(Skkn mới nhất) giúp học sinh phát triển tư duy và rèn luyện kỹ năng thông qua các bài toán vận dụng vận dụng cao của số phức trong đề thi tôt nghiệp trung học phổ thông

sa ng ki en ki PHỤC LỤC nh ng A MỞ ĐẦU hi Lý chọn đề tài em Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu w Phương pháp nghiên cứu n lo Phạm vi nghiên cứu ad Bố cục sáng kiến kinh nghiệm th B PHẦN NỘI DUNG yj uy I CƠ SỞ LÝ LUẬN ip 1.1 Khái niệm lực la 1.2 Năng lực tốn học gì? lu an 1.3 Năng lực giao tiếp toán học va II CÁC NỘI DUNG VỀ SỐ PHỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG n Bất đẳng thức tam giác fu ll 2.Công thức đường trung tuyến m oi 3.Bất đẳng thức Bunhiacopxki-Cauchy-Schwarz (B.C.S) at nh III MỘT SỐ GIẢI PHÁP THỨC HIỆN .10 1.Công thức giải nhanh số 10 z z Công thức giải nhanh số .14 vb Công thức giải nhanh số .17 ht jm Sử dụng bất đẳng thức tam giác 21 k Kỹ thuật UCT bất đẳng thức BUNHIACOPXKI-CAUCHY-SCHWARZ 23 gm Công thức NEWTON RAHSON giải nhanh phương trình số phức 27 l.c IV KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM KHẢO SÁT 31 C KẾT LUẬN 36 Ý nghĩa đề tài .36 Kiến nghị, đề xuất 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 om Khảo sát cấp thiết tính khả thi đề tài 31 sa ng ki en A MỞ ĐẦU ki Lý chọn đề tài nh ng Chương trình tổng thể ban hành theo Thơng tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục toán học hình thành phát triển cho học sinh phẩm chất chủ yếu, lực chung lực toán học với thành tố cốt lõi: lực tư lập luận tốn học, lực mơ hình học toán học, lực giải vấn đề toán học, lực giao tiếp toán học, lực sử dụng cơng cụ phương tiện học tốn; phát triển kiến thức, kĩ then chốt tạo hội để học sinh trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng kết nối ý tưởng toán học, tốn học với mơn học khác toán học với đời sống thực tiễn” hi em w n lo ad th yj uy Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm gần toán VD-VDC số phức học sinh biết chuyển đổi ngơn ngữ tốn từ “Cực trị số phức,modun số phức” sang đại số giải tích toán trở thành đơn giản, dễ giải ip la an lu Bộ Giáo dục Đào tạo tiến hành đổi đồng phương pháp dạy học kiểm tra, đánh giá kết giáo dục theo định hướng phát triển lực người học Đặc biệt phát triển lực tốn học, có lực “giao tiếp toán học” n va ll fu oi m Vì lí tác giả chọn đề tài: “Giúp học sinh phát triển tư rèn luyện kỹ thơng qua tốn vận dụng-vận dụng cao số phức đề thi tôt nghiệp trung học phổ thông” z z vb Phát triển lực giao tiếp toán học cho học sinh at nh Mục đích nghiên cứu k jm ht Giúp học sinh biết sử dụng ngơn ngữ tốn học để giải chuyển đổi tốn có nội dung số phức sang nội dung đại số giải tích ngược lại để gải toán cách đơn giản Chuyên đề tập trung nghiên cứu số kỹ thuật giải nhanh toán vận dụng, vận dụng cao số phức đề thi tốt nghiệp THPT Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu vấn đề liên quan đến đề tài sáng kiến kinh nghiệm Điều tra quan sát: Thực trạng khả sử dụng ngơn ngữ tốn học học sinh trung học phổ thông om Nhiệm vụ nghiên cứu l.c gm Từng bước tạo niềm đam mê xóa bỏ dần tâm lý e ngại em học sinh gặp tốn có nội dung có nội dung cực trị, giải tốn số phức, sa ng ki en ki Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất nh ng Phạm vi nghiên cứu hi Sách giáo khoa Toán lớp 10, 11, 12 Ban em Một số tốn cực trị số phức, bất đẳng thức, tìm số phức, Phương trình vơ tỉ w n Bố cục sáng kiến kinh nghiệm lo ad A Mở đầu th Lý chọn đề tài yj Mục đích nghiên cứu uy an va B Nội dung lu Phạm vi nghiên cứu la Phương pháp nghiên cứu ip Nhiệm vụ nghiên cứu n Cơ sở lý luận vấn đề liên quan đến đề tài fu ll Các nội dung số phức chương trình giáo dục phổ thơng z vb k jm ht Những kiến nghị đề xuất z Kết luận at C Kết luận nh Thực nghiệm oi m Một số giải pháp thực om l.c gm sa ng ki en B PHẦN NỘI DUNG ki I CƠ SỞ LÝ LUẬN nh ng 1.1 Khái niệm lực hi em Năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ vào tố chất trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kinh nghiệm, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, thực