Đại số tuyến tính và hình học

Khoa Cơ Bộ mơn Tốn ***** MA TRẬN Giảng viên: Th.S Trương Thị Mỹ Dung NỘI DUNG - I Các khái niệm ví dụ II Các phép biến đổi sơ cấp III Các phép toán ma trận IV Hạng ma trận V Ma trận nghịch đảo I Các khái niệm ví dụ - Định nghĩa ma trận Ma trận cở mxn bảng số (thực phức) hình chử nhật có m hàng n cột Ma trận A cở mxn Cột j  a11 a1 j     A   ai1 aij     am1 amj a1n     ain     amn  Hàng i I Các khái niệm ví dụ Ví dụ  1 A    23 Đây ma trận thực cở 2x3 Ma trận A có hàng cột Phần tử A: a11  3; a12  4; a13  1; a21  2; a22  0; a23  Ví dụ 1  i 2 A    i i  22 I Các khái niệm ví dụ Ma trận A có m hàng n cột thường ký hiệu A  aij  mn Tập hợp tất ma trận cở mxn ký hiệu Mmxn(R) Định nghĩa ma trận khơng Ma trận có tất phần tử không gọi ma trận không (aij = với i j), ký hiệu  0 0 A   0 0 I Các khái niệm ví dụ -Định nghĩa ma trận vuông Nếu số hàng cột ma trận A n, A gọi ma trận vuông cấp n   1 A    22 Tập hợp ma trận vuông cấp n ký hiệu M n (R) I Các khái niệm ví dụ -Các phần tử a11, a22,…,ann tạo nên đường chéo ma trận vuông A     2  1  1 5  7  I Các khái niệm ví dụ Định nghĩa ma trận chéo Ma trận vuông A gọi ma trận chéo phần tử nằm ngồi đường chéo khơng, có nghĩa (aij = 0, i ≠ j) 2 0    D  0   0  2   Định nghĩa ma trận đơn vị Ma trận chéo với phần tử đường chéo gọi ma trận đơn vị, tức (aij = 0, i ≠ j; aii = với i) 1 0   I  0 0 0 1   I Các khái niệm ví dụ -Định nghĩa ma trận tam giác Ma trận vuông A   aij  gọi ma trận tam giác nn aij  0, i  j  1    A  0   0  2   Định nghĩa ma trận tam giác Ma trận vuông A  aij gọi ma trận tam giác nn aij  0, i  j   2 0  A  4     2    I Các khái niệm ví dụ - Định nghĩa ma trận đối xứng thực Ma trận vuông thực A thỏa aij = aji với i = 1,….n j =1,…,n gọi ma trận đối xứng  1    A   1   0   Định nghĩa ma trận phản đối xứng Ma trận vuông A thỏa aij = - aji với i j gọi ma trận phản đối xứng  1  A   7    3 7    PHẦN 2: CẤP ĐỘ KHÓ Chương 1: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH  x1  Câu 1: (2 điểm) Giải hệ phương trình sau: 2 x2  x  2 x2 3x3 4 x4  5 x2 3x2  x3 2 x3 7 x4 2 x4   Đáp án Ta có ma trận bổ sung:  3 0 1 3 0 1 3    d2 d2  d1   d3  d3  d   A   2 5 7 3        d3 d3  d1      2 3 0 2 3 0 0 1 6 Ta có r ( A)  r ( A)   n  (số ẩn) nên hệ phương trình cho có vơ số nghiệm Từ ma trận ta có hệ:  x1  13m  42  x1 2 x2 3x3 4 x4   x  9  5m   x2 5 x3  x4     (m  )   x  x  m    x4  6  x3  m Vậy nghiệm hệ phương trình cho 13m  42; 9  5m; m ;   ; m    x1  Câu 2: (2 điểm) Giải hệ phương trình sau: 2 x2  x   x2 2 x3 5 x4  2 