Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )

Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )Slide chương 3 Không gian vectơ ( chương trình đào tạo đại học vinh )

Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo giảng đại số tuyến tính Nhóm ngành KT CN TS Nguyễn Quốc Thơ Đơn vị công tác Khoa Toán - Trường Sư Phạm - Trường ĐH Vinh TS Nguyễn Quốc Thơ Chương Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Nội dung Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương Không gian vectơ TS Nguyễn Quốc Thơ Chương Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương Giới thiệu môn học ã Kiến thức: Trang bị cho người học kiến thức về: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian vetơ Euclid toán phân loại đường, mặt bậc hai ã Kỹ năng: Thực thành thạo phép toán ma trận, tính định thức, tìm ma trận nghịch đảo, tìm hạng ma trận Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính Giải toán liên quan đến không gian vectơ, như: +) Chứng minh hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tun tÝnh, hƯ sinh +) KiĨm tra mét kh«ng gian vectơ con, tìm sở, số chiều không gian vectơ +) Tìm tọa độ vectơ, đổi sở TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương Giới thiệu môn học Kiểm tra ánh xạ tuyến tính, xét tính đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu ánh xạ tuyến tính Xác đinh ma trận biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính.Tìm giá trị riêng, vectơ riêng Biến đổi dạng toàn phương dạng tắc, kiểm tra dạng toàn phương xác định dương, âm hay không xác định ã Thái độ: Bồi dưỡng lực t­ khoa häc, t­ l«gÝc, cung cÊp cho người học cung cụ toán học cao cấp để vận dụng vào giải toán thực tế xà hội đặt Người học thấy môn häc cung cÊp cho hä c¸c kiÕn thøc to¸n häc cao cấp để tiếp tục học môn toán khác hay môn chuyên ngành khác TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thành Quang, Lê Quốc Hán, Đại số tuyến tính, NXB Hà nội 2013 [2] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán cao cấp - Tập - Đại số tuyến tính Hình học giải tích, NXB Giáo dục, Hà Nội 2004 [3] Phạm Huy Điển, Tính toán, lập trình giảng dạy toán học MAPLE, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 2002 [4] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2006 [5] Ngô Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2001 TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương Chương Không gian vectơ Nội dung chương trình bày khái niệm: Khái niệm không gian vectơ: Định nghĩa không gian vectơ Các tính chất đơn giản không gian vectơ Cơ sở - Số chiều: Định nghĩa, tính chất hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính (pttt), độc lập tuyến tính (đltt), hệ sinh Cơ sở, số chiều, toạ độ, ma trận toạ độ Hạng hệ vectơ, mối liên hệ hạng hệ vectơ hạng ma trận toạ độ Ma trận chuyển sở - Phép biến đổi tọa độ: Định nghĩa ma trận chuyển sở công thức phép biến đổi tọa độ Không gian vectơ con: Định nghĩa, tính chất không gian vectơ Giao, tổng