Giải một số bài toán cơ học vật rắn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ HUỆ GIẢI SỐ MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN Chuyên ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ Mã số sinh viên: 44.01.102.012 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GVHD: PGS TS PHẠM NGUYỄN THÀNH VINH Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 Lời cám ơn Trong trình thực khóa luận tốt nghiệp này, tơi nhận nhiều giúp đỡ Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến: • PGS TS Phạm Nguyễn Thành Vinh - người thầy kính mến Thầy đồng hành giúp đỡ, động viên có ý định dừng lại, dẫn tận tâm tơi gặp vấn đề khó hiểu thầy thật bao dung tơi mắc lỗi • Q thầy Khoa Vật lý tận tình dạy trang bị cho kiến thức quý báu suốt quãng thời gian ngồi ghế giảng đường, tảng vững chắc, viên gạch giúp tơi hồn thành khóa luận • Anh chị bạn nhóm nghiên cứu AMO - Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Mọi người ln chia sẻ, quan tâm, giúp đỡ, động viên học tập sống • Gia đình - nơi bình n Mặc cho có chuyện xảy nơi bình yên nhất, nơi tiếp thêm động lực, giúp vượt qua áp lực học tập, sống nói chung suốt q trình làm khóa luận nói riêng Tp HCM, tháng 06 năm 2022 Nguyễn Thị Huệ ii Mục lục Lời cám ơn ii Mục lục iii Danh sách bảng v Danh sách hình vẽ vi Kí hiệu viết tắt viii Giới thiệu 1 Lý thuyết học vật rắn 1.1 Chuyển động quay 1.2 Chuyển động quay vật rắn 1.3 Động lực học vật rắn Phương pháp tính tốn 11 2.1 Bài toán Cauchy 11 2.2 Phương pháp Runge-Kutta 13 2.3 2.2.1 Phương pháp Runge-Kutta bậc 13 2.2.2 Phương pháp Runge-Kutta bậc 16 Chương trình giải số 17 iii Kết nghiên cứu 19 3.1 Con lắc đơn 19 3.2 Con lắc vật lý 22 3.3 Con lắc vật lý đặt môi trường chất lỏng 25 3.4 Con lắc vật lý tác dụng gió 29 Kết luận định hướng 39 A Chương trình giải số RK4 41 Tài liệu tham khảo 44 iv Danh sách bảng 1.1 So sánh chuyển động tịnh tiến chuyển động quay 1.2 Moment quán tính số vật thể đồng chất có trục quay qua khối tâm v Danh sách hình vẽ 1.1 Minh họa định lý Steiner-Huygens 3.1 Minh họa lắc đơn hệ tọa độ 20 3.2 Mơ phương trình chuyển động lắc đơn 21 3.3 Minh họa lắc vật lý hệ tọa độ 23 3.4 Minh họa thẳng dao động hệ tọa độ 24 3.5 Mơ dao động lắc vật lý gồm thẳng khối lượng m = kg, chiều dài d = m thả không vận tốc đầu biên độ góc θ0 26 3.6 Minh họa mơ hình antenna đại dương [1] 27 3.7 Mô tả chuyển động antenna thời gian phút 28 3.8 (a) Minh họa chuyển động lắc (b) Phân tích lực cho lắc [1] 30 3.9 Mô tả chuyển động lắc dao động khơng có gió với vận tốc góc kích thích ban đầu ωmax khác 20 giây kể từ lúc bắt đầu dao động 33 3.10 Mô tả chuyển động lắc dao động có gió thổi theo phương ngang có vận tốc khơng đổi u0 = 20 m/s 36 3.11 So sánh trường hợp lắc dao động không gió có gió với kích thích ωmax = rad/s rad/s 37 vi 3.12 So sánh trường hợp lắc dao động có gió với ωmax = rad/s có gió thổi u(t) = 20 m/s, gió thổi điều hịa với chu kì T = s 10 s 38 vii Kí hiệu viết tắt • cm: khối tâm (center of mass) viii Giới thiệu Trong phân môn vật lý học, học xuất nhằm cung cấp nghiên cứu chuyển động vật [1] Trong đó, học vật rắn phân nhánh học, nghiên cứu chuyển động