đạt kết hoạt động điều kiện cụ thể w n lo Chương trình giáo dục phổ thơng 2018 xác định mục tiêu hình thành phát triển cho học sinh lực cốt lõi bao gồm lực chung lực đặc thù Năng lực chung lực bản, thiết yếu cốt lõi, làm tảng cho hoạt động người sống lao động nghề nghiệp Năng lực đặc thù lực hình thành phát triển sở lực chung theo định hướng chuyên sâu, riêng biệt loại hình hoạt động, cơng việc tình huống, mơi trường đặc thù, cần thiết cho hoạt động chuyên biệt, đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học, âm nhạc, mĩ thuật, thể thao ad th yj uy ip la an lu va n Các lực chung hình thành, phát triển thơng qua mơn học hoạt động giáo dục: lực tự chủ tự học, lực giao tiếp hợp tác, lực giải vấn đề sáng tạo; ll fu oi m at nh Các lực đặc thù hình thành, phát triển chủ yếu thơng qua số môn học hoạt động giáo dục định: lực ngơn ngữ, lực tính tốn, lực khoa học, lực công nghệ, lực tin học, lực thẩm mĩ lực thể chất z z vb ht 1.2 Năng lực tốn học gì? k jm Năng lực Toán học đánh giá hai phương diện: Năng lực nghiên cứu toán học lực học tập toán học Mỗi thành tố lực toán học cần biểu cụ thể tiêu chí, báo Điều có độ phức tạp cao minh hoạ bảng đây: om Năng lực toán học bao gồm thành tố: lực tư lập luận tốn học; lực mơ hình hố tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp tốn học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học toán l.c gm Như vậy, lực tốn học đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng yêu cầu hoạt động toán tạo điều kiện lĩnh hội kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc điều kiện ngang sa ng ki en Các tiêu chí, báo ki nh Các thành tố lực toán học ng hi - So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hoá, khái quát hoá; tương tự; quy nạp; diễn dịch em - Chỉ chứng cứ, lí lẽ biết lập luận hợp lí trước kết luận Năng lực tư lập luận toán học w n lo ad - Giải thích điều chỉnh cách thức giải vấn đề phương diện tốn học th - Sử dụng mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ) để mơ tả tình đặt toán thực tế yj uy ip - Giải vấn đề tốn học mơ hình thiết lập la Năng lực mơ hình hố tốn học lu an - Thể đánh giá lời giải ngữ cảnh thực tế cải tiến mơ hình cách giải không phù hợp n va ll fu oi m - Nhận biết, phát vấn đề cần giải toán học nh at - Đề xuất, lựa chọn cách thức, giải pháp giải vấn đề z z - Sử dụng kiến thức, kĩ tốn học tương thích (bao gồm cơng cụ thuật tốn) để giải vấn đề đặt vb Năng lực giải vấn đề toán học jm ht k - Đánh giá giải pháp đề khái quát hoá cho vấn đề tương tự l.c gm Năng lực giao tiếp toán học om - Nghe hiểu, đọc hiểu ghi chép thơng tin tốn học cần thiết trình bày dạng văn toán học hay người khác nói viết - Trình bày, diễn đạt (nói viết) nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp đầy đủ, xác) - Sử dụng hiệu ngơn ngữ tốn học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, liên kết logic, ) kết hợp với ngôn ngữ thông thường động tác hình thể trình bày, giải thích đánh giá ý tưởng sa ng ki en Các tiêu chí, báo ki nh Các thành tố lực toán học ng toán học tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác hi em w n lo ad - Biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản đồ dùng, phương tiện trực quan thông thường, phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt phương tiện sử dụng công nghệ thông tin) phục vụ cho việc học tốn th Năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện - Sử dụng thành thạo linh hoạt cơng cụ phương tiện học tốn, đặc biệt phương tiện khoa học học tốn cơng nghệ để tìm tịi, khám phá giải vấn đề toán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi) yj uy ip la an lu - Chỉ ưu điểm, hạn chế công cụ, phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí n va ll oi m 1.3.1 Năng lực giao tiếp: fu 1.3 Năng lực giao tiếp toán học at nh Năng lực giao tiếp khả trình bày, diễn đạt suy nghĩ, quan điểm, nhu cầu, mong muốn, cảm xúc thân hình thức nói, viết sử dụng ngôn ngữ thể cách phù hợp với đối tượng giao tiếp, hoàn cảnh giao tiếp văn hóa; đồng