ĐỀ THI HSG TỐN – HUYỆN HOẰNG HĨA NĂM HỌC 2017-2018 Câu (4,5 điểm) 1 M 3,5 : 7,5 7 a) Tính giá trị biểu thức b) Tìm x biết: x 3 16 c) Tìm x, y biết rằng: x 2012 y 4 2014 0 Câu (4,5 điểm) M x xy 6 x x y M a) Tìm đa thức biết rằng: x2 y B x y2 b) Tìm giá trị lớn biểu thức: x y y z ; c) Tìm x, y, z biết: x y z 49 Câu 3.(5,0 điểm) a) Tìm hai số hữu tỷ a b biết: a b 2 a b a : b b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M 2012 x 2013 x c) Chứng minh không tồn số tự nhiên n để n 2002 số phương Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác vuông A: ABD, ACE cho AB AD, AE AC Kẻ AH vng góc với BC , DM vng góc với AH , EN vng góc với AH a) Chứng minh : DM AH b) Chứng minh MN qua trung điểm DE Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác cho MA : MB : MC 3: : Tính số đo góc AMB ĐÁP ÁN Câu 1 7 25 22 15 a) M 3,5 : 7,5 : 7 2 35 43 15 35 42 15 69 M : 1 42 43 86 x 4 x 3,5 b) x 3 16 xx x 0,5 x 2012 0 2012 2014 x y 0 2014 y c) Ta có: x 5 Mà 2012 y 4 2014 x 2012 0 2014 0 y 0 x 2012 3y 4 2014 0 x y 1 Câu a) M x xy 6 x xy y M 6 x xy y x xy M 6 x xy y x xy x 11xy y b) B x2 y2 x2 y 1 x2 y2 x2 y2 x2 y2 2 B lớn x y lớn x 0 x y 2 x y Ta có: y 0 nhỏ 2, x y 0 1 Khi B lớn x y y z x y y z c) ; ; 10 15 15 12 x y z x yz 49 10 15 12 10 15 12 x 70; y 105; z 84 Câu a) Từ a b 2 a b a b 2a 2b a 3b a 3b a b a : b 3b b 3b : b 4b b Mặt khác: 9 a 4 b) Sử dụng A B A B Dấu “ " xảy A, B dấu (*) Ta có: M 2012 x 2013 x 2012 x x 2013 2012 x x 2013 1 Vậy MinM 1 2012 x 2013 c) Nhận xét Nếu số phương chia hết cho a (a số nguyên tố) chia hết cho a Giả sử : A n 2002 số phương Xét trường hợp 1: n số chẵn n 2k n 4k A n 2002 4k 2002 Ta có: 4k chia hết cho 2, 2002 chia hết cho A chia hết cho A chia hết cho Do 4k chia hết cho 4, cịn 2002 khơng chia hết cho A không chia hết cho (loại) Xét trường hợp 2: n số lẻ n 2k 2 A số phương lẻ, có dạng 2b 1 4b 4b chia cho dư 2 Mà A 2k 1 2002 4k 4k 2003 chia cho dư (loại) Vậy không tồn số tự nhiên n để n 2002 số phương Câu N I D 1 E M 13 A B H C a) Xét MAD HBA có: AMD BHA 90 ( gt ) 1 ; AD AB( gt )(2) A 900 D 1 D1 A2 (3) A A 900 Từ (1), (2), (3) suy MAD HBA(ch gn) DM AH (4) b) Chứng minh tương tự câu a EN AH (5) Gọi giao điểm MN DE I Chứng minh được: MID NIE (cgv gn) ID IE I trung điểm DE MN qua trung điểm I DE Câu A N M C B Do MA : MB : MC 3: : MA MB MC a MA 3a, MB 4a, MC 5a Đặt Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng tam giác AMN AM AN MN 3a AMN 600 Xét ABN ACM có: AB AC ( gt )(1); AN AM 3a (2) A A 600 A1 A3 (3) A A 600 Từ (1), (2), (3) ABN ACM (c.g c) BN CN 5a 2 BN a 25 a BMN Xét có 2 BM MN 4a 3a 25a BN BM MN BMN vuông M (định lý Pytago đảo) NMB 900 AMB AMN NMB 900 600 1500