Dạy học mô hình hóa chủ đề hàm số mũ và hàm số logarit ở trường trung học phổ thông

Trang 13 trở nên ý nghĩa hơn; trang bị cho học sinh khả năng sử dụng tốn học như một cơng cụ để giải quyết vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngồi tốn, từ đó giúp học sinh thấy được

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG TRUNG HÒA

DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA CHỦ ĐỀ HÀM SỐ MŨ

VÀ HÀM SỐ LOGARIT Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC

PHỔ THÔNG

Ngành: Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán

Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Danh Nam

Thái Nguyên, 2021

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn của PGS, TS Nguyễn Danh Nam Em không sao chép từ công trình nào khác

Các tài liệu trong luận văn là trung thực, em kế thừa và phát huy các thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự biết ơn chân thành

Thái nguyên, tháng 6 năm 2021

Người viết luận văn

Hoàng Trung Hòa

LỜI CẢM ƠN

Để có thể hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên cạnh sự cố gắng lỗ lực của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy, cô, Ban giám hiệu nhà trường, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình

và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ

Trước hết, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS, TS Nguyễn Danh Nam, người Thầy hướng dẫn khoa học đã hết lòng giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng toàn thể quý Thầy cô trong khoa Toán, Bộ phận sau đại học - Phòng Đào tạo - trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn luận văn

Xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Cách Linh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong công tác để người viết hoàn thành luận văn đúng thời hạn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên, khích lệ em trong suốt quá trình làm luận văn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2021

Tác giả Hoàng Trung Hòa

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT iv

DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH VẼ v

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 5

3 Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu 6

4 Giả thuyết khoa học 6

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 6

6 Phương pháp nghiên cứu 6

7 Dự kiến đóng góp của luận văn 7

8 Cấu trúc của luận văn 7

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 8

1.1 Mô hình và mô hình hóa 8

1.1.1 Mô hình và mô hình hóa 8

1.1.2 Mô hình hóa trong toán học 11

1.1.3 Năng lực mô hình hóa trong toán học 12

1.1.4 Các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học 14

1.2 Quy trình mô hình hóa trong toán học 15

1.2.1 Quy trình mô hình hóa 15

1.2.2 Quy trình mô hình hóa trong toán học 16

1.2.3 Vai trò của mô hình hóa trong toán học 19

1.3 Dạy học bằng mô hình hóa toán học 22

1.3.1 Dạy học bằng mô hình hóa 22

1.3.2 Thiết kế hoạt động mô hình hóa 24

1.3.3 Tổ chức hoạt động học tập với mô hình hóa 29

1.4 Nội dung chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit trong chương trình trung

học phổ thông 31

1.5 Thực trạng của việc dạy học bằng mô hình hóa chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit ở trường trung học phổ thông 35

1.5.1 Phân phối chương trình chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit 36

1.5.2 Tình hình dạy học mô hình hóa trong chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit ở trường phổ thông 37

1.6 Tiểu kết chương 1 47

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC BẰNG MÔ HÌNH HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT 49

2.1 Một số biện pháp dạy học bằng phương pháp mô hình hóa cho học sinh trong dạy học hàm số mũ, hàm số logarit 49

2.1.1 Rèn luyện các thành tố của năng lực mô hình hóa 49

2.1.2 Tổ chức các hoạt động dạy học bằng mô hình hóa 54

2.1.3 Tăng cường các hoạt động vận dụng toán học trong thực tiễn 67

2.2 Tiểu kết chương 2 80

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 81

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 81

3.2 Nội dung thực nghiệm sư phạm 81

3.3 Đối tượng thực nghiệm sư phạm 81

3.4 Kết quả thực nghiệm sư phạm 82

3.4.1 Phân tích định tính 82

3.4.2 Phân tích định lượng 84

3.5 Tiểu kết chương 3 89

KẾT LUẬN 90

TÀI LIỆU THAM KHẢO 92

PHỤ LỤC

DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ

DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH VẼ

Bảng

Bảng 3.1 Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp thực

nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) 84 Bảng 3.2 Bảng phân bố tần số (ghép lớp) kết quả của bài kiểm tra 45

phút lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) 84 Bảng 3.3 Bảng phân bố tần suất điểm kiểm tra 45 phút 85 Bảng 3.4 Bảng phân bố (ghép lớp) tần suất điểm kiểm tra 45 phút 85

Biểu đồ

Biểu đồ 1.1 Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ cần thiết của việc tăng

cường liên hệ môn Toán THPT với thực tiễn 38 Biểu đồ 1.2 Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên tìm hiểu

những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với kiến thức môn Toán ở trường THPT 38 Biểu đồ 1.3 Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên thiết kế các

hoạt động giúp HS THPT hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn 39 Biểu đồ 1.4 Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên sử dụng công

nghệ thông tin giúp HS THPT hiểu những mô hình của toán học trong thực tiễn 39 Biểu đồ 1.5 Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên thiết kế bài

tập, bài kiểm tra theo hướng vận dụng MHH toán học để giải quyết bài toán nảy sinh từ thực tiễn 40 Biểu đồ 1.6 Tỷ lệ GV đánh giá về tầm quan trọng của MHH toán học

trong dạy học Toán ở trường THPT 40 Biểu đồ 1.7 Tỷ lệ GV đánh giá về việc rèn luyện kỹ năng cho HS

Biểu đồ 1.8 Tỷ lệ GV đánh giá về những hiểu biết cần thiết của GV

trong việc dạy học bằng MHH 41

Biểu đồ 1.9 Tỷ lệ GV đánh giá, nhận thức về thành tố của năng lực MHH trong môn Toán 42

Biểu đồ 1.10 Tỷ lệ HS đánh giá về mức độ cần thiết của việc tăng cường liên hệ toán học với thực tiễn trong học Toán ở THPT 43

Biểu đồ 1.11 Tỷ lệ HS đánh giá về mức độ thường xuyên tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với môn Toán ở trường THPT 44

Biểu đồ 1.12 Tỷ lệ HS đánh giá về mức độ thường xuyên được tiếp xúc với các bài tập, bài kiểm tra có yêu cầu vận dụng MHH toán học 44

Biểu đồ 1.13 Tỷ lệ HS đánh giá về tầm quan trọng của MHH toán học trong dạy học Toán ở trường THPT 45

Biểu đồ 3.1 Biểu đồ phân bố tần số điểm bài kiểm tra 45 phút 85

Biểu đồ 3.2 Biểu đồ phân bố tần số (ghép lớp) điểm bài kiểm tra 45 phút 86

Biểu đồ 3.3 Biểu đồ cột phân bố tần suất điểm bài kiểm tra 45 phút 86

Biểu đồ 3.4 Biểu đồ hình quạt tần suất (ghép lớp) điểm bài kiểm tra 45 phút 87

Biểu đồ 3.5 Biểu đồ hình quạt tần suất (ghép lớp) điểm bài kiểm tra 45 phút 87

Sơ đồ Sơ đồ 1.1 Quy trình MHH (theo Swetz & Hartzler, 1991) 16

Sơ đồ 1.2 Quy trình MHH toán học trong dạy học môn Toán 17

Sơ đồ 1.3 Quy trình MHH trong dạy học bằng MHH 23

Sơ đồ 1.4 Các bước tổ chức hoạt động MHH 25

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Giáo dục và đào tạo (GDĐT) luôn được coi là quốc sách hàng đầu,

là sự nghiệp của Đảng, Nhà nước và của toàn dân Đầu tư cho giáo dục là đầu

tư phát triển, được ưu tiên đi trước trong các chương trình, kế hoạch phát triển kinh tế – xã hội Nghị quyết số 29- NQ/TW về đổi mới căn bản, toàn diện GDĐT, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế đã nêu rõ mục tiêu:

[6] “Tạo chuyển biến căn bản, mạnh mẽ về chất lượng, hiệu quả giáo dục, đào tạo; đáp ứng ngày càng tốt hơn công cuộc xây dựng, bảo vệ Tổ quốc và nhu cầu học tập của nhân dân Giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện

và phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân; yêu gia đình, yêu Tổ quốc, yêu đồng bào; sống tốt và làm việc hiệu quả Xây dựng nền giáo dục mở, thực học, thực nghiệp, dạy tốt, học tốt, quản lý tốt; có cơ cấu và phương thức giáo dục hợp lý, gắn với xây dựng xã hội học tập; bảo đảm các điều kiện nâng cao chất lượng; chuẩn hóa, hiện đại hóa, dân chủ hóa, xã hội hóa và hội nhập quốc tế hệ thống giáo dục và đào tạo; giữ vững định hướng xã hội chủ nghĩa và bản sắc dân tộc Phấn đấu đến năm 2030, nền giáo dục Việt Nam đạt trình độ tiên tiến trong khu vực”

Quốc hội đã ban hành Nghị quyết số 88/2014/QH ngày 28/11/2014 về đổi mới chương trình, SGK giáo dục phổ thông góp phần đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo [7] Ngày 27/3/2015 Thủ tướng chính phủ đã ban hành Quyết định số 404/QĐ- TTg phê duyệt đề án đổi mới chương trình, SGK giáo dục phổ thông Mục tiêu của đổi mới được Nghị quyết 88/2014/QH13 quy

định: “Đổi mới chương trình, SGK giáo dục phổ thông nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả giáo dục phổ thông, kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp, góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm

chất và năng lực, hài hòa đức, trí, thể, mĩ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh” [13]

Luật Giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2019 tại

khoản 1 điều 29 đã quy định: “Mục tiêu của Giáo dục phổ thông nhằm phát triển toàn diện cho người học về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ, kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo; hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho người học tiếp tục học chương trình giáo dục đại học, giáo dục nghề nghiệp hoặc tham gia lao động, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.” [5]

Chương trình giáo dục phổ thông mới được xây dựng theo định hướng phát triển phẩm chất và năng lực của học sinh, tạo môi trường học tập và rèn luyện giúp học sinh phát triển hài hòa cả về thể chất và tinh thần, trở thành người học tích cực, tự tin, biết vận dụng các phương pháp học tập tích cực để hoàn chỉnh các tri thức và kĩ năng nền tảng, có ý thức lựa chọn nghề nghiệp và học tập suốt đời, có những phẩm chất tốt đẹp và năng lực cần thiết để trở thành người công dân có trách nhiệm, người lao động có văn hóa, cần cù, sáng tạo, đáp ứng nhu cầu phát triển của cá nhân và yêu cầu của sự nghiệp xây dựng, bảo

vệ đất nước trong thời đại toàn cầu hóa và cách mạng công nghiệp mới

1.2 Để thực hiện các mục tiêu trên, Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành Thông tư số 32/2018/TT- BGDĐT ngày 26/12/2018 ban hành chương trình

giáo dục phổ thông với mục tiêu cấp THPT: “Chương trình giáo dục trung học phổ thông giúp học sinh tiếp tục phát triển những phẩm chất, năng lực cần thiết đối với người lao động, ý thức và nhân cách công dân, khả năng tự học và

ý thức học tập suốt đời, khả năng lựa chọn nghề nghiệp phù hợp với năng lực

và sở thích, điều kiện và hoàn cảnh của bản thân để tiếp tục học lên, học nghề hoặc tham gia vào cuộc sống lao động, khả năng thích ứng với những đổi thay trong bối cảnh toàn cầu hoá và cách mạng công nghiệp mới” [16]

Chương trình giáo dục phổ thông mới sẽ hình thành và phát triển cho học

sinh 5 phẩm chất là yêu nước, nhân ái, chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm

Ngoài ra, chương trình cũng hình thành và phát triển cho học sinh 10 năng lực cốt lõi được chia ra thành 2 nhóm năng lực chính là năng lực chung và năng lực chuyên môn

Năng lực chung là những năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi, làm nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề nghiệp Các năng lực này được hình thành và phát triển dựa trên bản năng di truyền của con người, quá trình giáo dục và trải nghiệm trong cuộc sống; đáp ứng yêu cầu của nhiều loại hình hoạt động khác nhau Nhưng năng lực chung

sẽ được nhà trường và giáo viên giúp các em học sinh phát triển trong chương

trình giáo dục phổ thông là: năng lực tự chủ và tự học; năng lực giao tiếp và hợp tác; năng lực giải quyết vấn đề

Năng lực chuyên môn là những năng lực được hình thành và phát triển trên cơ sở các năng lực chung theo định hướng chuyên sâu, riêng biệt trong các loại hình hoạt động, công việc hoặc tình huống, môi trường đặc thù, cần thiết cho những hoạt động chuyên biệt, đáp ứng yêu cầu hạn hẹp hơn của một hoạt động Đây cũng được xem như một năng khiếu, giúp các em mở rộng và phát huy bản thân mình nhiều hơn Các năng lực chuyên môn được rèn luyện và

phát triển trong chương trình giáo dục phổ thông mới là: Năng lực ngôn ngữ; Năng lực tính toán; Năng lực tin học; Năng lực thể chất; Năng lực thẩm mỹ; Năng lực ông nghệ; Năng lực tìm hiểu tự nhiên và xã hội

Mục tiêu chung của Chương trình môn Toán giúp HS hình thành và phát

triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán Bên cạnh việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kỹ năng liên

quan đến toán học như khái niệm, định lí, công thức, quy tắc thì dạy toán cần

giúp học sinh phát triển kỹ năng kết nối các kiến thức đó để giải quyết những vấn đề thực tiễn Khi sử dụng toán học để giải quyết vần đề ngoài lĩnh vực toán học thì mô hình toán học và quá trình mô hình hóa toán học là những công cụ cần thiết

Dạy học theo định hướng phát triển năng lực và phẩm chất là mục tiêu quan trọng và chủ yếu của công cuộc đổi mới giáo dục hiện nay Mỗi học sinh

có một nền tảng bẩm sinh, di truyền khác nhau, có một năng lực nhận thức khác nhau, có kiến thức, kỹ năng khác nhau, do đó để phát triển được năng lực cho HS đòi hỏi dạy học phải sát đối tượng để các em có thể đạt được mục tiêu giáo dục và phát huy tối đa tiềm năng của bản thân

1.3 Lịch sử hình thành và phát triển toán học đã cho thấy toán học có nguồn gốc từ thực tế, chính sự phát triển của thực tiễn đã có tác dụng lớn đối với các nội dung toán học Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, phát triển và hoàn thiện các lý thuyết toán học Toán học không phải là một sản phẩm thuần túy của trí tuệ mà được phát sinh và phát triển do nhu cầu thực tế của cuộc sống, trở lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn và thúc đẩy thực tiễn phát triển với vai trò là công cụ, toán học sẽ giúp giải quyết các bài toán do chính thực tiễn đặt ra Toán học có mối quan hệ chặt chẽ với thực tế và có thể ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, toán học là công cụ học tập các môn học khác trong nhà trường, nghiên cứu nhiều ngành khoa học và có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông

1.4 Bên cạnh việc cung cấp cho HS những kiến thức và kỹ năng liên quan đến toán học như khái niệm, định lí, công thức, quy tắc thì dạy toán cần giúp học sinh phát triển kỹ năng kết nối các kiến thức đó để giải quyết những vấn đề thực tiễn Khi sử dụng toán học để giải quyết vần đề ngoài lĩnh vực toán học thì mô hình toán học và quá trình hóa toán học là những công cụ cần thiết

Mô hình hóa toán học cho phép học sinh hiểu được giữa toán học với cuộc sống môi trường xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho việc học toán

trở nên ý nghĩa hơn; trang bị cho học sinh khả năng sử dụng toán học như một công cụ để giải quyết vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngoài toán, từ