biến dạng vật rắn tác dụng lực, thay đổi nhiệt độ tác nhân khác từ bên bên hệ Lĩnh vực ứng dụng học vật rắn đa dạng, không khoa học mà ngành khoa học ứng dụng khí, kết cấu cơng trình, [2] Do đó, từ Galileo Galilei, Robert Hooke qua Charles-Augustin de Coulomb, James Clerk Maxwell hay John von Neumann Albert Einstein, học vật rắn chủ đề thu hút nhà nghiên cứu suốt 400 năm qua [3] Phương pháp truyền thống để giải toán liên quan đến học vật rắn sử dụng cơng cụ giải tích tốn học như: đạo hàm, tích phân, phương trình vi phân, Khi đó, mối liên hệ đại lượng vật lý hệ biểu diễn cách tường minh cơng thức tốn học Tuy nhiên, gắn điều kiện thực tế vào toán lắc dao động tắt dần tác dụng lực cản tỉ lệ với bình phương vận tốc, hay trường hợp gió thổi việc xử lý giải tích vơ khó khăn Khi này, cách tiếp cận hiệu giải số dựa lập trình tính tốn ngơn ngữ lập trình như: Fortran, Python, Matlab, C, Trong phương pháp giải số, mối liên hệ đại lượng vật lý thể , = −c sin θ − c dt dt dt2 (3.18) với c1 = 1.5g/L ≈ 2.943 rad/s2 , c2 = 0.18L = 0.9 rad−1 Các giá trị c1 c2 xác định từ thực nghiệm đo đạc [1] Chúng liên quan đến tính chất mơi trường mà antenna chuyển động mơi trường Cụ thể, c1 thể độ lớn gia tốc biểu kiến lực đẩy Archimedes phương thẳng đứng ngược chiều với trọng lực Trong đó, giá trị c2 cho biết độ lớn lực cản Nếu c1 = g/L c2 = ta quay trở lại tốn lắc vật lý khảo sát trước mục 3.2 Điều kiện đầu cho sau [1]: θ0 = 10◦ = π/18 rad, ω0 = Phương trình (3.18) thường khó khăn việc giải xác để có nghiệm giải tích Hiện khơng có giáo trình đưa kết giải tích cho dao động tắt dần có lực cản tỉ lệ bình phương vận tốc [9–11] Do đó, ta cần giải số để mơ tả q trình dao động antenna nước Khảo sát kết giải số nghiệm gần cho tốn tắt 27 Hình 3.7 Mô tả chuyển động antenna thời gian phút 28 dần trình bày chi tiết số cơng trình nghiên cứu gần [12–15] Để giải số phương trình (3.18) phương pháp Runge-Kutta, ta khai báo hàm DERIV = -2.943 * sin(temp(1)) - 0.9 * abs(temp(2)) * temp(2) Hình 3.7 biểu diễn kết giải số cho đại lượng góc θ(t), vận tốc góc ω(t) gia tốc góc γ(t) thời gian t = 60 giây kể từ lúc bắt đầu dao động Ta thấy rằng, biên độ giảm dần theo thời gian, chứng tỏ antenna có xu hướng dao động tắt dần Sự tắt dần thể qua số hạng −c2 |ω|ω phương trình (3.18) Số hạng đặc trưng cho yếu tố lực cản môi trường chất lỏng suốt trình antenna dao động đáy đại dương Ngồi ra, ta cịn thấy tắt dần vận tốc góc gia tốc góc biểu diễn hình 3.7 3.4 Con lắc vật lý tác dụng gió Một lắc gồm cầu đặc có khối lượng M bán kính R Tâm cầu treo vào đầu sợi dây mỏng, nhẹ (bỏ qua khối lượng) có chiều dài L Đầu lại dây treo cố định Bỏ qua ma sát điểm treo, cầu bị ảnh hưởng lực cản khơng khí, xem lực cản khơng khí tỉ lệ với bình phương vận tốc Hình 3.8 mô tả chuyển động lắc bị ảnh hưởng gió ⃗u(t) = u(t)⃗i theo phương ngang Ta giả sử ban đầu lắc xuất phát θ0 = với vận tốc góc ω(t0 ) = ωmax t0 = Dựa vào giản đồ phân tích lực hình 3.8(b), ta thấy lắc bị ảnh ⃗ ≡G ⃗ = −M g⃗j Do dây khơng có khối lượng nên hưởng trọng trường P trọng tâm tập trung tâm cầu Chọn gốc tọa độ O điểm treo Ta 29 Hình 3.8 (a) Minh họa chuyển động lắc (b) Phân tích lực