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MINISTERE DE L’EDUCATION ET DE LA FORMATION ECOLE DES SCIENCES DE L’EDUCATION
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES Mémoire de fin d’études
Quelques méthodes pratiques pour calculer le groupe de
Galois d’un polynéme de
degré élevé sur le corps Q
Professeur de tuteur : M Bùi Tường Trí
Trang 2AVANT — PROPOS
our des siécles, l'algébre se concentrait seulement aux P équations algébriques L'algébre a commencé par le traité de al-Khowarizmi sur les équations quadratiques L’avancement ensuite étaient les formules de solutions des équations de degré trois et quatre publié par Cardano dans “ Ars magna” (1545) , et le développement de la notation vers 1600 La découverte des formules similaires pour les équations de degré cing a produit beaucoup plus de difficultés Ceci devenait un grand probléme remarquable en algébre : il n’avait pas été résolu jusqu’a Ruffini en 1799 et Abel en 1824 qui ont prouvé qu’ il n’existe pas, en fait, une telle formule
En 1830, Galois a défini, ce que nous appelons a présent, “ le groupe de Galois d'une équation ou d'un polynéme” (considéré comme un groupe des permutations de ses racines ), et il a relié la solvabilité par radicaux d'une équation ( de n'importe quel degré ) a la solvabilité de son groupe de Galois D’od le calcul du groupe de Galois d'un polynéme joue un réle essentiel
Le mémoire s’intéresse a collectionner quelques méthodes pratiques pour calculer le groupe de Galois d'un polynéme de degré élevé sur le corps
@ Aprés quelques notions de base sur I’extension de corps, sur la théorie de
Galois et sur l'extension intégrale đìanneaux, nous prếsentons successivement une méthode pour calculer le groupe de Galois d’un polynéme de degré quatre, celle d'un type de polynéme particulier de degré p (un nombre premier ) , et une méthode pour déterminer la structure de cycles du groupe de Galois d’un polynéme de degré quelconque
Enfin, je tiens 4 remercier Monsieur le professeur Bdi TuGng Tri, aussi que les professeurs du départments de mathématiques, les professeurs du départment francais pour leurs indications indispensables, Je remercie particuliérement mes parents, mes amis pour leurs encouragements ềnormés
Mai 2001
Trang 3TABLE DES MATIERES
Page Chapitre I Notions élémentaires de la théorie de l'extension l
de corps et de la théorie de Galois e Extensions de corps l e Théorie de Galois 5 - Groupe de Galois d’un polynéme de degré 2 sur Q 1] - Groupe de Galois d'un polynéme de degré 3 sur Q 13
e Extensions intégrales d’anneaux 17
Chapitre II Quelques méthodes pratiques pour calculer 19 le groupe de Galois d'un polynédme de degré
élevé sur Q
e Groupe de Galois d'un polynéme de degré 4 19 - Groupe de Galois d’un polynéme bicarré surQ 26
e Groupe de Galois d'un polynéme de degré pe 29
e Détermination de la structure de cycle du groupe de
Galois 32
Trang 4Mémoire de fin d eludes ~ 2001 Professem de lulem : M Bai Fading Sri
Ghapitre | NOTIONS ELEMENTAIRES DE LA THEORIE DES EXTENSIONS DE CORPS ET DE LA THEORIE DE GALOIS
EXTENSIONS DE CORPS:
* Corps de décomposition d’un polyn6me
Défniion II: _ Soi K un corps et E une extension de K Soit Pe K(X], avec deg(P)=neEN' On dit que E est un corps de
décomposition de P sur K si, et seulement si, :
(i) Jae E et (ay,: ,a,) € E” tels que, dans E[X], P(X) =a(X —a,) (X -a,,)
() E = K(œ. -,œ„)
Le corps de décomposition du polynơme Pe€eK|X| est une extension algébrique de degré finide K et se note Dy(P) Nous avons le résultat suivant:
Théoréme 1.2: Soient K un corps, P € K|X] un polynéme degré 21
1 Il existe un corps de décomposition = de P sur K
2 Si 2 et Z" sont deux corps de décomposition de P sur K, alors il existe un K _isomorphisme de â sur 2"
ô Extension sộparable
Définition [.3: Soient X un corps, P € K[X] un polynéme de degré 21 On dit que P est séparable si, et seulement si, P n’a pas de racine multiple dans Dy (P), et inséparable dans le cas contraire
Définition 1.4: Soient K un corps, Pe K[X] Supposons que a soit algébrique sur KX Alors P est le polyndme minimal de a sur K si, et
seulement si, P(X) est unitaire, P(a)=0, et le polyn6me P(X) est
irréductible dans K[X]
Trang 5
Mémoire de fin d eludes ~ 2001 Professeen de lulow + M Bai Siding Tri
Notons irr(a,K,X) le polyndme minimal de a sur K.,
- Son ZL une extension de KX A tout élément a@ de L, avec @ est algébrique sur A On dit que a est séparable ( sur K ) si, et seulement si,
le polynédme minimal irr(a, K,X) est séparable; et que @ est inséparable
( sur K ) dans le cas contraire
- Si L_ est une extension algébrique de K, L est dit une extension séparable de K si, et seulement si, tout Elément de LZ est séparable sur
K
Nous avons immédiatement:
Proposition 1.5: Soit K ¢ LC M une tour d’extensions algébriques Si M est séparable sur KX, alors M est séparable sur LZ et L est séparable sur
K
e Preuve:
Comme LGM et que tout élément de M est séparable sur K, ainsi
L/ K (extension de L sur K ) est séparable
Soit a eM Clairement irr(a,Z,X) divise irr(a,K,X) dans L[X]
Donec puisque irr(a,K,X) est séparable, irr(a,Z,X) lest aussi Ainsi M/L est séparable
Définition 16: Soit K un corps K est appelé un corps parfait si toute extension algébrique de K est séparable sur K
Remarques:
- Si K est uncorps parfait, tout polynéme irréductible de K[X] est
séparable ( En effet, soient P(X) un polynéme irréductible de A[X], L= K(a) ot a est une racine de P(X).K €tant un corps parfait, LZ est
séparable sur K, donc a est séparable sur K, donc irr(a,K,X)= P(X)
unitarisé est séparable)
- Si KX est un corps de caractéristique nulle, alors K est parfait
Trang 6
Mémoire de fin d eludes - 2001 Srofesseen ce tulow : M Bri Faing Fri
* Extension normale
Le fait qu'un polynédme posséde une racine dans une extension ne
suffit pas de garantir qu’il a toutes ses racines dans cette extension, aussi la notion de normalité est présentée ensuite :
Définition I.7: Soient K un corps, ZL une extension algébrique de K On
dit que LZ est une extension normale de K si, et seulement si, 4 chaque fois qu'un polynéme irréductible f(X) de K[X] a une racine dans L,
J (X) a toutes ses racines dans L (c’est-a-dire f(X) est scindé sur L),
Remarques:
- Lecorps A est normal sur lui méme
- Toute cléture algébrique de KX est normale sur K
- Toute extension quadratique (= de degré 2) d’uncorps A est normale
Théoréme 1.8: Soient K un corps,Z une extension de degré fini de K
L/K est normale = L est le corps de décomposition d’un polynéme de
K[X] sur A e Preuve:
[=>] Comme ZL est une extension de degré fini de A, donc notons
L= K(a,,°-:,@s) Pour chaque i de [1,58], notons H1,(X)= r(a;,X, X)
HI;(X) est un polynéme irréductible de K[X] et admet une racine 4,
dans L Et comme L/K est normale, donc [1,(X) est scindé sur L
Prenons P(X) le produit des éléments distincts dans la liste
I1,(X),:-:,T.(X) P(X) € K[X] est scindé sur ZL Notons U l'ensemble des racines de P(X) et D=K(U) le corps de décomposition de P(X) sur K Comme P(X) est scindé sur Z,et Uc L, donc D= K(U)CL
