Biểu diễn đồ thị của hàm số trong đề thi trung học phổ thông quốc gia

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Thị Diệu Phƣớc BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh – 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Thị Diệu Phƣớc BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THƠNG QUỐC GIA Chun ngành: Lí luận phƣơng pháp dạy học mơn Tốn Mã số : 8140111 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN LƢƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Trần Lương Cơng Khanh, trích dẫn trình bày luận văn hồn tồn xác đáng tin cậy Tác giả Bùi Thị Diệu Phƣớc LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến TS Trần Lương Công Khanh, cảm ơn thầy tận tình hướng dẫn, giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, PGS.TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga, TS Tăng Minh Dũng tận tâm, nhiệt tình giảng dạy giúp tơi có kiến thức thú vị chun ngành Didactic Tốn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm giảng viên khoa Toán - Tin học trường ĐH Sư phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt khóa học Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn tha thiết đến gia đình người bạn tơi ln ln sẵn lịng giúp đỡ, động viên, ủng hộ, chia sẻ đồng hành suốt trình học tập nghiên cứu Bùi Thị Diệu Phƣớc MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục chữ viết tắt Danh mục bảng MỞ ĐẦU Chƣơng BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN THPT 13 1.1 Giai đoạn: Hàm số nghiên cứu phương pháp không sử dụng đạo hàm 15 1.1.1 Phân tích chương trình sách giáo khoa 15 1.1.2 Các tổ chức toán học 20 1.1.3 Kết luận 29 1.2 Giai đoạn: Hàm số nghiên cứu phương pháp sử dụng đạo hàm 29 1.2.1 Phân tích chương trình sách giáo khoa 29 1.2.2 Các tổ chức toán học 34 1.2.3 Kết luận 39 1.3 Kết luận chương 39 Chƣơng CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC LIÊN QUAN ĐẾN BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 41 2.1 Các tổ chức toán học liên quan đến đồ thị hàm số 42 2.1.1 Tổ chức toán học liên quan đến chuyển đổi cách biểu diễn hàm số 42 2.1.2 Tổ chức toán học liên quan đến tương giao hai đồ thị 45 2.1.3 Tổ chức tốn học liên quan đến tính chất hàm số 51 2.2 Kết luận chương 56 Chƣơng THỰC NGHIỆM 59 3.1 Mục đích thực nghiệm 59 3.2 Đối tượng hình thức thực nghiệm 59 3.2.1 Thực nghiệm 59 3.2.2 Thực nghiệm 59 3.2.3 Thực nghiệm 60 3.3 Phân tích thực nghiệm giáo viên – thực nghiệm 60 3.3.1 Mục đích thực nghiệm 60 3.3.2 Nội dung thực nghiệm 60 3.3.3 Phân tích câu hỏi khảo sát 61 3.3.4 Phân tích câu trả lời giáo viên 63 3.3.5 Kết luận 65 3.4 Phân tích thực nghiệm học sinh – thực nghiệm thực nghiệm 65 3.4.1 Xây dựng toán thực nghiệm 65 3.4.2 Nội dung toán thực nghiệm 67 3.4.3 Phân tích tiên nghiệm hậu nghiệm thực nghiệm – học sinh lớp 10 68 3.4.4 Phân tích tiên nghiệm hậu nghiệm thực nghiệm – học sinh lớp 12 77 3.5 Kết luận chương 85 KẾT LUẬN 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO 91 PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Từ viết tắt Viết đầy đủ BBT Bảng biến