tổng trực tiếp không gian vectơ Cơ sở số chiều không gian vectơ sinh hệ vectơ không gian nghiệm hệ pttt TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.1 Khái niệm không gian vectơ 3.1.1 Định nghĩa Cho K = R C V tập hợp khác rỗng Trên V trang bị hai phép toán: ã Phép cộng: + : V ì V V; (a, b) a + b Nghĩa là, đặt tương ứng phần tử (a, b) V ì V với phần tử a + b V ã Phép nhân vô hướng: : K ì V V; (k, a) ka Nghĩa là, đặt tương ứng phần tử k K phần tử a ∈ V víi mét phÇn tư ka ∈ V Khi tập hợp V với hai phép toán không gian vectơ tiên đề: TS Nguyễn Quốc Thơ K (hay V K không gian vectơ), thỏa mÃn Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.1 Khái niệm không gian vectơ ã Đối với phép cộng 1) Kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c, ∀a, b, c ∈ V 2) Giao ho¸n: a + b = b + a, ∀a, b ∈ V 3) Tồn phần tử không: V V : a + θV = θV + a = a, ∀a V 4) Tồn phần tử đối: Mỗi a ∈ V, ∃b ∈ V : a + b = b + a = θV Ký hiÖu b := a V ã Đối với phép nhân với vô h­íng 5) Ph©n phèi 1: α(a + b) = αa + αb, ∀α ∈ K; ∀a, b ∈ V 6) Ph©n phèi 2: (α + β)a = αa + β b, ∀α, β ∈ K; ∀a ∈ V 7) T­¬ng thÝch: (αβ)a = α(β a) = β(αa), ∀α, β ∈ K, a V 8) Tiên đề Unita: 1.a = a, a V, đơn vị K TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.1 Khái niệm không gian vectơ Chú ý Cho V không gian vectơ trường K Cho V K không gian vectơ Cho K không gian vectơ V Giả sử V K không gian vectơ (K kgvt) Khi đó: ã Mỗi phần tử V gọi vectơ ã Mỗi phần tử K gọi vô hướng ã Phần tử V Tiên đề gọi vectơ không V ã Phần tử b := a Tiên đề gọi vectơ đối a V ã Phép trừ hai vectơ định nghĩa bởi: a b = a + (−b), ∀a, b ∈ V Không gian vectơ trường số thực R gọi không gian vectơ thực Không gian vectơ trường số phức C gọi không gian vectơ phức TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.1 Khái niệm không gian vectơ 3.1.2 Ví dơ VÝ dơ Cho V = Mm×n (R) = {A = [aij ]m×n | aij ∈ R} K = R (trường tập hợp ma trận cỡ m ì n, phần tử thực số thực) Định nghĩa phép cộng phép nhân vô hướng Mmìn (R) nh­ sau: +) PhÐp céng: Lµ phÐp céng hai ma trận +) Phép nhân vô hướng: Là phép nhân số thực với ma trận Khi Mmìn (R) lập thành kgvt thực, với phép toán định nghĩa Ta gọi không gian kgvt ma trận cỡ m ì n trường số thực TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.4 Không gian vectơ Ví dụ Bản thân {V } V kgvt V chúng gọi kgvt tÇm th­êng NÕu kgvt V chØ cã nhÊt hai {V } V V gọi không gian đơn = {(a, 0) | a R} vµ B = {(0, b) | b ∈ R} kgvt kgvt thực R kgvt tầm thường Ví dụ Chứng minh tập hợp A Lời giải ã Chứng minh A kgvt cña R2 ThËt vËy 2 +) A R A 6= , (0, 0) ∈ A ⇒ ∅ 6= A ⊆ R +) Víi ∀u1 = (a1 , 0) vµ u2 = (a2 , 0) ∈ A Ta cã u1 + u2 = (a1 , 0) + (a2 , 0) = (a1 + a2 , 0) ∈ A +) Víi ∀r ∈ R, ∀u3 = (a3 , 0) ∈ A, ta cã ru3 = (ra3 , 0) A Vậy theo Định lý 3.4.2 A kgvt R ã Chứng minh tương tự, B kgvt R2 TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.4 Không gian vectơ 3.4.3 Định lý (Giao) K kgvt A, B kgvt V Khi = A ∩ B lµ kgvt cđa V Cho V P K kgvt A, B kgvt