s ~ề — BỘGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO |
Trang 2Lời cảm ơn
Trước hết, em xin gởi lời cảm ơn chân thành tới thầy Lê Nam, giảng viên khoa
Vật lý trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh —-người thấy da tan tam
giúp đỡ, hướng dẫn nhiệt tình em thực hiện luận văn này
Em cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành tới qúy thấy cô khoa Vật lý, đặc biệt
tới thay Lữ Thành Trung, cũng như quý thấy cô trường Đại Học Sư Phạm thành
phó Hè Chí Minh đã dạy bảo, hướng dẫn, động viên em trong suốt thời gian em được học tập tại trường và trong cả qúa trình em làm luận văn Cuối cùng, xin gởi lời cảm ơn tới các bạn khoa Vật lý đã giúp đỡ mình thực hiện luận văn này
Trang 3Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
LỜI NÓI ĐẦU
Trong dao động cơ học, không phải tất cả tất cả các cơ hệ đều dao động
tuyến tính hay có thể phân tích thành các thành phần đơn giản Nhưng đối với
chúng ta những người học và làm Vật lý, chúng ta thường bỏ qua những yếu tố phức tạp của bài toán để có lời giải đơn giản, chính xác Nhưng những lời giải như vậy có giá trị rất ít trong cuộc sống Trong thực tế, các hệ dao động tuyến
tính xảy ra rất ít trong khi các hệ phi tuyến lại xảy ra nhiều gấp bội Rõ ràng,
chúng ta vẫn thấy đâu đó những con lắc dao động với biên độ góc lớn hay có những lò xo mà lực hồi phục không phải là hàm tuyến tính của biến dạng
Chính vì vậy, việc nghiên cứu các hệ phi tuyến nói chung và dao động phi
tuyến nói riêng có ý nghiã vô cùng quan trọng đặc biệt là trong thực tế kĩ
thuật Vì khi nghiên cứu về nó, người ta có thể giải thích, dự đoán và phòng tránh các “tai nạn lao động” cũng như có thể ứng dụng để tăng hiệu suất làm việc cụa máy móc, thiết bị Hơn nữa, khi tìm hiểu các hệ dao động phi tuyến, ta càng hiểu rõ hơn về hệ dao động tuyến tính cũng như các hạn chế của
chúng
Trong lĩnh vực vật lý, có rất nhiều phép tính (vi phân ,tích phân ) không thể giải chính xác mà chỉ có thể giải gần đúng Không phải tất cả các bài toán đều
có lời giải đẹp và chính xác Trong luận văn , em chỉ trình bày một số phương
pháp gần đúng để giải phương trình vi phân phi tuyến mô tả các hệ dao động
phi tuyến tính có đặc trưng riêng và hạn chế ở một bậc tự do
Luận văn gồm 2 phan:
Phần I:DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH
Phần II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG TRONG HỆ ĐAO ĐỘNG
PHI TUYẾN (phần này gồm § chương)
Chương II: PHƯƠNG PHÁP MẶT PHẲNG PHA
Chương III: PHƯƠNG PHÁP NHIÊU LOẠN
Chương IV: PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG LIÊN TIẾP Chương V: PHƯƠNG PHÁP RITZ
Trang 4Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
Chương VI: KHAI TRIỂN CHUỖI FOURIER VÀ DAO ĐỘNG PHI TUYẾN
Đo trình độ và thời gian có hạn nên em chỉ xin trình những nội dung trên Dù
rất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi các sai sót, em rất mong nhận được sự
chỉ bảo phê bình và đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn
Trang 5Một số phương pháp gân đúng trong cơ lí thuyết
PHAN I: DAO DONG TUYEN TINH
CHUONG I: DAO DONG THANG CUA DIEM
I DAO DONG DIEU HÒA ĐƠN GIẢN
Dao động: là quá trình chuyển động hoặc biến đổi trạng thái được lặp đi lặp
lại theo thời gian ở mức độ này hay mức độ khác
Chúng ta bị bao vây bởi các dao động: Đó là chiếc thuyển nhấp nhô tại
chỗ neo, đó là dây đàn Ghi ta dung động rồi dao động của các phần tử khí truyền cảm giác về âm thanh, dao động của các nguyên tử chất rắn truyền cảm
giác về nhiệt độ Dao động không chỉ có trong các vật thể vật chất như dây
đàn Violon mà còn có ở ánh sáng, sóng vô tuyến, tia X và tia Gamma Mặc dù các dao động được xét trong những lĩnh vực khác nhau (cơ học, vô tuyến, âm
học vv ) thì khác nhau về nguồn gốc vật lý nhưng các quy luật cơ bản của các dao động đó trong mọi trường hợp lại là một Bởi vậy, tầm quan trọng của việc
nghiên cứu các đao động cơ học thông thường không chỉ là các dao động này
rất thường xảy ra trong kĩ thuật mà còn là vì có thể sử dụng các kết quả nghiên cứu đao động cơ học để tìm hiểu những hiện tượng đao đông trong các lĩnh vực
khác
Phương trình dao động
Xét vật M chuyển động thẳng dưới tác dụng của lực hổi phục hướng về tâm O cố định và tỉ lệ với khoảng cách đến tâm đó Trên trục Ox: F, = -kx (1.1) Theo định luật I] Newton: F M mx = kx 2 Trong đó X = ‘+ là gia tốc của vật, Hình 1.1 Phương trình động lực học của vật là: mX + kx = 0 (1.2) hay T+ g xo, m Đặt: w„Ì = - m (1.3) thì phương trình động lực học của vật là: X+w,X= 0 (1.4)
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.4) có dạng:
Giáo viên hướng dẫn: Lê Nam Trang 3
Trang 6Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
x=A, sinw,t+A, cosw,t (1.5) Đặt A, = A cosq A> =A sing Thi ta sé dude: x = A(sinw,t.cos@ + cos w,t.sing ) Hay x = Asin(w,t + @) (1.6) Trong đó các hằng số tích phân A và @ được xác định từ điểu kiện ban đầu
Chuyển động của vật mà li độ x biến đổi theo thời gian theo quy luật dạng
sin (1.6) gọi là dao động điều hoà x= Asin(w,t +)
A :1a li d6 cut đại hay biên độ dao động
(wt+ @) : pha của dao động tại thời điểm t
ọ : pha ban đầu, đó là pha của dao động ở thời điểm t=0 Vận tốc của vật trong chuyền động này là: v= = Aw, cos(w,t +) (1.7) Tir (1.6) ta thấy khi pha thay đổi một lượng bằng 2z thì hàm sin trở về giá trị ban đầu: x(t)= Asin(w,t +) = A sin[(w,t + @) + 2x] = A sin[w,(t + “xi x(t+ = 0 ụ Như vậy, cử sau một khoảng thời gian: T, = = (1.8a) 6 thì li độ trở về giá trị cũ
Do đó li độ x là một hàm tuần hoàn theo thời gian với chu kì T-là khoảng thời
gian tương ứng với một đao động toàn phần Số dao động ƒ được thực hiện
trong một đơn vị thời gian gọi là tần số của dao động
-1_wW
“> (1.8b)
