S9 chu~2

CHUYÊN ĐỀ 2: BIỂU THỨC CHỨA CHỮ Thông thường toán cho dạng tổng hợp gồm: -Một câu hỏi chính: Rút gọn biểu thức -Các câu hỏi phụ: + Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa (hay tìm điều kiện xác định) + Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến + Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức + Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức + Tìm giá biến để biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước I CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa Phương pháp giải A xác định A 0 xác định A 0 A Bài tập mẫu Câu 1: Cho biểu thức M  x y y y x x  xy Tìm điều kiện xác định rút gọn M (Đề thi vào 10 tỉnh Khánh Hòa năm học 2015 - 2016) Giải chi tiết  x 0  x 0   Điều kiện:  y 0  y 0 1  xy 0  x y Với x 0, y 0 ta có: M  xy  Vậy M  x   y y x x  xy x   y   xy x  x y   y y x  x y   xy   x  y  xy  xy  x y y với x 0, y 0  x   Câu 2: Cho biểu thức N   : Tìm điều kiện xác định rút gọn N  x  x   x 1 Giải chi tiết  x 0   x  0  Điều kiện:   x  0  x  0   x 0   x 1   Với x 0, x 1 ta có: N   x1   x   x1   x1  x 1    x 1      x      x 1    x1   x 1   x    x 1 x1  x 1  với x 0, x 1 x1 Vậy N   x 1  Câu 3: Cho biểu thức P   x   x     x Tìm điều kiện xác định rút gọn N Giải chi tiết  x 0  Điều kiện:  x  0    x  0  x 0   x 9 Với x 0, x 9 ta có:  x 1 P    ( x +3)( x -3)   x  3  x 1   Vậy P    x  3 x   x     x   x      x 1  x 3  x      x3   x3 x 3    x  x 3 với x 0, x 9 x 3 Câu 4: Cho biểu thức Q  x  11  x x  x x1  Tìm điều kiện x để biểu thức Q có x 1 x nghĩa, rút gọn Q Giải chi tiết  x 0   x  x  0  Để Q có nghĩa, điều kiện là:   x  0   x  0  x 0    x 2  x 0   x 4 Với điều kiện ta có: Q  x1  x x      x 1  x   x  11  x     x 1  x    x  x  12 Vậy Q   x  1  x   x x1   x 1 x x  x1  x  2 x 6 x  11   x 1  x 1 x   x x1  x 1 x     x  11  x  x  x  x    x 1 x  x 6 x 1 x 6 với x 0 x 4 x 1 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến Phương pháp giải Bài tập mẫu Câu 1: Tính giá trị biểu thức A  x 1 x 9 x1 Giải chi tiết Thay x 9 vào A ta được: A  1 1   2  3 Vậy A 2 x 9 Câu 2: Cho biểu thức A  2x  x  Tính giá trị A x 4  x (Thi thử THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết     2x  x  x  2 x Với x 0, x 4 ta có: A  x  x    x x   3 Khi x 4       2 x  2 x 1 x   3.1  12  x   , thay vào A ta được:  3 x 1    x  x x  A 2 x  2     2     2  Vậy x 4  A 2  Ta thấy x 4  rút gọn cách đưa bình phương hiệu Do vậy, ta cần rút gọn x trước thay vào biểu thức A Câu 3: Cho biểu thức B  2 x 2 x  , điều kiện x 0, x 1 x 1 x1 a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị B x  17  12 (Đề thi vào 10 tỉnh Ninh Thuận năm học 2015 - 2016) Giải chi tiết a) Với x 0, x 1 ta có: B 2 x  x 1  Vậy B    2 x x  1  x  1  x1   x  x  1 x 1   x    x x 2 x  2 x x x với x 0, x 1 x x  17  12   2.3.2   b) Ta có: 32 2 3  2 (thỏa mãn điều kiện x 0, x 1 ) x   2   2.1    Thay x   vào B ta được: B   