V Khi = A B lµ kgvt cđa V VÝ dơ Trong kgvt thùc R xÐt hai kgvt A = {(a, 0) | a ∈ R} vµ B = {(0, b) | b ∈ R} Khi ®ã Q = A ∪ B kgvt R Lời giải Thật vậy, vectơ v = (1, 0) A v A B vectơ u = (0, 1) ∈ B ⇒ v ∈ A ∪ B Nh­ng vect¬ v + u = (1, 1) ∈ / A ∪ B; Do ®ã A ∪ B kgvt R Chú ý Cho V Q TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.4 Không gian vectơ 3.4.4 Định lý (Tổng) K kgvt A, B kgvt V §Ỉt = A + B := {m = a + b | a ∈ A, b ∈ B} Khi ®ã M = A + B lµ kgvt cđa V Cho V M ã Không gian vectơ M = A + B gäi lµ tỉng cđa hai kgvt A B ã Nếu A B = {V } M = A + B gọi tỉng trùc tiÕp cđa hai kgvt A vµ B ký hiệu M = A B ( A+B = M VËy M = A⊕B ⇔ A ∩ B = {θV } Chó ý TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.4 Không gian vectơ R2 xét hai kgvt A = {(a, 0) | a ∈ R} vµ B = {(0, b) | b ∈ R} Khi ®ã R = A ⊕ B ( A+B = R (1) Chøng minh Chøng minh R = A⊕B ⇔ A ∩ B = {θR } (2) ( (∗) A+B ⊆ R • Ta cã A + B = R ⇔ R2 ⊆ A + B () 2 +) Vì A, B kgvt R nên A + B R ⇒ (∗) +) Ta cã R ∀x = (x1 , x2 ) = (x1 , 0) + (0, x2 ) ∈ A + B ⇒ R ⊆ A + B ⇒ (∗∗) VËy, ( ta cã (1) ( v ∈ A v1 = • ∀v = (v1 , v2 ) ∈ A ∩ B ⇔ ⇔ ⇔ v = (0, 0) v ∈ B v2 = ⇒ A ∩ B = {θR } VËy, ta cã (2) VÝ dô Trong kgvt thùc 2 TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.4 Không gian vectơ Định lý 3.4.5 Cho A, B không gian K không gian vectơ V = A B v V biểu diễn cách dạng v = a + b, víi a ∈ A, b ∈ B Khi đó, V 3.4.6 Định lý K kgvt A, B kgvt V Khi dim(V) DÊu ” = ” x¶y ⇔ A = V 2) Giả sử A, B kgvt cđa V Khi ®ã dim(A + B) = dim(A) + dim(B) − dim(A ∩ B 3) NÕu M = A ⊕ B Th× dim(M) = dim(A) + dim(B) 1) Cho V dim(A) TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.4 Không gian vectơ 3.4.7 Không gian vectơ sinh hệ vectơ Cho V K kgvt S V Ký hiÖu = {s1 , s2 , , sn } lµ mét hƯ gåm cã n− vectơ n P xi si |xi K} tập hợp tất L(S) = {x = i=1 các thtt hệ vectơ S Khi ta chứng minh L(S) kgvt V chứa S Ta gäi L(S) lµ kgvt cđa V sinh bëi hệ vectơ S S gọi hệ sinh L(S) 3.4.7.1 Định lý 1) dim (L(S)) = rank(S) 2) Hạng hệ vectơ S K kgvt V số vectơ tập độc lập tuyến tính cực đại S S TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.4 Không gian vectơ Ví dụ Xác định dạng phần tử, chiều sở cđa kgvt sinh bëi hƯ vect¬ S = {s1 = (1, 1, 2), s2 = (2, 1, 3), s3 = (3, 2, 5)} Lời giải Ta có ã L(S) = {t1 s1 + t2 s2 + t3 s3 | ti ∈ R} = {t1 (1, 1, 2) + t2 (2, 1, 3) + t3 (3, 2, 5) | ti ∈ R} = {(t1 + 2t2 + 3t3 , t1 + t2 + 2t3 , 2t1 +3t2 + 5t3 ) | ti ∈ R} 1 • Ma trËn tọa độ hệ vectơ S A = 3 Khi ®ã  A  1 = 2 3 VËy rank(A) TS Ngun Qc Th¬  1   1  H −H H −2H −−−−−→ 0 −1 −1 −−−−→ 0 −1 −1 H −3H −1 −1 0 = 2 3 Giíi thiƯu m«n häc Tài liệu tham khảo Chương 3.4 Không gian vectơ Theo Định lý 3.4.7.1, ta có ã dim (L(S)) = rank(S) = rank(A) = Do sở L(S) hệ gồm hai vectơ đltt L(S), ®ã lµ S = {s1 , s2 } = {k1 s1 + k2 s2 | k1 , k2 ∈ R} = {k1 (1, 1, 2) + k2 (2, 1, 3) | k1 , k2 ∈ R} = {(k1 + 2k2 , k1 + k2 , 2k1 + 3k2 ) | k1 , k2 ∈ R} VËy L(S) TS NguyÔn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.4 Không gian