x2  x2 3x3  x3 6 x4 2 x4  8  5 Đáp án Ta có ma trận bổ sung:  1 5   1 5   1 5    d2 d2  d1   d3  d3  d   A   2 3 2   d3 d3  d1  0 4 2    0 4 2   1 1   0 3 2   0  Ta có r ( A)  r ( A)   n  (số ẩn) nên hệ phương trình cho có vơ số nghiệm Từ ma trận ta có hệ: 20  x1  m   x1  x2 2 x3 5 x4  x  m  x3 4 x4  2    ( m  )  x  x      x4   x2  m Vậy nghiệm hệ phương trình cho  m  7;m;  2;0  ; m  Câu 3: (2 điểm) Biện luận theo m số nghiệm hệ phương trình sau:  x2  x1   x2 4 x2 4 x 4 x  2 x3  3x3 (m  12) x3   m6 Đáp án Ta có ma trận bổ sung: 4 4 4      d2 d2 d1   d3  d3  d   A   4 3     5   0 5  d3 d3  d1  4 m2  12 m  6 0 m2  10 m  3 0 m  m  3 Khi đó:  m  3 : Hệ phương trình cho có nghiệm  m  :Hệ phương trình cho vơ số nghiệm  m  3 :Hệ phương trình cho vơ nghiệm Câu 4: (2 điểm) Biện luận theo m số nghiệm hệ phương trình sau: 3x1 4 x2   3x2 2 x2  3x 2 x   x3  2 x3 (m  14) x3 1   m8 Đáp án Ta có ma trận bổ sung:  3  3  3 1 1  1 1  1 1    d2 d2  d1   d3  d3  d   A   2        d3 d3  d1  2 m2  14 m  8  m2  15 m    0 m2  16 m   Khi đó:  m  4 : Hệ phương trình cho có nghiệm  m  4 :Hệ phương trình cho vơ số nghiệm  m  :Hệ phương trình cho vơ nghiệm 21   1  2 2 7   Câu 5: (2 điểm) Cho ma trận: A  Tìm m để ma trận A khả nghịch  1 2     2 2 m  8 Đáp án 1 1 2 2 7 d2 d2  d1 3 d3 d3 d2 det A    1 2 d4 d4  d1 1 2 d4 d4 d3 2 2 m2  m2  Ma trận A khả nghịch  det A   m  1 1 3  12(m  1) 0 2 0 m 1 Câu 6: (2 điểm) Hãy biện luận số hạng ma trận sau theo tham số m:   2  4 2 4   A  1 m  m  3   10   4 Đáp án    2  2  2  4 2 4  d2 d2  d1  1  d3 d3 d2  1 A    1 m  m  3 d4 d4 2 d1  1 m  m  3 d4 d4  d2  0 m      10  2   4 0 0 0 Khi đó:  Nếu m  r(A) =  Nếu m  r(A) = 22 m2 Chương 2: KHÔNG GIAN VECTƠ  (1 ; –1 ; 2) ; (– ; ; – ) ; (4 ;– 4; 9)  vaø B’ =  (4 ; –5 ; 9) ; (0 ; ; ) ; (– ; ; 9)  hai sở 3 Tìm ma trận chuyển từ sở B sang Câu 1: (3 điểm) Cho B = sở B’ Đáp án 1  Ta coù : B B' =   1 d3 d3 d  0  0 1  4  1  4  1 d  d1  d  0   4 5    d3 d3 2d1   3 9  0 1 11   4  1  1    x1  6  x1  x  x3    x2     x  1 Ta có hệ phương trình thứ nhất:   x  x3     x1   x1  x  x3    x2  Ta có hệ phương trình thứ hai:    x2   x  x3     x1  Ta có hệ phương trình thứ nhất:     Vậy ma trận cần tìm là: PB B '      x2 x2  x3 x3  1    x1  27    x2  x    27   Câu 2: (2 điểm) Cho hệ vectơ sau: B = u1  (1;2;1;1); u  (2;5;4;5); u3  (0;3;8;5); u  (1;4;4;9) Tìm sở cho Sp(B) Đáp án Lập ma trận A ma trận tạo vectơ cột B Ta coù:  1 2    A =     4   5  1 d d 2 d1   d3 d3  d1 d d d1 23 1 1 0     0   3   0   d3  d d   d d 3d 1 0  0  0 1  2 1  2 1 0  0  0 