fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO Đ Ạ I HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ H C H Í M I N H TRƯỜNG Đ Ạ I HỌC s P H Ạ M KHOA TỐN ca DỀ TÁ* / / TOimiGmiiraiíimDi gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf GVmy.PTS SVTH : LÊ HỒN HĨA NGUYỄN HÙNG KHƯƠNG r THự-VIEN C u i liot; S P h o r n NIÊN KHÓA: 1996 - 2000 dsds 55 6676 fgfgfgsd dd d fgf gfgf565 an khoa luan rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf LỜI NÓI ĐẦU Luận vãn trình bày tích phân cửa dạng vi phân ưên xích hình hộp kỳ dị, bao gồm ba chương: Chưdng Ì chuẩn bị dạng vi phân, bắt đầu việc ánh xạ k-tuyến tính phản đối xứng từ dó định nghĩa dạng vi phân Cuối chương trình bày ảnh ngược dạng vi phân qua ánh xạ khả vi liên tục, sỏ để định nghĩa tích phân cửa dạng vi phân Chương mở dầu việc phát biểu lại cơng thức đổi biến tích phân bội Tiếp theo tnnh bày hình hộp kỳ dị Từ định nghĩa tích phân dạng vi phân hình hộp kỳ dị, mà ương trường hợp đặc biệt tích phân dạng vi phân bậc hình hộp kỳ dị chiều, tức đường cong, tích phân đường, tích phân dạng vi phân bậc hình hộp kỳ dị chiều, tức mặt cong, tích phân mặt Chương kết thúc khẳng định tích phân dạng vi phân không phụ thuộc cách tham số hóa Mục đích chương trinh bày định lý Stokes đại Từ đinh iỷ này, ta dễ dàng thấy định lý cổ điển Green, GaussOstrogradski, Stokes cổ điển trường hợp đặc biệt Mặc dù luận văn này, định lỹ Stokes trình bày xích kỳ dị, cưng phần mỏ đầu cho tích phân đa tạp Đố hướng mô rộng luận văn Em xin chân thành cảm ơn thầy Lê Hồn Hóa tận tình hưđng dẫn em hồn thành luận văn Nhân dịp này, em xin tơ lịng biết ơn tất thầy cô trường Đại Học Sư Phạm, đặc biệt thầy khoa Tốn dạy dỗ em ưong suốt năm đại học Lần dầu tiên nghiên cứu khoa học, tránh thiếu sót, kính mong q thầy dạy thêm gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf dsds 55 6676 fgfgfgsd dd d fgf gfgf565 an khoa luan rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf MỤC L Ụ C Lời nói đầu Trang gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Chương li D ẠN G VI PHÂN Đại số ngồi Dạng vi phân Ì Chương 2: TÍCH PHÂN CỦA DẠNG VI PHÂN Hìnhhộpkỳdị Tích phân hình hộp kỳ dị 17 18 24 Chương3: ĐỊNH LÝ STOKES TRÊN CÁC XÍCH KỲ DỊ LBiên hình hộp kỳ dị Định lý Stokes Các định lý cổ điển Tài liệu tham khảo 30 31 35 36 37 dsds 55 6676 fgfgfgsd dd d fgf gfgf565 an khoa luan rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Ì Chương ì: DẠNG VI PHÂN Chương ì DẠNG VI PHÂN gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf SV: Nguyễn Hùng Khương GVHD:m.Lê Hồn Hóa dsds 55 6676 fgfgfgsd dd d fgf gfgf565 an khoa luan rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Chương lí DẠNG VI PHÂN Trước tính tích phân cửa dạng vi phân xích hình bộp kỳ dị, ta cần cố khái niệm dạng vi phân Do đố, mục đích chương nhằm giới thiệu dạng vi phân, bắt đầu việc trình bày hàm đa tuyến tính phản đối xứng sau định nghĩa dạng vi phân ĐẠI SỐ NGOÀI LI Hàm đa tuyến tính đối xứng Định nghĩa Cho k, n hai số tự nhiên, k < n, ánh xạ f: R X R X K R" (k lần) ->R n Đ k tuyến tính f tuyến tính theo biến (k-l) biến lại cố