1   1  1 32   1 1 1   Vậy x  17  12 B 1 Câu 4: Cho biểu thức: C  x x 1 x   (với x 1; x 0 ) Rút gọn C, sau tính giá trị C  x x 1 x 2020  2019 Giải chi tiết Với x 1; x 0 ta có:  x  1  C  x 1  x  1 x  x 1  x  1    x 1  x  1  x 1  x1 x 1    x 1 x    x 1 x x 1   Vậy C     x 1  x1   x1 x 1 x 1 x1  x  x1 x 1  x1  x   x 1 x  x 1  x1  x1 x x1 x với x 1; x 0 x1 Suy C   x   x1 x1 x1 Ta có x 2020  2019 (thỏa mãn điều kiện x 1, x 0 )  Có x 2019  2019   2019  Thay vào biểu thức C  ta : C   Vậy C     2019.1  12   2019   x  2019  1  2019   2019 x 2020  2019 2019 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức  Phương pháp giải Chứng minh đẳng thức: Ta biến đổi vế trái vế phải vế phải vế trái biến đổi hai vế biểu thức trung gian Chứng minh bất đẳng thức A  m Bài tập mẫu Câu 1: Chứng minh với x  x 1 Giải chi tiết Với x  x 1 ta có: x x 1   x  x x x x x    x  x x x1 VT  x  x    x1   x1 x  x  x 1  x1 Vậy với với x  x 1   x1 x x1  x   x1 x 1 x x x 1   x  x x x  x 1   x  4  Câu 2: Cho biểu thức P    x    (với x  x 4 ) x   x  x 4  Chúng minh P  x  Giải chi tiết Với x  x 4 ta có:  x 1   x  4 P     x    x   x  x 4         x 1 x 2 x      x  4      x1  x  4 x   x  x x x  x  x 3 x x    x x x x2 x  x 2 x x  x 3 x  x 3 Vậy P  x  với x  0, x 4    a 5  Câu 3: Cho biểu thức P     a  a a  a  a 1      a 1 a   1 với a  0, a 1   a) Rút gọn P   b) Đặt Q  a  a  P Chứng minh Q  Giải chi tiết Với a  0, a 1 ta có:  P   a a   a 5    a1  a  1 a   a  1   a1      a 5   ( a  a 1)  a    a a1     a   a  1 a     a1 a   a 4  a  1   a1   a1 a  a 4 a  a a    a  a 1  a      a 1   a 1 a1  b) Ta có: Q  a  Xét Q   a  Vì   a1  a a  a 1 P  a 1 a  1 a a   a a 1 a a 1  a a  a a 1   a a a  0, a  0, a 1 nên Q    Q  Vậy Q  với a  0, a 1 Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức Phương pháp giải  a1 Câu 1: Cho hai biểu thức: A   x1 x  (với x 0, x 1 ) B  x1 x   x 2 (với  : x 1  x 1 x 0, x 4 ) Tính giá trị nhỏ biểu thức P  18 A.B (Phịng GD & ĐT Ba Đình – Hà Nội – Lần năm học 2018 – 2019) Phân tích đề 18 Rút gọn B tính P Ta thấy P    x1 x 2 có dạng bậc tử thức băng bậc mẫu thức (phương pháp 3) nên phân tích tử để biến đổi P dạng P n  m x 2 Giải chi tiết Với x 0, x 1 ta có:  x1 B    x  x 2   : x 1  x 1 x  1 x   x  P   x 1 x 1    x  2   x1    x  2  x 1   18 18 x   18  A.B x 2 Vì x 0   x   x 1 x 2   x 1 x  x 1 x 1  x 54 x 2 54 54  27 nên P 18  x 2 54 18  27  x 2 Hay P  9, x 0 Đẳng thức xảy x 0 Vậy P  x 0 Câu 2: Rút gọn tìm giá trị lớn biểu thức:   x1 x2 x A    , với x 0, x 1  :   x x x  x  x 1  (Đề thi vào 10 tỉnh Đak Lak năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết Với x 0, x 1 ta có:       x   x  x 1  x   x x2 x A      :  x x x  x  x  x  x  x 1        x1  x x1 Vậy A  2  x 1  x  x 1 với x 0, x 1 x  x 1 A đạt giá trị lớn  x  x  đạt giá trị nhỏ   x1 x1 Vì x 0 nên x  x  1  A  3 x  x 1 Đẳng thức xảy  x 0 Vậy max A 3 x 0 Ta thấy A có dạng A  m (với m số