d 5d3 d   1  2 1  0 0 Từ ta có r (B) = r (A) = nên số vectơ độc lập tuyến tính tối đại Sp(B) Khi hệ S = u1 , u , u3  độc lập tuyến tính trong Sp(B) nên hệ S độc lập tuyến tính tối đại Sp(B) Vaäy S = u1  (1;2;1;1); u  (2;5;4;5); u3  (0;3;8;5) sở Sp(B) Câu 3: (2 điểm) Hãy tìm m để hệ S sau sở 4, với S   3; 3;6;9  ;  4;6; 10;  14  ; 5; 4;13;18  ; 1; 4;0; m2     Đáp án Laäp ma traän A ma trận tạo vectơ cột S Ta coù:   4 3 4  3 4  4  d2 d2  d1 0  A  d3  d1  10 13 0 2  dd34  d 3 d1     14 18 m   0 2  4 0   d  d  d3 0  0  3 4  3  d3 d3  d2 0  2  d4 d4  d2 0   m2  1 0  3  5   m2    3  5   m  1 Để hệ S sở 4 S phải độc lập tuyến tính 4  r ( A)   m2    m  Vậy với giá m hệ S sở 4 Caâu 4: (3 điểm) Cho B  1; 2; 1 ;  1;1;0  ; 3; 6; 1 sở 3 hệ B '   1;3;6  ;  5;14;3 ;  0; 1;1 a) Chứng minh B ' sở 3 b) Tìm ma trận chuyển sở từ B sang B’ Đáp án  x1 5 x2  a) (1 điểm) Giả sử : x1u1  x2u2  x3u3    3x1 14 x2 6x  3x2 24  x3   5 x3  Lập ma trận A ma trận tạo vectơ cột B Ta có:  1 5  d2 d2 3d1 A =  14 1  d3 d3  d1    1 5   1 5  d3 d3  27 d  1 1    1 1      0 28  27  Từ ta có r (A) = (bằng số ẩn) nên hệ có nghiệm tầm thường Do S độc lập tuyến tính 3 Vậy S sở 3 b)(2 điểm) Ta có:  1 1 5  1 1 1 5  1 1 1 5    d2 d2  d1   d3  d3  d    B B '  2 6 14 1  0 1 1  0 1 1 d3  d3  d1  1 1  0 1 2  0 6   x1  8  x1  x2 3x3  1    x2    x2  1 Ta có hệ phương trình thứ nhất:   x  2 x3     x1   x1  x2 3x3  4    x2  Ta coù hệ phương trình thứ hai:    x2  4  x  x3  6    x1  x2 3x3    x2  1 Ta có hệ phương trình thứ nhaát:   x3    8  Vậy ma trận cần tìm là: PB B '   1 4   3   x1  2    x2  x   Caâu 5: (1,5 điểm) Cho hệ S  (1;  2;  1;1);(3;  5;  8;8);(2;3;4;  5);(1;1;3; m) Hãy tìm m để hệ S độc lập tuyến tính 4 Đáp án Lập ma trận A ma trận tạo vectơ cột S Ta có: 25  3    1   1 1  0  11  0  0 1 d  d1  d   d3 d3  d1 3  d d d1  m   1   m  2  1  0  11   0  11    0 11  m  1 d3 d d  d d  d Hệ S độc lập tuyến tính 4  r(A) =  m +   m  – Câu 6: (1,5 điểm)Cho hệ S  (1;  2;  1;2);(3;  7;4;  6);(4;13;  7;10);(0;  2;  2; m  4) Hãy tìm m để hệ S độc lập tuyến tính 4 Đáp án 1 2 A  1  2 1 3 0 1  0  0 3 7 13  1  d  d  d1 2   0 d3  d3  d1 0 7 2  d  d  d1   6 10 m   0  1 3  0 1 5 2  d4 d4  d3   0 2 4    m  4 0 0 3 1  2  1 3 2   m  4 0 2  4   m Hệ S độc lập tuyến tính 4  r(A) =  m  26 d3 d3  d2   Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Câu 1: (2 điểm) Cho ma trận 1 0   A   0 0 1   Hãy tìm giá trị riêng véc tơ riêng A? Đáp án Giải phương trình đặc trưng 1  0 p()  1   (1  )  0 1  Ta giá trị riêng   Ứng với   ta vecto riêng u  (0,a,b);a  b2  Câu 2: (2,5 điểm) Cho ma trận 1 0   A   2 1 2   Hãy tìm giá trị riêng véc tơ riêng A Đáp án Giải phương trình đặc trưng 1  0 p()  3  (1  )(  5  4)  1 2 Ta giá trị riêng   1,   + Ứng với   ta vecto riêng u1  (0,2a,a);a  + Ứng với   ta vecto riêng u  (b  c,b,c);b2  c2     1 Câu 3: (3 điểm) Cho ma trận A    1  3  Tìm ma trận chéo hóa A cho biết dạng chéo tương ứng Đáp án  Tìm giá trị riêng xác định chéo hóa ma trận A: 27 Giải phương trình đặc trưng: det(A –  I) =  1  3 5 3 1 1 = 1  1  1     1 = 0  2 2   (  2) 1  3 1 1  + (2   ) =0 1 3 5  (2 – )[1+ – ] + (2   )[(1   )(5   )  9] =  (2 – )[ – – +  – 5 + 2 + ] =  (2 – )[2 – 3 + ] =      2(kep)         3   Vậy A có giá trị riêng: 1 = 2(kép) , 1 = Với 1 = 2, ta coù:  3  1 A – 1I =  3  1  3  1 d d d1   d3 d3 d1  3  1 0 0    0  Vaäy dim E1  Với 2 = 1, ta có:   1 A – 2I =    1   3  d 2 d 3 d1   d3 2 d3 3 d1   1  1      3  d3 d3 3d1     1  1     0  Vaäy dim E2  Khi dim E1 + dim E2 = nên A chéo hóa  Tìm vectơ riêng:  x1  t  3x1  3x  x3    x1  t   x  s Với 1 = 2, ta có hệ:  , ≠ t, s     x2  s   x3  3s  3t 1 0    Khi u = t   + s 1  ,  t, s  tập tất vectơ riêng ứng với 1 =  3 3  x1  Với 2 = 1, ta có hệ:     3x2  x2  x3  x3 x3     r 28  x1  r   x2  r , ≠ r   x  r  1 Khi ñoù v = r 1 ,  r  tập tất vectơ riêng ứng với 2 = 1  1 Vaäy ma traän chéo hóa ma trận A là: P   1  3 1  0 Và dạng chéo tương ứng là: D  0 0 0 1 Câu 4: (2 điểm) Cho ma trận 1 0   A   0 0 1   Hãy tìm giá trị riêng véc tơ riêng A Đáp án Giải phương trình đặc trưng 1  0 p()  1   (1  )  0 1  Ta giá trị riêng   Ứng với   ta vecto riêng u  (0,a,b);a  b2  Câu 5: (3 điểm) Cho ma trận 1 0 A   8 6  8 9   Hãy tìm giá trị riêng véc tơ riêng A Đáp án Giải phương trình đặc trưng 1  0 p()  8   6  (1  )(  6)(  7)     1,   6,   9 Ta có giá trị riêng phân biệt nên A chéo hóa  15    + Ứng với   ta vecto riêng u   8   16    29 0 + Ứng với   ta vecto riêng v   3  1    0 + Ứng với   ta vecto riêng w   2  1   Câu 6: (2,5 điểm) Cho ma trận  2  A   2 2   2    Hãy tìm giá trị riêng véc tơ riêng A Đáp án Giải phương trình đặc trưng  2 p()  2   2  (1  )(  2)  2     ,   bội  1 + Ứng với   ta vecto riêng u  1  1    3  2      + Ứng với   ta vecto riêng v    ; w    0 1     30 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY ĐÔ ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Mơn: Đại Số Tuyến Tình & Hình Học Thời gian: 60 phút (khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ Câu 1: (2 điểm) Giải hệ phương trình sau:  x1  3x    x1  x1  x2  x2  x2  x3  x4  x4    x3  x3  3x  3  