Kháiniệmlogarit
Chohaisốdương𝑎,,𝑏với𝑎,≠ 1.Số𝛼thỏamãnđẳngthức𝑎, 𝛼 = 𝑏 đượcgọi làlogaritcơsốacủa bvàkíhiệu là𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏.
Chúý:Không cólogaritcủa số âmvàsố 0
Chohaisố dương𝑎và𝑏,𝑎,≠1.Ta có cáctínhchấtsauđây.
Cho ba số dương 𝑎,, 𝑏1, 𝑏2 với 𝑎, ≠ 1, ta có
Quytắctínhlogarit
Logaritcủamộtlũy thừabằngtíchcác sốmũ vớilogaritcủa cơ số
Chứngminh: Áp dụngđịnh lý3,tacó:
Cho ba số dương 𝑎, 𝑏, , 𝑐 với 𝑎, ≠ 1, 𝑐 ≠ 1 Với mọi 𝛼, ta có:
Đổicơsố
Theotínhchấtcủa logaritvà địnhlý3,ta có:
Logarit thậpphân.Logarittựnhiên
Hàmsố𝑦=𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥(𝑎>0,𝑎≠1)cóđạo hàmtại mọi𝑥>0và
Muốntính𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑏,với𝑎,≠10và𝑎,≠𝑒,bằngmáytínhbỏtúi,tacóthểsửdụngcôngthứcđổ icơsố.
Hàmsốlogarit
Vídụ:Cáchàmsốsauđây là những hàmsố logarit
Tiệm cận Trục𝑂𝑦là tiệmcậnđứng Đồthị Đi quacácđiểm(1; 0)và ; 1)(𝑎, ;nằm phíabên phải trụctung
Phươngtrìnhlogarit
Vẽ đồ thị hàm số𝑦= 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥và đường thẳng𝑦= 𝑏trên cùng một hệ trục tọa độ(H.1 vàH.2)
Trongcảhaitrườnghợp,tađềuthấyđồthịcủahàmsố𝑦= 𝑙 𝑜 𝑔 𝑎 𝑥vàđườngthẳng 𝑦=𝑏luôncắtnhautại một điểmvới mọi𝑏∈𝑅.
Bất phươngtrìnhlogarit
Chẳnghạn,cácphươngtrình:2𝑙𝑜𝑔 6 𝑥>12𝑣à𝑙𝑜𝑔 2 𝑥−5𝑙𝑜𝑔 7 𝑥
Vídụ2:Tìmtất cảcácgiátrịcủathamsố𝑚 ểđược hàmsố
Ta có bảngbiếnthiên Đểhàmsốxácđịnhtrên(0;+∞)th ì𝑚,∈ ( − ∞ ; − 4 ) 𝖴 (1; +∞)
A.0nghiệm B.1nghiệm C.2nghiệm D.3nghiệm Điềukiệnxácđịnh:
𝑥=2 Đối chiếu với điều kiện ta được𝑥1Vậyphươngtrình𝑓 ′
→ Hàm số nghịch biến trên (0; +∞)
→ Hàm số đồng biến trên (0; +∞)
Chohàmsố𝑦=𝑓(𝑥).Hàmsố𝑦=𝑓′(𝑥)cóđồthị nhưhìnhvẽ.Hàmsố
Phươngtrìnhlogarit
Ví dụ1:Giảiphươngtrình logarit sau
𝑥 2 −𝑥+2=0 Vậy phương trình có 2 nghiệmChọnđápánA
Phương pháp đặt ẩn phụ là một phương pháp khá phổ biến đối với các bàitoán phương trình Các bài toán giải phương trình mà ta có thể sử dụngphươngphápnày,nếudễ thìsẽ thấyngaydấuhiệucủamộtbiểuthứcchứabiến nào đó lặp đi lặp lại nhiều lần, còn nếu khó hơn, thì ta cần một ít biếnđổikhéoléo,chủyếuđưavềhìnhdạngsơkhaicủabàitoán,làmộtphươngtrình với các biểu thức chứa biến lặp lại Cũng có trường hợp bài toán yêucầu ta phải đặt thêm nhiều ẩn phụ khác nhằm tạo ra một phương trình mớidễdànggiảiquyếthơn.
Bước 3:Đứavềgiảiphươngtrình𝑓(𝑡)=0 ãđược biết cáchgiải
3.3.1 Phươngpháp:Sửdụngcác côngthức cơ bảnsau
Nếuhàmsố𝑦 =𝑓(𝑥) ơnđược điệumộtchiềutrên𝐷 t h ìphươngtrình 𝑓(𝑥)=0khôngcómộtnghiệmtrên 𝐷.
→Để vận dụng tính chất này, ta cần nhẩm một nghiệm𝑥
= 𝑥0củaphương trình rồi chỉ rõ hàm đơn điệu một chiều trên𝐷(luôn đồngbiếnhoặcnghịchbiếntrên𝐷.)vàkếtluận𝑥= 𝑥 0l à nghiệmduynhất
Nếuh à m s ố𝑓 ( 𝑡 ) đượcơ nđ i ệ u m ộ t c h i ề u t r ê n k h o ả n g( 𝑎 ; 𝑏)v àt ồ n t ạ i 𝑢,𝑣∈(𝑎; 𝑏)thì𝑓(𝑢)=𝑓 (𝑣)⟺𝑢=𝑣.
⟹H à m sốđồ ng biếntrênkhoảng(1;+∞) Dođó( )∗)trởthành: ⟺𝑓(𝑥+√𝑥 2 + 1)=𝑓(3𝑥)
Ví dụ 3:Giải phương trình:𝑙𝑜𝑔 (1+√𝑥+√ 𝑥)= 2 𝑙𝑜𝑔 √𝑥
Đốivớicácbàitoánvề phươngtrìnhlogaritchứathamsố Đểgiảiphươngtrình logaritchứathamsố,tacóthểápdụngtấtcảnhữngphươngpháp trênđểgiảiquyếtvấnđề.
Phươngtrìnhđãchocó2nghiệmphânbiệtkhivàchỉkhiphươngtrình(1)có2nghiệmphâ nbiệtthỏa(*)
Ví dụ2:Biết điềukiệncần vàđủcủatham sốmđểphươngtrình
Ta có bảngbiếnthiên : Đểphươngtrình( )∗)trởthành: cónghiệmthuộcđoạn[ ;6]thìphươngtrình(2)cónghiệm
Vậy đểphương trình( )∗)trởthành: cóhainghiệm thỏa−2 𝑥 0⟺ 𝑓(𝑥)> 𝑓(𝑥 0 ) = 𝑘, do đó bất phương trìnhnghiệmđúng
.Kế tluận:Tập n g h i ệ m củabất phươngtrìnhlà:𝑇= ( 𝑥 0;+∞)
Hướng2:Thực hiệntheo các bướcsau:
+Bước2:Xéthàmsố𝑦= 𝑓 ( 𝑡 ) Dùnglậpluậnkhẳngđịnhhàmsốđơnđiệu.+Bước3:Khiđó𝑓(𝑢)