MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ LOGARIT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THPT

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯỜNGĐẠIHỌCSƯPHẠM KHOATỐNHỌC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆPNĂMHỌC2021-2022 Tênđềtài: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN VỀLOGARITTRONG CHƯƠNGTRÌNH TOÁNTHPT Giảng viên hướng dẫn:ThS Nguyễn Thị SinhSinhviênthựchiện :Phan Nhật Thảo VyLớp :18ST ĐàNẵng,tháng1 năm2022 LỜI CẢMƠN Bàibáocáonàyđược hoànthànhtạitrườngĐạihọcSưphạm- ĐạihọcĐàNẵng,dướisựhướngdẫnkhoahọccủaThS.NguyễnThịSinh.Trướchết,emxinđượ cgửilờicảmơnsâusắcđếncơcủamìnhlàThS.NguyễnThịSinh,ngườiđãđặtbàitốnvàđịnhhướngnghiêncứuchoem.Cơđã tậntìnhchỉbảovàtạomọiđiềukiệnđểemhọctậpvàhồnthànhbáocáo.Cảmơncơđãlnchiasẻ,độngviênemtrongqtrình học tập nghiên cứu Em xin chân thành cảm ơnkhoaTốnhọccủatrườngĐạihọcSưphạmĐàNẵngđãtạođiềukiệnđểemhồnthànhnhiệm vụnghiêncứu.Cuốicùng,emxinbàytỏlịngbiếtơnsâusắcđếngiađìnhvànhữngngườibạnthânthiếtđã lnchiasẻ,giúpđỡ,độngviênemtrongqtrìnhnghiêncứu PhanNhậtThảoVy -18ST MỤCLỤC LỜINÓIĐẦU NỘIDUNG CHƯƠNG 1.CƠSỞLÝLUẬN Kháiniệmlogarit 1.1 Địnhnghĩa .7 1.2 Tínhchất Quytắctínhlogarit 2.1 Logaritcủamộttích 2.2 Logaritcủamộtthương 2.3 Logaritcủamộtlũythừa Đổicơsố 10 Logarit thậpphân.Logarittựnhiên 10 4.1 Logaritthậpphân 10 4.2 Logarittựnhiên .10 Hàmsốlogarit .11 5.1 Địnhnghĩa .11 5.2 Đạo hàmcủahàmsốlogarit 11 5.3.Khảosáthàmsốlogarit𝑦=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑥(𝑎>0,𝑎≠1) 12 Phươngtrìnhlogarit .13 Bất phươngtrìnhlogarit .14 CHƯƠNG2.MỘTSỐPHƯƠNGPHÁPGIẢI CÁC DẠNGTỐNVỀ LOGARITTRONG CHƯƠNG TRÌNHTỐNTHPT 16 Cácbàitốnsửdụngcơngthứcbiếnđổilogarit .16 Cácdạngtoánvềhàmsốlogarit 18 2.1 Dạng1:Phươngpháptìmtậpxácđịnhhàmsốlogarit 18 2.2 Dạng2:Tínhđạohàmlogarit 19 2.3 Dạng3:Khảosáthàmsốlogarit .21 Phươngtrìnhlogarit 23 3.1 Phươngpháp1:Phươngphápđưavềcùngcơsố 23 3.2 Phươngpháp2:Phươngphápđặt ẩnphụ 25 3.3 Phươngpháp 3:Phươngphápmũhóa .28 3.4 Phươngpháp4:Phươngphápsửtínhchấtcủahàmsố 30 3.5 Phươngpháp5:Phươngphápđánh giá .33 Bất phươngtrìnhlogarit .36 4.1 Phươngpháp 1:Phươngpháp đưa vềcùngcơsố vàmũhóa .36 4.2 Phươngpháp2:Phươngphápđặt ẩnphụ 38 4.3 Phươngpháp 3:Phươngphápsửdụngtínhchất củahàmsố 40 KẾTLUẬN 47 TÀILIỆUTHAMKHẢO 48 LỜINÓIĐẦU Lýdochọnđề tài: Các dạng toán logarit chủ đề quan trọng chươngtrình tốn bậc trung học phổ thơng Các dạng tốn thường xun xuất hiệntrongcáckỳthitốtnghiệpvàtuyểnsinhđạihọcvàcómốiliênquanmậtthiếtvớinhau Việc dạyhọccácchủđềnàyđãđượcđưavàochươngtrìnhbậctrunghọcphổ thơng đóng vai trị trọng tâm việc trang bị kiến thức cho học sinh.Tuynhiêndothờigianhạnhẹpcủachươngtrìnhphổthơngnêndạngtốnvềhàmsố, phương trìnhvàbấtphươngtrìnhlogaritchưađượctrìnhbàyđầyđủ,chitiết,vìvậyhọcsinhthườnggặpkhókhănkhigiảicácdạngtốnnâng caovềhàmsố,phươngtrình,bấtphươngtrìnhlogarittrongcácđềthituyểnsinhĐạihọc,Caođẳng Do đó, để có điều kiện tìm hiểu thêm chủ đề gợi ý củagiảng viên hướng dẫn, em chọn đề tài: “Một số phương phápg i ả i c c dạng t o n vềlogarittrongchươngtrìnhtốnTHPT”làmđềtàicholuậnvăncủamìnhnhằmhệ thốngcáckiếnthứccơbảnvềhàmsố,phươngtrình,bấtphươngtrìnhlogaritkết hợp với kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc phân loạicácdạngtốnvềhàmsố,phươngtrình vàbấtphươngtrình logarit Mục tiêunghiêncứu Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu tìm hiểu tốn hàm số,phương trình, bất phương trình logarit vận dụng phương pháp thích hợptrong đại số, giải tích để giải tốn nêu chương trình tốn phổthôngtrunghọc Phươngphápnghiêncứu Nghiên cứu tài liệu tổng hợp kiến thức liên quan, trao đổi với nhữngngườiquantâmvàthamvấngiáo viênhướngdẫn Đốitượngnghiêncứu Đốitượngnghiêncứucủađềtàilàcácbàitốnvềhàmsố,phươngtrình,bấtphươngtrìnhl ogarit Phạmvinghiêncứu Phạm vi nghiên cứu đề tài vận dụng phương pháp giải tốn thíchhợp đại số giải tích để giải tốn hàm số, phương trình,bất phươngtrìnhlogarit Tổngquanvà cấutrúcluậnvăn Chương1:Cơsởlýluận Chương 2: Một số phương pháp giải dạng tốn logarit chương trìnhtốntrunghọcphổthơng NỘIDUNG CHƯƠNG1 CƠSỞLÝLUẬN Kháiniệmlogarit 1.1 Địnhnghĩa Chohaisốdương𝑎,,𝑏với𝑎,≠ 1.Số𝛼thỏamãnđẳngthức𝑎,𝛼= 𝑏 đượcgọi làlogaritcơsốacủa bvàkíhiệu là𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏 𝛼= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏⟺ 𝑎 𝛼= 𝑏 Ví dụ1: a)𝑙𝑜𝑔 327=3𝑣ì33=27 b)𝑙𝑜𝑔 116=−2𝑣ì( 1−2 4 ) =16 Chúý:Khơngcólogaritcủa số âmvàsố 1.2 Tínhchất Chohaisố dương𝑎và𝑏,𝑎,≠1.Ta có cáctínhchấtsauđây 𝑙𝑜𝑔𝑎1=0,𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎= 1, 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏=𝑏, 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑎𝛼)=𝛼 Chứngminh: Tacó:𝑎, 0= 1⟺0=𝑙𝑜𝑔 𝑎1 𝑎1= 𝑎 ⟺ 1=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑎 Đặt𝛼=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏.Từđịnhnghĩalogarit