Như vậy, khi một vật chuyển động trên đường thẳng chịu tác dụng của lực kéo về F (bất kế nguồn gốc lực) có độ lớn tỉ lệ thuận với li dộ x thì vật thực hiện
đao động cơ học điều hoà
Vật dao động cùng với vật tác dụng lực hợp thành một hệ gọi là hệ dao động
ví dụ như: Vật nặng và lò xo gắn vào vật là một hệ dao động; con lắc đơn và
Trái đất cũng là một hệ dao động Những dao động xảy ra dưới tác dụng chỉ
của nội lực gọi là dao động tự do Các dao động tự do không có lực cản có tính
chất sau:
[ Biên độ và pha ban dau phụ thuộc vào điều kiện ban đâu
2 Tân số (tấn số góc ) va chu kì T của đao động không phụ thuộc vào điều kiện
ban đầu và được goi là tần số riêng, chu kì riêng của hệ dao động
Trang 7Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
ll DAO DONG TAT DAN (DAO DONG TU DO CO LUC CAN TI LE VOI VAN TOC)
Dao động trong thế giới thực thường bị tắt dẫn, nghĩa là chuyển động dan dan ngừng lại (tắt), gây ra do sự mắt mất năng lượng (cơ năng biển thành nhiệt
năng) dưới tác dụng của lực ma sát và lực cản của môi trường)
Giả sử lực cán tí lệ với vận tộc R= -uv (1.1a)
(dau trừ chỉ lực cản # ngược chiêu với vận tộc ý ) Vật dao động dưởi tác dụng của lực hổi phục F=-kx Tacó: R=-pv= ae dt Phương định luật [I Newton: mX = —px — kx 5 Bigs Be ay a (1.10) Dat: thn tig a= (1.11) m m Phương trình vi phân chuyển động sẽ là: % + 2bx + w)x =0 (1.12) Phương trình dac trung cua (1.12)la: n” +2bn + w} = 0 (1.13a) Có nghiệm: n,, =-b+,/b?-w? (1.13b) 1 Khi w„ >b (lực cản bé so với lực hồi phục) Đặt: w= J/b` -w} (1.14) Suy ra: : n,, =-b+iw T (nghiệm phức) =A.c-l Do đó, nghiệm phương , sees trình (1.12) có dạng: x=e “(A, sinwt + A, coswt) hay: X= Áe “ sin(wt + @} (1.15)
Trong đó :AÁ và @ được xác
Trang 8Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
Khoảng thời gian T bằng chu kỷ của hàm sin(wt + @), tức là: 2z 2z
w vw? -U`
được gọi là chu kỳ của các đao động tắt dẫn là khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp x = Ú và đang giảm dẫn (hoặc đang tăng dẫn ) Ta có: (1.16) › _ =T(+2 = T-*_ Àns _- ) ow Ñ!: w w¿—b° kh ˆ LẺ 2 2W; +* We Suy ra : T >TT,: khi có lực cản chu kỳ dao động tăng lên Tuy nhiên, khi b<< k (lực cản nhỏ) thì Tx~T,,
Do đó, thực tế thì lực cản nho( không ảnh hưởng tới chu kỳ dao động, nhưng sẽ làm dao động tắt dần vì biên độ giảm dẫn theo hàm mũ
+ Khi 4(w,
Nghiệm của phương trình đặc trưng (1 l 3a) có dạng :
n,;=-b+q với ạ ` =” - wỷ
Do đó nhiệm phương trình (1,12) mô tả quy luật của chuyển động sẽ là: x.=e*”"(A,e'Ở ©Ấ ,eˆŸÝ)
4,, 4, là 2 hằng số bắt kỳ, phụ thuộc vào điều kiện ban đâu
Trang 9Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
III DAO DONG CUGNG BUC -CONG HUONG
Gia sử vật dao động dưới tác dụng của lực hồi phục F và lực kích động biến đổi tuần hoàn Q có dạng :
Q=Q,sinOt (1.18)
Trong đó @ được gọi là tần số của lực kích động
Lực kích động như vậy được gọi là lực kích động điều hòa Còn dao động
xảy ra dưới tác dụng của lực kích động được gọi là dao động cưỡng bức
1 Các dao động cưỡng bức khi không có lực cản
Xét chuyển động của điểm mà ngoài lực phục hỗi F, vật chịu thêm tác dụng của lực kích động Q = Q, sinOt 2 Phương trình vi phân chuyển động có dạng : m as =-kx+Q, sinQt dt’ Hay: X+w.x =P, sinOt (1.19) trong đó : p, - 2 m
Phương trình (1.19) được gọi là phương trình vi phân của các dao động
cưỡng bức của điểm khi không có lực cắn
Nghiệm tổng quát của (1.19) là tổng nghiệm của phương trình vi phân thuần
nhất x, và một nghiệm riêng x, của phương trình (1.19) a, Giả sử O z w, Nghiệm riêng x„ của (1.19) được tìm dưới dạng : x, = BsinQt Thay x, va dao hàm bậc hai cla né vao(1.19) , ta được: —O’Bsin Ot + w}Bsin Ot = P, sỉn Ot P, Vì đẳng thức đúng với mọi t , cho nên: B=——*—- wa=Q 2 Do đó nghiệm riêng sẽ la:x_ = P ess! Q = Ot 0 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.19) là: x=x,+x,=Asin(w,t+ @) + _ sin Qt ts (1.20) Từ (1.20), ta thấy rằng dao động của vật trong trường hợp này gồm hai thành phần : L.Dao động với biên độ A ( phụ thuộc vào điễu kiện ban đầu) và tấn số riêng Mẹ
2.Dao động với biên độ B (không phụ thuộc vào điểu kiện ban đâu) và với tân
số Q gọi là dao động cưỡng bức
Trang 10Một số phương phap gan dingtrongedlithuyét — ` =—~
b, Gid s®Q = w, Nghĩa là tần số của dao động cưỡng bức bằng tin số của dao động riêng tuyến tính của hệ Khi đó, hệ sẽ xảy ra hiện tượng cộng hưởng
~ là hiện tượng biên độ dao động tăng lên không ngừng cùng với thời gian
Thật vậy, khi Q@= w„, thì nghiệm (1.20) mất hết ý nghĩa vật lý vì li độ dao
động sẽ tăng lên vô hạn Ta trở lại (1.19), lúc này nghiệm riêng có dạng là: x, = Ctcos Mt
Suy ra: X„ = -2COsin ©t - Q?Ctcos©t
Thay các biểu thư trên vào (1.19) và chú ý Q=w„, ta dude; C= 5
Kết quả là dao động cưỡng bức khi không có lực cản là :
=P,
x, =o tcost (1.21)
Từ (1.21),ta thấy biên độ tăng tỉ lệ với thời gian (Hình 1.14)
,
Hình I.4: Dao động cưỡng bức khi không có lực cắn
Thực tế, vì không thể tránh được các lực cản nên các dao động sẽ tất khá
nhanh, hệ chỉ còn dao động cưỡng bức
2 Dao động cưỡng bức khi có lực cản
Xét chuyển động của điểm chịu tác dụng của các lực: lực hổi phục F=-kx,
lực cản # = ¿+ và lực kích độngQ = Q, sinQt
Khi đó, phương trình vi phân của chuyển động sẽ là:
mX = —kx—px+Q, sin Qt
Hay: m+ 2bx+w?x =P, sinQtt (1.22)
Nghiệm tổng quát của phương trìng vi phân thuần nhất của (1.22) cho bởi (1.15)(khi w,>b) 1a: x, = Ae™ sin(wt + @)
Nghiệm riêng của (1.22) được tim c6 dang: x, = Csin(Ot - œ)
Trang 11—-Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
Tính đạo hàm bậc hai, ta được: X„ = —CQỶ sin(Ot - œ)
Thay các giá trị này vào (1.22), ta được:
C(w‡ — Qˆ)sỉn(Ot — a) + 2bQC cos(Ot — a) = P, sin[(Qt — œ) + ơ]