đó giúp học sinh thấy được tính hữu ích của toán học trong thực tế, khả năng sử dụng toán học vào các tình huống ngoài toán không phải là kết quả tự động của

sự thành thạo toán học thuần túy mà đòi hỏi phải có sự chuẩn bị và rèn luyện

Nội dung “hàm số mũ, hàm số logarit” được đề cập trong chương trình

toán bậc trung phổ thông, SGK – Giải tích lớp 12 chương trình chuẩn [14], SGK – Giải tích lớp 12 Chương trình nâng cao [15] Đây là nội dung kiến thức mới mà thời lượng dành cho nội dung này chỉ có 16 tiết dạy học đối với chương chình chuẩn, 25 tiết dạy học đối với chương trình nâng cao, trong khi

đó mục tiêu của phần này ngoài việc học sinh phải hiểu được các tính chất và

đồ thị của hàm số mũ, hàm số logarit, nhớ và vận dụng được các công thức tính đạo hàm, biết lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị của các hàm số nói trên SGK còn đưa ra thêm các bài toán thực tế như: bài toán lãi suất trong tiền gửi ngân hàng, bài toán vay mua, trả góp; bài toán tăng trưởng về dân số, sinh trưởng của vi sinh vật; bài toán liên quan đến sự phân rã của phóng xạ; tính toán cường độ dư

chấn do động đất; cường độ và mức độ của âm thanh; độ PH trong hóa học …

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THPT và tìm hiểu về tâm lý của đối tượng học sinh tôi thấy các dạng toán về hàm số mũ, hàm số logarit học sinh còn rất lúng túng trong việc nhớ các công thức, tính chất, dạng đồ thị của chúng, cũng như khó có thể giải quyết được các bài toán thực tế Với những lí

do trên, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy học mô hình hóa chủ đề hàm số

mũ và hàm số logarit ở trường trung học phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu về phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán và một số thành tố của năng lực môn hình hóa đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm nâng cao chất lượng dạy học cho học sinh trong việc dạy học môn

Toán ở trường THPT áp dụng vào Dạy học mô hình hóa chủ đề hàm số mũ và hàm số logarit ở trường THPT

3 Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học ở trường THPT

3.2 Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán, đi sâu vào năng lực mô hình hóa toán học và vận dụng quy trình dạy học bằng mô hình hóa cho học sinh THPT trong dạy học hàm số

mũ, hàm số logarit

3.3 Phạm vi nghiên cứu: HS ở trường THPT

4 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp thì sẽ nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT bằng phương pháp mô hình hóa toán học cho học sinh

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu các quan điểm mang tính lý luận về năng lực mô hình hóa toán học

5.2 Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh THPT, áp dụng trong dạy học hàm số

mũ, hàm số logarit để phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh

5.3 Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng và đánh giá tính khả thi của giả thuyết khoa học và các câu hỏi nghiên cứu

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn

6.2 Phương pháp điều tra - quan sát: Nghiên cứu thực trạng dạy và học nội dung toán học tại một số trường THPT thông qua các hình thức sử dụng phiếu điều tra, quan sát hoặc phỏng vấn trực tiếp giáo viên ở các trường THPT

6.3 Phương pháp nghiên cứu trường hợp: Phỏng vấn, nghiên cứu một số nhóm HS lớp thực nghiệm

6.4 Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số trường THPT để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất

6.5 Phương pháp thống kê toán học: Phân tích các số liệu điều tra thực trạng và số liệu thực nghiệm sư phạm

7 Dự kiến đóng góp của luận văn

7.1 Những đóng góp về mặt lý luận

Đề xuất được một số biện pháp sư phạm mang tính khả thi nhằm phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh

7.2 Những đóng góp về mặt thực tiễn

- Nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường THPT

- Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên

và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập ở trường THPT

- Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn

đề có liên quan trong luận văn

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC BẰNG MÔ HÌNH HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Mô hình và mô hình hóa

1.1.1 Mô hình và mô hình hóa

Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT- BGDĐT

ngày 26/12/2018 của Bộ Giáo dục và đào tạo nêu rõ “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho HS những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình học toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để HS được trải nghiệm,

áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các môn học khác và giữa toán học với đời sống thực tiễn’’ [16]

Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho HS; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các môn Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hoá học, Sinh học, Công nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM Do đó, định hướng cho việc đổi mới PPDH ở nước ta hiện nay là PPDH cần tạo cơ hội cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo

Việc đổi mới PPDH để phát triển năng lực MHH toán học cho HS chưa được chú trọng nhiều, do áp lực khối lượng kiến thức môn học quá nhiều, thời

lượng ngắn nên việc rèn luyện kĩ năng để vận dụng kiến thức vào giải các bài toán thực tiễn gặp khó khăn Các bài toán thực tiễn trong SGK không nhiều, rời rạc và ít đa dạng Nội dung kiến thức trong bài học còn quá nhiều, không thích ứng với thời gian quy định của mỗi tiết học, cho nên khi gặp các bài toán thực tiễn GV chỉ giải thích cho xong mà không chú trọng khai thác nó một cách bài bản Chính vì vậy trong đề tài này tôi đề cập đến PPDH toán bằng MHH

Một số quan điểm về mô hình và mô hình hóa

Theo Jonathan Borwein, Keith Devlin (2009), [22, Tr347] thì diễn đạt

mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiện bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu

Còn theo Blum, Ferry (2009) trong [20, Tr45-58] thì mô hình là một

“vật” hay “hệ thống” làm đại diện hoặc là vật thay thế cho “vật” hay “ hệ thống vật” mà ta quan tâm

Mô hình được mô tả như một vật được thay thế mà qua đó ta có thể thấy

được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế Thông qua mô hình ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó Mô hình sử dụng trong dạy toán là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thống nào đó Nó có thể hiểu là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí cả các mô hình ảo trên máy vi tính [10,tr15]

Như vậy có thể hiểu mô hình phải bảo toàn được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (chọn tính chất nào là cơ bản là do con người), mô hình là sản phẩm của quá trình trừu tượng hóa những đối tượng cụ thể nên mang tính khái quát, lí tưởng (thậm chí có cả những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn); Mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một số mặt nào đó của vật gốc nên không thể thay thế hoàn toàn vật gốc

Mô hình hóa (MHH) được hiểu là hoạt động tạo ra “mô hình” để tiện cho việc nghiên cứu một đối tượng nào đó Đối với mô hình toán học thì đó là việc chuyển từ sự vật, hiện tượng ở tình huống thực tế thành dạng mô hình toán học, diễn đạt thông qua ngôn ngữ, ký hiệu trừu tượng của toán học [12]

Ví dụ: việc phân tích phổ điểm thi các môn thi Kỳ thi tốt nghiệp THPT trong năm 2020 người ta quan tâm đến số lượng các điểm số, điểm trung bình, điểm trung vị, số lượng thí sinh có điểm nhỏ hơn hoặc bằng 1, số HS có điểm nhỏ hơn 5, số lượng thí sinh đỗ tốt nghiệp, … Điều đó được toán học phản ánh thông qua mô hình dãy số liệu, bảng thống kê, biểu đồ, đồ thị, các tham số thống kê như “trung bình cộng”, “số trung vị”, “tần số”, “tần suất”, hay có những bài toán về chuyển động, bài toán tăng năng suất trong sản xuất, kinh doanh, bài toán lãi suất … được toán học MHH thông qua các đồ thị, công thức, phương trình …

Trong toán học, một mô hình toán học (hiểu theo nghĩa rộng) là mô hình trừu tượng ở đó người ta sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả một hệ thống nào

đó trong hiện thực khách quan (tham khảo [9])

Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: mô hình toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác để diễn tả đúng những quan hệ số lượng cơ bản, từ

đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác (dẫn theo Nguyễn Danh Nam [9])

Mô hình toán học (nghĩa rộng) được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (như Vật lý, Sinh học, Kĩ thuật điện tử, ) đồng thời trong cả khoa học xã hội (như Kinh tế học, Xã hội học, Khoa học chính trị, ) Tiếp cận mô hình theo nghĩa hẹp, Berinderjeet Kaur (2010) trong [18, tr.56] cho rằng: Mô hình toán học còn có thể là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng,

