S9 chu~4

CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN ax  b 0 * a 0 + Nếu b 0 phương trình nghiệm với x   Phương trình có vơ số nghiệm + Nếu b 0 phương trình vơ nghiệm * a 0 Phương trình có nghiệm x  b a CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương trình bậc ẩn khơng chứa tham số Phương pháp giải Sử dụng quy tắc biến đổi tương đương - Nhân hai vế với số khác - Chuyển vế Bài tập mẫu Ví dụ 1: Giải phương trình x  3  x   (1) Giải chi tiết  1  x  3 x  12  x  x  12   x  20  x  10 Vậy nghiệm phương trình x  10 Ví dụ 2: Giải phương trình 3x   x x     (2) Giải chi tiết  2   3x  2 12    2x  12   x  1 12  9x 6   8x 8x     12 12 12  17 x  8 x  11  x 9  x 1 Vậy nghiệm phương trình x 1 Ví dụ 3: Giải phương trình Giải chi tiết x 1 x  x 3 x 4    (3) 2018 2017 2016 2015 x 1 x 2 x 3 x 4  1       1    1     2018 2017 2016 2015               x  2019 x  2019 x  2019 x  2019     2018 2017 2016 2015 x  2019 x  2019 x  2019 x  2019     0 2018 2017 2016 2015  1 1    x  2019       0  2018 2017 2016 2015     x  2019 0  x  2019 Ở phân thức (3) tổng tử mẫu  x  2019  nên cộng phân thức với (cộng hai vế với 2) Do 1 1 1 1       0 nên 2018 2017 2016 2015 2018 2017 2016 2015 Dạng 2: Phương trình bậc ẩn chứa tham số Phương pháp giải Bài tốn tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm, vơ nghiệm vơ số nghiệm: ax b Có nghiệm a 0  a 0 Vô nghiệm   b 0  a 0 Vô số nghiệm   b 0 Bài tập mẫu Ví dụ 1: Giải phương trình sau với a tham số: a  x  1  x    a  1 (1) Giải chi tiết  1  ax  x  a  a    a   a  1 x  a  3a  (2) - Nếu a 1 (2) trở thành 0.x 0 (ln đúng) Suy phương trình (1) có vơ số nghiệm - Nếu a 1    x   a  3a  2  a Phương trình (1) có nghiệm x 2  a a Vậy với a 1 phương trình có vơ số nghiệm; Với a 1 phương trình có nghiệm x 2  a Ví dụ 2: Cho phương trình với tham số a: a  ax  1   x  a   (1) Tìm điều kiện a để phương trình a) có nghiệm x 1 b) có nghiệm c) vô nghiệm d) vô số nghiệm Giải chi tiết 2 Ta có  1  a x  a  4 ax  x  a x  ax  x 3  a  a  a  x 3  a (2)   a) Để phương trình (1) có nghiệm x 1 a  a 0  a  3  a  a  3a 0  a  a   0    a 3  Vậy với a = a = phương trình (1) có nghiệm x =  a 1 b) Phương trình (1) có nghiệm a  a  0    a 3 Khi đó: x  3 a 1  a  4a  a  Vậy với a 1 a 3 phương trình (1) có nghiệm x  a  a  0  c) Phương trình (1) vô nghiệm   3  a 0 1 a   a 1    a 3  a 1  a 3 Với a 1 phương trình (1) vơ nghiệm   a 1 a  a  0     a 3  a 3 d) Phương trình (1) vô số nghiệm   3  a 0  a 3 Vậy với a 3 phương trình (1) vô số nghiệm BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Giải phương trình sau: a) ,  x  1  3,  x d)   x    x  1  x    x  1 b) x  3x   e) c) x  x  x  11   f)  x     x   2  x   x  x  Câu 2: Giải phương trình sau: a) x  x  x  x 7    35 37 29 27 5x  x   3 x  3   x  x 1 x  x  x  x       0 99 101 98 102 97 103 b) Câu 3: Giải phương trình với a số: a  x  a  1  x  2 Câu 4: Tìm a để phương trình a  x  1  a  x  3a   a) có nghiệm x 2 b) vơ nghiệm c) vơ số nghiệm d) có nghiệm nhỏ Gợi ý giải Câu 1: a) Rút gọn , x 5 Đáp số x 2 b) Rút gọn 