Động học chất điểm

Động học chất điểm 1.1 Hai lược (Estonia) Hai lược nằm đè lên hình 1.1 Chiếc lược xám kéo dịch chuyển với vận tốc v 1 cm/s , lược đen giữ đứng yên chỗ Điểm tối đen chuyến động phía nào, với vận tộc bao nhiêu? Hình 1.1 1.2 Cuộc đua gay cấn (Nga) Một xe ô tô đua chạy đoạn đường thử thẳng với tốc độ trung bình vac Biết tồn đoạn đường xe chuyển động biến đổi hướng Tính vận tốc cực đại cực tiểu xe đua ( vmax vmin tương ứng) đoạn đường thử 1.3 Chạy băng (Estonia) Một cậu bé chạy mặt băng rộng với vận tốc v 5 m/s hướng Bắc Hệ số ma sát chân cậu bé băng  =0.1 Giả sử phản lực băng lên cậu bé có giá trị khơng đổi (thực tế lực thay đổi cậu bé chạm chân xuống mặt băng, ta lấy giá trị trung bình) 1) Tìm thời gian tối thiểu để cậu bé chuyển hướng sang hướng Đơng với vận tốc cuối v 5 m/s ? 2) Quỹ đạo chuyển động ưu đường gì? 1.4 Hai vật ném xiên (Trung Quốc) Từ điểm mặt đất hai vật A B ném với vận tốc đầu v0 chạm đất điểm Biết thời gian chuyển động A TA , tìm thời gian chuyển động TB vật B Gia tốc trọng trường g, bỏ qua sức cản khơng khí 1.5 Súng cao su (Nga) Một súng cao su bắn lúc hai viên đạn nhỏ với vận tốc v0 theo hai hướng khác Các góc mà véctơ vận tốc viên đạn tạo với phương ngang thay đổi tùy ý Khẩu súng có cấu tạo cho sau bắn khỏi mặt đất, hai viên đạn rơi xuống vị trí Sau vài lần thử nghiệm người ta nhận khoảng cách xa hai viên đạn chúng cịn khơng Lmax 19 m Hãy xác định vận tốc v0 viên đạn Lấy g 10 m/s 1.6 Ném bóng lên mái nhà (Czech) Trên hình 1.6 có vẽ cậu bé ném bóng nhỏ lên mái nhà theo phương làm với phương ngang góc  , cịn mái nhà nghiêng góc  so với phương ngang Tay phải cậu bé ném độ cao h so vơi mặt đất, cịn bóng chạm mái nhà điểm P cách cậu bé khoảng d theo phương ngang độ cao H Quả bóng va chạm đàn hồi với mái nhà, nảy lên sau rơi xuống đất Xác định: Trang 1) Vận tốc ban đầu v0 bóng 2) Góc  mà vận tốc bóng tạo với phương ngang va chạm với mái nhà, góc  mà vận tốc sau va chạm tạo với phương ngang độ lớn vận tốc v1 bóng trước va chạm 3) Vị trí bóng rơi xuống mặt đất Câu 1) giải tổng quát, sau đo áp dụng số với trường hợp H 3.5 m , h 1.5 m , d 5.0 m ;  60 ,  30 , câu 2) 3) cần giải cho trường hợp cụ thể Lực cản khơng khí khơng đáng kể Va chạm bóng coi hồn tồn đàn hồi 1.7 Hai vòng kim loại (Estonia) Hai vòng kim loại giống có bán kính R nằm cạnh tiếp xúc điểm A B cho mặt phẳng chứa vịng ln song song Góc từ tâm nhìn cung AB, thời điểm xét  Vòng đứng yên, vòng quay với vận tốc góc  quanh trục qua điểm A vng góc với mặt phẳng chứa vịng Tìm vận tốc điểm tiếp xúc B thời điểm 1.8 Quả bóng nảy (Trung Quốc) Một bóng nhỏ khối lượng m ném theo phương ngang từ độ cao h so với mặt đất với vận tốc ban đầu 2gh , bỏ qua sức cản khơng khí Sau lần va chạm với mặt đất, bóng nảy trở lại với vận tốc theo phương ngang khơng đổi, cịn vận tốc theo phương thẳng đứng giảm theo tỷ lệ Tính từ lần nảy lên đầu tiên, diện tích hình giới hạn quỹ đạo bóng tất lần nảy sau với mặt đất có giá trị 8h / 21 Hãy tìm tổng xung lượng bóng trao đổi với mặt đất tất lần va chạm Gợi ý: hai lần va chạm liên tiếp, quỹ đạo bóng tạo với mặt đất hình có diện tích tính cách lấy hai phần ba độ cao cực đại quỹ đạo nhân với khoảng cách hai điểm chạm bóng 1.9 n bóng (Estonia) n  bóng đàn hồi thả rơi tự cho chúng đỉnh cách khe nhỏ Quả bóng có khối lượng m0 , có khối lượng fm0 , tiếp f n m0 , tiếp tục vậy, có khối lượng f n m0 , f  Khi va chạm với đất, tất chuyển động với vận tốc v 1) Sau hai va chạm, thứ hai từ lên có vận tốc v1 bao nhiêu? 2) Vận tốc sau tất va chạm? 3) Quả bóng bay tới độ cao cực đại gấp lần độ cao ban đầu h mà thả ra? Lấy f 0.5 n 10 Trang Cho biết dãy số bắt đầu a0 1 , quy luật ak 1  ak   có số hạng tổng quát n  ,   số an    1 n 1.1 Hai lược (Estonia) Khi lược xám dịch răng, hình ảnh giống hệt hình ảnh cũ, khác điểm tối dịch “bước sóng” (xem hình 1.1S) Một bước sóng điểm tối bảy lược, vận tốc điểm tối bảy lần vận tốc lược xám: v = cm/s 1.2 Cuộc đua gay cấn (Nga) Cách 1: Giải đồ thị Thời gian chuyển động xe đua t0 = L/vαv, với L độ dài đoạn đường Đồ thị v(t) phương án chuyển động đường thẳng với góc nghiêng khác (gia tốc) diện tích bên đồ thị (chính độ dài đoạn đường) (hình 1.2S) Ký hiệu thời điểm mà xe đua đoạn đường t’ Trên đồ thị, điểm nằm vị trí cho diện tích chắn đồ thị hai phía phải Dễ thấy, gia tốc α tăng lên t’ dịch phía có vận tốc lớn vận tốc đường v tăng lên Vận tốc nhỏ vmin vận tốc trung bình vαv, đạt α = 0, vận tốc lớn vmax đạt gia tốc có giá trị cực đại vận tốc đầu không Vận tốc cuối vt’ = 2vαv Độ dài đoạn đường: L v 2f / 2 Độ dài nửa đoạn đường: L v 2max  2 Từ suy vận tốc cực đại đường v max v f /  2v v Cách 2: Giải đại số Gọi vận tốc đầu xe đua v0, gia tốc chuyển động α Khi độ dài đoạn đường thử là: L v f2  v 02 2 (1) Trang Nửa đoạn đường: L v  v 02  2 (2) Từ (1) (2) ta tìm vận tốc đoạn đường: v  v 2f  v 20 Chuyển động biến đổi nên vận tốc trung bình biểu diễn qua vận tốc đầu vận tốc cuối v  v0 vf  v0 L v t  t / v v   v  f  t t 2 Vận tốc đầu cuối không âm nên < v0 < 2vαv Vận tốc đoạn đường v biểu diễn qua v0 vαv: v 2v 2 v  2v v v  v 02 (v v  v )  v 2 v Vận tốc nhỏ vmin = vαv đạt v0 = vαv Vận tốc lớn đạt v0 = v max  2v v 1.3 Chạy băng (Estonia) 1) Trong trình chuyển hướng, vecto vận tốc cần xoay góc 90° Hãy tưởng tượng vẽ hệ trục tọa độ mà trục tung trục hoành vx, vy Ta cần dịch chuyển từ điểm A có tọa độ (0,v) sang điểm B có tọa độ (v;0) với “vận tốc” không đổi “Vận tốc” điểm mặt phẳng vx, vy gia tốc cậu bé hệ trục tọa độ thực có độ lớn khơng đổi μg Dễ thấy, nhanh chuyển động theo đường thẳng có độ dài v , suy thời gian chuyển động t v / g 7.2s 2) Vì gia tốc có hướng độ lớn không đổi nên quỹ đạo cậu bé giống vật ném xiên trọng trường, tức đường parabola 