C(w} - Q)sin(Ot - œ)+ 2bQC cos(Ot — œ) = P,[sin(Ot— œ)€osœ + + cos(Qt — a)sina] Hay: Để đẳng thức thoả mãn với mọi t thì: C(w¿ -Q?)=P, cosơ và: 2bQC = P, sina Suy ra: C= P (1.23a) J(w¿—@ˆ)' +4b°Q' 2b i tgœ =—————~ 1.23b va go „.-Q ( ) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.22) (khi w„ >b) là: x=x, +x, = Ae ™ sin(wt + ) + Csin(Ot— œ) (1.24) Trong đó 4,ø được xác dinh ti diéu kién ban dau Cdn C,a due xac dinh từ (1.23)
Đại lượng ø trong (1.24) đặc trưng cho độ lệch pha của dao động cường bức với pha của lực kích động ,
Như vậy, hệ dao động phức tạp, gồm các dao động riêng(x,) và dao động
cưỡng bức (x„)_đó là những dao động điều hòa không tắt dẩn với biên độ C
được xác định từ hệ thức (1.23a)
Biên độ C của dao động cưỡng bức phụ thuộc vào tẩn số @ của ngoại lực
theo công thức (1.23a) Biên độ C đạt cực đại khi mẫu số ở vế phải (1.23a) đạt
cực tiểu, nghĩa là:
lw? ~ 2?) + 4b?Q7)] = 0 Q(Q? — w? +2b*)=0
Suyra: Q=,/wi-2b’ =Q,, : gọi là tần số cộng hưởng
Biên độ cực đại ứng với tần số cộng hưởng là :
C ios P, = P,
”" 2bjwj-b? 2W
Trong đó : w = ,|W} — b là tần số của dao động tự do tắt dẫn
Néu luc ma sat nhé b<<w, thi: Q., = w= w, khi d6 d6 léch pha a@ = =
Vẽ đồ đường biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ C và độ lệch pha z theo tần
số góc Q của ngoại lực thì ứng với mỗi giá trị của b , có một đồ thị khác nhau
Trang 12Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
nhưng có dạng giống nhau(Hình I.5).Ta xét một số giá trị đặc biệt của Q:
-KhiQO2z0 (Ozconr=(O,) thì từ(1.23) suy Ty dc xảy” Tan sản, (Xo
Ụ
được gọi là độ giãn tĩnh của vật dưới tác dụng của lực @, -ví dụ như, khi vật đao động trên lò xo thì xe là độ dãn của lò xo dưới tác dụng của lực Q, )
-Khi Q0,C ~0 vàtgươ —> Ù => øư —>» ø hing + - oa | {fh EES ee Hinh 1.5 -
a, Đường biểu diễn sự phụ b, Đường biểu điễn sự phụ thuộc
thuộc của biên độ dao động của đo lệch pha vào tẩn số góc @
cưỡng bức C vào tấn số góc Q của ngoại lực khicó lực cản nhỏ
của ngoại lực khicó lực cản nhỏ
3.Một số đặc điểm cuả dao động cưỡng bức:
1 Dao động cưỡng bức không phụ thuộc vào điều kiện ban đâu 2 Dao động cưỡng bức không tắt ngay khi có lực cản
3 Tân số của dao động cưỡng bức bằng tân số của lực kích động và không phụ
thuộc vào các đặc trưng của hệ dao động
4 Ngay cả khi lực kích động nhỏ (O, nhỏ) cũng có thể xảy ra hiện tượng cộng hưởng nếu lực cần nhỏ (b nhỏ) và tấn số @ của lực kích động gân bằng tân số
dao động riêng w„ của hệ Ngay cả khi lực kích động có giá trị lớn vẫn có thể
làm cho dao động cưỡng bức bé nếu tấn số Q ldn hon nhiéu so với w„
Các dao động cưỡng bức đặc biệt là các dao động cộng hưởng đóng vai trò
quan trọng trong nhiều lĩnh vực vật lý và kĩ thuật Trong thực tế, các máy và
động cơ hoạt động khi làm việc thường xuất hiện các lực tuần hoàn có thể
gây nên các dao động cưỡng bức làm hư hỏng thiết bị Ngược lại, trong vô
Trang 13-Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
tuyến điện cộng hưởng lại là hiện tượng có lợi và được sử dụng để tách các tín
hiệu của đài này ra khỏi các tín hiệu của đài khác
Kết luận:
Nói tóm lại, với nguyên lí tổ hợp tuyến tính của hệ tuyến tính ta có thể dễ dàng tách các thành phẩn đặc trưng riêng cho từng chế độ để nghiên cứu với
những cơng cụ tốn học chặt chẽ, chính xác và lại rất đơn giản Chính vì những
ưu điểm này mà lí thuyết tuyến tính đã tìm được miển ứng dụng rộng lớn Ngay cả trong các trường hợp đối tượng hay hệ thống là phi tuyến, cũng đựơc
tìm cách chuyển thể gần đúng sang một mô hình tuyến tính
Song đáng tiếc, phần lớn các đối tượng có trong tự nhiên lại mang tính động
học phi tuyến, tức là không thỏa mãn nguyên lí tổ hợp tuyến tính và không phải đối tượng nào, hệ thống nào cũng có thể mô tả bằng mô hình tuyến tính, cũng như không phải lúc nào những giả thuyết cho phép xấp xỉ hệ thống bằng hệ tuyến tính đựơc thỏa mãn Các hạn chế này bắt buộc người ta phải rời bỏ một mơi trường tốn học tuyến tính dễ chịu và phải trực tiếp nghiên cứu tính động học của đối tượng, tổng hợp hệ thống bằng những cơng cụ tốn học phi tuyến
Trang 14Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết _
PHẦN II: HỆ DAO ĐỘNG PHI TUYẾN
CHƯƠNG II: DAO ĐỘNG CỦA CƠ HỆ CÓ ĐẶC TRƯNG PHI
TUYẾN
I PHƯƠNG TRÌNH CỦA HỆ PHI TUYẾN
Hệ dao động phi tuyến: là hệ thực hiện những chuyển động được mô tả bằng các phương trình vi phân phi tuyến- là những phương trình vi phân chứa các số hạng không phải là bậc nhất của biến số x hoặc các đạo hàm của nó
Vi du: mk +cx’=0
Tong quathon: *-F(x,x)=0
HVÍ DỤ VỀ HE THONG PHI
TUYẾN
1.Con lắc dao động với biên độ góc lớn
Phương trình định luật H Newton: ma + mg = T
Trong đó : m: Khối lượng con lắc is)
a: Gia tốc con lắc `
g: Gia tốc trọng trường gee
T: Lực căng của thanh nối Chiếu (4.1) lên phương tiếp tuyến với quỹ
đạo của m: hình(2 l
mi X= mg sinx (2.3a) Và
Trong đó: l- chiều dài thanh nối
x- Ví trí góc của con lắc
Trang 15Một số phương phép gin dingtrongedlithuyét — — ƒÚÖ7]6
Khi đó phương trình (23b) không còn mô tả dao động của hệ tuyến tính
nữa, mà nó mô tả dao động của hệ phi tuyến
2,Lò xo có hệ số cứng biến thiên liên tục
-Trên hình 4.1a là lò xo xoắn ốc hình nón cụt Các vòng có đường kính lớn có hệ số cứng nhỏ hơn các vòng có đường kính nhỏ Khi chịu biến dạng, các vòng lớn hơn biến dạng trước ép vào đế cố định làm cho số vòng tự do của lò
xo giảm bớt và hệ số cứng tăng lên
-Hình 4.Ib vẽ đường biến thiên của lực lò xo F theo biến dạng x Đây là đường cong bậc cao chứ không phải là đường bậc nhất
` ADL Civ a DS Pri LUyen Alb 314 Á) Uuyen Link
Trong phần lớn các g hợp, đao động tuyến tính chỉ là kết quả của quá trình đơn giản hóa các hệ thực Nó được thực hiện bằng cách bỏ qua các số hạng bậc 2 và bậc cao hơn đối với tọa độ và vận tốc trong phương trình chuyển