cho lắc [1] có ⃗r = ⃗rG = L sin θ⃗i − L cos θ⃗j (3.19) Moment trọng lực ⃗ ⃗τG = ⃗r × G (3.20) ⃗ ⃗r, ta Thay đại lượng G ⃗τG = (L sin θ⃗i − L cos θ⃗j) × (−M g⃗j) = −M gL sin θ⃗k (3.21) Lực cản khơng khí xác định sau F⃗D = −D|⃗v − ⃗u|(⃗v − ⃗u), (3.22) đó, ⃗v vận tốc khối tâm cầu ⃗u vận tốc khơng khí Nếu khơng có gió ⃗u = ⃗0, lực cản khơng có gió trở thành F⃗D = −Dv⃗v Moment lực F⃗D ⃗τD = ⃗rD × F⃗D = ⃗r × F⃗D 30 (3.23) Trong trường hợp khơng có gió, ⃗u = ⃗0 ⃗τD = ⃗r × (−Dv⃗v ) (3.24) Do ⃗r ⊥ ⃗v , ta ⃗r × ⃗v = Lv⃗k Thay v = ωL, ta τz,D = −DL3 |ω|ω (3.25) Như tổng moment lực theo trục Oz τz = τz,G + τz,D = −M gL sin θ − DL3 |ω|ω (3.26) Theo định luật hai Newton, ta có Iγ = τz = −M gL sin θ − DL3 |ω|ω, (3.27) đó, moment qn tính xác định dựa định lý SteinerHuygens với moment quán tính khối tâm cầu ta biết Icm = M R2 (xem bảng 1.2) I = Icm + M L2 = M R2 + M L2 (3.28) Ta hồn tồn giải trực tiếp thu nghiệm giải tích trường hợp góc nhỏ Tuy nhiên, ta giải số cho trường hợp γ= M gL DL3 d2 θ = − sin θ − |ω|ω, dt2 I I (3.29) với điều kiện đầu θ(t = 0) = ω(t = 0) = ωmax Ta cho L = m, R = 0.02 m, mật độ khối lượng ρm = 7000 kg/m3 , D = 12ρk R2 với mật độ khơng khí ρk = 1.293 kg/m3 , M = πR3 ρm , gia 31 tốc trọng trường g = 9.8 m/s2 [1] Phương trình (3.29) giải số cách khai báo hàm DERIV = -9.798432251 * sin(temp(1)) - 0.02645413981 * abs(temp(2)) * temp(2) Khoảng chia thời gian tstep = 0.01 Hình 3.9 mơ tả chuyển động lắc dao động khơng có gió với vận tốc góc ban đầu ωmax = 2, 6, 10 rad/s thời gian 20 giây Ta thấy với kích thích dao động nhỏ ωmax = rad/s, lắc dao động tắt dần quanh vị trí cân θ = Trong đó, với kích thích ωmax = 10 rad/s, ta thấy góc dao động θ tăng dần khoảng giây Điều hoàn tồn hợp lý kích thích lớn, hệ có lớn, dẫn đến biên độ dao động tăng lên Con lắc lúc di chuyển khoảng vòng tròn đầu tương ứng với θ = 8π ≈ 25.12 rad, sau bắt đầu dao động trở lại sau giây đầu quanh vị trí cân θ = 8π Quá trình dao động tắt dần ảnh hưởng lực cản khơng khí Các đồ thị liên quan đến vận tốc góc gia tốc góc thể tính chất tương tự Ở kích thích nhỏ, vận tốc góc gia tốc góc thể rõ tính điều hịa kích thích mạnh Khi có gió, ta giả sử gió thổi với vận tốc không đổi u(t) = u0 Tức ⃗u = u0⃗i (3.30) Ta có ⃗v − ⃗u = v cos θ⃗i + v sin θ⃗j − u0⃗i = (v cos θ − u0 )⃗i + v sin θ⃗j 32 (3.31) (3.32) Hình 3.9 Mơ tả chuyển động lắc dao động khơng có gió với vận tốc góc kích thích ban đầu ωmax khác 20 giây kể từ lúc bắt đầu dao động 33 Độ lớn |⃗v − ⃗u| xác định sau q |⃗v − ⃗u| = (v cos θ − u0 )2 + v sin2 θ q = v + u20 − 2vu0 cos θ (3.33) (3.34) Thay (3.32) (3.34) vào (3.23), ta có moment lực ⃗τD = (L sin θ⃗i − L cos θ⃗j) q × (−D v + u20 − 2vu0 cos θ[(L cos θ − u0 )⃗i + L sin θ⃗j] (3.35) Ta đặt q β = −LD v + u20 − 2vu0 cos θ (3.36) Biểu thức (3.35) viết gọn lại ⃗τD = β(sin θ⃗i − cos θ⃗j) × [(v cos θ − u0 )⃗i + v sin θ⃗j] (3.37) = β[v sin2 θ + (v cos θ − u0 ) cos θ]⃗k (3.38) = β[v − u0 cos θ]⃗k (3.39) Theo định luật hai Newton, ta có Iγ = τz,G + τz,D (3.40) = −M gL sin θ + β[v − u0 cos θ] q = −M gL sin θ − LD v + u20 − 2vu0 cos θ[v − u0 cos θ] (3.41) (3.42) Thay v = ωL, ta cần giải phương trình vi phân d2 θ M gL