Nếu ta chứng minh toán theo cách gặp phải tính tốn lớn khơng sử dụng được máy tính nhiều thời gian Ta chứng minh theo cách Trước hết ta có hệ thức sau: a aa   , n  n  2n n  Xét (2an2 1)(2an 1)4an2an 2(an2 an)1 4(an2112)28an1 1(2an1 7)2 (12an223)(12an23)144(an2an)2 36(an22 an2)9 144(an2an)2 36(an2 an)2 72an2an 9 144(an2an)2 36(14an1)2 72an2an 9 144(an2an)2 36.14( an2an 12)72an2an 9 144(an2an)2 36.194an2an 2912 (12an2an 291)2 document, khoa luan14 of 98 14 tai lieu, luan van15 of 98 a  ,1 a  3là số Từ hệ thức phương pháp quy nạp ta được n n phương x ) :1 x  , x  1 , x  2,1 x  x n  , , Bài Cho dãy số ( n1 n  n  1n x2012 1 số phương 2012 Lời giải Ta giải tốn tởng qt sau: Cho p số nguyên dương lẻ Chứng minh rằng dãy số ( xn ) được xác định sau: xx  ,  p , x  p x  x , n  , , Chứng minh rằng n  n  n x2 n  p  số phương với mọi số nguyên dương n Cách Ta chứng minh theo hướng Ta tính vài giá trị x  11 x  x  2  ,  ( p  ) ,  ( p  p  ) , pp  11  p  Ta dự đốn được , dãy số ( yn ) được xác định sau: y  , y  p  , y  p y y ,1 n  , , n  n  1n Ta chứng minh kết bằng phương pháp quy nạp Ta có n  2 y y  y  ( ) ( y y  y )  p   y y  y  p  n  n n  n  nn  2  ( p y  y ) y  y  p   y  y  p   p y y n  n nn  n  n n n  Ta có 2 2 y  ( p y  y ) p y  p y y  y n  n  n n  n n  n 2 2 2 2  p y  ( y  y  p  )  y  ( p  ) y  y  p  n  n  n n n  n x  x  ( p  ) x  x  x  2 n  2 n n  2 n n  ( p  )   p    p  1p  p  p  Suy x2n4 yn2 p document, khoa luan15 of 98 15 tai lieu, luan van16 of 98 Cách Ta chứng minh theo hướng Trước hết ta có hệ thức sau: 2n  22 2 2 x x  x  ( ) () x x  x  p  11  p  p   x x  x  p  n  n n  n  n n  Ta có 22      x  x  x x  x  x  x  p   p x  x  p n  n n  n n  n n  n  n        (  2 p  p   ) ( p  ) p     p  x2 n  Từ đẳng thức bằng phương pháp quy nạp ta được p  số phương với mọi số nguyên dương n x2 n  Nhận xét: Bằng cách chứng minh tương tự ta được p  số phương với mọi số nguyên dương n Bài Cho dãy số (an ) được xác định sau: a  aa  ,n a  a , n  , , Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương  n n  n ta có an1 an 2là số phương Lời giải Cách Tính vài giá trị ta được: 2 2 a  aa   ,  aa   ,  aa   ,  a   Từ ta dự 2 3 4 (bn ) được xác định sau:  a  2 b đoán a n  n n, dãy số b  , b  , bb  b , n , , n  n n  Ta chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp Ta có 2 22 b b  b   ( b  b ) b  bb   b  b  b  n  nn  n n  nn  n n  nn   a  a  a  a   a  a  a  n  n n n  n  1n n  Theo công thức truy hồi dãy (bn ) ta được: 2 2 b  ( b b )9  b  b  b b n  n n  n n  n n   ( a a  )  aa    ( a  a  a  ) n n  n  n n  n n   aaa    a   aa   n  n n n  n  n   a  a  Do b hay toán được chứng minh n  n  n  document, khoa luan16 of 98 16 tai lieu, luan van17 of 98   , a a  a  Cách Ta có đẳng thức sau: aaa n  n n  1n  n n  Xét ( a  a  ) ( a  a  )  a () a  a  a a  a  () a  a  a  n n  n  n  n  n n  n n  n  1n n  2n  2 2  a  a   a  a  a   a  a   ( a  ) n  n  n  1n  n  n  1n  n  Từ đẳng thức bằng phương pháp quy nạp ta suy an an1 2là số phương với mọi số nguyên dương n a ) : a  , a  , a  a  a  , n  Bài Cho dãy số ( Chứng minh rằng: n0 n  n  1n an an  