Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 42 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
42
Dung lượng
2,02 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN ax b 0 * a 0 + Nếu b 0 phương trình nghiệm với x Phương trình có vơ số nghiệm + Nếu b 0 phương trình vơ nghiệm * a 0 Phương trình có nghiệm x b a CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương trình bậc ẩn khơng chứa tham số Phương pháp giải Sử dụng quy tắc biến đổi tương đương - Nhân hai vế với số khác - Chuyển vế Bài tập mẫu Ví dụ 1: Giải phương trình x 3 x (1) Giải chi tiết 1 x 3 x 12 x x 12 x 20 x 10 Vậy nghiệm phương trình x 10 Ví dụ 2: Giải phương trình 3x x x (2) Giải chi tiết 2 3x 2 12 2x 12 x 1 12 9x 6 8x 8x 12 12 12 17 x 8 x 11 x 9 x 1 Vậy nghiệm phương trình x 1 Ví dụ 3: Giải phương trình Giải chi tiết x 1 x x 3 x 4 (3) 2018 2017 2016 2015 x 1 x 2 x 3 x 4 1 1 1 2018 2017 2016 2015 x 2019 x 2019 x 2019 x 2019 2018 2017 2016 2015 x 2019 x 2019 x 2019 x 2019 0 2018 2017 2016 2015 1 1 x 2019 0 2018 2017 2016 2015 x 2019 0 x 2019 Ở phân thức (3) tổng tử mẫu x 2019 nên cộng phân thức với (cộng hai vế với 2) Do 1 1 1 1 0 nên 2018 2017 2016 2015 2018 2017 2016 2015 Dạng 2: Phương trình bậc ẩn chứa tham số Phương pháp giải Bài tốn tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm, vơ nghiệm vơ số nghiệm: ax b Có nghiệm a 0 a 0 Vô nghiệm b 0 a 0 Vô số nghiệm b 0 Bài tập mẫu Ví dụ 1: Giải phương trình sau với a tham số: a x 1 x a 1 (1) Giải chi tiết 1 ax x a a a a 1 x a 3a (2) - Nếu a 1 (2) trở thành 0.x 0 (ln đúng) Suy phương trình (1) có vơ số nghiệm - Nếu a 1 x a 3a 2 a Phương trình (1) có nghiệm x 2 a a Vậy với a 1 phương trình có vơ số nghiệm; Với a 1 phương trình có nghiệm x 2 a Ví dụ 2: Cho phương trình với tham số a: a ax 1 x a (1) Tìm điều kiện a để phương trình a) có nghiệm x 1 b) có nghiệm c) vô nghiệm d) vô số nghiệm Giải chi tiết 2 Ta có 1 a x a 4 ax x a x ax x 3 a a a x 3 a (2) a) Để phương trình (1) có nghiệm x 1 a a 0 a 3 a a 3a 0 a a 0 a 3 Vậy với a = a = phương trình (1) có nghiệm x = a 1 b) Phương trình (1) có nghiệm a a 0 a 3 Khi đó: x 3 a 1 a 4a a Vậy với a 1 a 3 phương trình (1) có nghiệm x a a 0 c) Phương trình (1) vô nghiệm 3 a 0 1 a a 1 a 3 a 1 a 3 Với a 1 phương trình (1) vơ nghiệm a 1 a a 0 a 3 a 3 d) Phương trình (1) vô số nghiệm 3 a 0 a 3 Vậy với a 3 phương trình (1) vô số nghiệm BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Giải phương trình sau: a) , x 1 3, x d) x x 1 x x 1 b) x 3x e) c) x x x 11 f) x x 2 x x x Câu 2: Giải phương trình sau: a) x x x x 7 35 37 29 27 5x x 3 x 3 x x 1 x x x x 0 99 101 98 102 97 103 b) Câu 3: Giải phương trình với a số: a x a 1 x 2 Câu 4: Tìm a để phương trình a x 1 a x 3a a) có nghiệm x 2 b) vơ nghiệm