thiên HS Học sinh KNV Kiểu nhiệm vụ NC Nâng cao GTLN Giá trị lớn GTNN Giá trị nhỏ GV Giáo viên SBT Sách tập SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên TCTH Tổ chức toán học TNKQ Trắc nghiệm khách quan THPT Trung học phổ thông DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1 Bảng chuyển đổi ba ngôn ngữ Error! Bookmark not defined Bảng 2.1 So sánh hai kỹ thuật 𝜏SGK-4 𝜏THPT-1 45 Bảng 2.2 Tổng kết KNV xuất đề thi THPT 56 Bảng 2.3 Tóm tắt tiến triển đồ thị thể chế dạy học Toán THPT 57 Bảng 3.1 Thống kê số lượng học sinh lớp 10 lựa chọn chiến lược giải 76 Bảng 3.2 Thống kê số lượng học sinh lớp 12 lựa chọn chiến lược giải 85 MỞ ĐẦU Đặt vấn đề 1.1 Trình bày lý chọn đề tài  Ghi nhận – Nội dung hàm số sách giáo khoa trung học phổ thông Hàm số công cụ quan trọng cho việc xây dựng mơ hình tốn học q trình tượng thực tế Trong chương trình dạy mơn Toán Việt Nam, hàm số xuất xuyên suốt từ lớp đến lớp 12 Đặc biệt với lớp 12, hàm số nội dung trọng tâm chương trình Giải tích 12 chiếm tỉ lệ lớn đề thi kỳ thi tốt nghiệp Trung học phổ thơng Sách Đại số 10 trình bày có cách cho hàm số, là: bảng giá trị, đồ thị, biểu thức giải tích Song, quan sát sách giáo khoa (SGK) Tốn trung học phổ thơng (THPT), nhận thấy hàm số biểu diễn biểu thức giải tích ln chiếm ưu Theo Nguyễn Thị Nga (2003): “Đối với học sinh, hàm số ln gắn liền với biểu thức giải tích Vì vậy, họ gặp phải nhiều khó khăn đối diện với tình hàm số xuất dạng bảng số hay đồ thị” Điều dẫn đến câu hỏi: Hàm số biểu diễn đồ thị tồn SGK THPT Việt Nam?  Ghi nhận – Sự thay đổi xu hƣớng lựa chọn kỹ thuật giải nhiệm vụ có hàm số đƣợc biểu diễn đồ thị Xét toán sau: Dưới số hàm số cho đồ thị Em cho biết hàm số có đạt cực trị điểm hay khơng? Giải thích ý kiến em 𝑥𝑜 = −1 𝑥𝑜 = 𝑥𝑜 = −1 𝑥𝑜 = −1 Đây toán thực nghiệm Phan Quang Thắng (2012) Thực nghiệm nhằm kiểm chứng giả thuyết mà tác giả đưa ra: “Kĩ thuật sử dụng đồ thị học sinh huy động tìm cực trị hàm số” Kết tác giả thu sau: + Có 44/80 học sinh (HS) ( chiếm tỉ lệ 55%) sử dụng chiến lược chuyển từ đồ thị sang BBT để tìm cực trị + Có 30/80 HS (37,5%) sử dụng chiến lược dùng định nghĩa + Khơng có HS sử dụng chiến lược dùng đồ thị hay tiếp tuyến để giải Tuy nhiên, tiến hành thực nghiệm lại toán cho 30 HS lớp 12C8 trường THPT Võ Nguyên Giáp, Quảng Ngãi thu kết sau: + Có 18/30 HS (60%) sử dụng chiến lược đồ thị + Có 10/30 HS (33,3%) sử dụng chiến lược chuyển từ đồ thị sang BBT để tìm cực trị + Có 2/30 HS (6,7%) sử dụng chiến lược tìm biểu thức giải tích hàm số 86 tiến hành hai thực nghiệm mà chiến lược hình học (sử dụng đồ thị) chiến lược tối ưu Đối tượng hai thực nghiệm HS lớp 10 HS lớp 12 Qua phân tích chương 1, HS lớp 10 giai đoạn đồ thị công cụ hữu hiệu để khảo sát tính chất hàm số HS lớp 12 giai đoạn dựa vào tính chất hàm số để vẽ đồ thị Tuy nhiên, với 123 HS tham gia thực nghiệm 82 HS tham gia thực nghiệm Kết thực nghiệm nhận là: Đối với HS lớp 10: Ngay giả thiết cung cấp đồ thị hàm số, HS cố gắng tìm biểu thức giải tích hàm số để thực nhiệm vụ tìm tọa độ, lập BBT hàm” Đối với HS lớp 12: Khi giả thiết cung