Puisque ,: ,#c apparucnnent à U, L=Ấ(ay.s -,ac)C K(U)= DÐ Ainsi L = D est le corps de décomposition de P(X) sur K
Trang 7Mémoire de fin d eludes ~ 2001 Profesen de lulew : M Bai aing i
On sait qu'il existe un isomorphisme @: K(a)— K(6) tel que:
@(a)=b, @|g=id @ envoie le polynơme P(X) a P(X) lui-méme Donec @ pcut se prolonger en @ :Ấ(đ)(đ;: sđc )—> K(b)(a;, ¬ tel
quc : @ |x(„= Play) =a; ( Ob K(a)(aj, -,a5) et K(b)(a; ,° ,4;, )
sont les corps de décomposition de P(X) sur K )
D'aprés I’hypothése, ona: a € K(a,,° ,ag)
Donec : X(4)(y;: sđe)= Ấ(@y;:::sđe,đ)= K(a),° ,@5)
ll vient: 4€ Ấ(đ,: ,đe) ou encore #@ =r(đ¡›;:-:sđs) est un polynơme de
n variables a coefficients sur K
Alors, 9 (4) =@(r(a@y,°°',4s))=r(@; 5°°*54;,.)=5 est une autre racine de
P(X) donc be K(a,,°::,a5)=L (C.Q.F.D)
Corollaire 1.9: Soient K un corps, L une extension de degré fini de K Si Z est normale et séparable, LZ est donc le corps de décomposition d'un polynơme séparable de A[X] sur K
e Preuve:
On prend la démonstration précédente de [=>] en supposant de plus
que L/ K est sé€parable
Alors pour chaque / €[1,S],I1;(X) =irr(a;,K,X) est séparable Si a
est une racine multiple de P(X), alors comme tous les [1;(X) sont
séparables , il existe @ et f distincts tels que [1;(a)=TII ,;(a)=0 Comme
[I,(X) et [1,(X) sont irréductibles, il vient: HI,(X)= r(a,X,X) et Il ;(X)=irr(a,K,X) Done I1,(X)=I1,(X)=0 : absurde Ainsi P(X)
est séparable
Proposition I.10:_ Soient K un corps, Z une extension de degré fini de K Si L est normale et séparable, L est le corps de décomposition d’un
polynơme irréductible séparable de K[X] sur K e Preuve:
Comme L est une extension de degré fini et séparable de A, il existe
élément primitif ae LZ tel que L=K(a) Posons M(X)=irr(a,K,X)
Trang 8Mémoire de fan d eludes - 2001 Professen ce lulow : M Bai Futng Fé Alors deg(M(X))=[L:K]=n M(X) est un polynéme irréductible de
K(X) eta une racine a dans L, donc, comme L/ K est normale, M(X) cst scinđé sur E : M(X)=(X a) -(X — a„), ó a, =a etles a, EL H vient L= K(a)= K(a,,:-:,a,), donc L=Dy(M) ( puisque L/K est
séparable , alors M(X) est séparable, et a,, -,@,, sont tous distinctes )
Proposition I.11: Soient K un corps, ZL une extension normale de K, Pour tout corps intermédiaire F (le corps F telque KC FCL), L est
une extension normale de F e Preuve:
Soit f(X) un polynéme irréductible de F[X] ayant une racine ue L L/K est algébrique donc u_ est algébrique sur XK Notons g(X)=irr(u,K,X)e K[X] g(X) a une racine uw dans L et L/K est normale, donc g(X) est scindé sur L Or JA € F”:ƒ(X)= Àirr(u, F, X) Etcomme g(X)e A[X|c F[X] et que g(u)=0, irr(u, F, X)| g(X) dans F{|X| Done f(X)|g(X) dans F[X] Donc f(X)|g(X) dans LỊX| Donec f(X) est, lui aussi, scindé sur L Ainsi, ZL est une extension normale de F
THEORIE DE GALOIS
Maintenant, nous donnons quelques caractérisations, toutes utiles, d'une extension galoisienne finie Puis on s’intéresse aux é€quations algébriques : le groupe de Galois du corps des racines peut alors étre représenté par un groupe de permutations ( des racines )
Définition 1.12: Soit K un corps On dit queZ est une extension galoisienne de A si, et seulement si, ZL est une extension algébrique, normale et séparable de K On dit que LZ est une extension galoisienne
finie de K si, et seulement si, ZL est une extension galoisienne et finie de K
Définition 1.13: Soient K un corps, ZL une extension normale et
séparable de K.On note Gal(L/ K) l'ensemble des K _automorphismes
Trang 9Mémoire de fin d eludes - 2001 Professean de luteus : M Bai Feimg Fri
du corps L Gal(L/K) est un groupe pour la loi o de composition des applications On l’appelle le groupe de Galois de L sur K
Remarque:
Si le corps A est parfait, une extension normale L de K est
automatiquement séparable Donc, on peut supprimer I’hypothése “ZL soit
une extension séparable de K
Définition 1.14 Soient K un corps parfait, f(X) un polynédme de A[X] Soit LZ le corps de décomposition du polyndme f(X) sur K.Donc L/K est une extension galoisienne Gal(L/ K), le groupe de Galois de L sur
K est appelé le groupe de Galois du polyné6me f(X) sur K
Théoréme 1.15: G=Gal(L/K), le groupe de Galois du polynéme
P(X) € K[X] de la définition 1.14 est un groupe fini d’ordre |G) =[L: K] e Preuve:
Notons par 4@),-::,@,, l'ensemble des racines du polyn6dme P(X), alors L = K(ay,: ,@,,) ll existe donc 6 e L: L= K@) et il existe R(X) un polynéme irréductible de X|X] qui admet 8 pour une racine Comme le corps KX est parfait, A(X) n’admet pas de racine multiple dans L Supposons que đeg(đ (X))= m et que Ư =ÕƯy, -,Є soient les racines de R(X) dans L Remarquons que Ơ,#Ð,,Vi# j et toutes les 6, appartiennent à L Nous avons : K(@;)= K@;)= L= K(a,, -,a,,)
Considérons !'application : 9; : K@)— K@,)
a-l n-l
Lap! Lap ;'
i=0 i=0
Trang 10Mémoire de fin d eludes - 2004 Professen de lulowr : M Bai Feimg Sr
En effet, il est évident que G>(*) Soit gEG, donc @ est un K _automorphisme de L, donc @ envolie le polynơme A, (X) a lui méme Donc @(9) =8 ;,ó j €[1,#] Alors 9 =@ ; e (*)
Théoréme 1.16: Soient K un corps parfait, L le corps de décomposition
du polyndme P(X) de K[X], et soit G = Gal(L/ K) le groupe de Galois
de L sur K Alors, si M est un corps intermédiaire: Kc MCL Nous
avons:
(1) L’ensemble G, des M_automorphismes forme un sous-groupe de G Et G, =Gal(L/M)
(2) Soit Ớy' un sous-groupe de G
Alors, M'= {a e Lí@(œ)=œ,Vọ@ € G¡} est un sous-corps de L qui contient K, et G;'=Gal(L/ M')
(3) Le degré de l’'extension M ducorps K,[M: K], estl'indice du
sous-groupe G, dans G
e Preuve:
(1)- H est évident que G, est un sous-ensemble de Gal(L/ K)
Comme V9,9, €G,,VaEeM,@ °9,)(@)=9(,(4))=9(a)=a, donc
@ s@¡ €G, En plus Gal(L/ K) est un groupe fini, donc G, est un sous- groupe de Gal(L/K) Par ailleurs, L est une extension normale de M, donc G, est le groupe de Galois Gal(L/M)
(2)- H est évident que M' est un sous-corps de L
Comme Vae K,Vo €G,'CG, donc 9(a) =a
Alors,ae M' D'ot M'd K
D'après la définition de M' et G,', ona: G,;'c Gal(L/ M')
On va montrer que |Gal(L/ M') <|G,"
En effet, soit |G,=h, ona :G,'= {g, =0 s0¿,s'''s@¿, }C Ớ Considérons
ø£(X)=(X-ø,,(@)) -(X-Tọ,, (@)), avec deg(g(X))= kh, et g(X) a des
Trang 11Mémoire de fin d eludes - 200/ SProfesseen de lulews : M Bed Fiting Sr
propriétés suivantes : 6 est une racine de g(X) et g(X)e M'[X] ( en effet, les coefficients de g(X) sont les polynédmes symétriques principaux
Ơis'''sỞg sur les variables @,,(Ð), -„@¿, (9) mais Vvọ,, Dj, (o,)=0,,Vje[l1,A4], donc o, € M' ouencore g(X)e M'[X] )
En plus, soit Ry(X)e M'[X] un polynéme irréductible sur M'[X] qui
admet 6 pour une racine Alors, R(X) est le polynéme de degré le plus
petit qui admet 6 pour une racine Donc deg(P (X)) < deg(g(X))
On en déduit: [L:M'| = deg( P, (X)) =|Gal(L/ M') Ou encore
G(L/ M') <S deg(g(X)) = h Ainsi G,'= Gal(L/ M')
(3)- Ona: |Gal(L/ M)|=[L: M|=deg(R (X))=h Notons k I'indice de G, dans G, n=[L: K]=/G) Alors, d’aprés le théoréme de
Lagrange: n=hAk Puisque [L: K]=|L:M]|M: A], Il vient: ([M:K]=k (C.Q.F.D)