4 Câu 2: (1 điểm) Cho ánh xạ tuyến tính f : 3  2 xác định f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x3 , x2  x3 ) Hãy tìm ma trận tắc f Câu 3: (3 điểm) Tìm ma trận P chéo hóa ma trận sau: 0 1  A    5  0 Sinh viên không sử dụng tài liệu Cần Thơ, ngày 16 tháng 04 năm 2017 Người đề Trương Thị Mỹ Dung 31 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY ĐÔ ĐÁP ÁN Mơn: Đại Số Tuyến Tình & Hình Học Thời gian: 60 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: (2 điểm) Ta có ma trận bổ sung:  1      1   A     3     4  1      0   23 0   18    0 20  11 49  d 3 d1 d  d3 d3  d1 d d 2 d1 d3  d3    1      0   23 0  1    0   20 1      0   23 0      0 20  11 49  d3  d d  d d 3d d 5d3 d   1      0   23 0      4  0 Ta coù r (A) = r ( A ) = = n (số ẩn) nên hệ phương trình cho có nghiệm Từ ma trận ta có hệ:  x1       x2  x3  x4 x2  x3  x3  5x4  3x4 x4  x1   x  1   23     9  x3   x    Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: (0 ; – ; ; 1) Câu 2: (1 điểm) Ta có sở tắc 3 là: e1 = (1 ; ; 0) ; e2 = (0 ; ; 0) ; e3 = (0 ; ; 1)  x1  x  x  Goïi x   , ta coù : x   x  Khi f ( x)     x  x3   x3  1  0   1 Suy ra: f (e1 )    ; f (e2 )    ; f (e3 )    0  1  1  1  1 Vaäy ma trận tắc f A =   0 1  Câu 3: (3 điểm)  Xác định tính chéo hóa ma trận 32 1  Giải phương trình đặc trưng: det(A –  I) =  3  1  (1   ) 3 =0 =  (1 – )         10 =  1   (1 – )   3  10 =    3  5   Vì A có giá trị riêng khác nên A chéo hóa  Xây dựng ma trận chéo hóa Với 1 = 1, vectơ riêng tương ứng nghiệm khác hệ thuầøn (A – 1 I)x = Ta coù: 0 0  A – I =      1 d1 d3    1  4     0  d d  2d1    1 0 3    0  Do r (A – I ) = < n = nên hệ có nghiệm không tầm thường  x1  Từ ma trận ta có hệ:    2 Vậy v1 = t 1  ,  t  0   x2  x3 x3    x2 t  x1  2t    x2  t , t   x    Với 2 = 2, vectơ riêng tương ứng nghiệm khác hệ thuầøn (A – 2 I)x = Ta coù: 0   A – 2I =   5    2   0 d3  2d d    1    0 0 d d  d1  d3 d3 d1 0   5      2 d2  d2    0   1      2 Do r (A – 2I ) = < n = nên hệ có nghiệm không tầm thường  x1  Từ ma trận ta có hệ:    0  Vaäy v2 = s 1  ,  s  1   x2  x3   x3  s  x1     x2  s , s   x  s   Với 3 = – , vectơ riêng tương ứng nghiệm khác hệ thuầøn (A – 3 I)x = Ta coù: 33 A + 5I =  0  2 5    5 d1  d1     0  2 5    5 d d 2 d1  d3 d3  d1 1 0 0    0 5 d3 d3 d  Do r (A + 5I ) = < n = nên hệ có nghiệm không tầm thường  x1  Từ ma trận ta có hệ:    x2  x3   x3  r  x1      x2   r , r     x3  r 0    Vaäy v3 =  r 5  ,  r   2 2 0  Khi ma trận chéo hóa A là: P = 1  0  2 1 0  dạng chéo tương tứng D = 0  0  5 34 1 0 0    0 0