thời đọc hiểu, biết lắng nghe tôn trọng ý kiến người khác bất đồng quan điểm z z vb k jm ht 1.3.2 Năng lực giao tiếp toán học: + Giao tiếp tốn học thúc đẩy hứng thú nhận thức khác nhau, tìm hiểu kiến thức chưa biết chia sẻ biết với người khác Điều làm địn bẩy để dẫn đến đào tạo om + Giao tiếp toán học phương thức cần thiết học tốn Thơng qua giao tiếp tốn học, người học tiếp thu, lĩnh hội tri thức, kinh nghiệm từ sách giáo khoa, từ thầy, cô giáo bạn bè để hình thành kiến thức cho thân l.c gm Năng lực giao tiếp tốn học khả sử dụng số, ký hiệu, hình ảnh, biểu đồ, sơ đồ, từ ngữ để hiểu tiếp nhận thơng tin hay trình bày, diễn đạt ý tưởng, giải pháp, nội dung toán học hiểu biết thân lời nói, ánh mắt, cử chỉ, điệu văn phù hợp với đối tượng giao tiếp Đồng thời thể tự tin trình bày, diễn đạt, trao đổi, thảo luận nội dung, ý tưởng toán học sa ng ki en ki nh + Thông qua giao tiếp, em nhận thức người khác nhận thức Đối chiếu hiểu biết thân kiến thức từ thầy trao đổi, so sánh với bạn, từ em tự đánh giá thân ng hi + Thơng qua giao tiếp tốn học cịn giúp học sinh củng cố, tăng cường kiến thức hiểu biết sâu toán Chẳng hạn, qua tranh luận với bạn, chí với thầy giúp em nhận thiếu sót giải mình, từ chỉnh sửa, hồn thiện trình bày tốn cách khoa học em w n lo + Giao tiếp toán học giúp em cởi mở tự tin hiểu biết thân vấn đề tốn học, tạo nên mơi trường học tập thoải mái thân thiện Thông qua thảo luận tốn học, học sinh làm rõ mở rộng ý tưởng hiểu biết mơn tốn ad th yj uy ip + Ngồi ra, giao tiếp tốn học giúp giáo viên hiểu rõ lực học tập học sinh, trình độ quan điểm hạn chế học sinh học tập tốn, từ định phương pháp nội dung giảng dạy phù hợp với đối tượng học sinh Giáo viên kích thích phát triển học sinh kiến thức tốn học thơng qua cách mà họ phát biểu ý kiến trả lời câu hỏi la an lu n va fu ll II CÁC NỘI DUNG VỀ SỐ PHỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THƠNG oi m nh at Khi thực chương trình giáo dục phổ thơng 2018 giáo viên có nhận thức tầm quan trọng ý nghĩa việc cần phát triển NLGT toán học cho HS Tuy nhiên, đa số giáo viên chưa ý phát triển phẩm chất lực giao tiếp toán học cho học sinh z z vb ht k jm Vấn đề phát triển NLGT toán học cho học sinh kỹ chủ yếu, giao tiếp toàn học đạt kết định Ở mức độ trội kỹ nghe hiểu, đọc hiểu hay thể tự tin quan tâm giáo dục học đạt kết định, nhiên hạn chế cần phải tiếp tục phát triển, hoàn thiện om Tuy nhiên, với GV trực tiếp giảng dạy đa số GV bắt đầu quan tâm đến vấn đề Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn ban hành giáo dục năm 2018 đưa lực giao tiếp toán học trở thành yêu cầu cần đạt giáo dục phổ thông, nên l.c gm Những tồn kết thực dễ giải thích bị ảnh hưởng, tác động trực tiếp hồn cảnh, mơi trường thân đối tượng giao tiếp Để khắc phục tồn này, để vươn tới thực có kết cao hơn, địi hỏi người làm cơng tác giáo dục phải có biện pháp hiệu để phát triển NLGT cho học sinh sa ng ki en ki nhiều GV chưa hiểu rõ gặp nhiều khó khăn dạy học phát triển NLGT toán học cho học sinh nh ng Chúng tơi phát triển NLGT tốn học cho HS học dạy học giải tốn thơng qua chuyển đổi tốn từ toán cực trị số phức phương pháp làm đơn giản hơn, học sinh biết kết hợp với máy tính bỏ túi hi em Ngoài kiến thức sách giáo khoa, nội dung sáng kiến có sử dụng đến kiến thức sau Bất đẳng thức tam giác w n lo ad Với số phức z1 , z2 ta ln có z1 + z2  z1 + z1 , dấu “=” xảy th yj uy  z1 =   z1  0, k  , z2 = kz1 ip la Chứng minh an lu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1 , − z2 n va Khi đó: ll fu OA = z1 , OB = z2 ; BA = z1 − (− z2 ) = z1 + z2 m oi Ta ln có bất đẳng thức AB  BO + OA  z1 + z2  z1 + z2 ,(đpcm) at nh Dấu “=” xảy  O, A, B thẳng hàng O thuộc đoạn AB z z Nếu O trùng với A z1 = vb k OB = −kOA  z2 = kz1 jm ht Nếu O không trùng với A tức z1  điều có nghĩa có số k  để gm l.c Một số hệ quả: om z1 − z2  z1 + z2 dấu “=” xảy z1 = kz2 với k  z1 + z2  z1 − z2 dấu “=” xảy z1 = kz2 với k  z1 − z2  z1 − z2 dấu “=” xảy z1 = kz2 với k  Công thức đường trung tuyến Với số phức z1 , z2 ta ln có z1 + z2 2  z1 + z2 z1 − z2 = 2 +  2     sa ng ki en Chứng minh: ki Đặt z1 = x1 + y1i; z2 = x2 + y2i với x1 , x2 , y1 , y2  nh ng hi Ta có VT = em ( x12 + y12 ) +( x22 + y22 ) = x12 + y12 + x22 + y22 , (1) 2  x + x y1 + y2  x1 − x2   y1 − y2         Ta có VP =   + +   +                w n lo ad  x + x   y + y   x − x   y − y   =   +   +   +             th yj uy ip  x12 + x1 x2 + x22 y12 + y1 y2 + y22 x12 − x1 x2 + x22 y12 − y1 y2 + y22  = 2 + + +  4 4   la lu an  x + x22 + y12 + y22  2 2 = 2  = x1 + x2 + y1 + y2 , (2)   n va ll fu Từ (1), (2) ta có cơng thức trung tuyến chứng minh m oi Một số hệ quả: nh at Cho hai số phức z1, z2 ta có : z1 + z2 + z1 − z2 = ( z1 + z2 ) z z 2  z1 + z2 z −z = 2 z + +  2  vb Cho hai số phức z , z1, z2 ta ln có : z1 + z2 + z1 + z2 l.c gm Bất đẳng thức Bunhiacopxki-Cauchy-Schwarz tổng quát k Bất đẳng thức Bunhiacopxki-Cauchy-Schwarz (B.C.S) jm ht    ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) om Cho 2n số a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn ta có:  ( a12 + a22 + + an2 )( b12 + b22 + + bn2 ) Đẳng thức xảy = kbi , i = 1, n, k  Bất đẳng thức Bunhiacopxki-Cauchy-Schwarz cho số Cho bốn số a1 , a2 b1 , b2 ta có: ( a1b1 + a2b2 )  ( a12 + a22 )( b12 + b22 ) Dấu đẳng thưc xảy a1 = kb1; a2 = kb2 sa ng ki en Bất đẳng thức Bunhiacopxki-Cauchy-Schwarz cho số ki Cho sáu số a1 , a2 , a b1 , b2 , b3 ta có: ( a1b1 + a2b2 + a3b3 )  ( a12 + a22 + a32 )( b12 + b22 + b32 ) nh ng hi Dấu đẳng thưc xảy a1 = kb1; a2 = kb2 ; a3 = kb3 em III MỘT SỐ GIẢI PHÁP THỨC HIỆN w Cơng thức giải nhanh số n lo Bài tốn mở đầu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − i = Tìm giá trị lớn ad th giá trị nhỏ z − + 3i yj uy Phân tích Đứng trước tốn này, đa số thầy giáo em học sinh nghĩ tới hướng sử dụng kiến thức phương trình đường trịn Đó hướng tiếp cận hay dài cần phải nhớ kiến thức đường tròn chương trình lớp 10 Hơm chúng tơi xin giới thiệu đến quý thầy cô em định hướng nhanh ip la an lu va n Đầu tiên đến toán tổng quát q trình phát riển qua ví dụ minh họa sau ll fu m oi Bài toán Cho z, z số phức số thực k  thỏa mãn : z − z0 = k Khi at nh ta có max z = k + z0 z = k − z0 z Chứng minh Ta có z − z0 = k Gọi điểm biểu diễn số phức z P , điểm biểu z vb diễn sơ phức z0 Q ta có z − z0 = QP Theo bất đẳng thức ba điểm ta có: jm ht k  k  z + z0  z  z0 − k QP  OP + OQ     k  z − z0    z0 − k  z  z0 + k , (1) Nếu giả sử  QP  OP − OQ  z  z0 + k    k  z0 − z l.c gm om dấu (1) xảy ta có max z = k + z0 z = k − z0 Ta sử dụng kiến thức đường tròn để chứng minh toán Bài toán giúp ta giải toán z max z nhanh Sau số ví dụ mịnh họa Ví dụ cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + − 4i = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ z Khi M + m bao nhiêu? Lời giải: 10 sa ng ki en Ta có ki z +1− i = z + z + = z + − i  ( z + 1) − i = z + − i  z + − i z + + i = z + − i    z +1+ i = nh ng hi em TH1: z +1− i =  z = −i +1 z = TH2: z + + i =  z − + i = z − Do z  + w n Vậy giá trị lớn z = + lo ad th  z + − 4i = Ví dụ Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn  Tính tổng giá trị lớn yj   z2 + − i = uy giá trị nhỏ biểu thức z1 − z2 Bằng ? ip la Lời giải: an lu Ta có n va z1 − z2 = ( z1 + − 4i ) − ( z2 + − i ) + ( + 3i )  z1 + − 4i + z2 + − i + + 3i = + 2= max fu ll Và z1 − z2 = ( z1 + − 4i ) − ( z2 + − i ) + ( + 3i )  + 3i − z1 + − 4i − z2 + − i = − = oi m at nh Do tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z Kỹ thuật UCT bất đẳng thức BUNHIACOPXKI-CAUCHY-SCHWARZ z vb Trong mục xin đề xuất kỹ thuật hoàn toàn chưa cơng bố, kỹ thuật UCT (đồng hệ số) kết hợp với bất đẳng thức Bunhiacopxki-Cauchy-Schwarz giúp giải nhanh tốn số phức VDC có dạng tổng quát sau : k jm ht l.c z1 , z2 số phức cho trước om T = a z − z1 + b z − z2 Trong a, b  gm Bài toán Cho số phức z thỏa mãn z − z0 = k Tìm giá trị lớn biểu thức Quy trình giải tốn chúng tơi đưa sau Bước 1: Tìm số thực  ,  thỏa mãn: z − z1 +  ( z − z2 ) =  ( z − z0 ) (Trong thực tế ta cần quan tâm đến kết  ) 23 sa ng ki en Bước : Biến đổi T = a  z − z1 + ki  b z − z2 a nh b    = a  z − z1 + a      z − z2  Áp dụng bất  ng đẳng thức Bunhiacopxki – Cauchy – Schwarz ta có : hi b   z − z1 + a   em ( b2     z − z2   1 +  z − z1 +  z − z2   a ) Bước : Sử dụng giả thiết z − z0 = k để thay vào z − z1 +  z − z2 ta có kết w n toán lo ad Sau số ví dụ minh họa cho kỹ thuật th thỏa mãn điều kiện z = Tìm giá trị yj Ví dụ Cho số phức z = x + yi với x, y  uy lớn biểu thức T = z + + z − ip la Lời giải: lu an Bước Tìm số thực  ,  thỏa mãn: z + +  ( z − 1) =  z Ta có hệ n va 1 +  =   =   1 −  =  = ll fu oi m Bước Biến đổi T = z + + z − Áp dụng đẳng thức Bunhiacopxki – 2 2 + ( x − 1) + y  = 10 ( x + y + 1) , (*)  vb Bước Theo giả thiết z =  x + y = z ) = ( x + 1) + y z T = (1 z + + z − )  z + + z − at ( nh Cauchy – Schwarz ta có : ht k jm Thay vào (*) ta có T  20  T  Nghĩa giá trị lớn T 24 om - Đa số lời giải cho toán dùng phương pháp hình học phương trình đường trịn, lời giải theo phương pháp hình học trực quan cần đến công thức độ dài đường trung tuyến tam giác nên khó hiểu cho nhiều học sinh, phương pháp mà chúng tơi đề xuất lựa chọn thú vị - Ở ví dụ này, hệ số  = nên tạo thuận lợi cho Thực tế nhiều học sinh không để ý đến điều mặc định  = nên may mắn ví dụ 1, em sai   Sau ví dụ minh họa cho nhận định l.c gm Nhận xét sa ng ki en thỏa mãn điều kiện z − − 2i = Tìm Ví dụ Cho số phức z = x + yi , với x, y  ki giá trị lớn biểu thức T = z + − i + z − − 4i nh ng Bước Tìm số thực  ,  thỏa mãn: z + − i +  ( z − − 4i ) =  ( z − − 2i ) Ta có hệ hi em  1 +  =   =    1 − 5 = −  −1 − 4 = −2   =   w n lo ad Bước Biến đổi T = z + − i + th ( z − − 4i ) Áp dụng đẳng thức yj Bunhiacopxki – Cauchy – Schwarz ta có : uy ( ) ip  1 2   T = 1 z + − i + z − − 4i   1 +   z + − i + z − − 4i  =    2     2 2   =  ( x + 1) + ( y − 1) + ( x − ) + ( y − )   = ( 3x − x + y − 12 y + 45 ) =  2  = ( x + y − x − y + 15 ) , (*) la an lu n va ll fu oi m Bước Theo giả thiết: z −1 − 2i =  ( x − 1)2 + ( y − 2)2 =  x2 + y − x − y = −1 nh thỏa mãn điều kiện (1 − i ) z + − 3i = z z Ví dụ Cho số phức z = x + yi , với x, y  at Do T  63  T  vb jm k Lời giải: Bước Tìm số thực  ,  thỏa mãn: z + + i +  ( z − − 3i ) =  ( z − − 2i ) Ta có hệ 1 +  =   =  2 − 2 = −     = 1 − 3 = −2   Bước Biến đổi T = z + + i + ( z − − 3i ) Áp dụng đẳng thức Bunhiacopxki – Cauchy – Schwarz ta có : 25 om l.c − 3i =  z − − 2i = 1+ i gm Trước hết ta biến đổi (1 + i ) z + − 3i =  + i z + ht Tìm giá trị lớn biểu thức T = z + + i + z − − 3i sa ng ki en ( T = z + + i + z − − 3i ki ) (  1 +  ( )  ( z + + i 2 + z − − 3i )= ) nh 2 2 = ( x + 1) + ( y + 1) + ( x − ) + ( y − 3)  = ( x − x + y − 16 y + 44 ) =   ng hi = 12 ( x + y − x − y + 11) , (*) em Bước Theo giả thiết: z − − 2i =  ( x − 1)2 + ( y − 2)2 =  x2 + y − x − y = w n Do T  12.15  T  lo thỏa mãn điều kiện (1 − i ) z − − 3i = 20 ad Ví dụ Cho số phức z = x + yi , với x, y  th yj Tìm giá trị lớn biểu thức T = z + i + z − − i uy ip Lời giải: la Trước hết ta biến đổi lu = 20  + 3i z − = 20  z − =  z − =  z − = an (1 + 3i ) z − − 3i va n Bước Tìm số thực  ,  thỏa mãn: z + i +  ( z − − i ) =  ( z − 1) Ta có hệ fu ll 1 +  =   =  −2 = −     = 1 −  =  oi m at nh z Bước Biến đổi T = z + i + z − − i Áp dụng đẳng thức Bunhiacopxki – z vb Cauchy – Schwarz ta có : 2 )= k l.c gm 2 =  x + ( y + 1) + ( x − ) + ( y − 1)  = ( x − x + y + ) = ( x + y − x + 3) , (*)   jm ht ( T = (1 z + i + z − − i )  z + i + z − − i om Bước Theo giả thiết: z − =  ( x − 1)2 + y =  x2 + y − x = Do T  16  T  Ví dụ Cho số phức z = x + yi , với x, y  thỏa mãn điều kiện z + − 3i = Tìm giá trị lớn biểu thức T = z − + z + − 2i Lời giải: 26 sa ng ki en Bước Tìm số thực  ,  thỏa mãn: z − +  ( z + − 2i ) =  ( z + − 3i ) Ta có hệ ki 1 +  =   =   −1 +  =     =  −2 = −3  nh ng hi em Bước Biến đổi T = z − + 3 ( z + − 2i ) Áp dụng đẳng thức w Bunhiacopxki – Cauchy – Schwarz ta có : n ( lo T = z − + 3 z + − 2i ad ) (  1 +  ( )  ( z − 2 + z + − 2i )= ) th 2 = ( x − 1) + y + ( x + 1) + ( y − )  = ( x + y + x − 12 y + 16 )   yj uy ip Bước Theo