số phương với mọi số tự nhiên n ):a  b xlà dãy tuyến tính cấp hai Lời giải Ta tìm x cho dãy số (b n n n Thay vào hệ thức truy hồi dãy (an ) ta được: b  x  b  x  b  xb    b  x  n  n  n n  1n  x  x   Ta chọn x cho x suy an bn 2 Như toán cho tương đương với toán sau: b ) : b  , b , b  bb  )(b  ) Cho dãy số ( Chứng minh rằng (b n n  n  n n n  Là số phương với mọi số nguyên dương n 2 b  b   b b  b  ; b  b  b Ta có b n  nn  n  nn  n  2n n  2 b  ) ( b  )  b b  () b  b   b   b   ( b  ) Do ( n n  n  nn  n n  n  n  Vậy an an  số phương với mọi số tự nhiên n a ) : a  , a  , aa   a  , n  Bài Cho dãy số ( Chứng minh rằng n n  n  1n mọi số hạng dãy số số phương ):a  b xlà dãy tuyến tính cấp hai Lời giải Ta tìm x cho dãy số (b n n n Thay vào hệ thức truy hồi dãy (an ) ta được: b  x  b  x  b  xb    b  x  n  n  n n  1n 2  x  x  suy an bn  Ta chọn x cho x 5 Như toán cho tương đương với toán sau: document, khoa luan17 of 98 17 tai lieu, luan van18 of 98 33 b ) : b  , b , b  b b Cho dãy ( Chứng minh rằng bn  số n n  n  n 55 phương với mọi số nguyên dương n Cách Ta tính số giá trị bn  : 2 2 2 2 2 b   , b   , b   , b   , Khi ta dự đốn bn  cn 5 5  c  , c  cc , n , , (cn ) được xác định sau: c n  n  n Ta chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp: Ta có 2 2 c c  c   ( cc  ) c  c   c c  cc   n  n n  n  nn n  n n  n  n 2 2 2 2 c  ( cc  )9 c c cc   c ( cc   )  c n  n  n n  n n  n n  n  n n 2     2  cc   b   b    b b   b      n  n n  n n  n n  5     2  Từ suy dự đoán hay toán được chứng Suy cn2 b n2 minh b 7 b b b  b Cách Ta có b n  n n  Khi n  2n n  42 4     b  b   b b  ( bb  )  b   b      n n  n  n n  n n  n  5 5 5     4    b  b  b    n  n  5   n       b  b   b  Suy  Từ đẳng thức bằng phương pháp      n n  n       quy nạp suy bn  số phương với mọi số nguyên dương n Bài Cho dãy số (an ) xác định bởi: a     a  a a  , n  , , ,  n  n n  document, khoa luan18 of 98 18 tai lieu, luan van19 of 98  (a 8 )có thể biểu diễn thành tởng bình phương Chứng minh rằng số b n 2n ba số nguyên dương liên tiếp với mọi n  Lời giải Từ giả thiết suy dãy số (an ) dãy số dương Ta có 2 aa  41  a   ( a  a )  a  n  n n n  n n 2  a  a a  a   ( ) n  n n  n 2  a aa    ( ) Từ (1) ta được: a n  n  n n  Từ (1) (2) suy an , an hai nghiệm phương trình: 2 x  x a  a  00 n  n   a  a a  a a Do theo định lí Viet ta được: a Khi dãy n n  n  n  n  n  , a  , aa  a , n  , , , số (an ) được xác định sau: a n  n  n Nhận xét: Giả sử 1 a  2 2 2 n ( a  )  ( k  )(  k  k  )  ( a  )  k    k n n 5 Như yêu cầu chứng minh toán quy chứng minh a2n  số 15 phương với mọi số nguyên dương n Cách Ta tính vài giá trị đầu tiên: a  a  a  a  2 2 2  ,  ,  ,  5 5 Khi ta dự đốn a2n 2 bn , dãy số (bn ) được xác định sau: 15 b  , b , b  , b  , thử xác định dãy (bn ) dưới dạng dãy số tuyến  x b  y b , n  , , , tính sau: b n  n  n 21 x  x     , b  , b  , b    Từ b ta được  621 x  y2 6 y    document, khoa luan19 of 98 19 tai lieu, luan van20 of 98 Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp a2n 2 bn , (bn ) dãy 15  , b  , bb  b , n  , , , số thỏa mãn b n  n  n 2 2 b b  b    ( b  b ) b  