001 đề hsg toán 7 huyện thanh oai 2014 2015

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP Năm học 2014-2015 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (6,0 điểm) Tìm x biết 1  a)  x    2 243  b) x   x 1 c)  x  5 Câu (4,0 điểm) a) Chứng minh đa thức x  x  vô nghiệm a c b   Chứng minh: b) Cho tỉ lệ thức b d Với d 1) 2a  3c 2a  3c  2b  3d 2b  3d 2) a  c ac  b  d bd Câu (4,0 điểm) a) Tìm x biết x   x  x  B 8 x x  đạt giá trị nhỏ b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức Câu (5,0 điểm) Cho ABC nhọn, AD vng góc với BC D Xác định I; J cho AB trung trực DI, AC trung trực DJ;IJ cắt AB ; AC L K Chứng minh a) AIJ cân b) DA tia phân giác góc LDK c) BK  AC ; CL  AB d) Nếu D điểm tùy ý cạnh BC Chứng minh góc IAJ có số đo khơng đổi tìm vị trí điểm D cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ Câu (1,0 điểm) 2 Tìm x, y thuộc  biết : 25  y 8  x  2009  ĐÁP ÁN HSG THANH OAI 2014-2015 Câu 5 1  1 1   x      x    x  a)     x Vậy b) x   x 1 Nếu x ta có x   x 1  x 2 (thỏa mãn) x ta có:  x   x 1  x 0 (thỏa mãn) Nếu Vậy x 2 x 0  x  c) 2   x  x  x  x2 5 5 Vậy Câu x x  2 a) x  x   x  x    x  1  2 Vì  x  1 0  x  nên  x  1  1 x  Do đa thức cho vơ nghiệm b a c 2a 2c 3a 3c 2a  3c 2a  3c  ;        b d 2b 2d 3b 3d 2b  3d 2b  3d b) 1) Với d 2) a c a2 c2 a2  c2     (1) b d b d b d2 a c a c ac    2 (2) b d b d bd Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Câu a) x   x  x  (1) Lập bảng xét dấu x -3 x+3 + + x–4 + Xét khoảng x  3, ta có (1) trở thành  x 7  x  3,5 (thuộc khoảng xét) Xét khoảng  x 4 , ta có (1) trở thành 0.x 1 (khơng có giá trị x thỏa mãn) Xét khoảng x  , ta có (1) trở thành:  x   x 3,5 (không thuộc khoảng xét) Kết luận : Vậy x  3,5 b) Biến đổi B  x   x  3   1 x x x B đạt giá trị nhỏ  x  nhỏ Xét x  x  , ta x  có giá trị nhỏ  x 2 Kết luận: Giá trị nhỏ B – x 2 Câu A K L J I B D a) Do AB; AC trung trực AB Nên AI = AD; AD=AJ  AI  AJ  AIJ cân A   b) ALI ALD (c.c.c)  I1 D1   Tương tự AKD AKJ (c.c.c )  D2 J   Mà AIJ cân (câu a)  I1 J  D   DA   D tia phân giác LDK C c) Chứng minh KC phân giác đỉnh K tam giác DLK Chứng minh DC phân giác đỉnh D tam giác DLK Suy LC tia phân giác đỉnh L tam giác DLK Mà AB phân giác đỉnh L tam giác LDK Hay CL vng góc với AB L Chứng minh tương tự : BK vng góc với AC K   d) Chứng minh IAJ 2 BAC (khơng đổi)  * AIJ cân A có IAJ không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nến cạnh bên AI nhỏ Ta có AI  AD  AH (AH đường vng góc kẻ từ A đến BC) Xảy dấu đẳng thức D H Vậy D chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC thi IJ nhỏ Câu Ta có: 25  y 8  x  2009  2  x  2009  25  y  x  2009   y 25(*) Vì y 0 nên  x  2009   25 2 , suy  x  2009  0  x  2009  1 2 Với  x  2009  1 , thay vào (*) ta có: y 17 (loại) 2 x  2009  0  Với thay vào (*) ta có y 25, suy Từ tìm x 2009, y 5 y 5 ( y  )