dương, p  x  biểu thức chứa biến x), p  x áp dụng phương pháp Câu 3: Cho hai biểu thức P  x 3 x1 x  Q  với x  0, x 4 x x x 2 Tìm giá trị x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ Q (Đề thi vào 10 TP Hà Nội năm học 2015 - 2016) Phân tích đề P P x 3  Nhận thấy có dạng bâc tử lớn bâc mẫu nên đưa Q Q x Rút gọn biểu thức Q tính dạng P m P1  x   Sau áp dụng bất đẳng thức Cơ-si để tìm giá trị nhỏ Q x Giải chi tiết Với x  0, x 4 ta có: Q   x1 x   x x 2 x2 x  x x   x 2   x1  x x 2   x  5 x   x   x  x 25 x  x x x P x 3   x 2 (Do bất đẳng thức Cô-si) Q x x Đẳng thức xảy x Vậy giá trị nhỏ  x 3 x P x 3 Q   3 x Câu 4: Cho biểu thức P  x   x   x 1  x x  x  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nhỏ P Giải chi tiết Điều kiện: x 0, x 9 a) Với x 0, x 9 ta có: P    3   3 x x 2 x    x   x ( x  1)( x  3)    x 2 3 x  x    x 1  3 x   ( x  1)( x  3) 3x  x  x   x  x  x   x  15  x  17 x    x 1 Vậy P  x  x x  15 x  x    x 1 x      x 1  x x x   5 x x 1 x với x 0, x 9 x 1 b) Ta có P  Vì    x 1 x  x 5  5  x 1 x 1 x 1  nên P có giá trị nhỏ  x 1 lớn  x 1 x  nhỏ  x 0 Khi P 5   Vậy P  x 0 x    1 : Câu 5: Cho biểu thức P  với x 0, x  , x 1, x 4  x  x   x  x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Với x 5 , tìm giá trị nhỏ T P  10 x Giải chi tiết Với x 0, x  , x 1, x 4 ta có:  x   P   1 :   x  x   x  x 1    x 2    1 x        x1 x1     x  1  x  1   x  2  x 2    x   x  x  4 x  1 Vậy P 4 x  với x 0, x  , x 1, x 4  x1 x1 b) Xét T P  10 10 x 10 10 x 4 x      1 x x x Áp dung bất đẳng thức Cơ-si ta có: Đẳng thức xảy  Lại có: x 10 x 10  2 4 x x x 10   x 5 (do x 0 ) x 18 x 18 (vì x 5 ) nên T 4  18  21 Vậy T 21 x 5 Nhận xét T có chứa biểu thức nghịch đảo 4x 10 nên ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức Cô-si x Nhưng áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 4x T 4 x  10 thì: x 10 10  2 x  4 10  x x 10 10 Đẳng thức xảy  x   x   x  (không thỏa mãn điều kiện x 5 ) x Tức 10  giá trị nhỏ T Dạng 5: Tìm giá trị biến để giá trị biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Bài toán Tìm x để biểu thức A m (m số) Bài tốn Tìm x để biểu thức A  m (hoặc A  m A m A m (m số)) Bài tập mẫu  x x  x x 1  x  x 1  Câu 1: Cho biểu thức A   : x x  x x  x   a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A  A c) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Giải chi tiết a) Điều kiện: x  0, x 1  x x  x x 1  x  x 1 A   : x x  x   x x        x   x  x  x 1  x1  x  x 1  :  x 1  x 1 x       x1  x1  x 1  x  x 1  x  x  x 1 x 1  x x1 x1 Vậy A    x 1 x1 với x  0, x 1 b) A  A  A     0 x 1 x1 x  1  x 1 Kết hợp với điều kiện ta  x  A  A c) Ta có: A    2  x 1 x1 Để A nguyên x1 x   U   hay x  1   1;1;  2; 2;  4; 4 Ta có bảng sau: x1 x x, 4 2 1 3 1 loại (loại) 25 (thỏa mãn) (thỏa mãn) (thỏa mãn) ( loại x  0, x 1 ) Vậy x   4;9; 25 Nhận xét Muốn tìm giá trị nguyên x để biểu thức A  P x Q x bậc mẫu) đạt giá trị