động (coi như các số hạng này rất nhỏ)
Nghiên cứu những hệ tuyến tính “nhân tạo” như vậy tuy cũng có tiện lợi
trong tính toán nhưng ta chỉ thu được các khái niệm thô sơ và đơn giản về quá trình thực Vì thế nó hạn chế khả năng phát hiện đẩy đủ và toàn diện các tính chất chuyển động của hệ
Nói tóm lại, lớp các hệ phi tuyến vô cùng phong phú, muôn màu muôn vẻ
hơn các hệ tuyến tính và không thể thống kê được đẩy đủ các đặc điểm mà
các hệ tuyến tính không phát hiện được Tuy nhiên có một số tính chất của hệ
phi tuyến tính khác biệt so với hệ tuyến tính, đó là:
a, Đối với hệ phi tuyến: không thể áp dụng nguyên lí tổ hợp tuyến tính
Tổ hợp tuyển tính của hai hoặc nhiều dao động của hệ phi tuyến không phải là dao động của hệ này Nói cách khác, không thể thiết lập nghiệm tổng
quát của phương trình vi phân phi tuyến bằng những nghiệm độc lập, giống như đối với hệ tuyến tính
Trang 16
-Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
Nếu khai triển được lực tác dụng lên hệ thành chuỗi Fourier, thì tác dụng
của lực này lên hệ phi tuyến sẽ không còn bằng tổng tuyến tính tác dụng lên mỗi điều hoà thành phần riêng lẻ hợp lại
b, Dao động riêng của hệ tuyến tính bao giờ cũng là dao động tắt dẫn do tác dụng của lực cản, còn đối với hệ phí tuyến chưa hẳn đã vậy
Dao động tuần hoàn thực sự của hệ tuyến tính chỉ có thể là dao động cưỡng
bức, dưới tác dụng của lực tuần hoàn từ bên ngoài
Còn các hệ phi tuyến có thể xảy ra các dao động tự do tuần hoàn thực sự ổn
định ngay cả khi có lực cản Năng lượng tiêu hao trong hệ phi tuyến được đến
bù một cách tự động từ những nguồn năng lượng không dao động mà hệ dao
động là cơ quan điều chỉnh quá trình cung cấp đo (con lắc đồng hồ)
c, Đao động cưỡng bức:
Dao động cưỡng bức trong hệ tuyến tính do các lực kích động điều hòa gây
ra có cùng tần số và chu kì với lực Còn dao động cưỡng bức của hệ phi tuyến
dưới tác dụng của kích động điều hòa có thể xảy ra với chu kì kích động nhưng
cũng có thể xảy ra với chu kì bằng bội số nguyên của chu kì lực kích động d, Tân số dao động
Tần số riêng của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, đặc
biệt không phụ thuộc vào biên độ Ta chỉ có thể thay đổi tần số dao động tuyến
tính bằng cách thay đổi cấu trúc hệ
Ngược lại, phần lớn các hệ phi tuyến, tần số phụ thuộc vào biên độ dao động Hiện tượng này xảy ra chủ yếu ở các hệ bảo toàn phi tuyến Những hệ này có cả một tập hợp các dao động tuần hoàn với tần số thay đổi liên tục theo
sự biến thiên liên tục của các điều kiện đầu
Do không thỏa mãn nguyên lí xấp chồng nên việc khảo sát, phân tích hệ phi
tuyến gặp rất nhiều khó khăn Cho đến nay, việc phân tích đặc tính động học của hệ phi tuyến chỉ được nghiên cứu áp dụng trên một vài lớp các hệ phi tuyến đặc biệt có số ít bậc tự do Sau đây chúng ta sẽ khảo sát về một số
phương pháp gần đúng được áp dụng trong hệ phi tuyến một bậc tự do
Trang 17Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP MẶT PHẲNG PHA
I MAT PHANG PHA - DIEM Ki DỊ: 1.Mặt phẳng pha: Gia sử phương trình chuyển động của hệ phi tuyến có dạng: X — F(x;x)=0 (3.1) Dat: y= (3.2a) Khi đó: ÿ =F(x,%) (3.2b) Tổng quáthơn: x= _ = P(x,y) (3.3a) dy =— = X, 3.3b Y= 5, = Qs y) (3.3b) Chia hai phương trình (3.3) cho nhau ta được: dy _ Q(x,y) dx P(x,y) Nghiệm của phương trình này cho sự liên hệ giữa x và y: Lên ƒ f(x,y)dx
Đường cong tích phân của phương trình này cho ta một quỹ đạo trên mặt
phẳng tọa độ(x,y) Mỗi trạng thái của chuyển động (Ẳ.!) được xác định bởi hai tọa độ x và y của một điểm trên mặt phẳng(x,y) Ngược lại, mỗi điểm trong miễn xác định của mặt phẳng (x,y) tương ứng với một trạng thái của cơ hệ
Mặt phẳng (x,y) được gọi là mặt phẳng pha Khi trạng trạng thái của cơ hệ
thay đổi theo thời gian, điểm pha chuyển động trên một đường cong gọi là quỹ đạo pha Dạng của quỹ đạo pha cho ta biết đặc tính của chuyển động 2, Điểm kì di: Vận tốc v của điểm pha trên quỹ đạo pha - gọi là vận tốc pha- được tính bằng công thức: v= /x+y? (3.5) Vận tốc pha bằng không ở những điểm tại đó hai hàm P và Q đồng thời triệt tiêu: = f(x,y) (3.4) P(x,y)=0 ; Q(x,y) =0 Các điểm này tương ứng với trạng thái cân bằng của cơ hệ và được gọi những điểm kì dị
Tính chất của các quỹ đạo pha ở lân cận điểm kì dị quyết định trạng thái cân bằng bền hay không bền Do đó quyết định tính ổn định của chuyển động
Chẳng hạn, điểm cân bằng M trên hình (3.1)sẽ:
Trang 18Một số phương phip gindingtrongedlithuyét << =—=
- Ổn định khi và chỉ khi mọi đường quỹ đạo trạng thái đi qua một điểm thuộc
lân cận U của M kết thúc tại M
- Không ổn định (không bền) khi có ít nhất một quỹ đạo trạng thái đi qua một
điểm thuộc lân cận U của M nhưng không kết thúc tại đó
a, Điểm cân bằng bền b, Điểm cân bằng không bền
Hình 3.1
II MỤC ĐÍCH CỦA PHƯƠNG PHÁP MAT PHANG PHA
Do không thể và cũng chưa có thuật toán xác định nghiệm của phương trình
vi phân phi tuyến một cách tổng quát nên nói chung người ta thường sử dụng
phương pháp hình học để xây dựng quỹ đạo pha tương ứng với những giá trị
ban đầu khác nhau rồi từ dạng của quỹ đạo này suy ra đặc tính động học của
hệ Nói cách khác, phương pháp mặt phẳng pha là phương pháp khảo sát đặc
tính động học của hệ phi tuyến trên cơ sở phân tích dạng các quỹ đạo pha
trong mặt phẳng pha
Qũy đạo pha là công cụ hữu ích giúp ta nghiên cứu các bài toán phi tuyến,
mặc dù không chính xác (do xây dựng quỹ đạo pha chỉ mang tính tương đối)
và chỉ áp dụng cho các hệ độc lập- là hệ có phương trình vi phân không phụ
thuộc tường mình vào thời gian và có số biến ít hơn 3, nhưng cũng đủ để giải
quyết các bài toán phi tuyến một cách định tính II CÁC TÍNH CHẤT CỦA QUỸ ĐẠO PHA 1.Tính chất 1: Chiều chuyển đông
Ở phía trên ox (y >o)rên mọi quỹ đạo pha, các điểm pha đều chuyển động