13 x  13 Đáp số x  c) Rút gọn x 44 Đáp số x 22 d) Khai triển đẳng thức, rút gọn đưa phương trình phương trình bậc ẩn Rút gọn 28 x 12 Đáp số x  e) Rút gọn x 36 Đáp số x 12 f) Khai triển đẳng thức ta được: x  x  12 x   x  x  12 x  2 x  27   Rút gọn 24 x 54    Đáp số x  Câu 2: a) Cộng vào phân thức ta  x  34 x  34 x  34 x  34 1       x  34       0 35 37 29 27  35 37 29 27  Vậy x  34 b) Thêm bớt vào phân số x x 1 x x 2 x x 3  1 1  1 1  1  0 99 101 98 102 97 103  x    x 1   x    x    x    x     1    1    1    1    1     0  99   101   98   102   97   103  x  100 x  100 x  100 x  100 x  100 x  100       0 99 101 98 102 97 103  1 1 1    x  100         0  99 98 97 101 102 103  Vậy nghiệm phương trình x 100 Câu 3: Biến đổi phương trình  a  1 x a  a  (2) TH1: a = (2) trở thành = Suy phương trình có vơ số nghiệm TH2: a ≠    x   a  1  a   a   a  1 Phương trình có nghiệm x a  Câu 4: Phương trình cho tương đương với  a x  a  a 3ax  x  a x  3ax  x a  a  a2  3a  x  a  a   a  1  a   x a  a  1 (2)     a) Để phương trình (1) có nghiệm x 2  a 1  a  1  a   a  a  1   a  1  a   0   a 4   a  1  a   0  a 2 b) Phương trình (1) vơ nghiệm   a  a  1 0  a  1  a   0  a 1 c) Phương trình (1) vơ số nghiệm   a  a  1 0 a 1 d) Phương trình (1) có nghiệm   a  1  a   0   (*) a 2 Khi x  Xét a a a   2a   a  a4 2 0   (**) a a a TH1: a    a  ,  **   a    a  Suy a  TH2: a    a  ,  **   a    a  Suy a  Kết hợp với (*) ta a  a  phương trình có nghiệm x  CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG Phương trình bậc hai phương trình có dạng ax  bx  c 0  a 0  Công thức nghiệm: Biệt thức  b  ac + ∆ < 0: Phương trình vơ nghiệm + ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x1  x2  b 2a   b   x1  2a + ∆ > 0: Phương trình có nghiệm phân biệt    b   x2  2a  Công thức nghiệm thu gọn: Biệt thức  ' b'  ac + ∆’ < 0: Phương trình vơ nghiệm + ∆’ = 0: Phương trình có nghiệm kép x1 x  b' a   b'   '  x1  a + ∆’ > 0: Phương trình có nghiệm phân biệt    b'   '  x2  a  Chú ý: Nếu phương trình (1) có hệ số a, b, c thỏa mãn: + a  b  c 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 1; x2  c a + a  b  c 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1  1; x2  * Định lí Vi – ét Nếu phương trình ax  bx  c 0  a 0  có hai nghiệm x1, x2  b  S  x1  x2  a   P x x  c  a * Hệ quả: Phương trình có nghiệm trái dấu ac  * Định lí Vi – ét đảo c a - Nếu hai số u v thỏa mãn u  v S,uv P S 4 P hai số nghiệm phương   trình X  SX  P 0 CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình bậc hai ẩn Phương pháp giải - Xác định hệ số a, b, c phương trình a 0 - Tính  b  ac - Kết luận nghiệm Bài tập mẫu Ví dụ 1: Giải phương trình x  x  0 Giải chi tiết Cách 1: Ta có: a 1;b'  2;c 4;  '     0 Vậy phương trình có nghiệm kép x     2 2 Cách 2: x  x  0   x   0  x  0  x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 2 Ví dụ 2: Giải phương trình x  x  0 Giải chi tiết Ta có      4.3.2 25  Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1   Ví dụ 3: Giải phương trình x    x      25 2.3 2; x2     7  0 Giải chi tiết Ta có: a 2;b 2  ;c  Nhận thấy a  b  c 2    0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  1; x2  Ví dụ 4: Giải phương trình x  x  0 a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1; x2 phân biệt 2.3 25  b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức A  x1  x D C  x1    x2   B  x1  x 2 1  x1 x2 E  x13 +x2 Giải chi tiết a) Ta có:      4.4.  