b    b b  b  b  n  n  n n n  1n  n n  n  n  n Ta có b  b  bb   n  2 n n  2 n    5 a  aa   ( a  a )a  3( a  a  a )  a  a n  2 n  n n n  n n n n  2 n n  Theo công thức truy hồi dãy (bn ) đẳng thức ta được: a  a  a  a    2 2 n n  2 n n  bb  (  b )  b  bb  b      n  nn  n n  n n  1 5 5 a  a  a  2 n n  2 n    5 a 2  2n2 Do b hay tốn được chứng minh n 1 Cách Ta có 2 a a  a   a a  a  n  2 n n  n  2 n n  Ta xét a  a  2a a  ( a  a )  a   a    n   n 2 n  2 n n  2 n n  n        5 2 2 1    a   n      1  Từ đẳng thức bằng phương pháp quy nạp ta được a2n  số 15 phương với mọi số nguyên dương n Bài Cho dãy số (un ) được xác định bởi: uu  , , uu   u , n  , , n  n  n Tìm tất số nguyên dương n cho 15uu n n1 số phương Lời giải Dễ thấy dãy (un ) dãy số tăng suy với n   u  u  u  u  u  u  ( ) nn  14534 +) n1,2 không thỏa mãn document, khoa luan20 of 98 20 tai lieu, luan van21 of 98  u u2 +) n  suy n  thỏa mãn 34 +) n  , theo tính chất dãy tuyến tính cấp hai ta có: n  2 u u  u  ( ) ( u u  uu )   0 n  n n  n  2  ( uu  ) u  u  0  u u  uu   0 n  nn n  n  n n  n  u u   ( uu )5 n  n n  n  u u  a ,a  ¥ * Giả sử 15uu Khi ta có: n n1 số phương, nn  2 () u  u   a  ( a  u  u ) ( a  u  u )    n  n n  n n  n Ta xét trường hợp sau: a  u  u  a    n  n   TH1  mâu thuẫn với (1) u  u  a  u  u   n  n  n  n a  uu   7 a   n  n   TH2  mâu thuẫn với (1) uu   a  uu    n  n  n  n Do với n  15uu n n1 khơng phải số phương Vậy n  số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập vận dụng a ) : a  , aa  ,  a a , n  Cho dãy số ( Chứng minh rằng: n n  n  n  a a   ,  n  a) a n  nn  2 b) 48an 12 số phương với mọi số tự nhiên n a a  , n c) số phương với mọi số tự nhiên n n a ) : a  , a  1 , aa  a  , n  Cho dãy số ( Chứng minh n0 n  n  1n rằng: an  số phương với mọi n chẵn a ) : a  , a  , aa   a  , n  Cho dãy số ( Chứng minh rằng: n n  n  1n 4aa 1 số phương với mọi số tự nhiên n n n2 a ) : a  , a  , a  a  a  , n  Cho dãy số ( Chứng minh rằng: n0 n  n  1n an an  số phương với mọi số tự nhiên n a ) : a  , a  , aaa 32  , n Cho dãy số ( Chứng minh rằng: n n  n  n document, khoa luan21 of 98 21 tai lieu, luan van22 of 98 an2  2n2 bình phương số nguyên lẻ a ) : a  , aa  ,  a a , n ( VMO 1997) Cho dãy số ( n0 n  n  n n a) Tính số ước nguyên dương số an1 aa n n2 theo n  9 a 4 b) Chứng minh rằng số phương với mọi số tự nhiên n n a ) : a  , aa  1 ,  aa  , n Cho dãy số ( Chứng minh rằng an n n  n  n khơng số phương với mọi n  a ) : a  , a  , a  a  a  , n  Cho dãy số ( Chứng minh rằng n0 n  n  1n an2 (an 1 )2 số phương với mọi số tự nhiên n a ) : a  a , a  b , a  a  a , n  ; a , b  ¢ Cho dãy số ( Chứng minh n0 n  n  1n rằng tồn số nguyên k cho 5an  k số phương với mọi số tự nhiên n a ) : a  , a  , aa  a , n  10 Cho dãy số ( Chứng minh rằng: n n  n  n 2  a a  a  a) a với mọi số tự nhiên n n  nn  n kk ( 1 ) b) Với mọi số tự nhiên n tồn số nguyên dương k cho an  a ) : a  , aaa   ,    a , n 11 Cho dãy số ( Chứng minh rằng n1 n  n  n 22012 7a22010 số phương a ) : a  , aaa  ,   a , n  12 Cho dãy số ( Chứng minh rằng n n  n  n 2  a a a   ,  n  a) a n n  n n  an2  b) số