về phía x tăng
Trang 19-Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
Ở phía dưới ox (y <0), trên mọi quỹ đạo pha các điểm pha đều chuyển động
về phía x giảm
Thực vậy, ở phía trên ox: y>0 hay šx >0 suy ra x có giá trị tăng theo thời gian nên điểm pha phải chuyển động từ trái sang phải và ở phía đưới trục ox vật
chuyển động từ phải sang trái
2 Tính chất 2: Điểm kì dị
Công thức (3.5) cho thấy vận tốc điểm pha chỉ bằng 0 khi & và ÿ đồng thời
triệt tiêu Lúc đó, điểm pha dừng lại ở vị trí được gọi là điểm kì dị Các điểm
này biểu thị trạng thái yên nh kéo dài tức là trạng thái cân bằng của cơ hệ cày ; x, =0 Tai diém Ki di (xp, yo): | 2 y, =0 y,=0 F(x,,0) = 0
Vậy, nếu hàm F{(x,0) có nghiệm thì trong họ quỹ đạo pha có những điểm kì di,
nằm trên trục ox, xác định vị trí cân bằng của cơ hệ; tọa độ xạ của chúng là nghiệm của phương trình F(x„ 0) =0
Từ hệ phương trình (3.2), ta có: |
3 Tính chất 3: Tiếp tuyến tại các điểm thường trên trục ox:
Ngoài các điểm kì dị tất ca`các điểm còn lại trên quỹ đạo pha được gọi là điểm thường Tại điểm thường nầm trên trục ox, ta có: y=0 F(x ,0) +0 ~, dy _ FO%,0) _ | dx y Do đó, tại các điểm thường trên trục ox, quỹ đạo pha có tiếp tuyến vuông góc voi Ox 4.Tinh chat 4:
Nếu F(x,y) giới nội thì tại những điểm không nằm tên trục ox, hệ số góc của tiếp tuyến với quỹ đạo pha là:
_ dy _ F(x,y)
y
cũng có giá trị giới nội
Vậy, ở những điểm thường không nằm trên trục ox, nếu F{(x,y) giới nội thì tiếp
tuyến của quỹ đạo pha không song song với 0y
Xét hai điểm thường P\, P; liên tiếp nhau nằm trên 0x, có tọa độ xạ và X›, với X;< X; Cho F (x,0) liên tục từ P đến P;, quỹ đạo pha nằm phía trên ox
Khi đó ở P;: y phải tăng từ 0 đến các giá trị dương
k = tga
Trang 20Một số phương pháp gân đúng trong cơ lí thuyết ở P; :y phải giảm các giá trị dương về 0
dy
Mà —= F at (x,y) '
Nén: F(x,,0)>0
F(x2,0) <0
Nếu F(x,0) liên tục trong khoảng(x,„x,) thì ít nhất một lần trong khoảng đó,
nó phải có giá trị bằng 0, theo tính chất 2, điểu này có nghĩa là giữa 2 điểm P, & P;, tổn tại ít nhất một điểm kì dị
Chứng minh tương tự với trường hợp quỹ đạo pha nằm dưới trục ox
Ý nghĩa vật lý của tính chất này là: giữa 2 vị trí yên tĩnh tức thời của cơ hệ, có
ít nhất một vị trí cân bằng mà cơ hệ đi qua với vận tốc nhất định
Các đặc điểm trên giúp ta xây dựng tương đối chính xác quỹ đạo pha và sử
dụng phương pháp mặt phẳng pha để nghiên cứu các quá trình dao động
IV- HE BAO TOAN MOT BAC TY DO
1 Đường cong năng lượng
Xét vật chuyển động trong trường thế U(x) có dạng như hình vẽ(3.2) Khi không có lực ma sắt cơ năng E của vật có giá trị không đổi:
U(x) + K(x) z= E # const (3.6a)
Suy ra: K(x)=E- U(x) (3.6b)
Trong đó: E: năng lượng của vật
U(x): thé nang cla vat K(x): d6ng năng của vật
x: độ dịch chuyển
Từ (3.6a) suy ra đường cong năng lượng trên hệ trục tọa độ (x,E) là một
đường thẳng song song với trục ox
Phương trình (3.6b) cho ta cách xác định động năng của vật, cụ thể là trên
đường cong U(x) ta tìm được U cho vị trí x rồi lấy E — U(x), ta được động nang
K
Giả sử vật có năng lượng E: a, E= kì
- Do K>0 (vì vỶ >0) nên vật không thể chuyển động về bên trái xạ , vì khi đó
E¡-U(x) có giá trị âm
-Khi vật chuyển động từ x; đến x; thì K(x)giảm, vật chuyển động chậm dẫn roi difng lai tai x, (K=0)
dU(x)
-Khi vật tới x; lực cho bởi phương trinh thé nang F(x) = mh tác dụng lên
vật có giá trị đương Nghĩa là vật không ở lại x; mà bắt đầu chuyển động về bên phải ngược hướng với chiều chuyển động trước Do đó, x; được gọi là điểm lùi
Trang 21Một số phương pháp gần đúng trong cơ líthuyt EU =
Không có điểm lùi ở | ,
phía bên phải đồ thị, U(x) nếu vật đã chuyển động về phía x tăng thì I nó cứ tiếp tục chuyển động mãi mãi Kix) b, E=E;: Vật có một điểm lùi I trong khoảng (X,,X2) [:, Tại điểm bất kỳ ở bên phải xs, cd nang của vật cũng bằng thé | năng của nó nên K=0, | oe a ie = vật không chịu tác dụng của lực nào nên nó đứng yên Vật ở Hình 3.2 trạng thái cân bằng Đường cong thế năng phiếm định Cc, E=E,
Tai x3: K=0: Nếu vật ở đúng chỗ đó thì lực tác dụng vào nó bằng 0 Trạng
thái này gọi là trạng thái cân bằng
Tuy nhiên, chỉ cần dịch chuyển một chút về phía nọ hay phía kia thì sẽ có một lực khác 0 đẩy nó đi tiếp về phía đó và vật tiếp tục chuyển động Vị trí này
là vị trí cân bằng không bền
d, E=Eo
Nếu đặt vật tại x„ thì nó sẽ nằm yên tại đó Nó không thể tự chuyển động
sang trái hoặc sang phải vì như vậy nó sẽ có động năng âm
Nếu ta kéo nó sang trái hoặc sang phải thì xuất hiện một lực kéo nó về vị trí
xạ Vật ở vị trí như vậy gọi là ở trạng thái cân bằng bến
2 Một số quỹ đạo pha:
THƯ V!'
Trang 22Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
a) Đường cong thế năng có một điểm cực tiểu cô lập: (hình 5Š 3)Giả sử giá trị
cực tiểu này bằng Ey
Nếu giá trị ban đầu của năng lượng toàn phẩn ,
E = Ea thì quỹ đạo pha ứng với giá trị cực tiểu đó
sẽ suy biến thành điểm kì đị A trên trục ox Quỹ
đạo pha ứng với E>E¿ là đường cong kin bao
quanh điểm A Điểm loại này được gọi là điểm
tâm, ứng với trạng thái cân bằng ổn định của hệ
(Hình 3.?: Quỹ đạo pha ứng với đường cong thế
năng có một điểm cực tiểu cô lập)
bì Đường cong thế năng có † điểm cực đại cô lập
Giảsử gía trị cực đại này làE„ U(x), =E,
e Nếu E = Eạ: Quỹ đạo pha gồm 4 nhánh hội tụ về yo
A là nhánh I, II đối xứng với nhánh HI, IV
eNéu E > Eo:Quy dao pha ting nằm ở miền trên wes và miền dưới
se Nếu E < Eo:Qu? dao pha ứng nằm ở bêntrấvà ——=— ———<
bên phải
Điểm pha rơi vào quỹ đạo nào đó (trừ nhánh I & | IV) nó sẽ chuyển động xa dẫn A Điểm kì dị với | sự phân bố quỹ đạo như vậy gọi là điểm yên |
Hình 3.4: Quỹ đạo pha ứng với đường cong thế năng có một điểm cực đại cô lập
c) Quỹ đạo chạy:
Nếu đường năng lượng E = E¿ cắt và không tiếp xúc với đường cong thế năng ở bất kì điểm nào và:
- Nếu Ee > U(x) Vx: đường E = E nằm bên trên đường cong U(x) thì quỹ đạo gồm 2 nhánh đối xứng nhau qua trục ox và chạy ra xa vô cực (Hình 3.5)
- Nếu Es < U(x) Vx : không có chuyển động nào
Trang 23Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
Hình 3.5: Qũy đạo chạy
d) Quỹ đạo pha trên toàn mặt phẳng
pha
Tại những điểm x có U(x) > E: ta | ` không có quÿ đạo pha Trên những HAL
đoạn khác, quỳ đạo pha là những
đường cong kín ứng với các chuyển ; động tuần hoàn của hệ (Hình 3.6) | ae
4 Ví dụ:
a) Dao động tuyến tính không lực |
cản: l
Xét dao động điều hòa được mô tả s |
bằng phương trình chuyển động vi phân |
sau:
X+wìx=0 (3.7) he) F rT) xX
Dat y=x (3.8a)
Đạo hàm 2 vế của đẳng thức, ta được:
yak (3.8b)
Rồi thay vào phương trình (3.7), ta được: Hình 3.7:Quỹ đạo pha
y= -wk của dao động điều hòa đơn giản Chia 2 vế của 2 phương trình (3.8) cho
Trang 24-Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
nhau, ta được phương trình vi phân của đường cong tích phân: dx Xx y hodc: ydy = —w’ xdx Lấy tích phân 2 vế của phương trình, ta được: y +wx7=C (3.9) trong đó: C là hằng số tích phân Phương trình (3.9) biểu diễn một họ đường elip tương ứng với các giá trị cụ thể của C (Hình 3.7) Tại gốc tọa độ O (x = 0, y =0): đường elip suy biến thành ! điểm ứng với C = 0 Đây chính là điểm kì dị:%„ = 0 ; ÿ„ = 0
Ta thấy, mọi quỹ đạo đều là những đường cong kín bao bọc mà không qua
điểm kì dị Loại điểm kì đị này gọi là điểm tâm
Vì quỹ đạo pha là đường cong kín lại không di qua gốc nên xuất phát từ một điểm nào đó ngoài gốc tọa độ, điểm pha sẽ trở lại vị trí ban đẩu sau một khoảng thời gian hữu hạn Nghĩa là hệ chuyển động tuần hoàn
b) Xét chuyển động của khối lượng m chịu lực đẩy tỷ lệ với khoảng cách tới tâm cố định ở gốc tọa độ:
Phuong trinh vi phan c6 dang: mX = kx
Trang 25Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết 4 Phương trình tích phân bây giờ là: <0 tinh 3-2 Lấy tích phân, ta được: y-wx’=C Trong đó: C là hằng số tích phân
Đây là phương trình của họ đường Hypebol (Hình 3.8) Khi C = 0 đường tích
phân suy biến thành 2 đường thẳng:
y = wx va y =- wx
di qua diém ki dj: x = y = 0 (gốc tọa độ)( hình (3.8))
Hinh 3.8 cho thấy, trừ đường thẳng y = - wx, với mọi diéu kién ban đầu, điểm pha đều ra khỏi điểm kì di Nhu vậy chuyển động khơng có tính tuần hồn Vận tốc điểm pha chỉ bằng 0 ở điểm kì dị Chỉ riêng đường y = wx, điểm
pha chạy về gốc với vận tốc giảm dẫn đến 0 Trong thực tế, rất khó tạo được
điều kiện ban đầu tương ứng với quỹ đạo này
Điểm kì dị loại này gọi là điểm yên, ứng với trạng thái cân bằng khơng ổn
định
©) Kết luận
- Nếu điểm pha chuyển động trên những quỹ đạo kín thì cơ hệ chuyển động
tuần hoàn Các cực trị của x và y cho biết biên độ của dịch chuyển và vận tốc
Trang 26-Một số phương pháp gần đúng trong cơlíthy _ ˆ“—“ —— —
- Nếu điểm pha dịch chuyển vào điểm kì dị thì đó là vị trí cân bằng bên và
chuyển động là ẩn định Ngược lại nếu điểm pha đi xa điểm kì dị thì đó là vị trí cân bằng không bên và chuyển động là không ổn định.`
5 Chụ kỳ dao động:
Phương trình năng lượng của hệ bảo toàn I bậc tự do (có khối lượng 1 đơn
vị) là:
E=~ + U(x) (3.10)
Trong đó:E là cơ năng của hệ
U(x):Thế năng của cơ hệ Suy ra: & =y = ¥2(E-U)
d ov nh [1x
Hay: y=— = y2(E-U) |
Do đó: khoảng thời gian vật chuyển
động từ x, đến x; là:
c1 Ms 6X ñÝV2ŒE-U)
— — —
(3.11)
Gọi xạ, x; là hoành độ giao đểm của * „,
quỹ đạo pha kín với trục ox (Hình 3.9)
Vì hệ bảo toàn một bậc tự do có quỹ + 7
đạo pha kín đối xứng qua trục ox (do
phương trình (3.10) không thay đổi khi we ta đổi dấu cud y), nén chu kỳ được tính xa bằng công thức: =f (3.12) 6 ticle isa
Xét dao động của con lắc trong môi trường lý tưởng không có lực cản
Phương trình chuyển động của con lắc là:
{+ sinx=0 (3.13)
Trang 27Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
Với: x: vị trí góc
g: gia tốc trọng trường
I: chiều dài con lắc
Chọn gốc thế năng là đường thẳng nằm ngang đi qua điểm treo O
Thế năng của vật: U,„;=-mglcosx (3.14a) Động năng của vật: T= ; ml x’ (3.14b) Phương trình năng lượng: E=T+U= „ml - mgl cosx Suy ra: x’ = 2Ê (cosx+ By (3.15) I mgl
Gọi xạ là độ lệch ban đầu của con lắc so với đường thẳng đứng, ta có:
x(t =O)=xy; % (t=0)=0 Thay vào(3 5), ta được:
COSX, =——
mgl
Thay đẳng thức này vào phương trình (3.15) ta được: x’ =2E (cos x-cosx,) cosx = 1—2sin? ~ Mặt khác ta lại có: › cos xạ =1-2sin" ~* Dođó: š a ¬ “9 hay: x= ae sin’ Dựa vào đẳng thức (3.12) ta có chu kỳ của dao động là: T= 2 J= E = | (3.16) sin’ x -sin’
(vì hàm dưới dấu tích phân là chan theo bién x)
Trang 28Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết a Pat a=sin — 2 x Ô 3S sin sin ~ z= 22 —4 sin — _ 2 Ta cé: khi x=X» ->z=1; x=0 ->z=0 ' š {sin ` Suy ra: đz=—-cosŠdx=———^d 2a 2 2a xX Thay vào (3.16) ta được:
“ele a’ ni -a`#`) hay vn ki R I -8)z')(1-z`) Trong lý thuyết dao động tuyến tính, ta lấy: 1 sin? “"~^®; ph 2 4 2 4 nên biểu thức (3, 16) được viết lại thành: T=T, 2/4.) —— s zl (3.17) -ti=h Từ biểu thức : Tụ " ta nhận thấy chu kỳ dao động điểu hòa tuyến
tính không phụ thuộc vào biên độ dao động (hay không phụ thuộc vào điều
kiện đầu) Đặc điểm này đặc trưng cho dao động điều hòa.Nhưng ngược lại, trong lý thuyết phi tuyến, chu kỳ phụ thuộc hẳn vào biên độ
Trang 29Một số phương pháp gần đúng trongcơlíthuyi -
(l-a’z*) 3 =1+ 5a" zÌ + (a2)' +s:
Thay biểu thức trên vào (3.17) ta được: yt T=4 SÍ[L*g 62XŠ @ø+2-|.dez95 đz gsL 2 8 3 4 Ti Ly 12 222 OF 5 eS Sed W 2 ‘ ate iy 42" 4, (3.18) {g 4 64 X; hy Xs Giả sử xo đủ nhỏ để có thể lily xdp xi a=sin >= > 7, ta có: Ƒ +\2 4 Tx2z 2 +2 Ae Fe g| 4\2 48) +2) Pasi 64|2 Ƒ ? Tx2z * pe? y rey itt yey (3.19) gL l6 3072 nog!