1 65  Vậy phương trình có hai nghiệm x1; x2 phân biệt   x1  x2  b) Áp dụng định lí Vi-ét ta có:   x x   A  x1  x  B  x1  x2  x1  x2  x1 x2  x1 x2  x1  x2  2   2 7    57  x1 x    2.    4   16  1 35 C  x1    x2   x1 x2  x1  x2  16 x1 x2   x1  x2   16      16  4  4 1 x1  x2 D  =   x1 x2 x1 x2  3 E  x1 +x2  x1  x2   x1 x2  x1 x2  x1  x2   x1 x  x1  x2  3 2 7    427    3.    4   64 Ví dụ 5: Cho phương trình x  10 x  0 có hai nghiệm x1; x2 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức A 1  2 x1 x2 B   x1     x  D  x1  x2 E  x1  x Giải chi tiết  x1  x2 10 Áp dụng định lí Vi-ét ta có:   x1 x2  Ta có x12  x 2  x1  x2   x1 x2 10     116 Khi C  x1  x2  x12  x 2  F  x1  x  x12  x2 1 116 29 A     2 x1 x2  x1 x2     16 C  x1  x2  x12  x2  x1  x2   x1  x2   x1  x2   x1  x2     x12  x2  x1 x2  x x  x2   x2   116     10  1320 D  x1  x2  D  x1  x2  x12  x2  x1 x  D 132  D 2 33 (Vì D  ) E  x1  x x14  x2  x12 x22  x12 x22  x12  x22  F  x15  x2 x13  x 23  x1  x2  F  x15  x2  x12  x2   x12  x2  x x   2   x1 x2  116     13328  x1 x2 x  x 10  310 ( 8) 1240    x2  x12 x2  x13 x2   x2  x12 x2  x1  x2  116 1240     10 143200  Dạng 2: Giải phương trình bậc hai ẩn Phương pháp giải Ví dụ 1: Lập phương trình có hai nghiệm   Giải chi tiết Ta có: S  x1  x2 2      P x1 x2    4  4  1 Phương trình có hai nghiệm   x  x  0 Ví dụ 2: Tìm hai số u, v trường hợp sau: a) u  v 5 uv 4 b) u  v 34 uv 15 Giải chi tiết a) Áp dụng định lí Vi-ét đảo u, v nghiệm phương trình: x  x  0      4.4 9  suy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  53 5 4; x2  1 2 Vậy cặp số  u; v  thỏa mãn  ; 1 , 1;   u  v 8 2 2 b) Ta có u  v 34   u  v   2uv 34   u  v  34  2uv 64    u  v  Trường hợp 1: u  v 8 uv 15 Áp dụng định lí Vi-ét đảo  u; v  nghiệm phương trình: x  x  15 0      4.15 4  suy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  82 8 5; x2  3 2 Các cặp số  u; v  thỏa mãn  5;  , 3;  Trường hợp 2: u  v  uv 15 Áp dụng định lí Vi-ét đảo  u; v  nghiệm phương trình: x  x  15 0  8  4.15 4  suy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1   2 8  3; x2   2 Các cặp số  u; v  thỏa mãn   5;   ,  3;   Vậy cặp số  u; v  thỏa mãn  5;  , 3;  ,   5;   ,  3;   Ví dụ 3: Cho phương trình x   m   x  0 (m tham số) có hai nghiệm x1, x2 Lập phương trình có hai nghiệm x2 x1 x1 x2 Giải chi tiết Phương trình x   m   x  0 có ac  nên phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt  x1  x2 2  m   Áp dụng định lí Vi-ét, ta được:   x1 x2  Đặt u  x2 x1 v  x1 x2 2 x x x  x2  x1  x2   x1 x2   m     12  m  m  14 Ta có: S u  v       x1 x2 x1 x2 x1 x2 6 P u.v  x2 x1 1 x1 x2 Phương trình có hai nghiệm x2 x1 là: x1 x2