On va considérer ici quelques notations nécessaires :
Soient K un corps, P(X)e K[X] un polynéme unitaire de degré
n22.Soit L= D,(P) le corps de décomposition de P sur K On note
Œ;„-''„Œ„ la liste des racines ( chacune répétée un nombre de fois égale a sa multiplicité ) de P dans L: P(X)=[]}.,(X—a,) dans L[X] et
L = K(œ; -,œ„) On note Ðiscr(P) le discriminant de P:
2
Discr(P) = The 7) = (1-9? I@, -a;) = (—U““-1⁄2n P'(œ,)
i<j i#j i
Quitte 4 réindexer, on peut supposer quc Œ¡,:::„œ,„ soient la liste des
racines distinctes de P(X) dans L Par conséquent l'ensemble des racines de P(X) dans L est R={a,,°:-,4,}={a,,°",a,}, et
L =K(Gœ, -,œ,)
Rappelons que l’on note G le groupe de Galois de L sur K et que:
G = Gal(L/ K) est appelé le groupe de Galois du polyn6me P(X) sur K
Trang 12
»Mémotre de fin d eludes ~ 2001 Professor de (đớn: : M Bai Faing Sri
Proposition 1.17: Chaque élément g € G induit une permutation de R, et g est complétement déterminé par cette permutation G est isomorphe a un sous-groupe de S,,
e Preuve:
- Sot geG Ona g(R)c R:g induit donc une application de R dans R.Comme g est bijective et R est fini, g induit une permutation de R
( autrement dit: le groupe G agit sur R )
- On dispose donc de l'application p:G— S, quia g associe l’élément
p(g) de S, défini par : Vie[l,r], p(g)i) est lindice j tel que g(a;)=a, (autrement dit Vie [1,7], 8(@;) =Ap(pyi))- Il est clair que p est un homomorphisme de groupes Comme L=K(q,,-::,@,), pest injecul (autrement dit : le groupe G agit fidélement surR ) Donc, G est
isomorphe au sous-groupe p(G) de §,
Théoréme 1.18: On reprend les notations précédentes en supposant de
plus que carart(K)#2 et que P(X) est séparable sur KX On note d(P)
l'élément de #` défini par đ(P) = [], ,(œ; -œ,)
Alors Vg € G,g(d(P))=e(p(g))d(P)
e Preuve:
Faisons opérer S, sur K[X,, -,X,,] de la fagon suivante:
Vợ €S„z,VP e K|[Ấ¡, -,X„],(G.PMXk; -sX„)= P(Xg@ps vs Xe (mạ): Soit I' le polynơme II,.,(X: =X,)€K|X¡. -,ÄX„]
Soit f = (ww) (ó # < vy) une transposition
Alors t['=£.[],.,(X, -X,)=]l,.;ứŒ.X; —t.X,)
ler cas: ¡ £ {w,Đ}, alors £X; =£X,= X;-X;
Zème cas: pour p< w,f.X„,—f.X„= X,—X,cLf.X,T—t.Xy,=X,—X„ 3eme cas: pour p>v,t.X,—-£.X,=X,-X, ct X,-t.X, =X,-X, 4ème cas: pour u<p<v,t.X,-t.X,=-(X,—-X,) et
1X, —t.X, =-(X, -X,)
Trang 13
_Mbmoire de fin d eludes - 200) Professor cde tulew : M Bai Suing (254
Seme cas: pouri=u et j=v alors £.X,—f.X,=-(X,;- X;)
Il a done exactement 2(v—-u—1)+1 multiplications par —1, provenant dés
4é¢me et 5é¢me cas Donc : t.[ =-I Ainsi, notant J l'ensemble des
transpositions : VreT 4.0 =e(Ol Or S, opére sur AK[X,, -,X,], la
Signature € est un homomorphisme de $„ dans ({-l,l},x), e(L 7
engendre §, Done : Vse$„,sl'=e(s)l Par conséquent
Vg eG,p(g)I =e(p(g)l
» Par suite, prenant la valeur en (@,,: ,a,) des deux membres :
Vg €G, g(d(P))=e(p(g))d(P)
» Le sous-groupe Gal(L/ K(d(P)))={g €G/ g(d(P))=d(P)} de G est donc ker(e © p), égal (puisque ker(e)= A, ) a Gp '(A,)
Proposition 1.19: On reprend les notations précédentes, en supposant de plus que caract(K)#2 et que P(X) est séparable sur KX On note
discr(P) \e discriminant de P, d(P)=[],.;@; —a;)
Alors: p(G)CA, > Discr(P) est un carré dans X (ou A, désigne le groupe alterné (permutations paires) )
e Preuve:
Comme discr(P)=(d(P)), il vient: điser(P)e K”? <> d(P)e K’ Comme d(P)#0, il vient : diser(P)e K* <2 d(P)eK L/K tant
galoisienne finie, ona: Inv(G)= K
Donc:d(P)e K <> (Vg € G, g(d(P)) = d(P)) Or ona su que: Vg € G, g(d(P))=€(p(g))d(P) ( théorème I.I7' )Donc :
discr(P) e K”? © (Vg e G,e(p(ø)) = 1) © p(G) c ker(e) = A,
ơ(i)-ø(j)
vế,
homomorphisme de groupes, appelé la signature )
( ot l’application € : S, > {-1,l},0 > Hie; est un
Trang 14
Mémotre de fin d eludes - 2001 Proferser de lider: AL Bắ Siting ư
Théorème I20_ On reprend les notations précédentes en supposant de
plus que P(X) est séparable sur K Alors P(X) est irréductible dans K|X] si, et seulement si, G agit transitivement sur R
e Preuve:
Rappelons que l'on dit que l’opération G sur R est une action
transitive, ou que G agit transitivement sur & si, et seulement si:
V(x, y)€ R°,3g EG: ge(x)=y
- Supposons que P(X) soit irréductible
Il vient Vi e[l,a], P(X) =irr(a,,K,X)
Soit (i, j) e|1,n|Ÿ a; et a, ont le méme polynédme minimal P(X),
donc il existe o € Gal(L/ K) tel que a; =a(a;), od L est la cloture
algébrique de K, d’ ob il existe geGal(L/K) tel que œ, = g(œ,) Ainsi G agit transitivement sur R
- Supposons que G agisse transitivement sur R Soit f(X) un facteur
irréductible de P(X)dans K{[X] Comme P(X) est scindé sur L, donc J(X) Vest aussi Soit a une racine de f(X) dans L Alors ae R
Comme G agit transitivement sur R, Vie[l,n],3g, e G:a,; = g,(a)
vient: f(a;)= f(g;(4)) = ø;(ƒ(œ))= g,(0) = 9 Toute racine de P est racine de f, donc P(X) divise f(X) dans L[X], donc P(X) divise
f(X) dans A[X] I vient: P(X) est irréductible dans K[X]
Nous considérons maintenant deux résultats élémentaires sur le
groupe de Galois d'un polynéme de degré 2 ,3 sur Q
* Polynéme de degré 2
Théoréme 1.21 : Soient K un corps avec caract(K)#2, L une
extension de degré 2 de K, [L:K]=2 Alors L=K(6), avec
87=AeK\K’, L/K est galoisienne, et le groupe de Galois
G =Gal(L/ K) est {id;,0} ob) ơ : L—> L estl`application définie par : V(x, y)e K,ø(x+ yỗ)= x- pơ
Trang 15
Mémoire de fin d eludes - 2001 Srofesseen de luleur : M Bai Faimg Fri e Preuve: Pour tout xe L, ona: [K(x): K] divise [L: K]=2, donc est égale a 1 ou 2 Or [K(x): K]=1@xeK.Donc XEL\K @[A(x): K]=20 L= K(x) Fixons ué L\ K, notons: M(X)=irr(u,K,X)=X?+bX +c, (b,c)e K’ bạ (b°-ác) Tho Tai - 4 ‘
Posons A=#ð?-ác, et 8 =2u+b On a: 57 =67-—4c=A Alors :
Ae K,&€L\K,87 =A lvient: L= K(u)=K(8)
Nous avons : A¢ K* Sinon il existe te K:t? =A, alors dans L :
t? =8?, soit 8 € {-t,t} Donec 8 € K, doncL = K($)= K, absurde
Prenons P(X)=X?-AeK[X] €tant irréductible sur K et 5,-5 ses
deux racines distinctes dans L Ona: L=K(6)=K(6,-8) est le corps de décomposition de P(X) sur K Donc: L est une extension
algébrique normale séparable de K Il en déduit Z/ K est galoisienne D'ó |Gai(L/ K)|=|L: K|= 2
Comme (l,ỗ) est une base de ZL comme K _espace vectoriel Nous avons Vg € Gal(L/ K),V(x,y)¢€ K? alors g(x+dy)=x+ ped) Or (g(5))? = g(67) =87, donc g(5)=8 ou g(5)=-8 Ainsi, Gal(L/ K) = {id,,6} (C.Q.F.D) Remarquons que nous avons le méme résultat si K = Q Exemple 1:
Soit P(X)= X?-d , ov de Z\ {0,1}, d sans facteur carré P(X) est un polynéme irréductible de degré 2 sur Q
Trang 16Mémoire de fin d eludes - 200/ Professor de lulew : M Bai Suing Ai
Exemple 2 :
Soit P(X) = X? + aX +b e QLX] Notons A =a? — 4b Alors
P(X) est séparable si, et seulement si, A#0
- Side @?, P(X) estscindé dans Q et le corps de décomposition de P(X), L, estégal a Q, alors [L: Q]=1 Donec Galg(P(X)) = {id}
Si Ag Q’, alors P(X) est irréductible dans Q[X], notant 6 une racine de P(X) et L=@Q(6) Alors, LZ est une extension galoisienne de
Q,et [L: Q]=2 Ainsi, Galg(P(X)) = Gai(L ( ©) = {idr ,ø} ó ơ :Lk— L; x+ yỗ › x- yd, pour tout(x, y)e Q?