vectơ 3.4.7.2 Bài toán mô tả không gian L(S) Cho V K kgvt vµ S = {s1 , s2 , s3 , , sn } lµ mét hƯ gåm cã n vectơ V Tìm sở, số chiều dạng phần tử kgvt L(S) Cách giải ã Gọi A ma trận tọa độ hệ vectơ S sở E kgvt V ã Khi dim (L(S)) = rank(A) ã Một sở L(S) vectơ si có tọa độ ứng với hàng khác không ma trận bậc thang biến đổi từ A ã Dạng phần tử L(S) tổ hợp tuyến tính sở vừa tìm TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.4 Không gian vectơ 3.4.8 Không gian nghiệm hệ pttt Cho hƯ pttt = [0], ®ã A = [aij ]mìn aij K Đặt = { = (1 , α2 , , αn ) ∈ Kn |A[α] = [0]} lµ tËp nghiƯm cđa hƯ pttt A[x] = [0] Khi theo tính nhÊt A[x] M chÊt nghiƯm cđa hƯ pttt thn nhÊt, ta cã: ∅= M ⊆ Kn ; +) ∀α, β ∈ M ⇒ α + β ∈ M; +) ∀k ∈ K, ∀α ∈ M ⇒ kα ∈ M +) 3.4.8.1 Định lý (Về không gian nghiệm) Cho hệ pttt A[x] aij K Khi đó: = [0], A = [aij ]mìn 1) Tập nghiệm M cđa hƯ A[x] 2) dim (M) = n − rank(A) TS Nguyễn Quốc Thơ = [0] K kgvt Kn Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.4 Không gian vectơ 3.4.8.2 Bài toán mô tả không gian nghiệm Gọi M tập nghiệm hệ pttt A[x] A = [aij ]mìn aij = [0], K Tìm dạng phần tử, sở số chiều không gian nghiệm M Cách giải ã Dạng phần tử M công thức nghiệm A[x] = [0] ã Cơ sở M hệ nghiệm A[x] = [0] ã dim (M) = n − rank(A) = Sè Èn tù cña A[x] = [0] TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.4 Không gian vectơ Ví dụ Tìm sở số chiều cđa kh«ng gian nghiƯm cđa   x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = hƯ pttt thn nhÊt x2 − 3x3 + 5x4 =   −2x1 3x2 + 4x4 = Lời giải ã Giải hƯ pttt ®· cho:    | h +2 h −3 | 0 −−−−→ 0 −3 A =  −2 −3 | 0  h −h −−−−→ 0 −3 0 5 TS Ngun Qc Th¬ | | |  0 10 | | |  0 Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.4 Không gian vectơ (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (14a, −8a, −a, a), a R ã Gọi M tập nghiệm hÖ, ta cã M = {(14a, −8a, −a, a) = a(14, −8, −1, 1), | ∀a ∈ R} lµ kgvt cđa R sinh bëi hƯ vect¬ M0 = {m0 = (14, 8, 1, 1)} Mặt khác m0 6= hệ vectơ M0 đltt Vậy hệ vectơ M0 = {m0 } sở P dim (P) =   x1 + 5x2 − x3 =    3x − x = VÝ dơ Cho hƯ pttt  −2x1 − 7x2 + x3 = −2    −x + x − x = Nghiệm hệ 1) Giải hệ pttt TS Nguyễn Quốc Thơ Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.4 Không gian vectơ Lời giải Ta cã  A 0 = −2 −7 −1  h −h 0 −−−−→  h −2h 0 2 0  −1 | −1 |  2h  −h−+ −−→ | −2 h +h −1 | −1 | −1 | | | 1 0  0 −1 −1 −1 −2   ®ỉi h cho h   −− −−−−−−−−→    0 0 Vậy hệ pttt đà cho vô nghiệm, rank(A) TS Ngun Qc Th¬  0 | | | |  0  0 −1 | −1 | | |  0  1 = 6= rank(A) = Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo Chương 3.4 Không gian vectơ 2) Tìm sở số chiều không gian nghiệm hệ pttt tương ứng Lời giải Từ biến đổi trªn ma trËn bỉ sung A ë trªn, ta cã nghiệm hệ pttt tương ứng   (x1 , x2 , x3 ) = − a, a, a , ∀a ∈ R 3 Gọi Q tập nghiệm hệ pttt t­¬ng øng, ta cã n    o − a, a, a = a − , , , | ∀a ∈ R lµ kgvt cña R3 3 3 n  o sinh bëi hƯ vect¬ q0 = − , , Mặt khác q0 6= R 3 n  o Suy c¬ së cđa Q lµ q0 = − , , ⇒ dim (Q) = Q = 3 TS Ngun Qc Th¬