Tích phân ngẫu nhiên ito và một số hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên ito

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ KHUYÊN TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO VÀ MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ KHUYÊN TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO VÀ MỘT HƯỚNG MỞ RỘNG TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITO Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thịnh Hà Nội - 2017 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Thịnh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Thịnh, người thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phòng Đào Tạo, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô giáo giảng dạy, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn cao học trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2017 Học viên Vũ Thị Khuyên i Mục lục Mở đầu Tích phân ngẫu nhiên Ito 1.1 Kiến thức sở 1.2 Quá trình Wiener 1.3 Tích phân Wiener 1.3.1 Tích phân Wiener hàm số đơn giản 1.3.2 Tính chất tích phân Wiener hàm đơn giản 1.3.3 Tích phân Wiener hàm số bình phương khả tích 11 1.4 1.5 Tích phân ngẫu nhiên Ito 12 1.4.1 Xây dựng tích phân ngẫu nhiên Ito 12 1.4.2 Một số tính chất tích phân ngẫu nhiên Ito 16 1.4.3 Tích phân Ito tổng quát 20 Công thức Ito 25 Mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito 27 2.1 Phương pháp ồn trắng 28 2.2 Phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên K.Ito 33 2.3 Một phương pháp mở rộng tích phân Ito 34 2.3.1 Đặt vấn đề 34 2.3.2 Tích phân ngẫu nhiên 35 2.3.3 Công thức Itô phương trình vi phân ngẫu nhiên 41 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Mở đầu Giải tích ngẫu nhiên, hay giải tích mơi trường ngẫu nhiên, hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết xác suất đồng thời ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác bên ngồi Tốn học Vật lý (lý thuyết chuyển động hỗn loạn, lý thuyết trường bảo giác ), Sinh vật (động lực học dân số ), Công nghệ (lý thuyết học, ổn định điều khiển hệ động lực ngẫu nhiên ) đặc biệt kinh tế tài (định giá quyền lựa chọn thị trường khốn ) Nó trở thành công cụ tối quan trọng cần xử lý, phân tích mơ hình hóa tượng có can thiệp nhân tố ngẫu nhiên Giải tích ngẫu nhiện giảng dạy hầu hết trường đại học ngồi nước, thu hút nhiều nhà khoa học không ngừng nghiên cứu phát triển Trong vi tích phân ngẫu nhiên Ito khái niệm quan trọng giải tích ngẫu nhiên Từ khái niệm người ta xây nên lớp trình ngẫu nhiên Ito Luận văn hệ thống lại số kết tích phân ngẫu nhiên Ito trình bày hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito, đưa số kết công thức Ito phương trình vi phân ngẫu nhiên Luận văn chia làm chương cụ thể sau: Chương 1: Tích phân ngẫu nhiên Ito Chương trình bày số khái niệm giải tích ngẫu nhiên, kiến thức sở cần cho chương tiếp theo; xây dựng định nghĩa