giả thiết: la z + − 3i =  ( x + 1) + ( y − 3) =  x + y + x − 12 y = −8 2 an lu n va Do T  32  T  ll fu Cơng thức NEWTON RAHSON giải nhanh phương trình số phức oi m 6.1 từ định nghĩa đạo hàm đến công thức Newton Rahpson at nh Trong sách giáo khoa THPT hành, đạo hàm hàm số f ( x ) điểm x0 định nghĩa sau: z f ( x) − f ( x0 ) x − x0 vb l.c gm f ( x0 ) f ( x) + ' ' f ( x0 ) f ( x0 ) Giả sử x nghiệm đa thức f ( x ) , nghĩa f ( x) = Khi ta có x  x0 − Nến ta đổi tên x = x1 , ta có x1  x0 − om Từ ta có kết x  x0 − f ( x) − f ( x0 ) x − x0 k Với x → x0 ta viết công thức dạng f ' ( x0 )  jm ht x → x0 z f ' ( x0 ) = lim f ( x0 ) f ' ( x0 ) f ( x0 ) , (1) f ' ( x0 ) Công thức (1) cho ta tìm thấy giá trị x1 gần nghiệm phương trình f ( x) = dựa giá trị ban đầu ta chọn x0 Nếu cho x1 giá trị khởi tạo 27 sa ng ki en tìm x2 gần nghiệm với công thức x2  x1 − ki f ( x1 ) Nếu lặp lại f ' ( x1 ) nh ng trình nhiều lần thu giá trị ngày gần với nghiệm phương trình f ( x) = hi em Quy trình viết lại là: xn +1  xn − f ( xn ) , (2) f ' ( xn ) w n Công thức (2) gọi công thức Newton Rahpson,dùng để tìm nghiệm gần phương trình f ( x) = dựa giá trị khởi tạo ban đầu x0 lo ad th 6.2 Công thức Newton Rahpson tốn giải phương trình tập phức Sử dụng cơng thức Newton Rahpson để tìm nghiệm phương trình f ( x) = tập số phức máy tính bỏ túi ta làm sau: yj uy ip la lu an Bước 1: nhập vào máy tính cơng thức truy hồi x = x − ' ' ' () ' ' ' ; z = −1; z = 0; ( i ) = 0, z ll = 1; ( z ) = z; ( z n ) = nz n −1 ; ( z −1 ) = − fu ' n ( z) va tính giống tập số thực, chẳng hạn f ( x) , f ' ( x ) f ' ( x) oi m nh Bước 2: Nhấn phím CALC để nhập giá trị ban đầu x0 , ta chọn giá trị at cho x0 , nhiên thông thường ta chọn x0 = + i Nhấn dấu “=” nhiều lần liên z tục, thấy kết khơng đổi nghiệm phương trình f ( x) = z vb jm ht Bước 3: Dựa vào kết bước 2, trả lời câu hỏi mà toán u cầu k Cơng thức Newton Rahpson giúp ta tìm nghiệm nhiều phương trình tập số phức nhanh , phù hợp với đề thi trắc nghiệm Sau vài ví dụ minh họa cho nhận định om 10 − + i Tìm z z Lưu ý: Khi sử dụng cơng thức Newton Rahpson ta nên quy đồng bỏ mẫu phương trình để q trình bấm phím hội tụ nhanh nghiệm Lời gải: +) Ta có phương trình (1 + 2i ) z = l.c gm Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i ) z = 10 − + i  (1 + 2i ) z + − i  z − 10 = z 28 sa ng ki en +) Do cần tìm nghiệm f ( z) = (1 + 2i ) z + − i  z − 10 nên ta tìm f ' ( z ) Ta có ki f ' ( z ) = (1 + 2i ) z + − i nh ng hi +) Quy trình bấm máy: em (1 + 2i ) z + − i  z − 10 Bước 1: nhập vào máy công thức truy hồi: x = x −  (1 + 2i ) z + − i w n Bước 2: Bấm phím CALC nhập giá trị ban đầu + i nhấn dấu liên tục nhiều lần,khi thấy kết gần khơng đổi ta dừng lo ad th yj Bước 3: Bấm phép tính Ans để tìm mơ đun nghiệm gần đúng, máy uy cho kết ip la Từ ta có kết z = lu iz − (3i + 1) z 2 iz có = z Biết số phức w = 1+ i an Ví dụ Cho số phức z  thỏa mãn va a 13 a với a, b số tự nhiên phân số tối giản Khi a + b b b n ll fu môđun oi m bao nhiêu? z = (1 + i ) z ht iz − (1 + i) z z − (3i + 1) z = 2 vb z z 1+ i = z  iz − ( 3i + 1) z = (1 + i ) z  iz − ( 3i + 1) z iz − ( 3i + 1) z at +) Ta có nh Lời giải: k jm +) Đặt f ( x) = iz − (1 + i) z z − (3i + 1) z ta có f ' ( x) = 2iz − (1 + i) z 2 l.c gm +) Quy trình bấm máy: 2iz − (1 + i) z om iz − (1 + i) z z − (3i + 1) z Bước 1: Nhập máy tính cơng thức truy hồi : x = x − 2 Bước 2: Bấm phím CALC nhập giá trị ban đầu + i nhấn dấu liên tục nhiều lần,khi thấy kết gần khơng đổi ta dừng 29 sa ng ki en ki Bước 3: Bấm phép tính nh ng cho kết hi em 13 26 a = 3 13 z =   a + b = 29 26 b = 26 Từ ta có Ans để tìm mơ đun nghiệm gần đúng, máy w n lo Ví dụ Tính mơđun số phức z biết z + 12i = z z có phần thực dương ad th Lời giải: yj uy +) Ta có z3 + 12i = z  z3 + 12i − z = ip +) Đặt f ( z) = z3 + 12i − z , ta có f ' ( z ) = 3z + la an lu +) Quy trình bấm máy: n va Bước 1: Nhập vào máy tính cơng thức truy hồi: x = x − z + 12i − z 3z + fu ll Bước 2: Bấm phím CALC nhập giá trị ban đầu + i nhấn dấu liên tục nhiều lần,khi thấy kết gần