Phòng GD & ĐT Tân An ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2017-2018 - Mơn: Tốn -*** I Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu 1: Giá trị x biểu thức ( x - )2 = 0,25 là: A ; 4 B ; 9 C ; 4 D ; Câu 2: Cho góc xOy = 500, điểm A nằm Oy Qua A vẽ tia Am Để Am song song với Ox số đo góc OAm là: A 500 B 1300 C 500 1300 D 800 Câu 3: Cho hàm số y = f(x) xác định với x > Biết f(n) = (n - 1).f(n – 1) f(1) = Giá trị f(4) là: A B C D Câu 4: Cho tam giác ABC vuông B, AB = , Â = 30 Phân giác góc C cắt AB D Khi độ dài đoạn thẳng BD AD là: A.2; B 3; C 4; D 1; 2m 6m Câu 5: Cho a = - Kết 2a - là: A -123 B -133 C 123 D -128 Câu 6: Cho tam giác DEF có E = F Tia phân giác góc D cắt EF I Ta có: A ∆ DIE = ∆ DIF B DE = DF , IDE = IDF C IE = IF; DI = EF D Cả A, B,C Câu 7: Biết a + b = Kết phép tính 0, a(b) 0, b(a) là: A B C, 0,5 D 1,5 Câu 8: Cho (a - b) + 6a.b = 36 Giá trị lớn x = a.b là: A B - C D Câu 9: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN Biết AC > AB Khi độ dài hai đoạn thẳng BM CN là: A BM ≤ CN B BM > CN C BM < CN D BM = CN Câu 10: Điểm thuộc đồ thị hàm số y = - 2x : A M ( - 1; -2 ) B N ( 1; ) C P ( ; -2 ) D Q ( -1; ) Câu 11: Biết lãi suất hàng năm tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm hàm số theo số tiền gửi: i = 0,005p Nếu tiền gửi 175000 tiền lãi là: A 8850 đ B 8750 đ C 7850 đ D.7750 đ Câu 12: Cho tam giác ABC cân A, Â = 20 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Số đo góc BDC là: A 500 B 700 C 300 D 800 II Phần tự luận (14 điểm) Câu 1.(3 điểm) A, Chứng tỏ rằng: M = 75.(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 chia hết cho 102 B, Cho tích a.b số phương (a,b) = Chứng minh a b số phương Câu 2.(4 điểm) 2.1 Cho đa thức A = 2x.(x - 3) – x(x -7)- 5(x - 403) Tính giá trị A x = Tìm x để A = 2015 2.2 Học sinh khối trường gồm lớp tham gia trồng Lớp 7A trồng toàn 32,5% số Biết số lớp 7B 7C trồng theo tỉ lệ 1,5 1,2 Hỏi số lớp trồng bao nhiêu, biết số lớp 7A trồng số lớp 7B trồng 120 Câu 3.(5 điểm) Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ hai tia Ax By vng góc với AB A B Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia Ax lấy điểm C tia By lấy điểm D cho góc COD 900 a) Chứng minh rằng: AC + BD = CD b) Chứng minh rằng: AC.BD AB Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Chứng minh rằng: HA + HB + HC < ( AB AC BC ) Câu 4.(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ A, biết : A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| - Hết Lưu ý: Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay Họ tên học sinh: SBD: ĐÁP ÁN I Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu Đ A án C C A B D B A C 10 D 11 B 12 C II Phần tự luận (14 điểm) Câu Nội dung 2017 2016 1(4 M = 75.(4 + + + +4 + 1) + 25 điểm) = 25.(4- 1)(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.[4(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)- (42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)] + 25 = 25.(42018+ 42017+ + 42 +4) - 25(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 = 25.42018 – 25 + 25 = 25.42018 =25.4.42017 = 100.42017 100 Vậy M 102 B, Đặt a.b = c2 (1) Gọi (a,c) = d nên a d, c d Hay a = m.d c = n.d với (m,n) = Thay vào (1) ta m.d.b = n2 d2 => m.b = n2 d => b n2 (a,b) = 1= (b,d) Và n2 b => b = n2 Thay vào (1) ta có a = d2 => đpcm 2(4 Ta có A = 2x2 – 6x – x2 + 7x – 5x + 2015 điểm) = x2 – 4x + 2015 A, Với x = ta A = 2015 x 0 B, A = 2015 => x2 – 4x = => x(x - 4) = x 4 Gọi số ba lớp trồng a, b, c ( cây, a,b,c N*) Theo đề ta có b : c = 1,5: 1,2 b – a = 120 a = 32,5%( a + b + c) Vậy lớp trồng số 2400 3(5 điểm) A, Vẽ tia CO cắt tia đối tia By điểm E Chứng minh AOC BOE g c g AC BE ; CO EO Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 Chứng minh DOC DOE c g c CD ED Mà ED EB BD AC BD Từ : CD AC BD (đpcm) B, Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vng BOE BOD ta có: 2 OE OB EB OE OD 2OB EB DB 2 OD OB DB 0,25 0,25 0,25 0,25 Mà OE OD DE ; Nên DE 2OB EB DB 2OB EB DE BD DB.( DE BE ) 0,25 2OB EB.DE EB.BD DB.DE DB.BE 2OB EB.DE DB.DE BD.BE 2OB DE EB DB BD.BE 2OB DE BD.BE Suy 2OB BD.BE 0 BD.BE OB AB Mà BE AC ; OB 0,5 AB AB Vậy AC.BD (đpcm) Qua H kẻ đường thẳng // với AB cắt AC D, kẻ đường thẳng // với AC cắt AB E Ta có ΔAHD = ΔHAE (g –c-g)AHD = ΔAHD = ΔHAE (g –c-g)HAE (g –c-g) AD = HE; AE = HD ΔAHD = ΔHAE (g –c-g) AHD có HA< HD + AD nên HA < AE + AD (1) Từ HE BH ΔAHD = ΔHAE (g –c-g)HBE vuông nên HB < BE (2) Tương tự ta có HC < DC (3) Từ 1,2,3 HA + HB + HC < AB + AC (4) Tương tự HA + HB + HC < AB + BC (5) HA + HB + HC < BC + AC (6) Từ suy HA + HB + HC < ( AB AC BC ) đpcm 4(2 Ta có |7x – 5y| 0; |2z – 3x| | xy + yz + zx - 2000| điểm) Nên A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| Mà A = |7x – 5y| = |2z – 3x| = |xy + yz + zx - 2000| = Có: |7x – 5y| = 7x = 5y |2z – 3x| = x y x z |xy + yz + zx - 2000| = xy + yz + zx = 2000 x 20; y 28; z 30 Từ tìm x 20; y 28; z 30 A 0, mà A = (x,y,z) = (20;28;30) (x,y,z)= (-20;-28;-30) Vậy MinA = (x,y,z) = (20;28;30) (x,y,z)= (-20;-28;-30) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Lưu ý: HS làm cách khác cho điểm tối đa