c) vơ số nghiệm d) có nghiệm nhỏ Gợi ý giải Câu 1: a) Rút gọn , x 5 Đáp số x 2 b) Rút gọn 13 x 13 Đáp số x c) Rút gọn x 44 Đáp số x 22 d) Khai triển đẳng thức, rút gọn đưa phương trình phương trình bậc ẩn Rút gọn 28 x 12 Đáp số x e) Rút gọn x 36 Đáp số x 12 f) Khai triển đẳng thức ta được: x x 12 x x x 12 x 2 x 27 Rút gọn 24 x 54 Đáp số x Câu 2: a) Cộng vào phân thức ta x 34 x 34 x 34 x 34 1 x 34 0 35 37 29 27 35 37 29 27 Vậy x 34 b) Thêm bớt vào phân số x x 1 x x 2 x x 3 1 1 1 1 1 0 99 101 98 102 97 103 x x 1 x x x x 1 1 1 1 1 0 99 101 98 102 97 103 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 0 99 101 98 102 97 103 1 1 1 x 100 0 99 98 97 101 102 103 Vậy nghiệm phương trình x 100 Câu 3: Biến đổi phương trình a 1 x a a (2) TH1: a = (2) trở thành = Suy phương trình có vơ số nghiệm TH2: a ≠ x a 1 a a a 1 Phương trình có nghiệm x a Câu 4: Phương trình cho tương đương với a x a a 3ax x a x 3ax x a a a2 3a x a a a 1 a x a a 1 (2) a) Để phương trình (1) có nghiệm x 2 a 1 a 1 a a a 1 a 1 a 0 a 4 a 1 a 0 a 2 b) Phương trình (1) vơ nghiệm a a 1 0 a 1 a 0 a 1 c) Phương trình (1) vơ số nghiệm a a 1 0 a 1 d) Phương trình (1) có nghiệm a 1 a 0 (*) a 2 Khi x Xét a a a 2a a a4 2 0 (**) a a a TH1: a a , ** a a Suy a TH2: a a , ** a a Suy a Kết hợp với (*) ta a a phương trình có nghiệm x CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG Phương trình bậc hai phương trình có dạng ax bx c 0 a 0 Công thức nghiệm: Biệt thức b ac + ∆ < 0: Phương trình vơ nghiệm + ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x1 x2 b 2a b x1 2a + ∆ > 0: Phương trình có nghiệm phân biệt b x2 2a Công thức nghiệm thu gọn: Biệt thức ' b' ac + ∆’ < 0: Phương trình vơ nghiệm + ∆’ = 0: Phương trình có nghiệm kép x1 x b' a b' ' x1 a + ∆’ > 0: Phương trình có nghiệm phân biệt b' ' x2 a Chú ý: Nếu phương trình (1) có hệ số a, b, c thỏa mãn: + a b c 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 1; x2 c a + a b c 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 1; x2 * Định lí Vi – ét Nếu phương trình ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm x1, x2 b S x1 x2 a P x x c a * Hệ quả: Phương trình có nghiệm trái dấu ac * Định lí Vi – ét đảo c a - Nếu hai số u v thỏa mãn u v S,uv P S 4 P hai số nghiệm phương trình X SX P 0 CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình bậc hai ẩn Phương pháp giải - Xác định hệ số a, b, c phương trình a 0 - Tính b ac - Kết luận nghiệm Bài tập mẫu Ví dụ 1: Giải phương trình x x 0 Giải chi tiết Cách 1: Ta có: a 1;b' 2;c 4; ' 0 Vậy phương trình có nghiệm kép x 2 2 Cách 2: x x 0 x 0 x 0 x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 2 Ví dụ 2: Giải phương trình x x 0 Giải chi tiết Ta có 4.3.2 25 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 