tích phân Wiener, số tính chất tích phân Wiener; xây dựng định nghĩa tích phân Ito, số tính chất tích phân Ito, cơng thức Ito 2 Chương 2: Mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito Chương trình bày số phương pháp để mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito Trong đó, trước trình bày phương pháp mở rộng luận văn, tác giả giới thiệu tóm tắt hai cách tiếp cận khác để mở rộng tích phân ngẫu nhiên Một phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên cho q trình ngẫu nhiên khơng thích nghi Kiyosi Ito với ý tưởng mở rộng lọc Ft phân tích bội lấy tích phân (integrator) thành semi-martingale lọc Hai phương pháp mở rộng tích phân ngẫu nhiên Masuyuki Hitsuda theo cách tiếp cận ồn trắng (white noise) Sau đó, tác giả trình bày sâu hướng mở rộng tích phân ngẫu nhiên Ito đưa Wided Ayed Hui-Hsiung Kuo Ta giới thiệu lớp trình ngẫu nhiên độc (the class of instantly independent stochastic processes) lấy q trình ngẫu nhiên thích nghi (adapted stochastic processes) Sau định nghĩa tích phân q trình ngẫu nhiên tích q trình ngẫu nhiên độc q trình ngẫu nhiên thích nghi Điểm cốt yếu ý tưởng sử dụng điểm đầu mút bên phải điểm ước lượng cho trình ngẫu nhiên độc điểm đầu mút bên trái điểm ước lượng cho q trình ngẫu nhiên thích nghi Cuối cùng, đưa số kết ví dụ cơng thức Ito phương trình vi phân ngẫu nhiên cho tích phân Chương Tích phân ngẫu nhiên Ito 1.1 Kiến thức sở Cho (Ω, F, P ) không gian xác suất, tức ba gồm • Ω tập hợp sở mà phần tử w ∈ Ω đại diện cho yếu tố ngẫu nhiên Mỗi tập Ω gồm số yếu tố ngẫu nhiên • F họ tập Ω, chứa Ω đóng phép hợp đếm phép lấy phần bù; nói cách khác F σ -trường tập Ω Mỗi tập hợp A ∈ F gọi biến cố ngẫu nhiên • P độ đo xác suất xác định không gian đo (Ω, F) Định nghĩa 1.1.1 (Biến ngẫu nhiên) Cho không gian xác suất (Ω, F, P ) Khơng giảm tổng qt ta giả thiết (Ω, F, P ) không gian xác suất đủ tức A biến cố có P (A) = tập B ⊂ A biến cố (tức B ∈ F ) Giả sử E không gian metric, ánh xạ X : Ω → E gọi biến ngẫu nhiên với giá trị E (hay biến ngẫu nhiên E - giá trị) với tập Borel B E ta có X −1 (B) ∈ F Nếu X biến ngẫu nhiên nhận giá trị E = Rn ta nói X véctơ ngẫu nhiên n-chiều Nếu X biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập số thực R ta nói X biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.2 (Hàm ngẫu nhiên) Cho T tập Một ánh xạ X : T × Ω → R cho t ∈ T ánh xạ w ∈ X(t, w) đo gọi hàm ngẫu nhiên T ta viết X = {Xt , t ∈ T } Như hàm ngẫu nhiên T chẳng qua họ biến ngẫu nhiên X = Xt , t ∈ T số hóa tập tham số T Định nghĩa 1.1.3 (Bộ lọc) Một lọc {Ft }t∈T không gian xác suất (Ω, F, P ) dãy tăng σ -trường F Định nghĩa 1.1.4 (Quá trình ngẫu nhiên thích nghi) Một q trình ngẫu nhiên {Xt }t∈T gọi thích nghi với lọc {Ft }t∈T với t ∈ T , biến ngẫu nhiên Xt Ft -đo Định nghĩa 1.1.5 (Kì vọng có điều kiện) Cho X biến ngẫu nhiên có kỳ vọng (X ∈ L1 ) Kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên khả tích X A ∈ F ký hiệu E(X|A) biến ngẫu nhiên M thỏa mãn: M A- đo được, Với A ∈ A ta có M dP = A XdP A Định lý sau cho ta tính chất E(X|A) Định lý 1.1.6 E(X|A) có tính chất sơ cấp sau E(aX + bY |A) = aE(X|A) + bE(Y |A), E(X) = E(E(X|A)), Nếu X A độc lập E(X|A) = E(X), Nếu Y A- đo E(XY |A) = Y E(X|A), Nếu D ⊂ A E(E(X|A)|D) Định nghĩa 1.1.7 (Martingale) Cho Xt q trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc {Ft } E|Xt | < ∞ với ∀t ∈ T Khi Xt gọi martingale lọc {Ft } với s ≤ t ∈ T bất kỳ, E{Xt |Fs } = Xs (h c.c) (1.1) Định nghĩa 1.1.8 (Thời điểm dừng) Một biến ngẫu nhiên τ : Ω → [a, b] gọi thời điểm dừng lọc {Ft , a ≤ t ≤ b} {w; τ (w) ≤ t} ∈ Ft với ∀t ∈ [a, b] Định nghĩa 1.1.9 (Martingale địa phương) Một trình ngẫu nhiên {Fn }thích nghi Xt , a ≤ t ≤ b gọi martingale địa phương {Ft } tồn dãy thời điểm dừng τn , n = 1, 2, thỏa mãn (1) τn đơn điệu tăng tới b hầu chắn n → ∞; (2) Với n, Xt∧τn martingale {Ft , a ≤ t ≤ b} Dễ thấy, martingale martingale địa phương ta chọn τn = b với n Tuy nhiên, martingale địa phương không martingale Định nghĩa 1.1.10 (Không gian hàm D(Ω)) Không gian D(Ω) không gian gồm hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕj }∞ j=1 hàm C0∞ (Ω) gọi hội tụ đến hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) • (i) có tập compact K ⊂ Ω mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, , • (ii) limj→∞ supx∈Ω |Dα ϕj (x) − Dα ϕ(x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ Định nghĩa 1.1.11 (Khơng gian hàm suy rộng D (Ω) ) Ta nói f hàm suy rộng Ω f phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Ω) Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) tác động lên ϕ ∈ D(Ω) viết f, ϕ Hai hàm suy rộng f, ϕ ∈ D (Ω) gọi f, ϕ = g, ϕ , ∀ϕ ∈ D(Ω) Tất hàm suy rộng Ω lập thành không gian D (Ω) Định nghĩa 1.1.12 (Không gian hàm giảm nhanh (Schwartz) S(Rn ) ) Không gian S(Rn ) tập hợp S(Rn ) = {ϕ ∈ C ∞ (Rn ) |xα Dβ ϕ(x)| < cα,β , ∀x ∈ Rn , ∀α, β ∈ Zn+ } n với khái niệm hội tụ định nghĩa sau: dãy {ϕk }∞ k=1 S(R ) gọi hội tụ đến ϕ ∈ S(Rn ) S(Rn ) lim sup |xα Dβ ϕk (x) − xα Dβ ϕ(x)| = 0, ∀α, β ∈ Zn+ k→∞ x∈Rn 1.2 Quá trình Wiener Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất Định nghĩa 1.2.1 Cho trình W = {Wt , t ∈ [0; ∞)} Ta nói W trình Wiener thỏa mãn điều kiện sau W0 = W có gia số độc là: Với < t1 < t2 < < tn biến ngẫu nhiên Wt1 − Wt0 , Wt2 − Wt1 , , Wtn − Wtn−1 độc lập Với ≤ s < t biến ngẫu nhiên Wt − Ws có phân bố chuẩn N (0, t − s) W trình liên tục, tức hầu hết quỹ đạo Wt W hàm liên tục Sự tồn trình Wiener lập luận sau Vì K(s, t) = min(s, t) covariance trình Poisson nên min(s, t) hàm xác định không âm Do tồn hàm ngẫu nhiên Gauss W = {Wt , t ∈ [0; ∞)} cho EWt = 0, ∀t ∈ [0, ∞), EWt Ws = min(s, t) ∀s, t ∈ [0, ∞) Nói riêng EXt2 = t Ta chứng minh W hàm ngẫu nhiên Wiener • Đặt t = ta có EW02 = 0, suy W0 = • Giả sử = t0 < t1 < < tn Đặt ξi = Wti − Wti−1 , i = 1, 2, , n Khi với i < j j − ≥ i nên ti−1 < ti ≤ tj−1 < ti suy cov(ξi , ξj ) = EWti Wtj − EWti Wtj−1 − EWti−1 Wtj + EWti−1 Wtj−1 = ti − ti − ti−1 − ti−1 = Do ma trận covariance ma trận đơn vị Vậy ξ1 , , ξn độc lập • Vì W q trình Gauss nên Xt − Xs có phân bố Gauss với E(Xt − Xs ) = V ar(Xt − Xs ) = E(Xt − Xs )2 = EXt2 − 2EXt Xs + EXs2 = t − 2s + s = t − s Định lý 1.2.2 Hàm ngẫu nhiên Wiener có liên tục (1.2) 13 Nếu φ có dạng (1.8), đặt n−1 T I(φ) = λk (w)(Wtk +1 − Wtk ) φ(t, w)dWt := (1.9) k=0 Tính chất 1.4.2 (1) T T (aφ + bψ)dWt = a T φdWt + b 0 ψdWt (2) T E[I(φ)] = E φ(t, w)dWt = 0 (3) T E (I(φ)) φ(t, w)2 dt =E Ta cần đến kết xấp xỉ sau: Bổ đề 1.4.3 (1) Với g ∈ NT bị chặn g(., w) liên tục với w, tồn dãy hàm sơ cấp φn ∈ NT cho T (φn − g)2 dt = lim E n→∞ (2) Với h ∈ NT bị chặn tồn dãy hàm gn ∈ NT bị chặn cho gn (., w) liên tục với w T (gn − h)2 dt = lim E n→∞ (3) Với f ∈ NT tồn hàm hn ∈ NT cho hn (., w) bị chặn với n T (hn − f )2 dt = lim E n→∞ Nhờ kết xấp xỉ ta kết luận: Với f ∈ NT tồn dãy hàm sơ cấp φn ∈ NT bị chặn cho T (φn − f )2 dt = lim E n→∞ 14 Khi đó, I(φn ) = T φn dWt dãy Cauchy L2 (Ω) Do L2 (Ω) không gian đầy đủ nên I(φn ) hội tụ đến giới hạn L2 (Ω), kí hiệu I(f ) Khi đó, ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Ito theo công thức sau T I(f ) = T f (t, w)dWt := limn→∞ φn dWt (1.10) Ta xét vài ví dụ đơn giản sau Ví dụ 1.4.4 I = b dWt a Tích phân có f ≡ nên theo định nghĩa b I= n − 1(Wti+1 − Wti ) = Wb − Wa dWt = a i=0 đó, a = t0 < t1 < < tn = b phân hoạch đoạn [a, b] Với W = {Wt , t ∈ [0, T ]} chuyển động Brown 0, xét t I= Ws dWs Ta xấp xỉ W hàm sơ cấp Với n, đặt ti = i t , i = 0, 1, , 2n − n Đặt 2n −1 φn (t) = Wti 1[ti ,ti+1 ) i=0 15 Ta kiểm tra xem φn (t) có hội tụ đến Wt n → ∞ hay không Ta có: 2n −1 T ti+1 (Wti − Ws )2 ds (φn (s) − Wt )2 ds = E E ti i=0 2n −1 ti+1 (Wti − Ws )2 ds E = ti i=0 2n −1 ti+1 E(Wti − Ws )2 ds = i=0 2n −1 ti i=0 2n −1 ti ti+1 (s − ti )ds = 2−n sds = = i=0 2n −1 s i=0 2n −1 2−n 2−2n−1 = i=0 = 2−n−1 →0 n→∞ Do t t Ws dWs = lim n→∞ φn (s)dWs 2n−1 Wti (Wti+1 − Wti ) = lim n→∞ i=0 2n−1 Wti ∆Wti = lim n→∞ i=0 ∆Wti = Wti+1 − Wti Tương tự, đặt Wt2i = Wt2i+1 − Wt2i Do W0 = = W02 nên ta có 2n−1 ∆Wti Wt = i=0 2n−1 ∆Wt2i Wt2 = i=0 16 Mặt khác ∆Wt2i = Wt2i+1 − Wt2i = (∆Wti + Wti )2 − Wt2i = (∆Wti )2 + 2∆Wti Wti + Wt2i − Wt2i = (∆Wti )2 + 2∆Wti Wti Từ 2n −1 [(∆Wti )2 + 2∆Wti Wti ] Wt2 = i=0 n −1 i=0 1 ∆Wti Wti = Wt2 − 2 2n −1 (∆Wti )2 i=0 Theo tính chất chuyển động Brown, 2n −1 (∆Wti )2 = t lim E n→∞ i=0 Vì 2n −1 t Ws dWs = lim n→∞ Wti ∆Wti i=0 2n −1 W − t = lim n→∞ i=0 1 = Wt2 − lim 2 n→∞ 2n −1 (∆Wti )2 i=0 2n −1 (∆Wti )2 i=0 t = Wt2 − 2 1.4.2 Một số tính chất tích phân ngẫu nhiên Ito Định lý 1.4.5 Cho f, g ∈ NT Khi (1) T T [f (t, w) + g(t, w)]dWt = T f (t, w)dWt + g(t, w)dWt 17 (2) T T cf (t, w)dWt = c ∀c ∈ R f (t, w)dWt 0 (3) T u f (t, w)dWt = T f (t, w)dWt + f (t, w)dWt ∀0 < u < T u Định lý 1.4.6 Cho f, g ∈ NT Khi (1) T E f (t, w)dWt =0 (2)  T E  T f (t, w)2 dt =E f (t, w)dWt 0 (3) T E T f (t, w)dWt T g(t, w)dWt = E f (t, w)g(t, w)dt Định nghĩa 1.4.7 Giả sử f ∈ Nt Ta đặt t Xt = f (s, w)dWs Khi hàm ngẫu nhiên Xt gọi tích phân Ito bất định f Định lý 1.4.8 Giả sử f ∈ Nt Khi (1) Xt Ft -đo (2) Xt martingale họ Ft (3) Xt có liên tục, tức tồn trình ngẫu nhiên Jt liên tục theo t (Ω, F, P ) cho P [Jt = Xt ] = ∀t, ≤ t ≤ T Chứng minh (1) Giả sử = t0 < t1 < < tn = t phân hoạch đoạn [0, t] Khi đó, n−1 t Xt = λi (w)(Wti+1 − Wti ) f (s, w)dWs = lim n→∞ i=0 Vì λi (w)(Wti+1 − Wti ) Ft đo nên với ti+1 ≤ t nên Xt Ft đo 18 (2) Xt martingale vì: – E[|Xt |] < ∞ Thật vậy, ta có t E[Xt2 ] =E f (s, w)dWs t f (s, w)2 dt < ∞ =E 0 (E[|Xt |])2 ≤ E[|Xt |2 ] < ∞ Do đó, E[|Xt |] < ∞ – Xt Ft - đo (chứng minh trên) – E[Xt |Ft ] = Xs với s < t Thật vậy, t f (s, w)dWs Fs E s t =E f (u, w)dWu + s f (u, w)dWu t f (u, w)dWu Fs + E =E Fs s f (u, w)dWu Fs s s = f (u, w)dWu (3) Giả sử = t0 < t1 < < tn = T phân hoạch đoạn [0, T ], Ak = [tk , tk+1 ), k = 0, 1, , n − Đặt n−1 φn = φn (t, w) = λk (w)1Ak (t) k=0 hàm sơ cấp cho T (f − φn )2 dt → n → ∞ E Đặt t In (t, w) = φn (s, w)dWs t It = I(t, w) = f (s, w)dWs , 0 ≤ t ≤ T 19 Khi đó, In (., w) liên tục với n Hơn nữa, In (t, w) martingale tương thích với lọc Ft với n Thật vậy, với t < s ta có: E[In (s, w)|Ft ] t =E s φn dWs Ft φn dWs + t   φn dWs + E  λj (w)(Wtj+1 − Wtj ) Ft  t = t≤tj ε 0≤t≤T ≤ E[|In (T, w) − Im (T, w)|2 ] ε2 = E ε2 T (φn (t, w) − φm (t, w))2 ds → n, m → ∞ T (φn (t, w) − φm (t, w))2 ds E T T ≤ 2E →0 (f − φm )2 ds (f − φn ) ds + 2E n, m → ∞ Do đó, ta chọn dãy nk → ∞ cho P sup |Ink+1 (t, w) − Ink (t, w)| > 2−k < 2−k 0≤t≤T 20 Theo bổ để Borel-Cantelli sup |Ink+1 (t, w) − Ink (t, w)| > 2−k vơ sốk = P 0≤t≤T Khi đó, với hầu hết w, tồn k1 (w) cho k ≥ k1 (w) sup |Ink+1 (t, w) − Ink (t, w)| ≤ 2−k 0≤t≤T Do đó, Ink (t, ) hội tụ với t ∈ [0, T ] với hầu hết w, ký hiệu giới hạn Jt (w) Khi Jt (w) hàm liên tục theo t, t ∈ [0, T ] Do Ink (t, ) → I(t, ) L2 với t nên It = Jt 1.4.3 hầu chắn với mọit ∈ [0, T ] Tích phân Ito tổng quát Tổng quát hơn, ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên b f (t)dWt a cho trình ngẫu nhiên f (t) thỏa mãn điều kiện (a) f (t) thích nghi với lọc {Ft }, (b) b |f (t)|2 dt a < ∞ hầu chắn Điều kiện (b) nghĩa hầu hết quỹ đạo mẫu hàm không gian Hilbert L2 [a, b] Do ánh xạ w → f (., w) hàm đo từ Ω vào L2 [a, b] Ta ký hiệu Lad (Ω, L2 [a, b]) không gian trình ngẫu nhiên f (t, w) thỏa mãn điều kiện (a), (b) Ở trên, ta ký hiệu lại L2ad ([a, b] × Ω) khơng gian q trình ngẫu nhiên f (t) thỏa mãn • f (t) thích nghi với {Ft }, • b E(|f (t)|2 )dt a < ∞ Theo định lý Fubini, E b |f (t)|2 dt a = b E(|f (t)|2 )dt a < ∞ nên Từ ta có L2ad ([a, b] × Ω) ⊂ Lad (Ω, L2 [a, b]) b |f (t)|2 dt a < ∞ 21 Do ta có lớp rộng hàm