tacó: 𝛼=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏⟺𝑏 =𝑎 𝛼= 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏⟹𝑏 =𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 Đặt𝑙𝑜𝑔 𝑎(𝑎𝛼)= 𝑏 Theođịnhnghĩa:𝑎, 𝛼= 𝑎 𝑏⟹ 𝛼 = 𝑏 Vậy𝑙𝑜𝑔 𝑎(𝑎𝛼)=𝑏 = 𝛼 Vídụ: a)9𝑙𝑜𝑔32= 2𝑙𝑜𝑔32= ( 3𝑙𝑜𝑔32)2= 2= 𝑙𝑜𝑔 b)( 36 ) 65 =()1 2.𝑙𝑜𝑔 65 1 −2.𝑙𝑜𝑔 =6 𝑙𝑜𝑔 − = (6 ) 65 1− =() =25 Quytắctínhlogarit 2.1 LogaritcủamộttíchĐ ịnhlý1: Chobasố dương𝑎,,𝑏1,𝑏2v i 𝑎,≠1,ta có 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏1𝑏2)= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏1+ 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏2 Logaritcủamộttíchbằngtổngcác logarit Chứngminh: Đặt:𝛼1= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏1và𝛼 2=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏2,tacó: 𝛼1+ 𝛼2= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏1+ 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏2 (1) Mặtkhác,vì𝑏 1= 𝑎 𝛼1,𝑏 2= 𝑎 𝛼2,suyra𝑏 1𝑏2= 𝑎 𝛼1.𝑎𝛼2= 𝑎 𝛼1+𝛼2 Dođó𝛼 1+ 𝛼2= 𝑙𝑜𝑔 𝑎(𝑏1𝑏2) Từ( 1),(2)suyra: (2) 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏1𝑏2)= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏1+ 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏2 Vídụ:Tính a)𝑙𝑜𝑔48+𝑙𝑜𝑔432=𝑙𝑜𝑔 4(8.32)= 𝑙𝑜𝑔 4256=𝑙𝑜𝑔 444= b)𝑙𝑜𝑔 12+2𝑙𝑜𝑔 23 =𝑙𝑜𝑔 12+𝑙𝑜𝑔 2 + 𝑙𝑜𝑔1 28 =𝑙𝑜𝑔 12+𝑙𝑜𝑔 1( ) 12 23 +𝑙𝑜𝑔1 28 13 +𝑙𝑜𝑔 =𝑙𝑜𝑔 1(2 )=𝑙𝑜𝑔 98 28 2 12 Chúý: Địnhlý1cóthểmở rộngchocáctíchcủansốdương: 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏1𝑏2… 𝑏𝑛)=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏1+ 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏2+ ⋯+𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏𝑛(𝑎,𝑏1,𝑏2,…𝑏𝑛> 0,𝑎≠ 1) 2.2 LogaritcủamộtthươngĐị nhlý2: Cho ba số dương 𝑎,, 𝑏1, 𝑏2 với 𝑎, ≠ 1, ta có 𝑏1 𝑙𝑜𝑔𝑎, 𝑏= 𝑙𝑜𝑔𝑎,𝑏1 − 𝑙𝑜𝑔𝑎,𝑏2 Logaritcủamộtthương bằnghiệucáclogarit Chứngminh: Đặt:𝛼1= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏1và𝛼 2=𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏2,tacó: 𝛼1− 𝛼2= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏1+ 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏2 Mặtkhác, vì𝑏 =𝑎 𝛼1,𝑏 Dođó𝛼 −𝛼 =𝑙𝑜𝑔 𝑏1 =𝑎2,𝛼suyra (1) 𝑏1 𝑏2 𝛼 = 𝑎1 =𝑎 1𝛼−𝛼 𝑎𝛼2 (2) 𝑎𝑏 Từ( 1),(2)s u y ra: 𝑏1= 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎𝑏 Đặcbiệt: − 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎1 