cấp đồ thị hàm số, HS lớp 12 sử dụng đồ thị để thực nhiệm vụ tìm tọa độ cực trị hàm số, lập BBT hàm số tìm tất nghiệm phương trình = Như vậy, đề thi THPT giúp làm tiến triển đến quan hệ cá nhân HS với đối tượng đồ thị hàm số 87 KẾT LUẬN Đồ thị hàm số sách giáo khoa thể chế dạy học Tốn Trung học phổ thơng Việt Nam Cũng nghiên cứu trước hàm số SGK thể chế dạy học toán THPT Việt Nam, biểu diễn hàm số biểu thức giải tích chiếm ưu so với cách biểu diễn khác Ưu tiên công cụ đại số hay giải tích để giải vấn đề hàm số cơng cụ hình học Ở giai đoạn hàm số nghiên cứu phương pháp không sử dụng đạo hàm, đồ thị xem cơng cụ hữu hiệu để khảo sát tính chất hàm số Ở giai đoạn hàm số nghiên cứu phương pháp sử dụng đạo hàm, tính chất hàm số nghiên cứu thông qua mối liên hệ với đạo hàm Do đó, chủ yếu nghiên cứu hàm số biểu diễn biểu thức giải tích Ở giai đoạn này, đồ thị vẽ dựa vào tính chất hàm số Có 14 KNV trình bày SGK mà đồ thị đóng vai trò giả thiết Tuy nhiên, đồ thị yêu cầu vẽ trước Các hàm số hàm có đồ thị trình bày SGK trước Các KNV xuất SGK chủ 88 yếu mang tính định tính, nghĩa xác định tính chất hàm số mà khơng sử dụng tính chất để giải vấn đề khác Đồ thị hàm số đề thi Trung học phổ thông Trong đề thi THPT, hàm số chủ yếu biểu diễn biểu thức giải tích đồ thị Biểu diễn hàm số đồ thị trở nên phổ biến so với SGK Ngồi hai cách biểu diễn này, đơi giả thiết toán cho BBT hàm số Đây cách cho hoàn toàn xuất so với SGK Đồ thị cung cấp thông tin hàm số cách trực quan Cơng cụ hình học kết hợp với công cụ đại số để giải vấn đề hàm số Các KNV xuất đề thi THPT không dừng lại việc xác định tính chất hàm số, mà cịn dùng tính chất để giải vấn đề liên quan Các KNV liên quan đến đồ thị không dừng lại mức độ nhận biết tính chất hàm số mà cịn tiến đến mức độ thông hiểu, vận dụng Các kỹ thuật KNV đề thi THPT bổ sung vào phương pháp đọc đồ thị như: đọc điểm cực trị; đọc tiệm cận đứng – tiệm cận ngang, dấu đạo hàm khoảng xác định… Liên quan đến đạo hàm hàm số, đề thi THPT bổ sung thêm cách biểu diễn hàm đạo hàm đồ thị mối liên hệ đồ thị dấu hàm đạo hàm hàm khoảng xác định Bảng tóm tắt tiến triển đồ thị thể chế dạy học Toán THPT Sách giáo khoa Cách biểu diễn hàm số Phương pháp đọc đồ thị + Đồ thị; + Biểu thức giải tích Trong đó, biểu thức giải tích chiếm ưu Đề thi THPT + Đồ thị; + Biểu thức giải tích; + BBT Trong đó, biểu thức giải tích khơng cịn chiếm ưu - Giá trị hàm số - Dạng biểu thức giải tích điểm cho trước; hàm số; - Giá trị x để hàm số nhận - Dấu hệ số biểu 89 Đề thi THPT Sách giáo khoa giá trị cho trước thức giải tích hàm số; - Sự biến thiên BBT; - Đọc tọa độ điểm cực trị - GTLN nhỏ hàm hàm số; - Tiệm cận đứng tiệm cận số; - Dấu hàm số điểm ngang đồ thị hàm phân khoảng thức loại I; - Tính chẵn – lẻ hàm số Định tính: xác định tính Đặc điểm chất hàm số mà khơng sử KNV dụng tính chất để giải vấn đề khác Định tính; Định lượng: xác định tính chất hàm số dùng tính chất để giải vấn đề liên quan Vai trị cơng cụ đồ thị vận dụng kỹ thuật 𝜏 nhiều so với kỹ thuật 𝜏 Như vậy, đề thi THPT tạo hội để phát triển mối quan hệ cá nhân HS