Xét trong phạm vi dạy học môn Toán đôi khi được GV dùng theo nghĩa hẹp: chỉ đơn giản là một mô hình vật chất dưới dạng đồ dùng DH Toán cụ thể

hoặc phần mềm toán học (trừu tượng) để phản ánh những đối tượng toán học

cụ thể như mặt phẳng, đường thẳng, đồ thị hàm số, khối đa diện, Khi đó, cái

cụ thể thể hiện ở mô hình này sẽ phản ánh một phần những yếu tố của loại mô hình toán học trừu tượng, tổng quát kể trên

Để phân biệt với đồ dùng DH (trong đó có cả mô hình thu gọn, ) ở môn học khác, GV cũng cần chú ý rằng: Trong toán học, với đặc thù trừu tượng cao

độ của khoa học này, cho dù có ở dạng đồ vật cụ thể, sử dụng ngôn ngữ toán học hay là mô hình ảo trên máy vi tính để mô tả về đối tượng toán học thì mô hình thực chất cũng chỉ mang tính tượng trưng Bởi lẽ, mọi đối tượng trong toán học mà mô hình phản ánh cũng đã là trừu tượng hoàn toàn, kể cả con số, hình, đồ thị, đều không phải là những đối tượng có thật trong thực tế; trong khi ở Vật lý, Hóa học, Sinh học, thì mô hình (kể cả thu gọn) hầu hết lại phản ánh sự vật, hiện tượng có thật trong cuộc sống

1.1.2 Mô hình hóa trong toán học

Theo Nguyễn Thị Nga (2011) [1], MHH toán học là thuật ngữ được sử dụng để chỉ hoạt động quan trọng trong quá trình giải quyết những vấn đề thực

tế bằng công cụ toán học Trong dạy học toán, theo Trần Vui [17] , MHH thường được sử dụng theo hai mục đích:

- MHH để học toán: MHH là một phương tiện hỗ trợ việc học các khái niệm và quá trình học toán của HS, chẳng hạn như tạo động cơ giúp hình thành và hiểu một khái niệm hoặc minh họa các nội dung toán học trừu tượng, phức tạp

- Học toán để MHH: MHH là một mục đích của việc học toán, nhằm trang bị cho HS các năng lực để có thể sử dụng toán trong nhiều ngữ cảnh và tình huống bên ngoài lớp học

Khi tiếp cận một vấn đề thực tiễn có liên quan đến toán học, HS gặp khó khăn không chỉ ở việc giải một bài toán cụ thể mà còn ở giai đoạn chuyển tình huống thực tế cần giải quyết vào toán học Việc chuyển tình huống thực tế vào

toán học gây rất nhiều trở ngại cho các em HS bởi vì để giải quyết vấn đề đó các em phải lựa chọn và sử dụng những kiến thức tổng hợp trong toán học và

cả ở những môn khoa học khác có liên quan MHH trong dạy học toán là quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học Quá trình này đòi hỏi HS cần có các kĩ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa Ở trường phổ thông, MHH diễn tả mối quan hệ giữa các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội với nội dung kiến thức toán học trong SGK thông qua ngôn ngữ toán học như kí hiệu, đồ thị, sơ đồ, công thức, phương trình Từ đó có thể thấy hoạt động MHH giúp HS phát triển sự thông hiểu các khái niệm, hệ thống hóa các khái niệm, ý tưởng toán học và nắm được cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tưởng đó Cách tiếp cận này giúp việc học toán của HS trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học toán [11]

Từ những công trình nghiên cứu có liên quan, trong luận văn này tiếp cận MHH toán học là hoạt động của GV và HS cần thiết để hỗ trợ quá trình học chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit ở trường phổ thông

1.1.3 Năng lực mô hình hóa trong toán học

Có nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực MHH và nó gồm nhiều kĩ năng thành phần Blomhøj M và Jensen định nghĩa năng lực MHH là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình MHH trong một tình huống cho trước [19] Maab định nghĩa năng lực MHH bao gồm các kĩ năng và khả năng thực hiện quá trình MHH nhằm đạt được mục tiêu xác định [21] Như vậy có thể hiểu năng lực MHH là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình MHH nhằm giải quyết vấn đề được đặt ra

Mục tiêu quan trọng của chương trình toán học phổ thông đó là hình thành và phát triển cho HS khả năng vận dụng tri thức toán học để giải quyết những tình huống nảy sinh từ thực tiễn cuộc sống Nhiều nhà nghiên cứu đã thiết kế hệ thống các tình huống và bài tập MHH để xác định những kĩ năng mà

HS cần đạt được để giải quyết tình huống thực tiễn dựa theo quy trình MHH

Từ đó, các nghiên cứu đã chỉ ra các kĩ năng thành phần của năng lực MHH

toán học đó là: (1) Đơn giản giả thuyết; (2) Làm rõ mục tiêu; (3) Thiết lập vấn đề; (4) Xác định biến, tham số, hằng số; (5) Thiết lập mệnh đề toán học; (6) Lựa chọn mô hình; (7) Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị; (8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn [10,tr48]

GV cần có những kĩ năng hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động MHH

mà không phải hỗ trợ các em quá nhiều GV đóng vai trò là người tổ chức, điều phối, hỗ trợ tư vấn hơn là người giảng dạy trong lớp, HS tích cực, phối hợp để hoàn thành hoạt động do đó năng lực quản lý lớp học của GV là rất quan trọng Tình huống đưa ra phải phù hợp với trình độ HS, phải kích thích được sự tò mò của HS và HS có thể sử dụng những kiến thức toán học đã biết để giải quyết tình huống đó

Trong nghiên cứu này chú trọng đến các năng lực sau trong việc dạy học

MHH trong toán học: [10,Tr85-86]

1) Năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn: Khả năng quan sát tình huống thực tiễn; Khả năng liên tưởng, kết nối các ý tưởng toán học với các yếu tố thực tiễn; Khả năng ước tính, dự đoán các kết quả của tình huống

2) Năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm của tình huống: Khả năng xác định yếu tố trung tâm của tình huống; Khả năng xác lập mối quan hệ giữa các yếu tố; khả năng đánh giá mức độ phụ thuộc; Khả năng loại bỏ những

gì không bản chất; Khả năng đặt ra bài toán có nội dung thực tiễn

3) Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học: Khả năng diễn đạt tình huống bằng ngôn ngữ tự nhiên ngắn gọn chính xác; Khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học; Khả năng diễn đạt một vấn đề dưới nhiều hình thức khác nhau

4) Năng lực xây dựng mô hình toán học: Khả năng phát hiện ra quy luật của tình huống thực tiễn; Khả năng biểu diễn các yếu tố (đại lượng) thực tế bằng ký hiệu, khái niệm toán học; Khả năng biểu đạt các mối quan hệ bằng các mệnh đề toán học, các biểu thức chứa biến; Khả năng biểu đạt các mối quan hệ bằng đồ thị, biểu đồ, ; Khả năng khái quát hóa các tình huống thực tiễn theo quan điểm của Toán học

5) Năng lực làm việc với mô hình toán học: Khả năng giải toán trên mô hình; Khả năng biến đổi mô hình toán học theo dụng ý riêng; Khả năng dùng

mô hình phán đoán tình huống thực tiễn

6) Năng lực kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh mô hình: Khả năng kiểm tra, đối chiếu kết quả; Khả năng phê phán, phát hiện giới hạn của mô hình; Khả năng vận dụng suy luận có lý vào việc đưa ra các mô hình toán cho tình huống thực tiễn

và biết so sánh tìm ra mô hình hợp lý hơn (để điều chỉnh mô hình toán học)