phương a ) : a  , a  , aa   a , n  13 Cho dãy số ( Tìm n để an  số n n  n  n phương a ) : a  , aaa  ,   a , n  14 Cho dãy số ( Chứng minh rằng n n  n  n n a a2 (1 ) 5là số phương với mọi số nguyên dương n n n n n      x ) : x     , n    15 Cho dãy số ( Chứng minh rằng n n 2    document, khoa luan22 of 98 22 tai lieu, luan van23 of 98 x2 n 1 số phương với mọi số tự nhiên n 3.2.3 Điểm kết quả nghiên cứu: Trong đề tài lựa chọn phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp hai để chứng minh tính chất số học dãy số (chủ yếu chứng minh số phương) Giúp cho tơi q trình giảng dạy cho đội tuyển, học sinh tìm lời giải tốn nhanh chóng hiệu Kết quả, hiệu quả mang lại Qua thực tế áp dụng nhận thấy em học sinh biết vận dụng cách linh hoạt phương pháp chứng minh tính chất số học vào tốn cụ thể tỏ hứng thú với phương pháp Không em còn biết áp dụng với nhiều kiểu khác cho làm kết hợp với dạng tập khác Sau áp dụng đề tài này, thấy chất lượng đội tuyển học sinh giỏi được nâng lên rõ rệt Kết cụ thể đội tuyển qua năm mà dạy thử nghiệm đạt được sau: +) Đội tuyển lớp 10, năm học 2014-2015: Đạt huy chương vàng thi chọn học sinh giỏi khu vực đồng bằng Duyên hải bắc bộ; 1huy chương vàng, huy chương đồng thi chọn học sinh giỏi trại hè Hùng Vương +) Đội tuyển lớp 11, năm học 2015-2016: Đạt huy chương bạc, huy chương đồng thi chọn học sinh giỏi khu vực đồng bằng Duyên hải bắc học sinh giỏi trại hè Hùng Vương +) Đội tuyển lớp 12, năm học 2016-2017: Đạt giải khuyến khích học sinh giỏi quốc gia Đánh giá về phạm vi ảnh hưởng sáng kiến Đề tài được triển khai nâng cao chất lượng đội tuyển học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 cấp tỉnh đội tuyển quốc gia Kiến nghị, đề xuất: document, khoa luan23 of 98 23 tai lieu, luan van24 of 98 Đề tài nên được nhân rộng trường THPT Chuyên Lê Quý Đơn số trường tỉnh để góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi cấp mơn Tốn Trong đề tài tơi mới nghiên cứu được vài tính chất số học dãy số, khả thời gian có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận được ý kiến đóng góp đờng nghiệp để đề tài được hồn thiện Tơi xin trân trọng cảm ơn ! Danh sách đồng tác giả: Không document, khoa luan24 of 98 24 tai lieu, luan van25 of 98 Tài liệu tham khảo 1.Tài liệu giáo khoa theo chương trình nâng cao sách giáo khoa chun tốn 2.Tạp chí tốn học t̉i trẻ 3.Các thi Olympic toán THPT Việt Nam đề thi đại học 4.Mạng Internet document, khoa luan25 of 98 25 tai lieu, luan van26 of 98 document, khoa luan26 of 98 26 ... Chứng minh tính chất số học dãy số vấn đề hay khó Vì đề tài muốn nghiên cứu sâu tính chất số học dãy số thơng qua số toán cụ thể đưa phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp... Chứng minh tính chất số học dãy số vấn đề hay khó Vì đề tài tơi muốn nghiên cứu sâu tính chất số học dãy số thơng qua số tốn cụ thể đưa phương pháp sử dụng tính chất đặc trưng dãy tuyến tính cấp... ) Do dãy (un ) thỏa mãn  n n  n  1 Đây tính chất quan trọng dãy tuyến tính cấp hai, tính chất thường được sử dụng chứng minh đẳng thức liên quan đến số hạng dãy tính chất số học dãy Phương