đối tượng đồ thị hàm số Ảnh hƣởng đề thi Trung học phổ thông lên mối quan hệ cá nhân học sinh đối tƣợng đồ thị hàm số Chương tiến hành thực nghiệm nghiên cứu tác động đề thi THPT với mối quan hệ cá nhận HS đối tượng đồ thị hàm số Chúng tơi tiến hành hai thực nghiệm mà chiến lược hình học (sử dụng đồ thị) chiến lược tối ưu Đối tượng hai thực nghiệm HS lớp 10 HS lớp 12 Qua phân tích chương 1, HS lớp 10 giai đoạn đồ thị công cụ hữu hiệu để khảo sát tính chất hàm số HS lớp 12 giai đoạn dựa vào tính chất hàm số để vẽ đồ thị Tuy nhiên, kết thực nghiệm nhận là: Đối với HS lớp 10: Ngay giả thiết cung cấp đồ thị hàm số, HS cố gắng tìm biểu thức giải tích hàm số để thực nhiệm vụ tìm tọa độ, lập BBT hàm” 90 Đối với HS lớp 12: Khi giả thiết cung cấp đồ thị hàm số, HS lớp 12 sử dụng đồ thị để thực nhiệm vụ tìm tọa độ cực trị hàm số, lập BBT hàm số tìm tất nghiệm phương trình = Như vậy, đề thi THPT giúp làm tiến triển đến quan hệ cá nhân HS với đối tượng đồ thị hàm số 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009) Những yếu tố Didactic Tốn, Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh Bộ Giáo dục Đào tạo (2018) Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn Đặng Minh Hải (2009) Các tính chất hàm số mối liên hệ chúng dạy học toán phổ thông Luận văn thạc sĩ Giáo dục học Chuyên ngành Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh Đồn Quỳnh (2008), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên, 2013), Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên, 2013), Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên, 2014), Đại số 10 nâng cao, Nxb Giáo dục Lê Thị Hoài Châu Claude Comiti (2018) Thuyết nhân học Didactic Toán Nxb Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Lê Thị Bích Siêng (2017) Bài toán khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số bối cảnh đánh giá hình thức trắc nghiệm khách quan Luận văn thạc sĩ Giáo dục học Chuyên ngành Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh Hoàng Quý, Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng, Trần Văn Hạo Lê Thị Thiên Hương (2010), Từ điển bách khoa phổ thơng Tốn học Nxb Giáo dục Việt Nam Nguyễn Huy Đoan tác giả (2014), Sách tập Giải tích 12 Nâng cao, Nxb Giáo dục Nguyễn Ngọc Kiên (2012) Đồ thị hàm số mối liên hệ với biểu thức đại số hàm số trường phổ thông Luận văn thạc sĩ Giáo dục học Chuyên ngành Lý luận phương pháp dạy học môn Tốn Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh 92 Nguyễn Quốc Tuấn (2013) Nghiên cứu giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Trung học phổ thông Luận văn thạc sĩ Giáo dục học Chuyên ngành Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Thị Hồng Duyên (2012) Sự chuyển đổi hệ thống biểu đạt dạy học hàm số lớp 12 Luận văn thạc sĩ Giáo dục học Chuyên ngành Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Thị Nga (2013) Dạy học hàm số trường phổ thông Khóa luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Thị Tuyết Lan (2013) Bài toán khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số trường trung học phổ thông Việt