dấu tích phân f (t, w) cho tích phân ngẫu nhiên b f (t)dWt a Bổ đề 1.4.9 Cho f ∈ Lad (Ω, L2 [a, b]) Khi tồn dãy {fn } L2ad ([a, b] × Ω) thỏa mãn b |fn (t) − f (t)|2 dt = lim n→∞ a hầu chắn, theo xác suất Bổ đề 1.4.10 Cho f (t) trình ngẫu nhiên bậc thang L2ad ([a, b] × Ω) Khi b ≤ f (t)dB(t) > P C a với số dương b |f (t)|2 dt < C +P a C Để định nghĩa tích phân ngẫu nhiên tổng quát ta cần bổ đề xấp xỉ sau Bổ đề 1.4.11 Cho f ∈ Lad (Ω, L2 [a, b]) Khi tồn dãy {fn (t)} q trình ngẫu nhiên bậc thang L2ad ([a, b] × Ω) cho b |fn (t) − f (t)|2 dt = 0, lim n→∞ (1.11) a theo xác suất Bây ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên tổng quát b f (t)dWt a với f ∈ Lad (Ω, L2 [a, b]) Áp dụng bổ đề (1.4.11) ta chọn dãy {fn (t)} trình ngẫu nhiên bậc thang L2ad ([a, b] × Ω) cho b |fn (t) − f (t)|2 dt = lim n→∞ a Với n, tích phân ngẫu nhiên b I(fn ) = fn (t)dWt a 22 xác định Áp dụng bổ đề (1.4.10) cho f = fn − fm với > C = /2 ta P {|I(fn ) − I(fm )| > } b ≤ |fn (t) − fm (t)| dt > +P (1.12) a Sử dụng lại bất đẳng thức |u + v|2 ≤ 2(|u|2 + |v|2 ) để kiểm tra b |fn (t) − fm (t)|2 dt > a b b |fn (t) − f (t)|2 dt > ⊂ a |fm (t) − f (t)|2 dt > ∪ a , từ dẫn đến b |fn (t) − fm (t)|2 dt > P a b |fn (t) − f (t)| dt > ≤P b a |fm (t) − f (t)|2 dt > +P a Từ phương trình (1.11) ta có b |fn (t) − fm (t)|2 dt > lim P n,m→∞ a = Do tồn N > thỏa mãn b |fn (t) − fm (t)|2 dt > P a < ∀n, m ≥ N (1.13) Từ phương trình (1.12) (1.13) P {|I(fn ) − I(fm )| > } < , ∀n, m ≥ N, điều dãy biễn ngẫu nhiên{I(fn )}∞ n=1 hội tụ theo xác suất Do ta định nghĩa b f (t)dWt = lim I(fn ), a n→∞ theo xác suất (1.14) Dễ dàng kiểm tra giới hạn không phụ thuộc vào cách chọn dãy {fn }∞ n=1 23 Định lý 1.4.12 Giả sử f (t) trình ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện (a), (b) Khi q trình ngẫu nhiên t Xt = a ≤ t ≤ b, f (s)dWs , a martingan địa phương liên tục Chứng minh Ta viết t Xt = b f (s)dWs = a a ≤ t ≤ b, 1[a,t] (s)f (s)dWs , (1.15) a g(s, w) = 1[a,t] (s)f (s, w) ∈ Lad (Ω, L2 [a, b]) với t ∈ [a, b] Với n, xác định trình ngẫu nhiên fn    f (t, w) t |f (s, w)|2 ds ≤ n; a fn (t, w) =   0 Lấy τn xác định    inf{t; trường hợp khác t |f (s, w)|2 ds a τn (w) =   b, > n}, {t; } = ∅; (1.16) {t; } = ∅ Ta có τn thời điểm dừng với n Thay t phương trình (1.15) t ∧ τn ta trình ngẫu nhiên t∧τn b 1[a,t∧τn ] f (s)dWs , f (s)dWs = Xt∧τn = a a ≤ t ≤ b a Chú ý 1[a,t∧τn (w)] (s)f (s, w) = 1[a,t] (s)fn (s, w), Do t∧τn Xt∧τn = t f (s)dWs = a ∀w fn (s)dWs , a ≤ t ≤ b (1.17) a Ta chứng minh bổ đề (1.4.9) fn ∈ L2ad ([a, b] × Ω) Từ suy trình ngẫu nhiên Xt ∧ τn martingale với n 24 Tiếp theo ta chứng minh tính liên tục Với n, lấy fn trình ngẫu nhiên xác định fn (t, w) =    f (t, w)   0 ≤ n; lại Đặt (n) Xt t |f (s, w)|2 ds a t fn (s)dWs , a ≤ t ≤ b = a (n) Xt trình ngẫu nhiên liên tục Đặt b An = |f (t, w)|2 dt ≤ n w, a Dãy An dãy tăng Lấy A = ∪n=1 ∞An Khi P (A) = b |f (t)|2 dt a