Hình 3.1 I: Các dạng qũy đạo pha của con lắc đơn
Như vậy, T > Tụ khi xạ > 0 :khi biên độ dao động càng nhỏ chu ki dao động
của con lắc sẽ càng gần chu kì dao động điều hòa tuyến tính
Trang 30-Một số phương pháp gân đúng trong cơ lí thuyết
Quỹ đạo pha của hệ được suy ra từ đường cong thé nang: U(x) = -mgl cosx va
2
nang ludng ban dau la: E = Ey = - mgl cos Xo + ml
Khi 0 < |x„|<Z và xụ = 0 = |E„|< mgil : con lắc sể dao động tuần hồn được
mơ tả bằng các đường cong kín Những đường cong này bao lấy các điểm kì dị
ứng với vị trí cân bằng ổn định của con lắc
Khi Eo >mgi (trường hợp này xảy ra khi con lắc có vận tốc ban đầu š, khá lớn) nghĩa là: 2 Xo - mgl cos x, +] Meee x? > 8 (1+ cos x,)
Trong trường hợp này, quỹ đạo pha không cắt 0x (quỹ đạo chạy) Con lắc sẽ
quay xung quanh điểm treo trong mặt phẳng thẳng đứng theo chiểu quay không đổi
Vv CACH VE QUY DAO PHA
1 Phương pháp đường nghiêng đều:
Đường nghiêng đêu là: quỹ tích các điểm trên mặt phẳng pha (x, y), tại đó
các quỹ đạo pha có cùng độ nghiêng, tức là tại đó các đường tích phân của
phương trình có tiếp tuyến song song với nhau Ta biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong y = y(x) bằng dy/dx
Do đó theo (3.4) ta có phương trình đường nghiêng đều:
d
tgg=— =f(x, y)=C
dx
Trong đó C là hằng số bằng hệ số góc với đường tích phân
Cho C các giá trị khác nhau C = C¡; C; C; ta dựng các đường nghiêng đều
f(x,y) = Cụ; C; C¿ do đó ta tạo được trường tiếp tuyến của các quỹ đạo pha Sau đó, xuất phát từ điểm trường (xy, yọ) nào đó và luôn theo hướng của các tiếp tuyến của trường tại những điểm đã qua, ta vẽ được l đường liên tục Đó
chímh là quỹ đạo pha Ta minh họa phương pháp này bằng ví dụ sau: Vi du : Xét phương trình động lực mô tả hệ dao động có lực cản có dạng:
X+ 2bx + wjx =0 (3.20)
Đặt y=X (3.2la)
Trang 31Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết Khi 3ó: 9 =% (3.21b) Thay các biểu thức này vào (3.20), ta được: ÿ = -(2by + w¿x) (3.22) Chia bai vế của (3.21) cho nhau ta được: dy 2by + wox 23 Ta (3.23) Phương trình đường nghiêng đều là: dy 2by + wy X_¢, dx V | 2 hay: y=—°— Or aC) me 3.24 Hinh 3.12
Đây là 1 họ các đường thẳng qua gốc tọa độ (Hình 3.12) Tương ứng với một giá trị của cụ ta có 1 đường nghiêng đều y, Từ tập các đường này ta có thể xây dựng | cách gần đúng quỹ đạo pha qua điểm (xo, yạ) bất kỳ, bằng cách xuất
phat ti (xo,yo), thiết kế 1 đường cong cất các đường nghiêng đều sao cho giao
điểm với đườngnghiêng đều thứ ¡ (có giá trị C,) đường cong phải có độ nghiêng
đúng bằng øØ, tính theo công thức tgợø,=C,
- Cho C = œ: ta có đường nghiêng đều: y = 0 Như vậy, quỹ đạo pha vuông góc với y =0 (C =œ =t Ø,, suy ra góc nghiêng yg, = 90°)
2 Phương pháp Liêna-Denta
Trang 32Một số phương pháp gần đúng trong cơ líthuyết
Chia 2 vế của 2 phương trình
(3.26) cho nhau ta được: đy _-9)-X q2) dx y a) Cách vẽ Liê - na: Vẽ đường cong (€) x =-f(y) trên tọa độ oxy (Hình 3 13)
Sau đó từ A(x,y) chọn trước
trong mặt phẳng pha, ta bất đầu | 4 :
vẽ quỹ đạo pha A
Từ A, kẻ đường thẳng song
song với ox, cất đường cong (C)
ti B (fy)y Từ B kẻ Hình (3 I3)
BC I1 Ox Hướng của tiếp tuyến Cách vẽ Liê-Na tại A chính là hướng của đường thẳng vuông góc với AC kẻ qua A
Trang 33Đây là phương trình đường tròn có tâm nằm ở tọa độ: Ù =~f(y) 0 (3.30) y =
Trong thời gian ngắn, ta có thể
coi quỹ đạo pha là một cung nhỏ của vòng tròn này
Như vậy muốn dựng quỹ đạo pha theo cách vẽ Denta ta vẫn phải vẽ
trước đường cong (C): x = - f(y)
Sau đó, từ A kẻ AM //Ox cắt (C)
tai B TY B ha BC 1 Ox(C thuộc
OX)
Lấy C lam tâm vẽ cung tròn bán kính CA, lấy cung nhỏ AD, ta được
điểm thứ 2 của quỹ đạo pha cần tìm
yhương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết ~- Hìng 3 I4 Cách vẽ Denta Quá trình cứ thế lặp lại cho đến khi vẽ xong quỹ đạo pha hoặc một phần qũy đạo pha cần tìm c, Vi du:
Xét khối lượng m=l thực hiện các dao động thẳng dưới tác dụng của lực
hồi phục tuyến tính ngang và lực ma sát có độ lớn không đổi nhưng đổi dấu khi chuyển động đổi chiều Chuyển động của khối lượng được mô tả bằng
phương trình:
X+xta=0
Trang 34-Một số phương pháp gần đúng trong cơ líthuyế
Ở đây f(y) = 0, đường cong (C) thành z = 0 nên điểm C trong phương pháp Liena luôn luôn trùng với gốc tọa độ Hướng của quỹ đạo pha sẽ vuông góc với các đường thẳng qua gốc tọa độ Vì vậy quỹ đạo pha là ; vòng tròn tâm O có
bán kính khác nhau trên nửa mặt phẳng phía trên trục Oz
Tương tự đối với quỹ đạo pha ở phía dưới trục x với z = x - a
Sau đó rời trục tọa độ (zoy) vé (xoy) bằng cách trượt phần trên sang trái một
đoạn a, dịch phần dưới sang phải một đoạn a ta được quỹ đạo pha là các đường
xoấn ốc(Hình 3 16),
Trang 35Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP NHIÊU LOẠN
1L PHƯƠNG PHÁP NHIÊU LOAN
1 Nội dung của phương pháp nhiễu loạn:
Giả sử phương trình vi phân của hệ phi tuyến một chiều có dạng:
X+wWw}) x+ơưf{x,šX)=0 (4.1)
Trong đó: f_ là hàm giải tích của x và &%; : là tham số rất nhỏ
Ta có thể coi số hạng phi tuyến ø f(x, &) trong phương trình (4.1) là nhiễu loạn rất nhỏ Do đó, ta tiên đoán rằng nghiệm của phương trình (4.1) rất gần
với nghiệm của phương trình dao động điều hòa X + wỷ x=0 là :xạ = Acos (wt + @) Ta biểu diễn giả thiết này bằng cách viết nghiệm của (4.1) dưới dạng
chuỗi lũy thừa của œ:
x(t) = Xo(t) + a x,(t) + a X;(t) + (4.2)
Sau dé, thay x(t), &(U và 8 (0 vào (4.1) rồi đồng nhất các số hạng cùng bậc
œ, ta sẽ được các phương trình vi phân xác dinh x(t); x)(t); xo(t)
2 Sự xuất hiện của số hạng thế kỷ:
Hạn chế lớn nhất của phương pháp nhiễu loạn là sự xuất hiện của số hạng
thế kỉ Chúng là nghiệm của các phương trình vi phân và là các số hạng tăng
lên vô hạn khi t ® œ, vì thế nó không mô tả tính chất tuần hoàn của cơ hệ
3 Ví dụ:
Xét chuyển động của vật trong giếng thế:
l ] ›
U(x)=>k, er tk, x
Trang 36Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết k Trong đó: w, = i : tần số riêng của dao động điều hòa tuyến tính m q=— m - Ta tìm nghiệm dưới dạng chuỗi lũy thifa cba a: X(t) = Xp(t) + ax,(t) + a Xt) + (4.4)
trong đó: xo(t) là nghiệm của phương trình dao động điều hòa giản đơn
- Khi t= 0Ú: x= Á ;š(t=0)=0, thay vào (4.4) ta được: x, (t=0)=A;x, (0)=0 x, (0)=0;x, (0)=0 (4.5) x, (0)=0;x, (0)=0 x, (0)=0; x, =0 G=1,2,3 ) a) Xap xi bac nhất: Giả sử œ đủ nhỏ để có thể bỏ qua số hạng lũy thừa bậc 2 và bậc cao hơn của a Chuỗi nghiệm (4.4) trở thành x = x9 + a x;
Thay vào phương trình (4.3) ta được:
K, t+aX, +w, (x, +@x,)+a@(x, +ax,)’ =0 Hạn chế ở các số hạng chứa œ bậc nhất, ta có: Ä, +Wj X,)+a(X, +wWj x,+xj)=0 (4.6) Vì đẳng thức đúng với œ nhỏ tùy ý nên: X, +wix, =0 (4.7a) X, +w x, +x) =0 (4.7b)
Tương ứng với điều kiện đầu (khi t = 0: xạ = A; &„ =0), nghiệm của phương
trình (4.7a) tìm được dưới dạng:
Xy = A COS Wot
Thế biểu thức này nào phương trình (4.7b), ta được: X, +w x, =-A’ cos’ w, t
hay R, + wi x, =- 5A? A? cos 2w, t (4.8)
Trang 37Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết
Nghiệm riêng của phương trình (4.8) có dạng:
Xip = B cos 2wot +C Thay vào (4.8), ta được:
-4BwW) cos2w,„t+wj (Bcos2w, t+C)=- 2À" 2 cos 2w, t hay: -3Wj Bcos2w,, t+wjC=- 7 AI) cos 2w, tê AI
Vì đẳng thức đúng với mọi t nên: 2 2 i ;C= = 6W; 2W Nghiệm tổng quát của phương trình (4.8) có dạng: 2 2 x, = Dsin w,t + Ecos w,t + A cos 2w,t-—; 0 0 Khit=0: x, (0)=0 , &, (0)=0 cho nén: 1 3 x,(0)=E ^—=0 E= — 3W, = 3w, x, (®)=w, D=0 D=0 1 A? A*
Vay x, “a eka ale (4.9)
Suy ra, nghiệm gần đúng đến bậc nhất của phương trình (4.3) là: XE Xạ + Œ Xị 2 = Acos w,t + a—~[2.cos w,t + cos 2w,t- 3] (4.10) Wo ib) Xap xi bac 2: Nghiệm xấp xỉ bậc 2 có dạng: X(t) = Xo (t) + ax) (H+ a x; (Ð (4.11) Thay vào phương trình (4.3) ta được: Ý,+œ%, +d” š, + W)(X,+0Œx, +0” x,)+0(X,+0x, +0” x,)' =0 Hạn chế ở các số hạng chứa œ bậc 2, ta có:
%, + wix, +o(X, +wix, +xl)t+a’(¥, +wi x, +2x,x,)=0
(Để đẳng thức đúng ở mọi thời điểm thì:
Trang 38Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết i, +w,x, =0 (4.12a) KX, +wix, +x =0 (4.12b) x (4.12c) X, + wx, +2x,x,=0 Hai phương trình (4.12a) và (4.12b) chính là (4.7a) và (4.7b) Nghiệm của chúng lần lượt là: xX, =Acosw, t 2 A’? : =——; cos w,t + —; cos 2w,t - > 3w, 6W, Zw, Thay các biểu thức này vào phương trình (4.12c) ta được: 2 i, +wix, =-2A cos wạt.-^— |2cos w„ t+e0s2w, t-3| 9 3 ; [2(1 + cos 2w, t) + cos w, t + cos 3w, t-6cos w, t] 0 5
ace [2-5cos w, t + 2cos 2w, t + cos 3w, t] (4.13a)
Nghiệm riêng của (4.13) có dạng:
Xạp = t [F cos Wạ t + G sin wạ t] + H cos 2wo t + Í cos 3Wa t + K Thay vào (4 l3) ta được:
— 2Fw, sinw,t + 2Gw, cosw,t — 3w,Hcos2w,t —8wiIcos3w,t+K w,
3
sca [2-5cos w, t+ 2cos 2w, t + cos 3w, t]
Trang 39Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết ` M=2^ 144 N=0 Vay: 9 5 5 1 5 ;i0=ˆ = cos w, t+ sin w,t+ 7 cos 2w, t+ ; cos 3w, t-——> 144 12W, ow) 48w' : Ở xấp xỉ bậc 2, nghiệm gần đúng của phương trình (4.3) là: x(t)=Acosw,t+a [2cos w,t + cos 2w, † - 3| + ;|29A' Stsinw,t <A?’ A? A? +a" | ——cosw,t+ x—t C08 BW, ¢:+-—— C08 SW, t ——- 144 12w, ow, 48w, 3w, (4.13b)
Số hạng có chứa St sin wạt là số hạng thế kỉ, nó tăng lên không ngừng theo
thời gian Vì vậy, nó không mô tả tính chất chuyển động tuần hoàn của cơ hệ
Nguyên nhân của sự xuất hiện số hạng thế kỉ cũng có thể giải thích như sau:
Ta trở lại phương trình (4.3): Khi không có số hạng phi tuyén (a x? = 0) thi
dạng nghiệm phương trình là x = đsin(w„ + ø) và hệ sẽ dao động điều hòa với
tần số góc riêng wạ Nhưng vì có sự tổn tại của số hạng phi tuyến (dù rất nhỏ) nên hệ sẽ dao động với tần số góc w khác với wạ một lượng nhỏ, hay: w = wo + Mà khi khai triển sin wt theo ổ, ta sẽ thu được chuỗi sau:
(tồ)'
sin wt = sin (w, + 5)t =sin w,t + td cos w,t - sin w,t+
Rõ ràng là trong chuỗi khai triển thức có sự xuất hiện của các số hạng phụ
thuộc vào t nằm ngoài biểu thức của sin và cosin Các số hạng này tăng lên vô
hạn theo thời gian t Đó chính là các số hạng thế kỉ
Phương pháp nhiễu loạn rất tiện dụng cho hệ một bậc tự do và trong nhiều
trường hợp nó đưa đến kết quả tương đối chính xác Tuy nhiên, khi t—>ø%, nghiệm X(t)—># do sự xuất hiện của số hạng thế kỷ Vì vậy vấn để đặt ra
làm thế nào để khử số hạng thế kỷ Một trong những phương pháp để khử số
hạng thế kỉ, đó là: phương pháp Bogoliuboff-Kryloff
II PHƯƠNG PHÁP BOGOLIUBOFF - KRYLOFF ĐỂ KHỬ SỐ HẠNG
THẾ KỈ
1 Nội dung của phương pháp Bogoliuboff - Kryloff
Để khử số hạng thế kỉ, Bogoliuboff - Kryloff đã khai triển đồng thời cả hàm x(L) cẩn tìm và bình phương tần số cần tìm wỶ:
Trang 40Một số phương pháp gần đúng trong cơ lí thuyết x(t)= X„(t)+ œx,(E)+ œ” x,(f)+ = ya! x, (t) (4.14) w)=w°+ơ'a,+ơÌa,+ = 2 da, (4.15) in! Trong đơ, a, là các hệ số được xác định sao cho các số hang thé kỉ bị triệt tiêu Để minh họa cho phương pháp này, ta xét l số ví dụ sau: 2 Ví dụ: a) Ví dụ J; Tìm nghiệm gần đúng đến bậc 2 của phương trình: k+wix=ax’ (4.16) biết: x (t=0)=A; x(t=0)=0 Giải: Ta tìm nghiệm dưới dạng chuỗi (4.14) và (4.15) Thay các chuỗi này vào (4.16), ta được: (X,+(œ%, +œ'X,)+(w” +a,œ+d?a,)(x, +œŒx, +d'`x,)=œ(X, +œx, +d`x,)” Hạn chế ở các số hạng chứa œ bình phương, ta có: Ä,+wWÌx,+ø(X, +w x,+a,x,)+ø” (X, +wÌx,+a,X,+a,X,) =ữ(x))+đ'` 3x}x, Vì đẳng thức đúng với mọi œ nhỏ tùy ý nên: Ä,+w x,=0 (4.17a) Ä„ +WÌX, =X j-8,X, (4.17b) K, +w'x, =3x }-a,x, -a,x, (4.17c) Cũng như trên, nghiệm của phương trình (6.17c) với điểu kiện đẩu: t = 0,
x¿(0)=A; X,„ (0)=0, có dạng: xg=A cos wt
Thay biểu thức này vào phương trình (4.17b), ta được:
X,+wWwỶx, =A` cos” wE-a,A cos wt
3
= “— (cos 3wt +3cos wt) -a,Acos wt
1 3
-“’cos3ut+( *4 -4,A }cosw (4.18)