khơng đổi ta dừng oi m nh at Bước 3: Bấm phép tính Ans để tìm mơ đun nghiệm gần đúng, máy z z cho kết vb + 5i z + z = 10 − 4i Đặt w = + 4iz − z 1+ i jm ht Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn điều kiện k biết w = a + bi Tính 2a + 3b + 3b + 10 + 5i z + z = 10 − 4i  (1 + 5i ) z + (1 + i ) z − (1 + i )(10 − 4i ) = 1+ i om +) Ta có l.c gm Lời giải: +) Đặt f (z) = (1 + 5i ) z + (1 + i ) z − (1 + i )(10 − 4i ) , ta có f ' (z) = 4i +) Quy trình bấm máy: Bước 1: Nhập công thức truy hồi : x = x − (1 + 5i ) z + (1 + i ) z − (1 + i )(10 − 4i ) 4i 30 sa ng ki en ki Bước 2: Bấm phím CALC nhập giá trị ban đầu + i nhấn dấu liên tục nhiều lần,khi thấy kết gần khơng đổi ta dừng, ta thấy kết khơng đổi tốn − 3i , nghĩa z = − 3i nh ng hi Bước 3: Với z = − 3i ta có em a = 31 w = + 4i (1 + 3i ) − (1 + 3i ) = 31 − 26i    2a + 3b + 3b + 10 = 2022 b = − 26  w n Ví dụ Cho số phức z = a + bi; a, b  thỏa mãn z z + z + i = Tính giá trị biểu lo ad thức T = 2022a + 2023a + b th Lời giải: yj uy +) Đặt f ( z ) = z z + z + i , ta có f ' ( z ) = z + ip la +) Quy trình bấm máy: an lu Bước 1: Nhập vào máy tính cơng thức truy hồi : x = x − z z + 2z + i n va z +2 ll fu Bước 2: Bấm phím CALC nhập giá trị ban đầu + i nhấn dấu liên tục nhiều lần,khi thấy kết gần khơng đổi ta dừng, ta thấy kết khơng đổi tốn −0, 4142135624i , nghĩa ta có z  −0, 4142135624i oi m at nh z a =  T  0,1715728753 b = −0, 4142135624 Bước 3: với z  −0, 4142135624i   z vb jm ht IV KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM KHẢO SÁT k Khảo sát cấp thiết tính khả thi đề tài 1.1 Mục đích khảo sát - Nắm tính cấp thiết, hiệu đề tài - Nắm tính khoa học, hợp lý đề tài Từ điều chỉnh, áp dụng rộng rãi 1.2 Nội dung phương pháp khảo sát 1.2.1 Nội dung khảo sát: Chủ yếu khảo sát nội dung sau a Các giải pháp đề xuất có thực cấp thiết vấn đề nghiên cứu không? b Các giải pháp đề xuất có khả thi vấn đề nghiên cứu không? Nội dung khảo sát học sinh: - Hiểu biết em dạng tập toán theo định hướng phát triển lực đặc biệt tập số phức THPT theo ma trận giai đoạn nay? om l.c gm 31 sa ng ki en ki Với mức: Không hiểu biết, hiểu biết phần, hiểu biết, hiểu biết sâu - Hiểu biết em kỹ giải toán số phức kỳ thi tốt nghiệp THPT nay? Với mức: Không hiểu biết, hiểu biết phần, hiểu biết, hiểu biết sâu - Mức độ cấp thiết việc vận dụng kỹ giải toán VDVDC số phức đề thi tốt nghiệp THPT Với mức: Khơng cấp thiết, cấp thiết, cấp thiết, cấp thiết - Tính khả thi việc sử dụng kỹ giải toán VD-VDC số phức đề thi tốt nghiệp THPT? Với mức: Khơng khả thi , tí khả thi, khả thi, khả thi nh ng hi em w n lo ad th yj uy ip la an lu va n Nội dung khảo sát giáo viên: - Hiểu biết thầy dạng tập tốn theo định hướng phát triển lực đặc biệt tập số phức THPT theo ma trận giai đoạn nay? Với mức: Không hiểu biết, hiểu biết phần, hiểu biết, hiểu biết sâu ll fu oi m at nh z z vb k jm ht om 32 l.c gm - Hiểu biết thầy cô kỹ giải toán số phức kỳ thi tốt nghiệp THPT nay? Với mức: Không hiểu biết, hiểu biết phần, hiểu biết, hiểu biết sâu - Mức độ cấp thiết việc vận dụng kỹ giải toán VDVDC số phức đề thi tốt nghiệp THPT Với mức: Khơng cấp thiết, cấp thiết, cấp thiết, cấp thiết - Tính khả thi việc sử dụng kỹ giải toán VD-VDC số phức đề thi tốt nghiệp THPT? Với mức: Khơng khả thi , tí khả thi, khả thi, khả thi sa ng ki en ki nh ng hi em w n lo ad th yj uy ip 1.2.2 Phương pháp khảo sát thang đánh giá Khảo sát bảng hỏi Lập google biểu mẫu gửi link khảo sát cho giáo viên học sinh Với thang đánh giá 04 mức (tương ứng với điểm số từ đến 4): la an lu Mức Hiểu biết Mức Hiểu biết sâu ll fu m Hiểu biết Hiểu biết sâu oi Rất cấp thiết z Cấp thiết at nh z Rất khả thi k jm Khả thi ht Ít khả thi vb Điểm số Mức Hiểu biết phần Hiểu biết phần Ít cấp thiết n Nội dung tương ứng Mức Không hiểu biết Không hiểu biết Không cấp thiết Không khả thi va Mức độ 1.x1 + 2.x + 3.x3 + 4.x Trong đó: x1 % đánh giá mức 1, x2 % đánh giá 100 mức 2, x3 % đánh giá mức 3, x4 % đánh giá mức 1.3 Đối tượng khảo sát Đối với học sinh Học sinh lớp dạy thực nghiệm gồm 