1.4 Hai vật ném xiên (Trung Quốc) Chọn gốc tọa độ điểm ném, trục x nằm ngang, trục y hướng thẳng đứng, góc ném θ Gốc thời gian kể từ ném (t = 0), phương trình chuyển động: x v t cos  (1) y v t sin   gt (2) Khử t ta thu phương trình quỹ đạo y x tan   g x2 2v cos  (3) Khi y = 0, tạo độ x điểm chạm đất d, ta có: Trang d v 02 sin 2 g (4) Từ (4) tính thời gian chuyển động T 2v sin  d  v cos  g (5) Gọi θA góc ném vật A, θB góc ném vật B Hai vật chạm đất điểm nên từ (4) ta có hay sin 2A sin 2B (6) 2A   2B (7) Từ (5) ta có biểu thức tính thời gian bay hai vật: TA  2v sin A g (8) TB  2v sin B g (9) 4v 02  (TA g) g Từ (7), (8), (9) ta có: TB  (10) 1.5 Súng cao su (Nga) Tầm xa cầu bắn từ súng cao su góc φ L v02 v2 sin  cos   sin 2 g g (6) Vì cầu có vận tốc ban đầu rơi xuống điểm nên góc ném 1 2  tương ứng phải thỏa mãn điều kiện 21 180  22 , hay 1  2 90 (7) Tức ban đầu véctơ vận tốc đối xứng qua phương 45° (hình 1.5S) Thời gian hai cầu khơng khí thời gian bay thấp (quả bay lâu hơn):  2v p sin(45  ) g (8) Xét hệ quy chiếu gắn với cầu thấp hơn, cầu chuyển động thẳng với vận tốc tương đối v 2v0 sin  (9) Sau thời gian chúng cách xa L vt p  4v02 2v sin  sin(45  )   cos(45  )  cos 45  g g (10) Giá trị cực đại biểu thức đạt cos(2  45 ) 1 , tức α = 22.5° Khoảng cách xa cần tìm L max  2v02   1   g  2 Trang Từ tìm vận tốc đầu v0  L max g 18 (m/s) 2 1.6 Ném bóng lên mái nhà (Czech) 1) Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình 1.6Sa Tọa độ điểm va chạm bóng: x = d, y = H Phương trình chuyển động bóng: x v0 t cos  , y h  v t sin   gt Từ phương trình x suy thời gian chuyển động t x thay vào y v0 cos  Sau biến đổi ta y h  x tan   x2 g 2 v cos  (1) Thay vào (1) giá trị x y, được: H h  d tan   d2 g 2 v0 cos  Từ tìm biểu thức v0 v0  d g cos  2(d tan   H  h) Thay số vào ta v0 = 8.582 m/s 2) Thời gian bóng kể từ ném đến lúc va chạm với mái nhà t1  x 1.165 s Vận tốc bóng thời điểm v cos  v1x v cos  4.29 m/s, v1y v sin   gt1  4.00 m/s  v 22 y 5.87m.s  Vận tốc có độ lớn v1  v1x phương tạo với phương ngang góc  arctan v1y v1x  43   Từ hình 1.6Sb dễ thấy bóng sau va chạm với mái nhà nảy lên góc  180  2  y 77 so với phương ngang 3) Chọn gốc tọa độ điểm va chạm bóng với mái nhà, trục x hướng sang trái (hình 1.6Sb), trục y hướng lên Ta viết tọa độ bóng kể từ va chạm x v1t cos  , y v1t sin   gt Khi bóng rơi tới đất, tọa độ y = −H Thay vào trên: Trang gt  v1t sin   H 0 Từ tính thời gian bóng từ lúc va chạm với mái nhà đến lúc rơi xuống đất v1 sin   v 21 sin   2gH t 1.61s g Khoảng cách từ cậu bé đến chỗ bóng rơi d ' d  v1t cos  2.9m Cách giải khác ý 2): Góc va chạm bóng với mái nhà xác định cách lấy đạo hàm phương trình (1) theo x: y ' tan   g x v cos  Thay x = d vo từ (2) ta có: y ' tan  tan   tan   2(H  h) 2(H  h)  tan    0.932 d d Suy γ = −43° Độ lớn vận tốc va chạm tới mái nhà xác định từ định