Nam Luận văn thạc sĩ Giáo dục học Chuyên ngành Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh Phan Quang Thắng (2012) Nghiên cứu didactic khái niệm cực trị hàm số dạy học Toán lớp 12 Luận văn thạc sĩ Giáo dục học Chuyên ngành Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh Phan Tấn Phú (2012) Mơ hình hóa dạy học hàm số: vấn đề tìm mơ hình hàm từ bảng giá trị Luận văn thạc sĩ giáo dục học Chuyên ngành Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh Trần Lương Công Khanh (2018) Chuyển đổi phạm vi hệ thống biểu đạt: khái niệm, đặc điểm vận dụng giải toán Đề tài nghiên cứu khoa học cấp Sở Trần Trường Sinh (2012) Bảng biến thiên dạy học hàm số Trung học phổ thông Luận văn thạc sĩ Giáo dục học Chuyên ngành Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh Trần Văn Hạo tác giả (2008), Giải tích 12 bản, Nxb Giáo dục 93 Trịnh Duy Trọng (2009) Cuộc sống ngầm ẩn tính tốn đại số dạy học hàm số trung học phổ thông Luận văn thạc sĩ Giáo dục học Chuyên ngành Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh PL1 PHỤ LỤC PHỤ LỤC Dạng đồ thị hàm số = = = = − 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 PL2 PHỤ LỤC Dạng đồ thị hàm số = = 2.1 2.2 2.3 2.4 PL3 PHỤ LỤC Dạng đồ thị hàm số = 3.1 = − 3.2 PL4 PHỤ LỤC Dạng đồ thị hàm số = = tử không chia hết cho mẫu) = − − 4.1 4.2 4.3 4.4 PL5 PHỤ LỤC - PHIẾU KHẢO SÁT Ý KIẾN CỦA GIÁO VIÊN Trường giảng dạy: Tỉnh/ Thành phố: Trong nội dung giảng dạy chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số, Thầy/ cô bổ sung thêm dạng tập đồ thị hàm số cho HS Vui lịng giải thích lựa chọn thứ tự ưu tiên dạng toán q Thầy/cơ - Thầy chọn dạng tốn đưa vào giảng dạy? Thầy vui lịng cho biết dạng toán ưu tiên theo thứ tự từ đến vào cột thứ Tương ứng dạng tốn Thầy ưu tiên dạng tốn ưu tiên - Vui lịng giải thích lý (cột thứ ba) dạng tốn Thầy lựa chọn giảng dạy có thứ tự ưu tiên vậy? - Nếu có dạng tốn q Thầy giảng dạy không liệt kê cột thứ hai, Thầy bổ sung dịng cuối Cuối cùng, chúng tơi xin chân thành cảm ơn quý Thầy cô tham gia khảo sát TT Dạng tập = Từ đồ thị hàm số Giải thích , xác định tính chất (khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, GTLN – GTNN, …) hàm số Từ đồ thị hàm số = , xác định tính chất (khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, GTLN – GTNN, …) hàm số = Từ đồ thị hàm số = liên quan đến hàm số = [ ] hay = = Với =| xác định vấn đề = |… Từ đồ thị xác định biểu thức giải tích hàm số Sử dụng đồ thị để biện luận nghiệm phương trình PL6 PHỤ LỤC - PHIẾU CÂU HỎI SỐ DÀNH CHO HS LỚP 10 Họ tên: Lớp: Trường: Cho hàm số = = có đồ thị hình vẽ: Hãy giải yêu cầu sau (thứ tự trả lời em tùy chọn): : Xác định tọa độ đỉnh giao điểm (P) với trục hoành trục tung ★: Lập bảng biến thiên hàm số : Xác định giá trị a, b, c : So sánh hai giá trị 𝑓 − 𝑓 PL7 PHỤ LỤC - PHIẾU CÂU HỎI SỐ DÀNH CHO HS LỚP 12 Họ tên: Lớp: Trường: Cho hàm số = = có đồ thị hình vẽ: Hãy giải yêu cầu sau (thứ tự trả lời em tùy chọn): : Xác định tọa độ điểm cực trị hàm số ★: Lập bảng biến thiên hàm số : Xác định giá trị a, b, c : Tìm tất nghiệm phương trình 𝑦 =