nguyên ta cần phân tích A  A1  x   Khi A nguyên  (trong bậc tử lớn m với m số Q x m nguyên  Q  x  ước m Q x  x 1 x x 2  x  x   : Câu 2: Cho biểu thức B   x 4 x 4  x x  x    a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm x để B 2 c) Tìm giá trị x để B có giá trị âm Giải chi tiết Điều kiện: x  0, x 4, x 9 a) Với x  0, x 4, x 9 ta có:   x 1 x  x 3 x x 2 B    : x  (2  x )(2  x )   x x 2        x 1 x 2  x  x      x  x  x   2x  x  x    x 2 x x Vậy B  b) B 2  c) B   x2  x 2  x 3 x 2 x3   x 2 x 2 x   x   x 2 x 2  x2 x      x 2  x 3 x 2  x 3   x  x x 2 x 3  x    x 2 x3 với x  0, x 4, x 9 x 2 x3 x 2 x3 2  x  2 x   0 x   (vì x 8  x 64 (thỏa mãn điều kiện) x 2  0) x   x  Kết hợp với điều kiện ta  x  x 4  x   10  x     Câu 3: Cho biểu thức P   : x  2  với x  , x 4 x 2   x 2 x x x x a) Rút gọn biểu thức P   b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức Q   x  P đạt giá trị nguyên (Phòng GD & ĐT Hải Hậu - Nam Định - Lần năm học 2018 – 2019) Giải chi tiết a) Với x  , x 4 ta có: x   10  x   P     : x  2  x 2  x 2 x x x x  x    x  x  4        x       x 2  x x      x 2  x  x Vậy P  x 2  x x    :  x   10  x     x    x 2  x2   1 x2 x 2  x 2  6  x    x 2  x 2 1  x2 với x  , x 4   b) Với x  , x 4 ta có Q   x  P   x  Để Q nguyên x2    x   Ö   hay 1 x2  x 1 x2 1  x x     1;1;  3;3 Ta có bảng: x 1 3 x 1 (thỏa mãn) (thỏa mãn) loại 25 (thỏa mãn) x ,  , x  0, x 4  Vậy x   1;9; 25 Q nhận giá trị nguyên Câu 4: Cho biểu thức A  a) Rút gọn biểu thức B x 3 x  x  12  B  với x 0, x 16 x  16 x x 4 b) Tìm m để phương trình A m  có nghiệm B (THCS Mạc Đĩnh Chi - Ba Đình - Hà Nội năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết x  x  12   x  16 x 4 a) Ta có: B     x  12  x  12 x 4  x    x  4   x  4  x 3 x x4 x  x 4  x   x  12 x 4  x  x x x với x 0, x 16 x Vậy B  b) ta có: x   A m   B x 3 x  m  1 x Để phương trình x 3 x : m   x x 0   m x 3 0 x A  m x 3 m  có nghiệm phương trình 0 có nghiệm, tức là: B x x    m x 3 0 có nghiệm   m x  0  x  x 16  Vậy m  0, m  x 3 m  x x  3 0    m x      m   4  x 16  m m    m  A phương trình m  có nghiệm B BÀI TẬP TỰ LUYỆN  x x x 1  x 1  Câu 1: Rút gọn biểu thức: B  với x  0, x 1  : x  x  x x  Tính giá trị B x 12  (Đề thi vào 10 tỉnh Bình Dương năm học 2018 - 2019) Câu 2: Cho biểu thức A  x  x 1 x1 x8  B  với x  0, x 4, x 16 x x 2 x x a) Tính giá trị A x 25 b) Rút gọn biểu thức B c) Cho P  A.B So sánh P với (Thi thử Quận Hai Bà Trưng năm học 2018 - 2019) Câu 3: Cho biểu thức A   x 3 x  x 3  B  x x 3   x  với x 0, x 9 x   x  a) Tính giá trị A x 16 b) Rút gọn biểu thức B A c) Cho P  Tìm giá tri nhỏ P B (Thi thử THCS Thái Thịnh năm học 2018 - 2019)   x  12 x  P   Câu 4: Cho biểu thức  x 3 x      x 5 với x 0, x 9, x 64 x8 a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm điều kiện x để P 1 (Phòng GD & ĐT Giao Thủy - Nam Định năm học 2018 - 2019) Câu 5: Cho hai biểu thức A  x1 x x   B  với x 0, x 1 x 