* Polynéme de degré 3
Théoréme 1.22: Soit KX un corps de caract ¢ {2,3}
Soient P(X)=X*°+ pX+q de K[X] un polynéme irréductible, L le
corps de décomposition de P(X) sur K Discr( P)= -4pÌ - 27q? Notons: @ une racine de P(X) et Gal(L/ K)=G
- Si Discr( P)e K’, alors :L = K(a) est de degré 3 sur K, G est un groupe cyclique et G= A;
- Si Discr( P)¢ K* alors L = K(,/Discr(P),a) est de degré 6 sur K,
et G= S83
e Preuve:
Nous avons : P'(X)=3X? + p#0 Donc P(X) est séparable sur K ( puisque caract(K)#3) Notons @,,0@2,@, trois racines distinctes de
P(X), d’ot L= K(a,,a,,a,) est le corps de décomposition P(X) sur
K
Discr(P) = ((Œ¡ -0œ;)(Œ¡ -œ)(œ; -œx))° =—4p”—274? Donc,E
est une extension galoisienne finie de K , d'ó|L : X]=|G| divise 3!= 6 Or [L: K] est divisible par
[A(a,): KX] =deg(irr(a,,X,X))=deg(P(X))=3, donc [L:K]=3 ou [L: K]=6
Trang 17
Mémosre de fin d eludes - 2001 Professea de lider: AL Bai hing Sid
Notons d(P)=(a, -a,)\a,;-a;)(a,-a,)EeL Comme P(X) est
iréductible, G agit transitivement sur {@,,0@,,a@,} On en déduit p(G) est un sous-groupe transitif de §, ol p:G—> S,,g> p(g), p(g)i) est lindice j tel que: g(a;)=a,;, Vie [1,3]
( En effet, Vi, j € {1,2,3},Jg €G@ : g(a;) =a; donc
P(g) = j > Jo, = p(g)e S3:0, (i) =f )
Comme les seuls groupes transitifs de S$, sont A, et S,, on a deux cas :
1 d(P)e K => Discr(P)e K’ , alors p(G) c A;, donc p(G) = A,
ou G= A, et [L: K]=3 (donc L= K(a,))
2 đ(P)e K => Discr(P)¢ K*, alors G= S, et [L: K]=6 (donc L#K(a,)) done K(a,)/ XK n'est pas normale
Nous allons montrer successivement: đ(P) £ K(a,); 2 = K(d(P),a,) On a dans LỊX| : P'(X)=(X-gœ;)(X-=œ;)+(X =œ¡X2X - (œ; +œa)) = P'(œ¡)=(œ¡ =œ;)(œ¡ =œy) = đ(P) = (œ;-dœx)P'(œ¡) D`après le théorème de Bezout: 3U(X).V(X)e KỊ|X|: P'(X)U(X)+ P(X)V(X)= I => P'(a,)U(a,)=1 = A,-Q, =d(P)U(a,;)
Par ailleurs : a, +a, =5, —-a, =-a@, Donc: a, == (d(PIU(@)-a), as = >(-d(P)U(@,)~a), Par suite d(P)¢K(a,) (sinon a, et a, € K(a,), donc L= K(a,), absurde )
Comme le polynéme X? — Diser(P)e K[X]c¢ K(a,)[X] et annule d(P), doncirr(d(P),K(a,),X) divise X? — Diser(P)
Done irr(d(P),K(a,),X) = X? — Discr(P)
Trang 18Mémoire de fin d eludes ~ 2001 Professor de ludew : M Bai Samg Sri Exemple 3 : Soi P(X)= x” —2€Q[X] (ou P(X)= Xì — p, p est un nombre premier ), P(X) est irréductible sur Q; Diser( P) = -108 ¢ Q? Notons G = Gale (P(X))> G=S§; Plus précisement : Les racines de P(X) sont : œ; =2; œ; -(32ẰM:« (= 2 ha ._ =1+i43 ì 2 Posons j/ “—— alors @) = jŒ¡‡Œ3 = / “Gy
Le corps de décomposition de P(X) sur Q est
L=Q(@,, jo,, j’a,) = Q@a,,j)
Car L est une extension galoisienne de Q(a,), et Q(a,) est une extension galoisienne de Q Or :
e [L:Q@,)]=2(= deg(X? + X +1), qui est le polynơme
minimal de j sur Q(a,) ) Et (1, /) est une base de L comme Qa, )_espace vectoriel
se |Ơ©(œ,):©]= 3 et (1,œ,œ2) est une base de Q(a,) comme
Q_espace vectoriel
Done (1,0, ,0,7, j, joy, Jr,”) est une base de L comme Q_espace
vectoriel Done chaque élément o de Gal(L/@) est entiérement déterminé par les valeurs de ø (œ¡),„ Ø (j)
Trang 19Mémoire de fin d eludes - 2001 Professeun de tule: AL Bai ting zv
Autre méthode :
Nous avons : © c ©(32) c ©(3/2,¡v/108) Comme {¿ : ©(Ä/2)J= 2
alors G, est le groupe de Galois de P(X) sur ©(Ÿ/2) d'ordre 2
Donc ti = {iđ,0¡} ó @y : L—> L, iV108 › -V108 et Pile) = id
Donc @, = (23), donc G, = {id,(23)}
Puisque (Q(3/2): Q] = 2, l’indice de G, dans G est 3
On en déduit: G = G, Uo,G, Uo2G, 01 6; €G\G,, ¿| =jđ Prenonso,:L—>L_ ; ơy:L>L a) >a, A) E>Œ+ Ona: 0, =(12)€G,; 0, =(13) €G, 6G, = {(123),(12)}; 6 2G, = {(13),(132)}; On en résulte: G = {id,(13),(132), (123), (12),(23)} Exemple 4:
Soit P(X) =X? -3X +1e Q[X] Puisque P(X) n’a pas de racine sur Q, donc P(X) est irréductible sur Q Soit L le corps de décomposition de P(X) sur Q Diser(P)=81=97 € Q?
Donec Gal(L/@Q) = A; etL = Q(x,) 0 x; est une racine de P(X)
Exemple 5:
Soit P(X)= A al De —X -—1Le Q[X] Posons:
ø(X)= P(X =3)“ P(X —1)= XỶ —4X +2.( appliquer la
transformation de TSCHIRNHAUS) g(X) étant irréductible d’aprés le
critére d’Eisentein et Gale (P(X)) = Gale (G(X))
Nous avons Discer(g) = -4(-4)” - 272)? = 148 £ ©? Donc le corps de
décomposition de g(X) sur Q est L = Q(,/ Discr(g),a) od a est une racine de g(X) et Gal(L/Q)=S;
Trang 20
Mémoire de fin d oledes - 2001 Professern de ludows : M Bai Sung Fri
ION D`
En vue de présenter une méthode de calculer le groupe de Galois d'un polynédme basée sur la structure de cycle dans Galg(P), nous citons
quelques notions nécessaires sur l’extension intégrale d'un anneau
On suppose ici que tout anneau soit commutatif et unitaire,
Définition L23: Soit R un anneau, l’anneau A est appelé extension de R si R est un sous-anneau de A (en particulier, R contient l'unité de A)
Définition 1.24: Soit A une extension de l’'anneau R, un élément a de
A est dit entier sur R si, et seulement si, il existe un polynéme unitaire f(x)e R[X] tel que f(a)=0
Définition 1.25: [ Extension intégrale ]|_L’extension A de R est dite
intégrale si, et seulement si, tout €lément de A est entier sur R
Définition 1.26; Soit A une extension de l’anneau R, l'ensemble R des éléments de A qui sont entiers sur # forme un sous-anneau de A contenant R R s'appelle la cléture intégrale de R dans A
_ R est dit intégralement clos dans A si, et seulement si, R=R _ On dit que A est entier sur R si, et seulement si, R=A
_Enfin, R est dit intégralement clos si, et seulement si, R est un
anneau intégre et R est intégralement clos dans son corps des fractions Définition 1.27: Soient R un anneau intègre, K son corps des
fractions, et soit E une extension algébrique de K Un élément de E est dit entier algébrique dans E s'il est entier sur #
Remarques:
L'ensemble des éléments entiers algébriques dans E forme une
extension de l’'anneau R ( appelé clơture intégrale de R dans E ),
Rappelons que |’idéal premier d'un anneau R est unidéal p# R tel que: si abe p entraine aepvbep
Trang 21Mémoire de fin d eludes - 2001 Professor de lutews : M Bae Futimg Fé
Définition 1.28: Soient R un anneau, A une extension de R Si B est un idéal premier de A, alors B {| R est un idéal premier de R Un idéal premier B de A est dit “mis sur” un idéal premier p deR si
BfìR=p
Proposition 1.29: Soit A une extension intégrale de R Alors à chaque
idéal premier p de R, il existe un idéal premier B de A mis sur p
Généralement, pour tout idéal v de A vérifiant: of RC p, il existe un idéal premier B de A tel queB contientv et B mis sur p
Proposition I.30: Soient A une extension intégrale de R, B un idéal premier de A et mis sur p Alors B est un idéal maximal de A si, et seulement si, p est un idéal maximal de R,
Proposition 1.31: Soit A une extension intégrale de R, et soient B,Q
deux idéaux premiers de A mis sur p Si B CQ alors B =Q
Trang 22
Mémoire de fin d eludes ~ 2004 Profeson de tudowr : M Bie Tiing Hi
Ghapitre 11 QUELQUES METHODES PRATIQUES POUR CALCULER LE GROUPE DE GALOIS D'UN POLYNOME DE DEGRE ELEVE SUR LECORPS Q
Dans ce chapitre, nous voudrions présenter quelques méthodes pour calculer le groupe de Galois d'un polynéme irréductible sur le corps Q
ROUPE DE "UN
Comme le groupe de Galois d'un polynéme irréductible de degré 4 est isomorphe a un sous-groupe transitif de $4, nous déterminons d’abord THU-VIEN ường 0+2+-H9 3u Pram t2 2Ư~-Ci-vi les sous-groupes transitís de ,Š¿ - Te
Les sous-groupes transilifs de S, sont:
Sy; Ags V = {id,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} ; les sous-groupes cycliques
d’ordre 4 chacun engendré par un 4_cycle et est isomorphe a
Z4 = {id,(1324),(12)(34),(1423)} ; les sous-groupes diédraux d'ordre 8 chacun engendré par V et un 4_cycle et est isomorphe a
D, = {id (1324), (12)(34), (1423), (34), (12), (13)(24), (1423)}
Soit K un corps de caractéristique différente de 2
Soit P(X) = X* -—a,X* +a,X? — ayX +a¿ un polynơme irréductible de
degré 4 de Q(X)
- Si char(K)=0 alors P(X) est séparable sur Ấ
- Si char(K)= p#2 alors P(X) estinséparable K si, et seulement si, P(X)e K[X?]
Donc, P(X) est séparable sur K Notons f,,f,,f3,¢4 les racines de P(X)
Posons L = K(t,,t,,3,ts) le corps de décomposition de P(X) sur K,
Alors dans LỊX|: P(X)=(X~-đ)(X -f;¿)(X -— ty )(X — ty)
2) = byl, + byt,
Posons : 4z; = ffy +fyf¿ eL c(Z)=(Z-—-z¡XZ - z;)(Z - š)
#3 = lịfa + f;fa
Ona: c(Z)= Z° -a;Z? + (a,a, —4as)Z —(đIˆ44 + a,” — 4a,a,) c(Z) estappelé la cubique résolvante de P(X)
Trang 23Mémoire de fir d eludes - 2001 Professean de lulow : M Bui Fiing Fi
Notons F = K(z,,Z2,23) le corps de décomposition de ¢(Z) sur K On
voit facilement que P(X) et c(Z) ont le méme discriminant:
D=]|l1tứ, -t) =]l]Œ;-— tj)’ =—4p'r+ p’q* +18 pqr —4q° -27r’
i<j i<j
Od D=-dysq =d\dy —4a, Và r= (8 4, +a" — 4a a5)
Nous avons : £ est une extension galoisienne finie de K
Notons G = Gal(L/ K) le groupe de Galois de P(X) sur K Théoréme II.1 :_ Avec les notions précédentes, Nous avons :
- G=S4 << c(Z) est irréductible sur K et D¢ KỲ - Œz A4¿ © c(Z) estiréductible sur K et Ðe KỶ -G=V Sc(Z) estscindé sur Ấ,
- G=,< c(Z) admet exactement une racine dans K et P(X) n'est pas irréductible sur K (VD)
Trang 24Mémoire de fin d eludes - 2001 Srofesseen de lulow : M Bai Fatmg Ari i - 12 « G=4,=>đf\p”'W)=p mabe na => G'=Ay, ° 6x =6fpˆ'0)=pˆ)5|ø1= 2 =1 = Œ'!z (idr} G=1,26NpW)=1,2\6|= 2-4-2 >G2Z,
° G= D2 GNE =e =Iah= Ta? >G@ezZ,
Supposons que ¢(Z) soit irréductible sur KX Alors : e Oubien De K’; G'= A, et G= Ag
¢ Oubien D¢ K’; G'=S, et G= Sq Si c(Z) est scindé sur K alors:
F=Ko F° =K°’ @F°=G@GNp'V)=G>Gcp'(V) Comme I’ unique sous-groupe de G qui soit transtif est V lui-méme, il
vient : c(Z) est scindé sur K si, et seulement si, G= o'(V) (G=V) Si e(Z) posséde une seule racine dans K alors G' est d’ordre 2, donc G'»
n'est pas isomorphe a un sous-groupe de A,, donc D¢ K đ
K (JD ) est une extension normale de degré 2 de X Donc:
Gal(K(/D/ K)=G/Gal(L/ K(VD))=G0 p7"(Aq)
© Si G=Z, alors Gp ™'(44)= Z,, donc Gf) p7'(Aq) n'est pas un
sous-groupe transitif de S,, donc P(X) n'est pas irréductible sur K (VD) e Si G= D, alors Gf) p (4,)z p1, donc Gf) p (44) est un sous- groupe transitif de S,,donc P(X) est irréductible sur X (JD )