𝑎2 𝑙𝑜𝑔𝑎 Chứngminh: Ta có: 1= 𝑙𝑜𝑔 Vídụ:𝑙 𝑜 𝑔 7−𝑙𝑜𝑔 11 𝑏= − 𝑙 𝑜 𝑔 𝑎𝑏(𝑎 > , 𝑏> , 𝑎≠ ) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑎𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑏= − 𝑙𝑜𝑔 𝑏=−𝑙𝑜𝑔 𝑏 165=𝑙𝑜𝑔 11 𝑎 7= 11165 𝑎 𝑎 𝑙𝑜𝑔 = −𝑙𝑜𝑔 1111 11=−1 11 2.3 LogaritcủamộtlũythừaĐị nhlý3: Cho basốdương𝑎,,𝑏;𝑎≠1.Vớimọ i i ,tacó: 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏𝛼= 𝛼 𝑙 𝑜 𝑔 𝑎𝑏 Logaritcủamộtlũy thừabằngtíchcác sốmũ vớilogaritcủa số Chứngminh Đặt𝛼= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏thì𝑏= 𝑎 𝛽 Dođó𝑏 𝛼= (𝑎 𝛽)𝛼= 𝑎 𝛽.𝛼 Suyra𝛼𝛼 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏𝛼h a y 𝛼𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏𝛼 Đặcbiệt: 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑎, √𝑏 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑎,𝑏 (𝑎, > 0, 𝑏 > 0, 𝑎, ≠ 1) Chứngminh: Áp dụngđịnh lý3,tacó: 𝑙𝑜𝑔𝑎√𝑏= 𝑙𝑜𝑔 𝑎𝑏𝑛= Vídụ: a) 𝑙𝑜𝑔3273= 𝑙𝑜𝑔 33 b)1 𝑙𝑜𝑔 =𝑙𝑜𝑔 7 = 𝑙𝑜𝑔 33 3 𝑙𝑜𝑔 721= 1 36−𝑙𝑜𝑔 7196)−3𝑙𝑜𝑔 7213 2(𝑙𝑜𝑔 − 𝑎 =2𝑙𝑜𝑔 33=2 𝑙𝑜𝑔196−3𝑙𝑜𝑔 √21= 7 36 7196 𝑛 𝑙𝑜𝑔 𝑏 2 𝑙𝑜𝑔736− = 1 𝑛 𝑙𝑜𝑔721=𝑙𝑜𝑔 7 𝑙𝑜𝑔 49 − 1= −𝑙𝑜𝑔 721=𝑙𝑜𝑔 7(: 21)= 𝑙𝑜𝑔 7 =−𝑙𝑜𝑔 772= −2𝑙𝑜𝑔 77=−2 49 √9 49− −𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 721 Đổicơsố Địnhlý 4: Cho ba số dương 𝑎,, 𝑏, 𝑐 với 𝑎, ≠ 1, 𝑐 ≠ Với 𝛼, ta có: 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏 𝑎,𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎, Chứngminh Theotínhchấtcủa logaritvà địnhlý3,ta có: 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏= 𝑙 𝑜 𝑔 𝑐(𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏)= 𝑙 𝑜 𝑔 Vì𝑎≠ 1nên𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎𝑏.𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏= 𝑙 𝑜 𝑔 𝑎≠0.Dođó: 𝑐𝑏 𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎 Đặcbiệt: (𝑣ớ𝑖 𝑏 ≠ 1) 𝑙𝑜𝑔 𝑏 𝑎, 𝑙𝑜𝑔𝑎,𝛼𝑏 = 𝛼 𝑙𝑜𝑔𝑎,𝑏 (𝑣ớ𝑖 𝑎, ≠ 0) 𝑙𝑜𝑔𝑎, 𝑏 = Vídụ:Tính 1 𝑙𝑜𝑔927=𝑙𝑜𝑔 3227= 𝑙𝑜𝑔327= 33 2𝑙𝑜𝑔 Logaritthậpphân.Logarittựnhiên 4.1 Logaritthậpphân Logaritthậpphânlàlogaritcơ số10 3 = 𝑙𝑜𝑔33= 2 𝑙𝑜𝑔10𝑏thườngđượcviếtlà𝑙𝑜𝑔𝑏hoặc𝑙𝑔𝑏 Vídụ:𝑙𝑜𝑔105tacóthểviết𝑙𝑜𝑔5hoặc 𝑙𝑔5 4.2 Logarittựnhiên Ngườitachứngminhđượcdãysố(𝑢𝑛) =(1+) 𝑛 𝑛 giớihạnđólà𝑒, 𝑒=l i m 𝑛→+ ∞ 𝑛 (1+ ) 𝑛 Mộtgiátrịgầnđúngcủa𝑒là𝑒≈2,718281828459045 Logarittựnhiênlàlogaritcơ số𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑏đượcviếtlà𝑙𝑛𝑏 Vídụ:𝑙𝑜𝑔𝑒7tacóthểviết𝑙𝑛7 Chúý: cógiớihạnlàmộtsốvơtỉvà