3 x 3 x  x2 x  16 a) Tính giá trị biểu thức A x  b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm x để A 1  B (THPT Nhân Chính - Hà Nội năm học 2018 - 2019)  x 1  Câu 6: Cho biểu thức: A  x    Tìm x để A x 2017  x 2018   : x 1  x  (THCS Bạch Liêu - Nghệ An năm học 2018 - 2019) Câu 7: Cho biểu thức A  x 1 x 1 x x 4   B  với x 0, x 4 x x 1 x  x x  a) Tính giá trị A x 7  b) Chứng minh rằng: B  c)Tìm x để 2 x B   A (Phòng GD & ĐT Thanh Trì - Hà Nội năm học 2018 - 2019)  x  Câu 8: Cho biểu thức A  x  x   x  x 1  x  x   x   x  x x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A x   2  11   12 c) Tính giá trị lớn A (THCS Sơn Tây - Hà Nội năm học 2018 - 2019) x x  24  B  với x 0, x 9 x 8 x x Câu 9: Cho hai biểu thức A  a) Tính giá trị biểu thức A x 25 b) Chứng minh B  x 8 x 3 c) Tìm x để biểu thức P  A.B có giá trị số nguyên (Đề thi vào 10 TP Hà Nội năm học 2016 - 2017)   x  1 x    Câu 10: Cho biểu thức p  x    : x   x x  x   a) Chứng minh P  0, x  0, x 1 b) Tính giá trị P biết x  2 c) Tìm giá trị x thỏa mãn: P x 6 x   x Gợi ý giải Câu 1:  x x x 1  x 1 x 1 x  x B   ( x  ):   x1  : x x x x x 1  x  x x  Với x 12  thay vào B ta được: B  12    22 2  2  2  1  2 Câu 2: a) Thay x 25 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta được: A  x1 x x1    x 2 x x x b) B   x x  x 8 x  x   x  x 8 x  x   x x x   x x x     x x     x1  x8 x  25  25  31 25   x x x   c) Ta có: P  A.B  x  x 1 x  x  x 1  x x x Xét P 2 x  x 1 x  2 x 1  x    x 1  2   0, x  x x Vậy P  với x  0, x 4, x 16 Câu 3: a) Thay x 16 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta được: A   b) B     x 3 x   x  x 3 x  x 1   x x 3 c) Ta có: P     x  x 1    x 1 x    x 3  x x 1  x 1 x 3 A x 3 x 1 x3  :   x 1  2 B x 3 x 3 x 1 x 1 x   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số  2 x 1  x 1       x   x 3 x   x   x   x   x 1  x x   x 1      16  19  16  Đẳng thức xảy    2  P 2 x 1  x 1 x 1   ta được: x 1  x 1 (thỏa mãn) x 1 Vậy P 2 x 1 Câu 4:   x  12 x  a) Ta có: P   x 3 x  x        x  3  x   x  24  x  3  x 3 Vậy P  x  x  3 x    x 5  x    x 5  x   x   x 3  x  x  24  x 3 x 5 x 5  x x x 5 với x 0, x 9, x 64 x  x    x 3 x 5 x     x 5 x  x  x  12  x 5 1  x b) Ta có P 1  x 5  0  x 0  x x  30 x9 Kết hợp với điều kiện  x  x 64 Vậy với  x  x 64 P 1 Câu 5: 16 1 13 16 A   :  a) Thay x  (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A có: 3 13 16 3 16 Vậy A  x  13 b) Ta có: B  x  1 x   c) Ta có: Khi đó: (vì   x 3 Vậy B  x x x      x 3 x  x2 x  x 3 x1  x 3  x    x1 x  x 3   x1 x  x 3   x1 x 1 x 3  x 1 với x 0, x 1 x 3 A   x   x 1 x  1 x  x    1 :   B x  x  x  x    A 1    B x  0  0  x 1 2 x 1   x 1 x  0   x 49  x   ) Câu 6: x 2 với x 0, x 1 x 1 Rút gọn biểu thức A  Ta có: VT  A  x 2 1 1  1  2 (vì x 0 ) x 1 x 1 1 Vì x 0 nên AVP x 2017  x 2018  2 Do VT VP 2 Vậy x 0 Câu 7:  a) Ta có: x 7     b) HS tự rút gọn biểu thức B  x 2  , thay vào A ta được: A 2 