(C.Q.F.D)
Trang 25- Mdmoire de fin d eludes ~ 200 Professen de lelews : ae A Bai Teing Fé
Exemple 6:
Soit f(X)= X44+4X7 +26 QLX]
Ona: f est irréductible d'aprés le critére d’ Eisenstein Puisque char(Q) = 0, alors f est séparable sur Q Les racines de f :
X12 =ty-2+V2,X3, =+ij2+/2
La cubique résolvante de ƒ :
ø(X)= XỶ -4X? -8X +32=(X -4)(X? -8) Les racines de g(X) :a, =4;a, = v8: œ =8
Trang 26Mémoire de fin d eludes - 2001 Professor de tudew : M Bai Faimg Fri
Exemple 7:
Soit f(X) = X*-10X? +4 QLX] Nous montrons d’abord que f est
irréductible sur Q En effet: comme f n’a pas de racine sur Q, donc f n`a pas de facteur linéaire ni facteur cubique I] est facile a vérifier qu'il
n’existe pas les entiers a,b,c,d tels que: f(X)=(X? + aX +b) X? +cX +d) donc f est bien irréductible sur Q La cubique résolvante de ƒ : ø(X)= XỶ +10XỶ —16X - 160 = (X +10)(X +4)(X -4) qui est scindé sur Q Alors GŒđ/e(ƒ(X))zE X12 =1 (V14 + V6) Plus précisement, les racinesde f : : X34= +(14 ~ 6)
Posons L = Q(X,, X,,X3,X4) le corps de décomposition de f(X) sur
Q Alors L = Q(V6,V14) > Q(/6) > Le polynơme irréductible de 6 sur Q est X? -6 donc [Q(V6): Q] =2 et (1,6) est une base de Q(V/6) comme @_espace vectoriel
Le polynéme irréductible dev14 sur Q(V6) est X? -14, donc
(©(x/6,v14) : ©(x/6)| =2 et (1,V14) est une base de (6,14) comme (./6)_espace vectoriel Donc (1, ¥6,V14,/614) est une base de L comme Q_espace vectoriel Pour tout g € Gal(L/@), ona : (e(V6)) -6 = 0 = g(v6) € (v6,-V6} (e(v14) -14=0= g(V14) € {V14,-V 14}
Ainsi Gal( L/ Q) = {id, g,, 23,23} et l’effet des éléments de Gal(L/Q)
Trang 27Mémoire de fin d eludes - 2001 Professeen ce lulow : M Bai Fiting Sri
On peut démontrer que : g,; = (14)(23), 2g) = (13)(24) , 2, =(12)(34) Done : Gal(L/ ©) = {id,(12)(34), (13)(24), (14)(23)}
Exemple 8 :
Soi f(X)=X *43NX3-3X -2 En utilisant les mémes arguments que ceux de I'exemple 7, on peut montrer que f est irréductible sur Q La cubique résolvante de f : g(X)= x)-x-9 qui est irréductible sur
© ( puisque g n‘a pas de racine sur Q)
Discr( f) = Discr(g) =—2183 g ©?.Donc Gale( f)= Sq
Exemple 9 ;
Soit ƒ(X)= XỈ+4XỶ +6X? +12X +21 ©|X| D'une facons
analogue a l’exemple 7: f est irréductible sur Q La cubique résolvante
de f est g(X) =X? -—6X? -36X +24 qui est irréductible sur Q (
đ'après le critère d’Eisenstein, p=3 )
Discr(ƒ) = Discr(g) = 331776 = 576? e ©? Done, Gafec ( ƒ) = Ag Exemple 10:
Soit f(X)=X* -2e Q[X] f est irréductible sur Q d’aprés le
critére d’ Eisenstein La cubique résolvante de f :
ø(X)= X ”+8X=X (X + 2iV2)(X —2i/2) admet exactement une racine dans Q D = Diser( f) = Discr(g) =—2048 On a VD =32iV2, donc
Q(VD) = Q(iV2) Puisque /2 , V4 n’appartiennent pas 4 Q(iV2), on peut vérifier que f est irréductible sur Qiv2) Alors Galg( f)= Dy
Plus généralement, nous pouvons trouver le groupe de Galois de
f = X*- pe |X], od p est un nombre premier fixe
Ona: f est irréductible sur Q d’aprés le critére d’ Eisenstein
e Posons L le corps de décomposition de f(X) sur Q
e Notons “w= 4/ p , alors les 4 racines de f(X) dans € sont: u,iu,—u,-iu
Donec L = Q(u,iu,—u,—iu) = Q(i,u) est une extension galoisienne de Q
Trang 28
Mémoire de fin d eludes - 2001 Professe de lulow : M Bai Fading Ari
S(X) = irr(u, Q, X) donc (Q(x) : Q] = 4 (1,u,u?,u>) est une base de
Q(u) comme Q_espace vectoriel
2(X) = irr(i, Q(u), X) = X* +1 donc [L : Q(u)| = 2 Et (1,i) est une base
de L comme (u)_espace vectoriel
Alors [L: Q]=8 et (1,u,u?,u°,i,iu,iu?,iu®) est une base de L comme Q_ espace vectoriel Pour tout X € L: X=Xạ+ Xiw+ X;u? + X;HẺ + Xi + Xsiu + Xeiu® + Xz iu" ó X; e,¡ = 0, 7 Done Vg € Gal(L/@), g est complétement déterminé par les valeurs g(t), g(u)
Comme (g(i))? +1=0 => g(i) € {i,-d} et
(e(u))* — p=0=> g(u) € {u,iu,—u,—inu}
Alors les 8 éléments de Gal(L/@) sont figurés par le tableau ci-dessous: g id, 8) #8 Ø 84 8s 86 #1 | gi) i i i i a | -Í = —Í
| glu) u iu —u | —iu u iu =M | =ỈM
Trang 29Mémoire de fin d eludes - 2001 Srofessem de lulown : M Bai Fuing Fi
e Nous considérons ci-dessous un cas particulier : le groupe de
Galois du polynéme bicarré: X* + bX? +c
Soit g(X)= X* +bX* +e un polynơme de Q[X] Notons E le corps
de décomposition de g(X), et ta,+B les racines de g(X) dans E
Alors, E = Q(a,B) et b=-(a? +B”), e =a7p?
Nous définissons : P(Y)=¥7+b¥ +c ó Y= XŸ, ~b+ Vb? -4c
2
On constate que @ B 2 = sont deux racines de P(Y)
- Si P(Y) est réductible sur Q, done g(X) lest aussi
- Si P(Y) est irréductible sur Q, donc ses racines a’, B ? n' appartiennent
pas 4 Q D’od g(X) ne peut pas avoir de facteur linéaire dans Q et si
réductible, g(X) doit avoir la forme :
g(X) = X'+bX+c=(X?+X +v)(X? —wX +)
Par |'équation des coefficients, on a : ø(w—w)=0 Pourtant, si =0 il
vient : q(X)=(X? +w)(X? +w)
Ce qui donne : P(Y)=(y+w)(y + w), absurde
Alors on a: # Ú, = w Nous pouvons résumer :
1) Si Vb? —4c €@, alors P(Y) et g(X) sont réductibles
2) Si Vb? —4e e(,), alors g(X) est réductible si, et seulement si, g(X) a la forme : g(X)= XỶ“+bX?+c=(X°+wX +vw)(X -wX +w), ó v? =c
et 2v—u? =b
Maintenant, nous supposons que g(X) soit irréductible sur Q g(X) est un polyn6me séparable On a vu que G=Gal(E/@), le groupe de Galois de g(X) sur Q, est de cardinal 4,8,12, ou 24 Pour plus
Trang 30Mémoire de fin d eludes -~ 2004 Professeenr de tulew : M Bai Saimg Ard
commode, nous identifions G avec son image isomorphe dans Sy Si o €G et o(a)=f6, alors o(-a)=-f Les possibilités des éléments de
G sont citées ci-dessous of nous donnons l’action sur a et B, aussi qu’une description représentant des produits des tranpositions, supposons
que les racines soient en ordre a, B,-a,-B l)o,;:arra,prB (1) 2) ơy :œŒ >œ, > =B (24) 3) ơa :œ -> ~œ, > Ð (13) 4)ơ¿y:œ+->-d,B>-B (1324) 5) ơa:œ -> B,B >œ (12)(34) 6) ơ, :ơ > B,B › -œ (1234) = (14)(13)(12) 7T) ơ; :Œ > -,B ->œ (1432) = (12)(13)(14) 8) ơg:œŒ >-j,B rR -a (14)(23)
Remarquons que tout Ø; (¿ € {2,,3,4,5,8}) est d`ordre 2 et ø,„Øz sont
đ'ordre 4 Donc {Øy, -,Øg} ©st isomorphe à un sous-groupe điếdral
đ`ordre 8, noté п, et donc |Ớ|= 4,ou 8 - Si|0l=4,ona: Œ=Z¿ ou GzŸE - Si|G|l=8,ona: Œzп
La racine carrée du discriminant de g(X) est:
đ(4) = (œ — B)(œ +ø)(œ + B)(B +œ)(B + B)(-œ + B) =—4aB (@œ” - B”)?