1.1.4 Các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học

Dựa trên các định nghĩa về năng lực MHH của Blomh j và Jensen [19],

của Maab [21] Theo Nguyễn Danh Nam (2016) [10,Tr50] những thành tố của

năng lực mô hình hóa và dạy học mô hình hóa của giáo viên bao gồm: Phân tích tình huống thực tiễn, đơn giản giả thuyết toán học, loại bỏ các yếu tố phi toán học, xử lý điều kiện của bài toán; Làm rõ mục tiêu bài toán, hiểu tính thực

tế của bài toán; Thiết lập vấn đề từ tình huống thực tế; Xác định biến, tham số, hằng số liên quan, tìm mối liên hệ giữa các biến số; Thiết lập mệnh đề toán học, chuyển bài toán thực tiễn sang ngôn ngữ toán học; Lựa chọn mô hình toán học; Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị, xử lý số liệu thực tế; Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn

Muốn làm rõ được các thành tố của năng lực MHH trong dạy học toán

GV phải hướng dẫn HS xây dựng bài toán xuất phát từ tình huống thực tiễn; xây dựng và lựa chọn mô hình toán học và đối chiếu với vấn đề trong thực tiễn Đây là những thành tố năng lực mà bản thân giáo viên không được hình thành

trong quá trình đào tạo ở trường sư phạm Điều này dẫn đến việc nhiều giáo viên không thường xuyên liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học

Để giúp giáo viên có khả năng liên hệ toán học với thực tiễn và biết cách xây dựng các mô hình toán học; thiết kế hoạt động MHH; sử dụng công nghệ thông tin trong mô hình hóa; sưu tầm các mô hình toán học; lập kế hoạch và thực hành dạy học mô hình hóa cần phải làm rõ cho GV về các thành tố của năng lực tổ chức dạy học MHH

Theo Nguyễn Danh Nam (2016), [10,Tr51] các thành tố của năng lực tổ

chức dạy học MHH gồm những năng lực sau:

- Năng lực liên hệ kiến thức toán học với những vấn đề trong thực tiễn

- Năng lực xây dựng và phát triển một bài toán nảy sinh từ tình huống thực tiễn

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin trong MHH các bài toán thực tiễn

- Năng lực giáo dục tích hợp cho HS thông qua các mô hình toán học

- Năng lực dạy học hợp tác

- Năng lực dạy học theo dự án

- Năng lực tổ chức các hoạt động trải nghiệm sáng tạo cho HS

- Năng lực đánh giá năng lực HS

- Năng lực hướng dẫn HS giải bài toán có nội dung thực tiễn

- Năng lực hướng dẫn HS xây dựng bài toán có nội dung thực tiễn

1.2 Quy trình mô hình hóa trong toán học

1.2.1 Quy trình mô hình hóa

Theo Nguyễn Danh Nam trong [10,tr27], Quy trình MHH có 4 giai đoạn cần thực hiện (tham khảo Swetz và Hartzler, 1991 [20]):

“1 Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện các yếu tố có tác động đến vấn đề đó

2 Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố sử dụng ngôn ngữ toán học, từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng

3 Áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp để MHH bài toán và phân tích mô hình

4 Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa ra kết luận.”

Theo đó, có thể mô tả, hình dung quy trình MHH thông qua sơ đồ “khép kín”, tức là thể hiện được thực tiễn vừa là nguồn gốc, động lực vừa là môi trường ứng dụng của toán học như sau:

Sơ đồ 1.1 - Quy trình MHH (theo Swetz & Hartzler, 1991)

1.2.2 Quy trình mô hình hóa trong toán học

Ngày nay trong qua trình dạy học người ta chú trọng việc tự học, tự nghiên cứu của người học nhằm hướng đến sự lĩnh hội tri thức và trang bị những kỹ năng sống cho người học Vì thế, việc truyền đạt kiến thức của GV đến HS dần chuyển hướng đến mục tiêu liên hệ tri thức với thực tiễn, GV hướng dẫn HS tìm tòi, khám phá tự chiếm lĩnh tri thức Việc tiếp thu kiến thức của HS không chỉ dừng lại ở phương diện lý thuyết mà còn hướng đến sự liên kết các kiến thức với nhau, sử dụng những kiến thức đó để giải quyết vấn đề thực tiễn Do vậy PPDH bằng MHH có những điều kiện nhất định và những đặc điểm nổi bật để phục vụ tốt trong quá trình dạy học đặc biệt là bộ môn Toán Ở bậc học THPT hiện nay, chúng ta thường gặp không ít những ý kiến của HS khi thắc mắc về các ứng dụng của những kiến thức được học, chẳng

hạn như HS đưa ra những câu hỏi “Đạo hàm là cái gì? Học đạo hàm để làm

gì? Hàm số mũ, hàm số logatit có ứng dụng gì trong thực tiễn …” Nắm bắt

được quan điểm trên, chúng tôi tiến hành nghiên cứu MHH trong giảng dạy

môn Toán, cụ thể trong nghiên cứu này với việc dạy học chủ đề “hàm số mũ, hàm số logarit”

Dạy học bằng MHH hay phương pháp MHH trong dạy học là quá trình

GV tổ chức các hoạt động giúp HS xây dựng mô hình toán học để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn hay từ một mô hình có sẵn, HS đã biết để hình thành kiến thức mới Theo nghiên cứu của Nguyễn Danh Nam [10,tr29] về quy trình MHH trong dạy học môn Toán

Sơ đồ 1.2 Quy trình MHH toán học trong dạy học môn Toán

Để vận dụng linh hoạt quy trình trên, trong quá trình dạy học toán, GV cần giúp HS nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây trong quá trình MHH các bài toán [10,tr29]:

- Bước 1 (Toán học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giả

thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công

cụ và ngôn ngữ toán học Đây là quá trình chuyển các vấn đề từ thực tiễn sang toán học bằng cách tạo ra các mô hình toán học tương ứng của chúng Quá trình này đòi hỏi phải hiểu vấn đề, có thể là vấn đề mở hoặc

có độ phức tạp khác nhau Lập các giả thuyết, đơn giản hóa vấn đề để có

thể giải được bài toán Xác định các khái niệm toán học liên quan, các biến số, biểu diễn vấn đề bằng ngôn ngữ toán học và lập mô hình toán học như bảng biểu, hình vẽ, đồ thị, hàm số hay phương trình hay công thức toán học

- Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ và phương pháp toán học

thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa Yêu cầu HS lựa chọn, sử dụng các phương pháp và công cụ toán học thích hợp để thành lập và giải quyết vấn đề sử dụng ngôn ngữ toán học Ở giai đoạn này, công nghệ thông tin sẽ hỗ trợ HS phân tích dữ liệu, thực hiện tính toán phức tạp và đưa ra đáp số của bài toán

- Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình

huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu), trong đó cần nhận ra được những hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào tình huống thực tiễn

- Bước 4 (Đối chiếu): Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế

của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công

cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến

mô hình đã xây dựng Đây là giai đoạn đòi hỏi HS có hiểu biết rõ về các công cụ toán học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống Từ đó, xem lại các phương pháp và công cụ toán học đã sử dụng; xem lại các giả thuyết, hạn chế của mô hình và tiến tới cải tiến

Ví dụ 1.1 Số lượng cá thể của một loài sinh vật bị suy giảm trong 10

năm tính theo cách: số lượng năm sau bằng 95% số lượng năm trước đó Tại thời điểm chọn làm mốc thời gian, loài này có 5000 cá thể Hỏi sau 8 năm, số lượng cá thể của loại này là bao nhiêu?

Bước 1: Toán học hóa

Xây dựng công thức: Số lượng cá thể

Vậy bài toán trở thành : với t = 8 thì N t bằng bao nhiêu ?