luật bảo lượng 1 mv02  mgh  mv12  mgH  v1  v02  2g(h  H) 5.87m / s 2 1.7 Hai vòng kim loại (Estonia) Cách 1: Xét hệ quy chiếu quay với vận tốc góc ω/2; hai vòng quay ngược chiều theo hướng lại gần với vận tốc góc ω/2 Do giao điểm không quay mà chuyển động xuyên tâm xuống Như vậy, chuyển hệ quy chiếu phịng thí nghiệm, dây cung AB quay với vận tốc góc ω/2 Ta có d   OAB  , mà tam giác cân OAB có dt    d  OAB   Vậy bán kính OB quay với vận tốc góc ω1 từ tìm vận tốc , suy dt giao điểm B ωR Cách 2: Dễ nhận thây OABO' hình thoi, OB ln song song vói AO' Hay nói cách khác bán kính OB quay quanh B với vận tốc góc vận tốc góc AO' quanh A, ω 1.8 Quả bóng nảy (Trung Quốc) Trang Trong trình chuyển động, vận tốc bóng theo phương x có giá trị khơng đổi 2gh Ngay trước chạm đất, vận tốc theo phương thẳng đứng bóng v0  2gh (1) Gọi  hệ số hồi phục (tỷ lệ vận tốc bóng sau trước va chạm, <  < 1) Vận tốc sau va chạm lần đầu là: v1  2gh (2) Độ cao quỹ đạo sau va chạm lần h1  v12  h 2g (3) Thời gian chuyển động bóng va chạm tiếp lần t1 2 v1 2h 2 g g (4) Quãng đường mà bóng dịch chuyển theo phương ngang (tầm xa) khoảng thời gian x1  2ght1 4h (5) Theo ra, diện tích chắn quỹ đạo bóng trục x  S1  h1x1   3h 3 (6) [Thực diện tích tính mà khơng cần đề cho sẵn Phương trình mơ tả quỹ đạo parabol có đỉnh (2lh,l2h) cắt trục x hai điểm có hồnh độ  h có dạng y(x)  Diện h tích hình chắn đồ thị y(x) trục hoành cho x  x 4h công thức h   S  ydx    x  x dx   3h l 4h  0  Vận tốc đầu, độ cao quỹ đạo, thời gian chuyển động, độ dời theo phương ngang diện tích hình chắn quỹ đạo bóng quỹ đạo thứ n n + liên hệ với v n 1 v n (7) h n 1  h n (8) Trang t n 1 tv n (9) x n 1 x n (10) Sn 1  3Sn (11) Tổng diện tích chắn quỹ đạo x S S  Sn S1 (1      )   h 1  21 n 1 (12) Từ (6) (12) suy  (13) Gọi In xung lượng trao đổi bóng sàn nhà lần va chạm thứ n Định luật biến thiên động lượng cho ta I n mv n  m( v n  ) m(1  )v n  (14) Tổng động lượng trao đổi bóng sàn tất lần va chạm x I  I n (mv )(1  )(1      ) mv n 1 1  1  (15) Thay (13) vào (15) thu kết cuối I 3mv0 3m 2gh 1.9.n Quả bóng (Estonia) 1) Trong q trình va chạm với sàn, bóng đổi chiều chuyển động hướng lên giữ nguyên vận tốc vo = v Giả sử thứ k chuyển động lên với vận tốc vk; ta xét va chạm với thứ (k+ l) lao xuống với vận tốc v Vận tốc khối tâm hệ hai bóng u  v k  fv , hướng lên 1 f Trong hệ quy chiếu khối tâm, vận tốc (k + 1) (−u−v) Sau va chạm, vận tốc hạt hệ quy chiếu khối tâm đổi dấu Như hệ quy chiếu trái đất, (k + 1) chuyển động lên với vận tốc: u k 1 u  (v  u) v  Với vo = v, ta tìm v1  v k  fv 1 f  vk  v 1 f 1 f 1 f 3 f   v   1 v 1 f  1 f    n  2) Ta dùng công thức truy hồi sau n bước để tìm v n     1 v  f     2 3) Bây ta sử dụng mối liên hệ độ cao vận tốc v 2gh v n 2gh n , suy ra: n   h n / h  / v0    1  1 f  Thay số f = 0.5 n = 10 ta độ cao cuối cao độ cao ban đầu 1200 lần Trang