el puisque (a? —B Tả est invariant par tout o; (a? =B 2)? appartient à ©
Donec d(q) € Q si, et seulement si, aB € Q ou Vc € Q Nous avons deux
cas suivants:
1) Si ve €Q, alors G est isomorphe a un sous-groupe de A, C’est-a-
dire G ne contient que des permutations paires et donc :
G= {0 1.5 4,05,08} =),
Trang 31Mébmoire de fin d eludes - 2001 Professeur de lulowr : Ad Bai Suing Sri 2) Si Ve € {Q, alors G contient des permutaions paires et impaires, Et Gal( E | Q(d(q))) = {5 € G/ g(d(q)) = d(q)} =G1) Ay et Q(d(q)) = QWe) Pour le deuxiéme cas, nous avons aussi deux possibilités : Œ=4ou Œ=8
Sĩ Œ =4, alors G contient o, et au moins une permutation impaire Ơ;,Ơy,Ø, €L Ơ+ Si G n'a pas d’élément d'ordre 4, nous pouvons éliminer O,¢ et o7 On peut vérifier que l'ensemble {0,,0,,0,,0,}, ó
k#l1 et k,l € {3,4,5,8} , n’agit pas transitivement sur les racines de q(X)
De méme, l'ensemble {06 ,03,0,,0,}, 00 A #/ et k,l € {2,4,5,8}, n'agit
pas transitivement sur les racines de g(X) Alors G doit posséder un
élément d’ordre 4 Et G= {5 1,0 6,06 =04,0,6° =07} = Z 4
Pour déterminer le cas G = Z, par les coefficients de g(X), observons que dans ce cas Gal(E | Q(d(q))) =|E :©(⁄e)]= 2, donc g(X) posséde
un facteur quadratique irréductible sur Q(Vc) Donc,
g(X) = X44+bX +0=(X? +uX +v)(X? —uX +)
od r(X) = X? + uX + est irréductible sur Q(Vc)
Puisque Gal(E /Q(Vc))= {o,,04}, donc o, doit envoyer une racine
de r(X) 4a l'autre racine de r(X), alors les racines de r(X)sont ta ou
+ Dans tous deux cas, # = 0 D'ó :
q(X)= X'+bX+c=(X?+v)(X?+w)
Il vient: P(Y) est réductble sur Qc ), c’est-a-dire :
Vb? -4c € Q(Vc) ou encore ve? — ác) e ©
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Mémoire de fin d eludes ~ 2001 Proferseur cde lulews : M Bari Sutong Sri En bref, nous avons le résultat suivant : 1 Soient q@(X)= XỶ+bX+e un polynơme irréductible de ©|X|Ị, Œ le groupe de Galois de g(X) On a: 1) Si Ve © Q, alors G=V 2) Si Ve ¢ Q et Je(b - 4e) € Q, alors G=Z, et p(Y)=¥?+b¥ +c est réductible sur Q(vc) 3) Si Ve €q) et \c(b? —4c) ¢ Q, alors G= Dy et p(Y)=¥7+b¥ +c est irréductible sur Q(Vc)
GROUPE DE GALOIS D’UN POLYNOME DE DEGRE pe 7
Le théoréme II.3 affirme que le groupe de Galois d'un type de
polynơme de degré pe estisomorphe a S,
Proposition I].2: (a) Soit ne, m>2 Alors S, est engendré par {(12),(12 -)}
(b) Soit p un nombre premier Si H , un sous-groupe de § ,, contient une transposition et un p_cycle, alors H=S,
e Preuve:
(a) Notons G le sous-groupe de S, engendré par (12) et
c =(12 -m) Par une récurrence, nous avons:
Vi e[0,ø — 2|„(¿ + 1, + 2)= cÍs(12)se !}ceG
Vk ce|2,n ~ 1|,(k.& + l)s (1&)s (k,& + 1) = (1,& + Ð);
I vient: Vr e|2,"ø|,(Ir)eGŒ;
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Mémoire de fin d eludes - 2001 Professeen de tulew : AM Bai Fuimg Sri
Ou encore : pour tout 1 <i < j, alors (ÿ)= (17)s(1j)s(12), donc G
contient toutes les transpostions, Ainsi G = S,
(b) # contient une transposition t=(ab) etun p_cycle c
Or il existe ue S, tel que u(1)=a va u(2)= 6 Quitte a remplacer H par u~'c How, qui est encore un sous-groupe de Sp, et contient
ua eoftou=(12) et uo! £ =(12)
seo quiestun p_cycle, on peut supposer
Notante = (1x2 -x,),( Sj €[2, p]: x; = 2) Quitte 4 remplacer ¢ par c7!
( qui estun p_cycle et appartient à HH), on peut supposer x; =2.Or1l
©XISLC Đ € S, tel que: v(1) =1,v(2)=2 et Vie [3, p], v(i) = x; Quitte a
remplacer H par v_' o Hoy, qui est encore un sous-groupe de ,$ pret
contient p~! o(12)ov =(12), et vb ocop quiestle p_cycle (12 : p) ),
on peut supposer que £ = (12) et e = (12:-: p)
Nous sommes ainsi ramenés a : le sous-groupe H de § p contient (12) et
c=(12 - p) D’ou, d’aprés (a), H=S, (C.Q.F.D) Théoréme II.3: Soient p un nombre premier, f(X) € Q[X] un polynéme irréductible de degré p, D un corps de décomposition de
f(X) Si f(X) posséde exactement deux racines non réelles, alors :
Gal(D/@)=S,
e Preuve :
Nous faisons une récurrence sur p:
La propriété est claire si p= 2.Supposons p23 Soit r une racine de f(X), done p= deg( f(X)) = [Q(r): Q] divise [D : Q] =|Gal(D/ Q) donc Gal(D/@Q) posséde un élément d’ordre p Or les seuls éléments d’ordre p de S$, sontles p_cycles Done p(Gal(D/Q)) contient un
p_cycle Comme f(X) a deux racines non réelles Alors la conjugaison: — =(z > z) € Gal(D/ Q).( En effet, si & est un Q_automorphisme de €
donc, puisque D est une extension normale de Q, & est un
Trang 34Mémoire de fin d eludes - 2001 Professor de laden: AM Bai Fading Fri
Q_automorphisme de D.)
Or p(&) est une transposition ( car Š fixe les p—2 racines réelles de f et échange les 2 racines non réelles ) donc p(Gal(D/Q)) contient une transposition done p(Gal(D/@Q))=S,
(C.Q.F.D)
Exemple 11 : Soit ƒ(X)= XỶŠ—4X +2
f est irréductible d’aprés le critére d’ Eisenstein,
1
f'(X)= 5X*—4 admet 2 racines réelles a,-a od a = (=) étudions le table de variation de f(X) X —œ —o œŒ +œ /ƒ(4X) + 0 : 0 + 2+ 16 +00 16 —œ Z-—a a 5
Od f(-a)=2+ "Pa >0; ƒ@)=2~=ơ <0
Donc, f posséde exactement deux racines non réelles Donc Gale ( f) = Ss
Par des raisonnements analogues, on peut démontrer que les groupes de
Galois des polynémes : f,(X)= x5 -4x? -2; /ø(X)= XỶŸ—6X +3 sur
sont isomorphes a Ss
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Mémoire de fin d eludes ~ 2001 Professor de tudow : M Bai Suing Tré
DETERMINATION DE LA STRUCTURE DE CYCLE DU GROUPE DE GALOIS
Le théoréme II.9 ci-dessous permet de déterminer la structure de cycle du
groupe de Galois Ce théoréme, avec l'aide du calcul de discriminant, est parfois suffisant 4 déterminer le groupe de Galois
Lemme _II.4: Soient §,,83,:::,B, les idéaux premiers d'un anneau commutatif Si un idéal p quelconque est contenu dans B, UB, U: UB,, ilexiste j €[I,r] tel que p est contenu dans B,
e Preuve:
Nous pouvons supposer que p ne soit pas contenu dans une réunion d’un propre sous-ensemble de{ B,,B2, -,B,} Alors, B; CB, od i¥ j Si PN(),.;Bi) ZB; Vj, on prend 4, c(pfđ1;;;B:))` B; , Alors a=đ¡ +a; + -+a, 6p \(B¡ U -UB,) absurde II vient : il existe j tel
que: pf](1;„;B;)c B; ¡ dồ pB¡ -B;_¡B;„¡ -By C Bÿ, ainsi un des
Psis-**sB;—¡s B jV¡š :sB„ doit Etre contenu dans B; Done pc B,
Proposition: 11.5 Soient R un anneau intégralement clos, K son corps des fractions Soient E une extension galoisienne finie de K, A la clơture intégrale de R dans £ Alors deux idéaux premiers quelconques B,@ de A mis sur le méme idéal premier p de R sont conjugués dans
E ( c’est-a-dire : il existe o € Gal(E/K): Q=a(B) ) e Preuve:
Notons G = Gal(E/ K) le groupe de Galois Si a € E est entier sur R,
alors tout élément conjugué o(a) de a est entier sur R Posons: N(a)= []o(a):
ơcŒ
Il est évident que N(a) est enuer sur # (1)
Comme G estun groupe, donc: 6,6, €G,Vo;,0, €G
Alors : o(N(a))= N(a),Vo eG
Donec, N(a)e K (2)
Trang 36Puisque R est intégralement clos, donc de (1), (2 ) nous avons: N(a)e R
Sia €Q, étant idp € G et Q un idéal premier, nous obtenons: N(a)EeN
Alors N(aj)EQONRCB (car BN R=Q!M/R), ce qui implique :
do eG:o(ajyeB
D'ot : Qc Lo(P) D’aprés le lemme II.4: il existe o EG: Qca(f)