Ví dụ 3: Giải phương trình x x 25 2.3 2; x2 7 0 Giải chi tiết Ta có: a 2;b 2 ;c Nhận thấy a b c 2 0 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 1; x2 Ví dụ 4: Giải phương trình x x 0 a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1; x2 phân biệt 2.3 25 b) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức A x1 x D C x1 x2 B x1 x 2 1 x1 x2 E x13 +x2 Giải chi tiết a) Ta có: 4.4. 1 65 Vậy phương trình có hai nghiệm x1; x2 phân biệt x1 x2 b) Áp dụng định lí Vi-ét ta có: x x A x1 x B x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 2 7 57 x1 x 2. 4 16 1 35 C x1 x2 x1 x2 x1 x2 16 x1 x2 x1 x2 16 16 4 4 1 x1 x2 D = x1 x2 x1 x2 3 E x1 +x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x x1 x2 3 2 7 427 3. 4 64 Ví dụ 5: Cho phương trình x 10 x 0 có hai nghiệm x1; x2 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức A 1 2 x1 x2 B x1 x D x1 x2 E x1 x Giải chi tiết x1 x2 10 Áp dụng định lí Vi-ét ta có: x1 x2 Ta có x12 x 2 x1 x2 x1 x2 10 116 Khi C x1 x2 x12 x 2 F x1 x x12 x2 1 116 29 A 2 x1 x2 x1 x2 16 C x1 x2 x12 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x12 x2 x1 x2 x x x2 x2 116 10 1320 D x1 x2 D x1 x2 x12 x2 x1 x D 132 D 2 33 (Vì D ) E x1 x x14 x2 x12 x22 x12 x22 x12 x22 F x15 x2 x13 x 23 x1 x2 F x15 x2 x12 x2 x12 x2 x x 2 x1 x2 116 13328 x1 x2 x x 10 310 ( 8) 1240 x2 x12 x2 x13 x2 x2 x12 x2 x1 x2 116 1240 10 143200 Dạng 2: Giải phương trình bậc hai ẩn Phương pháp giải Ví dụ 1: Lập phương trình có hai nghiệm Giải chi tiết Ta có: S x1 x2 2 P x1 x2 4 4 1 Phương trình có hai nghiệm x x 0 Ví dụ 2: Tìm hai số u, v trường hợp sau: a) u v 5 uv 4 b) u v 34 uv 15 Giải chi tiết a) Áp dụng định lí Vi-ét đảo u, v nghiệm phương trình: x x 0 4.4 9 suy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 53 5 4; x2 1 2 Vậy cặp số u; v thỏa mãn ; 1 , 1; u v 8 2 2 b) Ta có u v 34 u v 2uv 34 u v 34 2uv 64 u v Trường hợp 1: u v 8 uv 15 Áp dụng định lí Vi-ét đảo u; v nghiệm phương trình: x x 15 0 4.15 4 suy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 82 8 5; x2 3 2 Các cặp số u; v thỏa mãn 5; , 3; Trường hợp 2: u v uv 15 Áp dụng định lí Vi-ét đảo u; v nghiệm phương trình: x x 15 0 8 4.15 4 suy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 2 8 3; x2 2 Các cặp số u; v thỏa mãn 5; , 3; Vậy cặp số u; v thỏa mãn 5; , 3; , 5; , 3; Ví dụ 3: Cho phương trình x m x 0 (m tham số) có hai nghiệm x1, x2 Lập phương trình có hai nghiệm x2 x1 x1 x2 Giải chi tiết Phương trình x m x 0 có ac nên phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt x1 x2 2 m Áp dụng định lí Vi-ét, ta được: x1 x2 Đặt u x2 x1 v x1 x2 2 x x x x2 x1 x2 x1 x2 m 12 m m 14 Ta có: S u v x1 x2 x1 x2 x1 x2 6 P u.v x2 x1 1 x1 x2 Phương trình có hai nghiệm x2 x1 là: x1 x2