12T2, 12T5 12A1 Đối với giáo viên Tồn giáo viên trường chúng tơi cơng tác số giáo viên trường khác 33 om X= l.c gm Tính điểm trung bình X theo phần mềm Excel: sa ng ki en ki TT nh ng Tổng hợp đối tượng khảo sát Đối tượng Học sinh lớp 12T2, 12T5,12A1 Giáo viên mơn tốn trường THPT Đơ Lương Giáo viên mơn tốn trường THPT Đơng hiếu Tổng hi Số lượng 70 11 83 em w n 1.4 Kết khảo sát cấp thiết tính khả thi giải pháp đề xuất 1.4.1 Sự cấp thiết giải pháp đề xuất Khảo sát học sinh Khảo sát giáo viên lo ad th yj uy ip la an lu n va ll fu oi m Đánh giá cấp thiết giải pháp đề xuất at nh Các thông số z Các giải pháp z TT Mức HS: 2,97 k jm GV: 3,7 ht 34 om Từ số liệu thu bảng rút nhận xét: cần cấp thiết có giải pháp để giúp học sinh lĩnh hội kiến thức dễ dàng Giải pháp đưa cấp thiết 1.4.2 Tính khả thi giải pháp Khảo sát học sinh: l.c gm Mức độ cấp thiết việc vận dụng kỹ giải toán VD-VDC số phức đề thi tốt nghiệp THPT vb X sa ng ki en ki Khảo sát giáo viên nh ng hi em w n Đánh giá tính khả thi giải pháp đề xuất lo ad th Các thông số Các giải pháp yj TT uy Tính khả thi việc sử dụng kỹ giải toán VD-VDC số phức đề thi tốt nghiệp THPT? ip la Mức X HS: 3,96 an lu GV: 3,7 va n Từ số liệu thu bảng rút nhận xét: Qua khảo sát giảng dạy trường sở trao đổi với đồng nghiệp giảng dạy số trường địa bàn tỉnh Nghệ An thấy lớp giảng dạy em có định hướng tốt hơn, Tính khả thi việc sử dụng kỹ giải toán VD-VDC số phức đề thi tốt nghiệp THPT? Từ chỗ em lúng túng, khơng có định hướng giải tập này, sau học xong đề tài phần lớn em biết vận dụng kĩ năng, kiến thức đề tài để áp dụng vào tập Từ hầu hết em thích thú học phần kiến thức này, khiến em đam mê yêu thích đạt kết cao kiểm tra, qua kỳ thi ll fu oi m at nh z z vb k jm ht 35 om Giải pháp “Giúp học sinh phát triển tư rèn luyện kỹ giao tiếp tốn học thơng qua tốn vận dụng-vận dụng cao số phức đề thi tơt nghiệp trung học phổ thơng”có tính khả thi cao l.c gm Ngược lại lớp không tiếp cận với đề tài em giải dạng tập chậm hẳn so với bạn tiếp cận với đề tài Các em thường khơng có định hướng phương pháp giải, dẫn tới thực dạng tập này, làm cho em cảm giác dạng tập khó cảm thấy chán nản tiếp xúc với dạng tập min,max số phức đề thi tốt nghiệp THPT sa ng ki en C KẾT LUẬN ki Ý nghĩa đề tài nh ng Cơ sở khoa học đề tài kết trình nghiên cứu tài liệu tham khảo với tính pháp lí độ tin cậy cao, từ trình bày sở lý luận rõ ràng, vững chắc, tảng để triển khai nội dung phía sau cách liền mạch, có hệ thống Các phương pháp nghiên cứu phù hợp với đối tượng nghiên cứu tình hình thực tế địa phương, cấu trúc đề tài trình bày cách logic, mạch lạc, rõ ràng Do đó, việc triển khai hay phát triển nội dung đề tài vào thực tiễn mang lại hiệu đáng kể hi em w n lo ad th Đề tài tác giả áp dụng đơn vị lớp giảng dạy nhận phản hồi tích cực đến từ học sinh đồng nghiệp tham dự Về phía học sinh: em mở mang kiến thức, mở rộng môi trường học tập, giao tiếp, rèn luyện kỹ sống cách hiệu Các em bộc lộ sở trường thân, thể nhận thức tầm quan trọng việc phát triển thân cách toàn diện để chuẩn bị tốt cho công việc sống tương lai Về phía giáo viên,tổ chức, giúp giáo viên cảm thấy yêu hơn, say mê với công việc, tạo động lực để giáo viên không ngừng học tập, đổi mới, đáp ứng yêu cầu thời đại nghề giáo Đặc biệt đề tài kỹ thuật UCT (đồng hệ số) kết hợp với bất đẳng thức Bunhiacopxki-Cauchy-Schwarz giúp giải nhanh tốn tìm giá trị lớn nhât số phức tương đối chưa cơng bố tính ứng dụng rộng rãi toán đánh giá, min, max yj uy ip la an lu n va ll fu oi m at nh z z vb Kiến nghị, đề xuất k jm ht Đề tài giới thiệu rộng rãi đến học sinh lớp 12 giáo viên dạy ,tuy nhiên ví dụ cần sưu tập thêm , với công tác ban đọc chắn đề tài đem nhiều lợi ích Ngồi lời giải chưa có tối ưu mong góp ý chân thành! om l.c gm TÀI LIỆU THAM KHẢO Báo toán học tuổi trẻ Phân dạng giải số phức thầy Nguyễn Văn Qúy Chuyên đề ứng dụng số phức thầy Đặng Việt Đông Đề thi tốt nghiệp THPT năm 36 sa ng ki en ki nh ng hi em w n lo ad th yj uy ip la an lu n va ll fu oi m at nh z z vb k jm ht om l.c gm 37