định, nghĩa là:vđi V i , V v € R , ta có : n k y f(Vj V2 Vị + v v ,v ) = f ( V i , V2 , ,Vi, ,Vk) + f(V|, V2 vì, ,wà IM ĩ (Vị, V2 Xvị .Vít) = Xf (Vi, V V i , ,v ), với A, e R Ký hiệu : ứ (R , R) không gian ánh xạ k tuyến tính Trên L (R , R) ta định nghĩa : vai f, g L (R ,R) , a € R t h ì f + g v a f thuộc L (R ^) định bđi: i k k n n k gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf k k n (f+g) (Vi, v , , Vu) = f (Vi, v , , v ) + g(Vi, Va, Vu) 2 (af) (Vi, Va .Vk) k = af (Vi, V2 , ,v ) k 1.2 Hàm đa tuyến tính phản đối xứng Định nghĩa Hàm k - tuyến tính f, f € L (R , R), gọi phàn đối xứng nếu: n k f (Vi, v V i V ị v k ) = - f (Vi, V2 , , V j V i Vk) với Vu V2 v € R", l < i < j < k Tập hợp tất hàm k-tuỵến tính phản đối xứng R không gian vectơ L (R ,R), ký hiệu A (R ) Nếu f e A (R ) f (Vị, Va V i V j Vk) = tồn i < j mà Vị = Vj Thật vậy, ta có: k n k k n k n n f (Vị, V2, ,Vi, , Vị f (Vi, V2 V i V i v k v ) = - f (Vị, V2, ,Vi k Vi v) k ) = 1.2.1 Biểu thức hàm k-tuyến tính phản đối xứng Cho {ei, e2, ,e } với Ci = (0,0, • 1,0,0) (thành phần ứiứ i 1) sở tắc R D SV: Nguyễn Hùng Khương GVHDiPTS.Lê Hồn Hóa dsds 55 6676 fgfgfgsd dd d fgf gfgf565 an khoa luan rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Chương ì: DẠNG VI PHÂN Đặt Pi: R ->R, i = 1,2 ,n , Pi = (Xi, X2,."t Xi, ,,Xo) = Xi phép chiếu thành phần thứ í , Pi ánh xạ tuyến tính (có n phép chiếu) Cho f e A (R ) Vị, v ,v R" định n n k 2v k ai2e + + a e„ V2 = (a2i, a22, , aan) = 321 C) + a22 62 + + a2n e Vị = (an, Vk = i&ku ak2, , akn) = a i (v l f V2, ,v ) k J n n + aiứ 62 + + akn €„ ,k ; j = 1,2 ,n k X n ma trận k Đặt A = [ày], i = 1,2, Tacó : f am) = a n Ci + 312, , = Ci aio (!) a o ( ) - a k ( k ) f (e , e , ,e ) ( (1) a(1) o(k) Tổng vế phải lấy theo ánh xạ : ỊÌX- XÌ -> {l,2, ,n) Nếu khơng đơn ánh, suy tồn í < j cho (i) = (j), f ánh xạ k-tuyến tính phản đối xứng nên : f (e ,e , ,e ) = Do đổ, tổng ta xem số hạng ứng vđi đơn ánh Khi đó, (ơ (l),ơ (2), ,ơ(k)) chuyển vị (1,2 k) = j jk} Với tập s = { j i , Ì j k / j i < j2 < • •< jk} chứa k phần tử, theo thứ tự, cửa {1,2, ,nỉ, xem ma trận vuông k X k, A ma trận ma trận Á gồm cột i ị , }2, jk theo thứ tự, đặt đét (A )là dỊnh thức ma trận A Gọi p (S) tập hợp tất ánh xạ : : {1,2, k} -> {l,2 ,n} có ảnh (1,2, R) = s , p (S) cổ k! phần tử TacódetA = Ẹ e ^ a , ^ , ^ , , ^ , , SePịS) nong Es (ơ) = ( - l ) , m(ơ) số chuyển vị o(I) o(2) o(10 s s s gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf m ( > s = {ji , j , J k / j i < j < - < j k } Do f € A (R ) nên : k n f (Cod) e (2),-, Vậy đặt: e =:(e ,ej jt e o(k) ) = e, (ơ) f , \ ) ), ta có : , ,e k ĩ (%0) • o A (R ) có dạng, với X e D, CO(x) = ^cMtìP), A p A - À P],, n k R h s ttongđóS = {j,,j2,."Jk/ji R s (x.y) = (x,y,z(x,y)) với D = {(x.y)/x -»-y ^ , X ^0, y ằ 0} ,(x,y)eD z(x.y)= V a - x - y 2 2 2 2 2 Phép đơi biến thích hợp g : [0,a] X [ 0,-]->R định bdi g [r,9] = (rcose , rsine) đét g (r,e) = rằO , SV: Nguyễn Hừng Khương GVHD: PTS Lê Hồn Hóa dsds 55 6676 fgfgfgsd dd d fgf gfgf565 an khoa luan rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Chương I1:TÍCH PHẢN CỦA DẠNG Vĩ PHẢN Khỉ 1= 28 na' JJdxdy= Ví dụ : Tính ì = j j dxAdy + yđzAdx - x y dyA dz 2 cong X + y — +z =Ì vđi s phần ngồi mặt ,x>0,yă:0,z>0 Phương ttình tham số s : [ 0, — ] X [ 0, TI— ] -> R định bởi: S(e,(p) = (x y, z) vđi x( 8, ọ ) = sinecos R c : ì -> R c : r R hình p n D hộp kỳ dị f h m l i ê n tục tập ảnh c(I) c(I ) c í T ) ( ĩ dạng vi phân bậc 0), theo thứ tự ta định nghĩa : Jf=|f(c(t))||ơ(t)|| dt Jf = f (c(u))| ác ác — au, X au SV: Nguyễn Hùng Khurơng GVHD: m Lê Hồn Hóa dsds 55 6676 fgfgfgsd dd d fgf gfgf565 an khoa luan rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf 29 Chương II:TfCHPHÂN CỦA DẠNG VI PHÂN ff = Ị f (c(u)) ác ác de du du du au, XỔU2—X Xaun-1 Đây tích phân loại ì dạng vi phân bậc bình hộp kỳ dị c Tích phân loại ì khơng dối dấu qua phép đổi biến gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf GVHD: m SV: Nguyễn Hùng Khương Lê Hồn Hóa dsds 55 6676 fgfgfgsd dd d fgf gfgf565 an khoa luan rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Chương ni: ĐỊNH LÝ STOKES TRẼN CẮC XÍCH KỲ D Ị 30 chtf D c R phép đổi biến thích hợp Định hướng chiều chuyển động biên ỠD cho tập D nằm bên ưái ỡc = ỔD 2 Cho (o(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy dạng vi phân bậc gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Khi : da) = í ỔO ỔP^ — dxAdy Vỡx ày, Áp dụng định lý Stokes; dff) = ị co ác Ta có : Jp(x,y)dx + Q(x,y)dy = ỊỊ 30 D ổx ổy dxdy > Đây cơng thức Green 3.2 Định lý Gauss - O strogradski: Cho c: ì -> V c R phép đổi biến thích hợp Định hướng biên ỔV cho vectơ pháp tuyến hướng ngồi V ỡc = 3V 3 Cho (ũ = PđyAdz+QđzAdx + R d x A d y thì: f d? dQ 3R.) đeo = -— + — + — dx A đy A dz ^ỡx ổy ổz Áp dụng định lý Stokes ịd(ù= ị & ày, dx Ady Áp dụng định lý Stokes tổng quái: Jd(0 = |a> ác Ta có : ỠR ỔQ í í{dy D dzj dyAdz + dzA(lx + faQ ÕP] Đây chữứi đỊnh lý Stokes cổ điển dxAdy= Jpdx + Qdy + ao gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf 3.4 Định lý (Ba mệnh đề tương đương) : Cho D tập mỏ liên thông R" f,,f , ,f : D -> R liên tục n co = í^dXị +f dx + +f dx Khi ba mệnh đề sau tương đương : 2 n n a Tồn hàm g: D -> R khả vi liên tục cho dg = (0 b Với Cj,c : [0,1] -> D đường cong thỏa mãn Ci(0) = c (0), 0,(1) = Cj(l) 2 jco= Jco Điều cố nghĩa ị (ũ phụ thuộc điềm đầu c c c Nếu c: [0,1] D đường cong kín c(0) = c(l) J(0= Ở đường cong cần khả vi liên tục đoạn Chứng minh b) =z>c): Cho c: [04] -> D đường cong kín c{0) = c(l) Đặt Gi, C2 : [0, - ] -> D định bởi: GVHDi/TS.Lê Hồa Hóa SV: Nguyỗa Hùng Khương fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf 38 Chương IIĨ: ĐỊNH LÝ STOKES TRẼN CẮC XÍCH KỶ Dị c, (t) = c(t).c (t) = c ( l - t ) , t [ ^ ] Khi đó: 0,(0) = c(0) = c(l) = c (0) d c (|) i-) = Ta có: c = Ci - C Jco - ị (ù nên Jco = Suy Jco = Ịco-Jco c C| ị C Cj c2 Giả sử Ci C2: [0,1] -> D cho c) =>b) Ci(0) = c (0) CiíD s ^ d ) Đặt c = G i - C2 c đường cong kín Do Jco = suy Jco- Jco = c C| c VậyjcD=j(0 c, a)=>b) é, : Cho C|, C2: [0,1] -> D cho C^O) = C2(0), Ci(l) = C2(l) Đặt c : [0,1] X [0.11 -> D định bởi: c(s,t) = sc^t) + (Ì - s) C2(t) c hình hộp kỳ dị chiều ác = -0? +cỊ +cị -cà gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf - c j = - C « ! c = c ì n ê n Sc^Cị -c +c5 -cỉị C [0,11 = 0,(0) = c (0),4[0.1] = 0,(1) = c (l) 2 Do 00= dg nên do) = d g = Từ định lý Stokes suy ra: Ị(õ = Jda> = ác Mà j(0 = |(ù = êị c Nên jco= jco-|co = ãs c, Cj • Vậy Ị(ù é, = Jco c b) =>a) : Cổ định Xo € D Do D tập mỏ liên thông nên với xe D, tồn đường cong Cx khả vi liên tục đoạn chứa D từ Xo đ ế n X (chẳng hạn đường gấp khúc r c D nối Xo đến x) Đặt g(x)= Jco Do b) nên Ico phụ thuộc hai điểm đầu c nên Jcohoàn toàn xác é c x định (không phụ thuộc đường cong nối từ Xo đến x) GVHD:PTS.Lè Hồn Hóa SV: Nguyễn Hùng Khương fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf Chương HI: ĐỊNH LÝ STOKES TRÙN CÁC XÍCH KỶ DỊ Với i = l , n đặt Cì = (0 39_ 0,1 A l mO) Gọi [x X + te ] đoạn thẳng nối từ X đến X + tei s Ta có: g(x + te )-g(x)= Jco = J f (x , ,s, ,x )dXj ỉ í lỉ Áp dụng cơng thức giá trị trung bình tích phân, tồn ee(0,l) cho: jf (x , ,,s ,x )dx =tf (x , ,x +et, ,,x ) i S U Y R A 6(x + v n te,)-g(x) i i = f | ( x X i + i t n Do fị liên tục, cho t -> 0, ta : 5g (x) = Ị ú n ỔXị t-*0 g ( x + t e i ) = ị (x) với i = 1,2 g ( x ) t n Do f j , f , , f liên tục nên g khả vi liên tục dg = ca n Vậy định lý dược chứng minh Ghi : gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Do cổng thức đạo hàm hàm bợp, đg = Oũ, ta cố : ( ( c ( t ) ) x (t)+ +f (c(t))x (t)]dt c B B = l^g{c(t))dt = g(c(l))-g(c(0)) 5.5 Định lý (Bốn mệnh đề tương đương) Cho D tập mở đơn liên ưong R (nghĩa D mỏ liên thông biên ao tập liên thông) Cho P.Q: D R khả vi liên tục (ữ = Pdx +Qdy Khi đố bôn mệnh đề sau tương đương : a) Tồn hàm g : D ỡy R khả vi liên tục cho dg = Cừ ôx c) jco phụ thuộc hai điểm đầu củâ đường cong c GVHDi/TS.Lê Hồn Hóa SV: Nguyễn Hừng Khương fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf 40 Chuơng m: ĐỊNH LÝ STOKES TRÊN CÁC XÍCH KỲ Dị d) Jco = với c đường cong kín D c Chứng minh Do định lý ba mệnh đề tương đương, ta cố : (a) o (c) o (d) Ta chứng minh : a) => b) b) => d) a)=>b): Do dg = Cù nên — = p ^ = Q mà p, Q khả vi liên túc, nên g e C (D ) ỡx dy Theo định lý Schwartz, ta có : ổxỡy dydx' áp ỔQ suy dy ỡx = b)=>d): Do — ỡy = — ỡx nên deo = ,ổx dy) dx A dy = Gọi Di miền giới hạn đường cong kín c Khi Dị c D (do D đơn liên) ao, = c ỠDị = -c gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf Áp dụng định lý Green, ta có : JJdQ) = Di suy JCỮ = Ịịá(ò = Vậy định lý chứng minh GVHD:/TS.Lê Hồn Hóa SV: Nguyễn Hùng Khương dsds 55 6676 fgfgfgsd dd d fgf gfgf565 an khoa luan rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d fgf fgxx fgfg45 fg fsdf gr fgf gfg fgf rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d d fdfd 454 dhfg fgfgf TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hồn Hóa Phép tính vi tích phân khơng gian hữu hạn chiều (sắp xuất bản) M.Spivak Giải tích tốn học ưên đa tạp - 1985 gfsdsd sd sdsd dsd sd454 4545 4545xfdf def dtrrtrrtrt 454 454 545gd luan van an khoa luan tot nghiep fdfd 454 dhfg fgfgf dsds 55 6676 fgfgfgsd dd d fgf gfgf565 an khoa luan rt d gdf gdfg dh dff gdf dfddfg 54545 f df ddf d dfdf df dfd fd dfd ddgdgdd dd d