Bước 2: Giải bài toán

8 5000 0,95 3371

Bước 3: Hiểu và thông dịch

Giá trị của N8 là số lượng cá thể còn lại sau 8 năm tính từ thời gian mốc Vậy sau 8 năm, số lượng cá thể của sinh vật đó còn lại là khoảng 3371 (cá thể)

Bước 4: Đối chiếu thực tế

- Số lượng cá thể tính được chỉ là số gần đúng

- Điều kiện sống và tác động của con người sẽ ảnh hưởng đến số lượng của loài theo từng năm

1.2.3 Vai trò của mô hình hóa trong toán học

Dạy học môn Toán bằng MHH ở trường phổ thông giúp HS giải quyết các bài toán thực tiễn bằng phương pháp toán học, từ đó hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học Chuyển các vấn đề thực tiễn sang các vấn đề toán học, hiểu, đánh giá, chọn lọc và cải tiến cho phù hợp với thực tiễn Hoạt động MHH gắn kết giữa không gian lớp học với các vấn đề của thế giới bên ngoài Nó giúp

HS phát triển các kỹ năng hợp tác và nhận thức ở mức độ cao Dạy học môn Toán bằng MHH xây dựng và cải tiến một mô hình toán học nhằm diễn đạt và

mô tả các bài toán thực tiễn Qua các nghiên cứu thực nghiệm, các nhà giáo dục toán học đã nhận ra được tầm quan trọng của Dạy học môn Toán bằng MHH ở trường phổ thông Phương pháp này giúp HS phát triển nhiều kỹ năng toán học, đồng thời nó cũng đòi hỏi nhiều kỹ năng, kiến thức và kinh nghiệm từ GV hơn

là PPDH giải quyết vấn đề Phương pháp này cũng giúp HS làm quen với việc

sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài toán thực tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các công cụ, phương pháp toán học phù hợp Lesh &Caylor (2007) khẳng định rằng MHH toán học giúp HS phát triển sự thông hiểu các khái niệm và quá trình toán học Quá trình MHH giúp HS hệ thống hóa các khái niệm, ý tưởng toán học; nắm được cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tưởng đó [23] Hơn nữa, thông qua MHH, HS được khuyến khích tham gia các hoạt động “hệ thống các khái niệm toán học” giúp các em

có được cái nhìn hệ thống hơn về lập luận và chứng minh toán học dưới các dạng ngôn ngữ nói, kí hiệu, đồ thị, sơ đồ, công thức, phương trình (Lesh & Doerr, 2003, [24])

Từ đặc thù của các hoạt động trong quá trình MHH, mà thông qua dạy học bằng MHH, HS nhận biết được ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; phát triển khả năng phân tích, suy luận, lập luận và giải quyết vấn đề toán học trong những tình huống, hoàn cảnh khác nhau; phát triển tư duy phê phán và khả năng liên hệ kiến thức toán học với các môn học khác Trong dạy học toán bằng MHH giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các PPDH khác, chúng tôi thấy dạy học bằng MHH có những tác dụng chính sau đây:

a) Giúp HS tăng cường vận dụng và thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa Ở trường phổ thông, cách tiếp cận này giúp việc học toán của HS trở nên thiết thực và có

ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học tập môn Toán

b) Giúp HS làm quen với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài toán thực tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các công

cụ, phương pháp toán học phù hợp nên giúp HS hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học

c) Giúp HS phát triển các kỹ năng toán học, đồng thời hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề có hiệu quả hơn

d) Giúp việc học toán của HS trở nên có ý nghĩa hơn bằng cách tăng cường và làm sáng tỏ các yếu tố toán học trong thực tiễn

e) Giúp HS nâng cao năng lực phân tích và giải quyết các vấn đề thực tiễn g) Phát triển năng lực hợp tác trong học tập, tăng cường tính độc lập và

tự tin cho HS thông qua hợp tác nhóm, sử dụng các công cụ phần mềm để MHH và giải quyết vấn đề thực tiễn

h) Tạo cơ hội và tăng cường tính liên môn, tích hợp trong học tập các môn học khác

Ngoài ra MHH trong toán học còn có thể sử dụng để Tạo tình huống có vấn đề trong dạy học toán; Làm sáng tỏ một số yếu tố toán học trong thực tiễn;

và giúp HS hiểu được ý nghĩa của các số liệu thông kê từ thực tiễn

Từ những kết quả nghiên cứu đã có, trong phạm vi luận văn này thấy vai trò của của MHH trong toán học có tác dụng hỗ trợ quá trình dạy học Toán gắn

bó hơn với thực tiễn, giúp HS tiếp cận kiến thức toán học theo cách tích cực, gây hứng thú học tập, tăng cường tính liên môn và tính tích hợp, đặc biệt là góp phần trực tiếp phát triển năng lực MHH và năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn

Do vậy, khi tổ chức các hoạt động dạy học cần tập trung khai thác những tác dụng sau của việc dạy học bằng MHH:

Tác dụng 1: Giúp HS học toán một cách hứng thú, tích cực; từ đó hình thành thói quen và khả năng vận dụng môn Toán vào việc học các môn học khác, vào thực tế cuộc sống

Tác dụng 2: Rèn luyện các kỹ năng toán học, trong đó có kỹ năng sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu toán học; kỹ năng phân tích - tổng hợp; kỹ năng tính toán và suy luận toán học; kỹ năng thực hành liên môn và tích hợp với môn học khác và thực tiễn

Tác dụng 3: Góp phần phát triển năng lực MHH trong dạy học toán, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn

1.3 Dạy học bằng mô hình hóa toán học

1.3.1 Dạy học bằng mô hình hóa

Trong nghiên cứu này coi MHH ở hai khía cạnh cơ bản sau đây:

Thứ nhất, MHH như một PPDH: Cung cấp cho HS hiểu khái niệm toán học; giúp HS đọc, hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tình huống thực tế, phát triển tư duy sáng tạo và tư duy phê phán Để áp dụng PPDH này, GV có thể lựa chọn các chủ đề thuộc bất kì lĩnh vực nào mà HS quan tâm hoặc yêu thích (dựa trên nội dung kiến thức của bài học) và thiết kế các mô hình toán học để dạy [10, tr17] MHH trong dạy học toán là quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa MHH cũng cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong SGK dưới góc nhìn của toán học MHH toán học được đặc trưng bởi môi trường mà trong đó HS được yêu cầu khám phá tri thức thông qua môn Toán hoặc các tình huống thực tế Vì vậy, tích hợp các tình huống thực tế hàng ngày vào các tình huống dạy học trên lớp học đóng vai trò rất quan trọng, với mục đích cho HS thấy tính ứng dụng thực tiễn của toán học Theo Nguyễn Danh

Nam (2016), Phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông,

Nxb Đại học Thái Nguyên [10,tr86] quy trình dạy học bằng MHH được tiến

hành theo các bước sau đây: Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn Xây dựng mô hình toán học Trả lời cho bài toán thực tiễn Thể chế hóa tri thức cần

giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mô hình toán học phù hợp

Sơ đồ 1.3 Quy trình MHH trong dạy học bằng MHH

Các phương pháp dạy học nhằm giúp học sinh hiểu bản chất các khái niệm toán học; biết đọc, hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên các tình huống thực tế, phát triển tư duy sáng tạo và tư duy phê phán Để vận dụng được phương pháp này, GV có thể lựa chọn các chủ đề thuộc bất kì lĩnh vực nào mà HS quan tâm hoặc yêu thích (dựa trên nội dung kiến thức của bài học)

và thiết kế các mô hình toán học để tổ chức dạy học Trong đề tài này đưa ra

các bước dạy học với MHH theo Nguyễn Danh Nam (2016), Phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông, Nxb Đại học Thái Nguyên

[10,tr88]:

- Bước 1 (Nêu vấn đề): GV mô tả cho cả lớp ngắn gọn về chủ đề và hướng dẫn HS đặt câu hỏi về chủ đề đó

- Bước 2 (Đơn giản hóa vấn đề): GV lựa chọn một hoặc một vài câu hỏi

để phát triển kiến thức Có thể khuyến khích HS tìm hiểu vấn đề, đọc lịch sử nghiên cứu hoặc đặt câu hỏi về vấn đề nghiên cứu

- Bước 3 (Thiết lập vấn đề): GV thiết lập vấn đề bằng cách đưa ra giả thuyết, tính toán và sắp xếp dữ liệu theo cách mà HS có thể sử dụng kiến thức toán học trong bài để giải quyết vấn đề