aceG
Et la proposition 1.31 nous donne Q=o(f) (C.Q.F.D)
On étudie désormais le cas ob R= £, et le corps des fractions de Z est Q Proposition 11.6 Soit £ une extension galoisienne finie de Qet A la cléture intégrale de Z dans E Il existe une base de E sur Q qui est aussi une base de A sur £ e Preuve: On va montrer que toute base B,,::-,B, de A sur £ est aussi base de E sur © En effet, lI est clair que B,,°::,B, €£ n - Si ¥g,B; =0; ot g, € Q Notons m un multiple commun des đ¡ đ„, i=l alors mq, € Z,Vie{l, -,a} et > ma,B; = 0 puisque B,, -,B, est une i=l
base de A surZ.Donc mq; =0,Vie{1, :,” }, il vient:
q; = 0, pour tout / On en déduit que B,, -,B,, est un systé¢me indépendant de Q
- Prenons 4 € E Puisque E est une extension galoisienne finie de Q, il
existe donc le polynédme f(x) = a,x* + ‘ie ++ ay €Q[LX],a, #0 qui admet A pour une racine
Notons re Z’ un multiple commun des dénominateurs des a;,i= 1k
Ainsi, A est une racine du polynéme :
h(x) = of (x) = b,x" +b, sx" + + Do € ZX); b, = ta;,i=1,k
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D'ot b, A est une racine du polynéme :
g(x) =x" +b, x8! + by bp x’? + + gd, | e XI XỊ
I] en résulte que pour tout élément A € E, il existe me Z tel que mA est entier sur Z ,c’est-a-dire: mA € A
Alors, mh = Š`nB,.n, e# donc A= yt B,
i=l in ™
Ce qui signifie que B,,-:-,B, engendrent £ (C.Q.F.D)
Proposition I1.7:;_ Soient p un nombre premier, m un entier 21 Si F est un corps fini de cardinal P” donc F est le corps de décomposition du polynéme x? —x sur £
e Preuve:
Si |F|= p”, alors le groupe multiplicatif des éléments non nuls de F est
d’ordre p" —1 et donc tout élément non nul we F satisfait „?ˆ~! =1 F: Alors toutélément non nul øe £ est racine du polynéme: x” ~'-1,,
donc est racine du polynơme x(x? ¬~ lr)= x?" -xe #,IÄ|
Comme Ø e #Ƒ est une racine du polynơme x?`—x,ce polynơme possède donc p" racines disinctes dans F Ainsi F est le corps de décomposition du polynơme x?” — x sur F, (C.Q.F.D)
Lemme II.8: Soient E une extension galoisienne finie de dimension n de ©, A lacléture intégrale de Z dans E, et soit p un nombre premier
Les B,, -,B, sont idéaux premiers de A et mis sur p& Alors : () 4/B;#4/B;,Vi,j;
(2) &Arsn, ov |E|= go
(3) E= 4/B, estune extension galoisienne finie de Z p?
(4) Gal(E/Z,) est cyclique
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Mémoire de fin d eludes - 2001 Professeen de lide: M Bắ Sting Fri
e Prcuvc:
Comme p# est un idéal maximal de Z , donc, par la proposition 1.30, nous avons que B =f, est un idéal maximal de A, d’otd E=A/B est un corps
Puisque B ()£ = p#, donc £, = £/ pf est un sous-corps de E (car Zc Aet p£ CB ), Onendéduit char(E) = p
D’aprés la proposition II.5, il existe un automorphisme o € Gal( E / @) tel gue: of; =B (et cA=A) donc A/B; = A/B
Les B,,é=1,r sont les idéaux maximaux de A, alors:
B, +B; =A,Vi, je {l, -,r} (car B; +B, est un idéal de A contenant B;,6 ;)
Alors, par le théoréme chinois, la projection I; :A—> A/B; ¡induit l'épimorphisme @ : A> A/B, x -x A/B, od kero =B8,1 -NB,
Le théoréme de Noether nous donne :
r
A/ kero = A/ By x -x AB, SE Comme pZ c kerg, il vient: pA ckerg
D’aprés la proposition II.6, nous avons A= Z"( car E est une extension galoisienne finie de dimension a de ©)
Par suite: A/pA=(Z/pH)" est de dimension finie et de cardinal p” Alors, A/kero est fini ( car pAckerg ) donc E est fini de cardinal
|E| = p*avec ke En plus,{E) =|A/kerg|<|A/pA|= p”, il vient kr <n D’aprés la proposition II.7, E estle corps de décomposition du polynéme
Trang 39Comme X?’-Xe £ 1X! admet p racines dans E, donc # , est un corps
fixe de ít) Gal(E!Ÿ „) II en résulte : +) = Gal(E/Z,)
Ainsi Gal(E/Z p) est cyclique (C.Q.F.D)
Théorème II.9: Soient ø c #| X| un polynơme unitaire irréductible, p un nombre premier, q l'image de g dans # pl|X] ( le polynơme obtenu en
remplacant chaque coefficient de g par sa classe modulo p) et q est le produit des polynémes unitaires irréducuibles q,,°:-,q, € £ LX)
Si q;.°"*,g, sont les polynGmes distincts de degré respectivement d,,:-:,d,, alors le groupe de Galois de g content le produit des cycles deux a deux disjoints de longeurs d,,-°-,d,
e Preuve:
Solent @,,°°:,@,, les racines de g, comme q est un polynéme unitaire,
donc Va;,i= ln est entier sur £ Posons E = Q(a,, :,a,,) le corps de
décomposition de g Les Bq› -›B„„Ê et &,r,w sont đéfinis dans le
lemme II.8 Posons B = ¿ et la projection @:A>E=A/B, area
Puisque: @=(X ơy) -(X-ơ„) appartient 4 E[X], on a que : {4 '''đ, =g=(X-a1): (X-am) appartenant a E[X] ( car ZL Gk,
done qe Z,|X], alors q€ E[X] )
D’aprés le lemme II.8, E est une extension galoisienne sur Z p> donc
Gi>°**sG, Sont les polynGmes séparables et n'ont pas de racine multiple dans E En plus, 4,>°°°5q, sont les polynémes distincts et n'ont pas de
racine Commune dans E 7
Posons G = Gal(E/Q),G = Gal(E/Z,), H ={o €G;oB =B } le
stabilisateur de B dans G
D'aprés la proposition II.5, les orbites de B sont B,, -,B,
On en déduit: [G: H]=r et |H|="2>k Pourtouto €H : o(B)=B et
r
ơ (44) = 44, ( puisque B; +B; = A, Vi, fj € {1, -,r} ), o induit un
automorphisme o de A/B = E tel que o(a)=o(a), Vac E
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Nous avons donc défini un homomorphisme : 6: H > GŒ;ơ ->ơ
Si o =l, alors œ¡ =ơ(Œ¿)=Ø(@Œ,) eLơ(Œ;)=œ,yVỉ ( car Œ,; :yŒ„„ SOnt disuncts ) D'ó @ est injectif Alors nous avons: IH|<|G\=k I] vient: |H|=k et > est un isomorphisme ( méme n=A&r) En particulier, tout
tT EG est engendré par un ơ e H,
Nous pouvons identifier o € H avec une permutation de @Œ¡,::-„Œ„„ et
Ơ€Œ avec une permutation de Œ1s°**sOE mm Puisque đau sont
distincts , alors o,o ont la méme structure de cycle Soit t le générateur de G Si q, est de degré d=d, et admet des racines B,, -,B,, alors 1 permute les B,,: ,B, Par ailleurs T ne peut pas permuter tout propre sous-groupe, l’exemple {Pq,-„,ÐB,}, de {Ps-›B¿} Sinon,
f =(X— By) (X—B,) et g =(X— Bri) (X — Ba) sont fixes part, et
f,g sont fixés par G; f,ge£,[X], ct f divise le polynéme irréductible g;, absurde On en déduit, la restriction de + sur {B,, -,By} est un d_cycle Done,t est le produit des cycles deux a deux disjoints
dont les longeurs sont les degrés d,, -,d, des polynédmes q,,° ,g, Et
comme T est induit parte H, donct ett ont la méme structure de cycle
C’est-a-dire t est le produit des cycles deux 4 deux disjoints de degré
yo
Ces remarques ci-dessous nous permettent de choisir le nombre premier p
convenable :
Le résultat du théor¢me précédent nous donne un cas particulier :
s'il existe p un nombre premier tel que gq, l'image de q dans Z,[X], est irréductible, alors d’aprés le théoréme II.9, le groupe de Galois de gq
contient un cycle de longeur p
Sile nombre premier p divise le coefficient le plus grand de q, alors le degré de q, l'image de q dans f |X], est inférieur a a
Le nombre premier p ne peut pas diviser le discriminant de gq Sinon l'image du discriminant dans £ est zéro Mais un polynơme irréductible sur f, n'a pas de racine multiple, donc n’a pas de discriminant zéro