155 đề hsg toán 7 huyện bố trạch 2017 2018

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỐ TRẠCH KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC: 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (5,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: 1      a) A     1   1       1.3   2.4   3.5  2015.2017   x b) B 2 x  3x  với  2015  C 2 x  y  13x y  x  y   15  y x  x y     , 2016   biết x  y 0 c) Câu (4,0 điểm) 1   x    y  12 0 x , y 6 Tìm biết:  2 3x  y z  x y  3z   x  y  z 18 Tìm x, y, z biết Câu (5,0 điểm) Tìm số nguyên x, y biết x  xy  y  0 10 Cho đa thức f  x  x  101x  101x  101x   101x  101 Tính f  100  Chứng minh từ số nguyên dương tùy ý không lớn 20, chọn ba số x, y, z độ dài ba cạnh tam giác Câu (5,0 điểm)   Cho ABC có B  C 60 , phân giác AD Trên AD lấy điểm O, tia đối   tia AC lấy điểm M cho ABM  ABO Trên tia đối tia AB lấy   điểm N cho ACN  ACO Chứng minh a) AM  AN b) MON tam giác Cho tam giác ABC vuông A, điểm M nằm B C Gọi D, E thứ tự hình chiếu M AC , AB Tìm vị trí M để DE có độ dài nhỏ Câu (1,0 điểm) a b2 P  x  y  1, x  0, y  x y ( a b Cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức số dương cho) ĐÁP ÁN Câu 1      a) A     1   1   .    1.3   2.4   3.5  2015.2017    2  3  4  2016 2016            3  4  5  2015 2017   2  3  4  2016 2016  2016           3  4  5  2015 2017  2017  x   x    x   b) Vì 1 x   B 2.   2 Với  x   B 2.   Với   4 2 1  1   3.    7 2  2 1 x x  B 7 Vậy B 4  2015  c)C 2 x  y  13x y  x  y   15  y x  x y      2016  2  x  y   13x y  x  y   15 xy  x  y   1( x  y 0) Câu 2 1 1    x   0x; y  12 0y  x    y  12 0 x, y 6   1.Vì , đó:  2 2 1 1    x    y  12 0   x    y  12 0 6 6  Theo đề  1 x  0 y  12 0  x  ; y  12 Khi ta có: 3x  y z  x y  3z   2.Ta có :  3x  y   z  x   y  z  12 x  y  z  12 x  y  z    0 16 29 Suy x y  3x  y   x  y    x y z       z  x 0  z 4 x  x  z  Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x  y  z 18     2  x 4; y 6; z 8 234 Câu 1) Ta có : x  xy  y  0  x  xy  y  0  x  xy  y  5  x   y     y  5   x  1   y  5 Lập bảng: 2x  1 -1 1 2y -5 x y -2 Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn 2) Ta có: f  x  x10  101x9  101x  101x   101x  101 -5 -1 -2 Thỏa mãn x10  100 x9  x9  100 x8  x8  100 x  x   101x  101 x9  x  100   x8  x  100   x  x  100   x  x  100    x  x  100    x  101  f  100  1 3) Giả sử số nguyên dương tùy ý cho a1 , a2 , a3 , , a8 với a1 a2  a8 20 Nhận thấy với ba số dương a, b, c thỏa mãn a b c b  c  a a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Từ đó, ta thấy số a1 , a2 , a3 , , a8 không chọn số độ dài ba cạnh tam giác thì: a6 a7  a8 1  2 a5 a6  a7 2  3 a4 a5  a6 3  5 a3 a4  a5 5  8 a2 a3  a4 8  13 a1 a2  a3 13  21 (trái với giả thiết) Vậy điều giả sử sai.Do đó, số nguyên cho chọn số x, y, z độ dài ba cạnh tam giác Câu N M A B D C 0    a) ABC có B  C 60 nên A 120 0      Do AD tia phân giác nên A1  A2 60 , ta lại có A3  A4 180  A 60 ABM ABD ( g.c.g )  AM  AO(1)   A  A  A  A 60 ACN ACO ( g c.g )  AN  AO (2) Suy Từ (1) (2) suy AM  AN b) AOM ON (c.g.c)  OM ON (3)   AOM AMN (c.g.c)  OM NM (4) Từ (3) (4) suy OM ON NM  MON tam giác A D E C B H M DE  AM  AH (AH đường cao ABC ) Vậy DE nhỏ AM nhỏ  M trùng với H Câu Ta có: 2 a b a b a  x  y  b  x  y  a2 y b2 x 2 P      a  b  x y x y x y x y  a y b2 x  2    a b y   x b2 x a2 y Các số dương x y có tích khơng đổi nên tổng chúng nhỏ a2 y b2 x a   a y b x  ay bx  a   x  bx  x  y a b x Suy y b a b Vậy giá trị nhỏ biểu thức P  a  b  x a b ;y  a b a b