PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP Năm học 2014-2015 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (6,0 điểm) Tìm x biết 1 a) x 2 243 b) x x 1 c) x 5 Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh đa thức x x vô nghiệm a c b Chứng minh: b) Cho tỉ lệ thức b d Với d 1) 2a 3c 2a 3c 2b 3d 2b 3d 2) a c ac b d bd Câu (4,0 điểm) a) Tìm x biết x x x B 8 x x đạt giá trị nhỏ b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức Câu (5,0 điểm) Cho ABC nhọn, AD vng góc với BC D Xác định I; J cho AB trung trực DI, AC trung trực DJ;IJ cắt AB ; AC L K Chứng minh a) AIJ cân b) DA tia phân giác góc LDK c) BK AC ; CL AB d) Nếu D điểm tùy ý cạnh BC Chứng minh góc IAJ có số đo khơng đổi tìm vị trí điểm D cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ Câu (1,0 điểm) 2 Tìm x, y thuộc biết : 25 y 8 x 2009 ĐÁP ÁN HSG THANH OAI 2014-2015 Câu 5 1 1 1 x x x a) x Vậy b) x x 1 Nếu x ta có x x 1 x 2 (thỏa mãn) x ta có: x x 1 x 0 (thỏa mãn) Nếu Vậy x 2 x 0 x c) 2 x x x x2 5 5 Vậy Câu x x 2 a) x x x x x 1 2 Vì x 1 0 x nên x 1 1 x Do đa thức cho vơ nghiệm b a c 2a 2c 3a 3c 2a 3c 2a 3c ; b d 2b 2d 3b 3d 2b 3d 2b 3d b) 1) Với d 2) a c a2 c2 a2 c2 (1) b d b d b d2 a c a c ac 2 (2) b d b d bd Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Câu a) x x x (1) Lập bảng xét dấu x -3 x+3 + + x–4 + Xét khoảng x 3, ta có (1) trở thành x 7 x 3,5 (thuộc khoảng xét) Xét khoảng x 4 , ta có (1) trở thành 0.x 1 (khơng có giá trị x thỏa mãn) Xét khoảng x , ta có (1) trở thành: x x 3,5 (không thuộc khoảng xét) Kết luận : Vậy x 3,5 b) Biến đổi B x x 3 1 x x x B đạt giá trị nhỏ x nhỏ Xét x x , ta x có giá trị nhỏ x 2 Kết luận: Giá trị nhỏ B – x 2 Câu A K L J I B D a) Do AB; AC trung trực AB Nên AI = AD; AD=AJ AI AJ AIJ cân A b) ALI ALD (c.c.c) I1 D1 Tương tự AKD AKJ (c.c.c ) D2 J Mà AIJ cân (câu a) I1 J D DA D tia phân giác LDK C c) Chứng minh KC phân giác đỉnh K tam giác DLK Chứng minh DC phân giác đỉnh D tam giác DLK Suy LC tia phân giác đỉnh L tam giác DLK Mà AB phân giác đỉnh L tam giác LDK Hay CL vng góc với AB L Chứng minh tương tự : BK vng góc với AC K d) Chứng minh IAJ 2 BAC (khơng đổi) * AIJ cân A có IAJ không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nến cạnh bên AI nhỏ Ta có AI AD AH (AH đường vng góc kẻ từ A đến BC) Xảy dấu đẳng thức D H Vậy D chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC thi IJ nhỏ Câu Ta có: 25 y 8 x 2009 2 x 2009 25 y x 2009 y 25(*) Vì y 0 nên x 2009 25 2 , suy x 2009 0 x 2009 1 2 Với x 2009 1 , thay vào (*) ta có: y 17 (loại) 2 x 2009 0 Với thay vào (*) ta có y 25, suy Từ tìm x 2009, y 5 y 5 ( y )