- Bước 4 (Phát triển kiến thức của bài học): GV đưa ra khái niệm, định nghĩa hay tính chất toán học có liên hệ chặt chẽ đến vấn đề vừa giải quyết

- Bước 5 (Trình bày ví dụ tương tự): Ngay sau các bước trên, các vấn đề tương tự được nêu ra, trình bày ứng dụng của toán học Hướng dẫn HS sử dụng phương tiện kĩ thuật như máy vi tính, máy tính cầm tay để thực hành trong lớp

- Bước 6 (Thiết lập mô hình toán học và giải bài toán): GV yêu cầu HS quay trở lại vấn đề nghiên cứu, tổng quát hóa và giải bài toán

- Bước 7 (Hiểu lời giải và cải tiến mô hình): Kết thúc giai đoạn này, GV yêu cầu HS đánh giá lời giải, từ đó giúp HS hiểu sâu hơn về kết quả đã đạt được

Thứ hai, MHH như một phương pháp nghiên cứu: Giúp HS biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào các lĩnh vực khác hoặc để hình thành kiến thức mới HS được làm việc theo nhóm tùy theo sở thích và thế mạnh cá nhân Có thể chia làm 5 giai đoạn sau đây [10,tr19]:

- Lựa chọn chủ đề:

- Làm quen với chủ đề rồi mô hình:

- Đơn giản vấn đề và thiết lập công thức:

- Thiết kế mô hình toán học, giải và đối chiếu:

- Tổ chức viết báo cáo của nhóm và thuyết trình

1.3.2 Thiết kế hoạt động mô hình hóa

Hoạt động MHH là một nhiệm vụ không có sẵn quy trình giải bởi vì mỗi nhiệm vụ đòi hỏi HS hiểu toán học trong thực tiễn cuộc sống và biết cách sử dụng tri thức, phương pháp toán học để giải quyết Đặc điểm của những hoạt động này là: phát triển mô hình mô tả tình huống thực tiễn; mô hình được phát triển để khuyến khích HS mô tả, chỉnh sửa và cải tiến những ý tưởng và cách tiếp cận; mô hình khuyến khích nhiều dạng biểu diễn khác nhau [10,tr117]

Đặc điểm của hoạt động MHH đó là: (i) Xuất phát từ tình huống thực tiễn (toán ứng dụng hoặc từ công nghiệp); (ii) Đơn giản hóa vấn đề; (iii) Không

có lời giải chính xác; (iv) Là các tình huống có vấn đề, HS phải xây dựng, phát triển các câu hỏi để có thể giải quyết vấn đề; (v) Hiểu vấn đề theo nhiều cách khác nhau; (vi) HS tự khám phá, tìm hiểu vấn đề; (v) Không cần nhanh chóng can thiệp bởi GV nếu HS chưa giải được[ 10,tr117]

Từ cơ chế điều chỉnh quá trình MHH, trong luận văn này đề xuất các bước tổ chức hoạt động MHH trong dạy học môn Toán như sau (Tham khảo tài liệu [10], trong luận văn này thống nhất với quy trình 7 bước thực hiện MHH trong dạy học môn Toán do tác giả Nguyễn Danh Nam (2016) đề xuất)

Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế

Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ toán học mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó

Bước 4: Sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải bài toán

Bước 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế

Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợp

lý và tối ưu của mô hình đã xây dựng

Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng

mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn

Sơ đồ 1.4 Các bước tổ chức hoạt động MHH

Dưới đây là nguyên tắc thiết kế hoạt động MHH (được trình bày theo Lesh & Doerr, 2003, [24]):

(1) Nguyên tắc xây dựng mô hình: Nguyên tắc này đảm bảo rằng lời giải cần được mô tả rõ ràng, giải thích, quy trình, xác minh dự đoán cho những tình huống toán học ý nghĩa HS hiểu tình huống, nhận ra các mối quan hệ định lượng, các phép toán, các mẫu

(2) Nguyên tắc thực tế: Đây là nguyên tắc có ý nghĩa, liên quan đến hai vấn đề quan trọng đó là HS hiểu hoạt động có ý nghĩa với nhiều trình độ khác nhau và kiến thức cơ bản, kết nối với tri thức đã biết

(3) Nguyên tắc tự đánh giá: Đảm bảo rằng hoạt động MHH chứa tiêu chuẩn để HS có thể xác định và sử dụng kiểm tra và thay đổi cách nghĩ của mình MHH bao gồm thông tin mà HS sử dụng để đánh giá tính hữu ích của lời giải thay thế

(4) Nguyên tắc xây dựng tài liệu: HS phải viết ra những gì mình nghĩ về cách giải quyết vấn đề Điều này giúp GV có thể hiểu HS nghĩ gì về tình huống

đã cho Thứ hai là giúp HS diễn đạt, trình bày được ý tưởng và suy nghĩ của mình Nguyên tắc này có thể thực hiện theo hai cách Thứ nhất, HS học theo nhóm 3 người, các em thảo luận để cùng tìm ra lời giải, lập kế hoạch, điều khiển và đánh giá lời giải Thứ hai, vấn đề được diễn đạt, giải thích, mô tả

(5) Nguyên tắc chia sẻ, khái quát hóa: Đảm bảo HS đưa ra lời giải có thể chia sẻ, sử dụng được Khái quát hóa mô hình đối với các tình huống tương tự

(6) Nguyên tắc hiệu quả, đơn giản: Tình huống cần đơn giản, gần gũi với thực tiễn cuộc sống của HS, tăng hiệu quả thực hiện thành công các hoạt động MHH trong lớp học

Đề tài này vận dụng vào phạm vi và đối tượng GV và HS THPT và giới hạn trong nội dung hàm số mũ, hàm số logarit, trên cơ sở tham khảo quy trình 7 bước ở trên

Ví dụ 1.2 Bài toán “lãi kép” dành cho tiền gửi (một lần) ngân hàng

Bài toán: Gửi ngân hàng số tiền P, lãi suất hàng tháng r% (hoặc kỳ hạn),

thời gian gửi n tháng (hoặc kỳ hạn), tính số tiền thu được P n sau n tháng

Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn

Bài toán: Bà Mai gửi tiết kiệm ngân hàng A số tiền 50 triệu đồng với lãi suất hàng tháng là 0,79%, theo phương thức lãi kép Câu hỏi đặt ra là:

1) Sau 2 năm bà Mai nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? Sau bao nhiêu tháng bà Mai nhận được gấp đôi số tiền ban đầu? (giả sử lãi suất không thay đổi)

2) Có bài toán nào tương tự như bài toán lãi kép hay không?

Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra

GV giải thích thuật ngữ lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau

Đơn giản giả thuyết: sử dụng ký hiệu số tiền gửi ban đầu là 50 triệu đồng lãi suất hàng tháng r0,79%0,0079, GV yêu cầu HS tính số tiền lãi sau 1 tháng và đưa ra công thức tính tiền lãi trong 1 tháng là 50x0,0079 triệu đồng, GV hỏi HS vậy tháng thứ hai số vốn của bà Mai là bao nhiêu? HS trả lời được ngay là 50 + 50x0,0079 triệu đồng

Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ toán học mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó

GV đưa ra câu hỏi: nếu cứ tính toán như trên thì số tiền bà Mai nhận được sau 2 năm (24 tháng) chúng ta sẽ rất vất vả để tính được từ đó tiếp tục đơn giản hóa giả thuyết: sử dụng ký hiệu số tiền gửi ban đầu là P lãi suất hàng tháng r0,79%0,0079, số tiền lãi sau n tháng là L n, số tiền bà Mai nhận

được (cả vốn lẫn lãi) sau tháng thứ n là P n Từ đó ta xây dựng công thức:

Bước 4: Sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải bài toán

Sau 89 tháng bà Mai nhận được gấp đôi số tiền ban đầu

Bước 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế

Sau 89 tháng (7 năm 5 tháng) bà Mai nhận được gấp đôi số tiền ban đầu Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợp

lý và tối ưu của mô hình đã xây dựng

HS phải nhận biết được bài toán này là bài toán tìm ứng dụng của hàm số

mũ, phương trình mũ, phép tính logarit để giải, đánh giá với thực tiễn số tiền bà Mai nhận được sau 89 tháng là  89

89 50 1,0079

P  = 100,721603 (triệu đồng)

nhiều hơn gấp đôi số tiền ban đầu do kỳ hạn gửi n phải là số nguyên dương

Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng

mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn

2) Có bài toán nào tương tự như bài toán lãi kép hay không?