LD γ= =− sin θ − dt I I q ω L2 + u20 − 2ωLu0 cos θ[ωL − u0 cos θ] (3.43) 34 Cho u0 = 20 m/s Khoảng chia thời gian tstep = 0.01 Với kiện cho trên: L = m, R = 0.02 m, ρm = 7000 kg/m3 , D = 12ρk R2 , ρk = 1.293 kg/m3 , M = πR3 ρm , g = 9.8 m/s2 ; phương trình (3.43) giải số cách khai báo hàm DERIV = -9.798432251 * sin(temp(1)) - 0.02645413981 * sqrt(temp(2)**2 + 20**2 -2 * temp(2) * 20 * cos(temp(1))) * (temp(2) - 20 * cos(temp(1)) Hình 3.10 mơ tả q trình dao động lắc với kích thích ban đầu ωmax = 2, 6, 10 rad/s Ta thấy tắt dần có gió xảy mạnh nhiều so với trường hợp khơng có gió Hình 3.11 thể so sánh hai trường hợp lắc dao động khơng gió có gió với kích thích ωmax = rad/s rad/s Ta thấy vị trí cân trường hợp khơng có gió u0 = nằm góc θ = 2nπ với n = 1, 2, Cụ thể, với ωmax = rad/s, lắc dao động quanh góc θ = 0, ωmax = rad/s lắc dao động quanh vị trí θ = 4π trường hợp khơng gió Đối với trường hợp có gió u0 = 20 m/s, vị trí cân lắc khơng cịn nằm góc θ = 2nπ Hiện tượng tương tự toán lắc dao động trường theo phương ngang lắc đơn điện trường phương ngang Ta hồn tồn mở rộng tốn trường hợp gió thổi có tính chất điều hịa Khi u0 thay hàm điều hịa, ví dụ u0 u(t) =   2πt + cos , T (3.44) với T chu kì gió Tương tự phương trình (3.43) giải số, lúc ta cần viết thêm hàm u(t) hàm DERIV Cụ thể, u = u0 / * (1+ cos(2 * 3.14159265359 * t / TC)), TC chu kì (tính theo giây) nhập với giá trị TC = TC = 10 Giá trị u0 = 20 Phương 35 Hình 3.10 Mơ tả chuyển động lắc dao động có gió thổi theo phương ngang có vận tốc khơng đổi u0 = 20 m/s 36 Hình 3.11 So sánh trường hợp lắc dao động khơng gió có gió với kích thích ωmax = rad/s rad/s trình (3.43) giải số cách khai báo hàm DERIV = -9.798432251 * sin(temp(1)) - 0.02645413981 * sqrt(temp(2)**2 + u**2 -2 * temp(2) * u * cos(temp(1))) * (temp(2) - u * cos(temp(1)) Điểm khác biệt lớn trường hợp xuất tường minh biến thời gian t phương trình (3.43) Hình 3.12 mơ tả q trình dao động lắc có gió thổi điều hịa với chu kì khác T = s T = 10 s Ta thấy xuất gió thổi có tần số khiến cho chu kì lắc bị thay đổi rõ rệt Tuy nhiên, ta thấy có gió thổi, q trình tắt dần lắc khơng xuất trường hợp gió thổi Việc gió thổi điều hòa gần giống với trường hợp lắc dao động cưỡng ngoại lực tuần hoàn Ngoài ra, thời điểm t = nT (n = 1, 2, ) trường hợp gió thổi điều hịa T = s, lắc có xu hướng vị trí biên Với chu kì T = 10 s, ta thấy lúc t = 15 s, biên độ dao động lắc tiến dần 0, nhiên sau đó, biên độ lại tăng trở lại thời điểm t = 20 s Điều cho thấy tăng biên độ trở lại thời điểm gió thổi vào lắc mạnh Do đó, trường hợp gió thổi 37 Hình 3.12 So sánh trường hợp lắc dao động có gió với ωmax = rad/s có gió thổi u(t) = 20 m/s, gió thổi điều hịa với chu kì T = s 10 s điều hịa, gần ta khơng thể thấy lắc tắt dao động hoàn toàn vận tốc gió đủ lớn để kích thích ngược trở lại lắc Ta cần ý việc gió thổi điều hịa khơng có nghĩa ngoại lực tác dụng lên lắc điều hịa, ta khơng thể nói dao động cưỡng với ngoại lực tuần hồn Hơn nữa, tốn xét cịn chịu ảnh hưởng lực cản khơng khí Từ kết giải số này, ta tưởng tượng dễ dàng trình dao động lắc trường hợp phức tạp tốn Do đó, tính ưu việt việc giải số thể rõ nét 38