HS phải tìm hiểu thêm các tình huống thực tiễn khác (có thể trên internet)

GV đưa ra tình huống thực tiễn khác:

Đầu năm 2016, ông Minh thành lập một công ty Tổng số tiền ông Minh dùng để trả lương cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước Hỏi đến năm bao nhiêu là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông Minh dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng?

P  tỷ đồng Thay số ta có: (1,15)n    2 n log1,152  4,96 (năm), do n nguyên

dương nên chọn n=5 Vậy tới năm 2016+5 = 2021 là kết quả của bài toán

Đối chiếu thực tế số tiền ông A trả cho nhân viên có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn dự tính tùy thuộc vào tình hình kinh doanh của công ty Ông A có thể giảm hoặc tăng số tiền trả lương hằng năm cho nhân viên

- Trong thực tế mô hình bài cho vay, đầu tư, trả lương, tăng trưởng dân số như hình thức trên chính là mô hình bài toán lãi suất kép

1.3.3 Tổ chức hoạt động học tập với mô hình hóa

Nhiệm vụ MHH cần phải: (i) cho phép HS được tự do suy nghĩ; (ii) khuyến khích sự tò mò của HS; (iii) tự do trong lựa chọn công nghệ; (iv) sử dụng biểu diễn bội trong kết nối Đối với HS cần: hiểu tình huống theo nhóm;

sử dụng các hoạt động liên quan đến nhiệm vụ phát triển kiến thức; tham gia thảo luận, đối thoại trong nhóm Đối với GV cần biết hỗ trợ nhóm; tạo động cơ; đánh giá [10,tr130]

Để tổ chức hoạt động học tập với MHH GV phải giúp HS: Hiểu, làm rõ, phân tích và xác định giả thuyết, tham số, biến số trong vấn đề thực tiễn; Kết nối sử dụng các giả thuyết khác nhau; Lựa chọn và sử dụng chiến lược giải quyết vấn đề và MHH; Lựa chọn và sử dụng mô hình toán học trong tình huống thực tiễn với sự phức tạp khác nhau; Kết nối những điểm mạnh và hạn chế của

mô hình được xây dựng và điều chỉnh; Hiểu kết quả của giải mô hình toán học trong tình huống thực tiễn với sự phức tạp tăng dần; Kiểm chứng tính chính xác của mô hình đã sử dụng Hiểu, làm rõ, phân tích, xác định giả thuyết, tham số

và biến số với những tình huống thực tiễn có quy trình và những tình huống không có quy trình đơn giản

Các hoạt động dạy học chủ yếu:

Ví dụ 1.3 Tổ chức hoạt động dạy học “Hình thành khái niệm phương

trình mũ trong chương II Hàm số mũ, hàm số lũy thừa Bài 5 Phương trình mũ, phương trình logarit SGK Giải tích 12 chương trình chuẩn”

Để hình thành khái niệm phương trình mũ SGK Giải tích 12 chương trình chuẩn giới thiệu khái niệm này thông qua một bài toán thực tiễn dẫn đến việc giải phương trình mũ đó là bài toán “lãi kép” Trên cơ sở HS đã học xong bài hàm số mũ và đã được xây dựng công thức (mô hình) cho bài toán “lãi kép” HS sử dụng mô hình đã có để thiết lập công thức dẫn đến bài toán giải phương trình mũ GV đưa ra nội dung bài toán: một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu

- Phân tích bài toán: GV yêu cầu HS phân tích và xác định giả thuyết và

đặt câu hỏi bài toán này đã được gặp ở đâu chưa, có quen thuộc không?

- Lựa chọn và sử dụng mô hình toán học: HS trả lời quen thuộc (đã được

xây dựng bài toán lãi kép ở bài 4 Hàm số mũ, hàm số logarit) từ đó HS có thể

đưa ra được công thức tổng quát (mô hình) để tính số tiền lãi sau năm thứ n

theo ví dụ 1.2 ta sử dụng mô hình sau: P n  P1 rn P n P1,084n

(Với số tiền gửi ban đầu là P, sau n năm số tiền thu được là P n và lãi suất là r)

- Giải bài toán: dựa vào dữ kiện của bài toán suy ra: cần tìm n (nguyên

dương) để P n 2P

Thay vào công thức ta có:  2P P1,084n 1,084n  2

1,084

n

   chọn  n 9 vì n nguyên dương

- Từ lời giải bài toán thực tiễn dẫn đến khái niệm phương trình mũ: Bài

toán thực tế trên đưa về việc giải phương trình chứa ẩn số ở số mũ của lũy thừa

ta gọi đó là phương trình mũ Chẳng hạn, các phương trình 3x 4,

ngày 26/12/2018 chủ đề “hàm số mũ, hàm số logarit” được đề cập trong

chương trình toán bậc phổ thông ở lớp 11 với một số nội dung cụ thể như sau:

Nội

dung

Yêu cầu cần đạt

Chương trình GDPT 2006 Chương trình GDPT 2018 Phép

- Biết các khái niệm luỹ thừa với

số mũ nguyên của số thực, luỹ

thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ

thừa với số mũ thực của số thực

dương

- Biết các tính chất của luỹ thừa

với số mũ nguyên, luỹ thừa với

số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số

mũ thực

- Nhận biết được khái niệm luỹ thừa với số mũ nguyên của một số thực khác 0; luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực của một số thực dương

- Giải thích được các tính chất của phép tính luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

và luỹ thừa với số mũ thực

- Sử dụng được tính chất của phép

Nội

dung

Yêu cầu cần đạt

Chương trình GDPT 2006 Chương trình GDPT 2018 Các tính

chất

Về kỹ năng:

- Biết dùng các tính chất của luỹ

thừa để đơn giản biểu thức, so

sánh những biểu thức có chứa

luỹ thừa

Được trình bày ở §1 Luỹ thừa

(2 tiết) và §2 Hàm số lũy thừa

(2 tiết) đối với chương trình cơ

bản

tính luỹ thừa trong tính toán các biểu thức số và rút gọn các biểu thức chứa biến (tính viết và tính nhẩm, tính nhanh một cách hợp lí)

- Tính được giá trị biểu thức số có chứa phép tính luỹ thừa bằng sử dụng máy tính cầm tay

- Giải quyết được một số vấn đề có liên quan đến môn học khác hoặc

có liên quan đến thực tiễn gắn với phép tính luỹ thừa (ví dụ: bài toán

về lãi suất, sự tăng trưởng, )

- Biết các tính chất của logarit

(so sánh hai logarit cùng cơ số,

quy tắc tính logarit, đổi cơ số

của logarit)

- Biết các khái niệm logarit thập

phân và logarit tự nhiên

Về kỹ năng:

- Biết vận dụng định nghĩa để

tính một số biểu thức chứa

logarit đơn giản

- Nhận biết được khái niệm logarit

cơ số a ( a0,a1) của một số thực dương

- Giải thích được các tính chất của phép tính logarit nhờ sử dụng định nghĩa hoặc các tính chất đã biết trước đó

- Sử dụng được tính chất của phép tính logarit trong tính toán các biểu thức số và rút gọn các biểu thức chứa biến (tính viết và tính nhẩm, tính nhanh một cách hợp lí)

- Tính được giá trị (đúng hoặc gần đúng) của logarit bằng cách sử dụng