S9 chu~3

CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định hàm số Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số * Phương pháp giải Hàm số y = ax + b  Đồng biến ¡ a > Nghịch biến ¡ a <  A ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị y0 = ax0 + b Hàm số y = ax * Nếu a > + Hàm số đồng biến x > + Hàm số nghịch biến x < * Nếu a < + Hàm số đồng biến x < + Hàm số nghịch biến x > A ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị y0 = ax02 Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y = ( a +1) x Tìm a để hàm số nghịch biến x < đồng biến x >0 (Đề thi vào 10 tỉnh Đak Lak năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết Hàm số nghịch biến x < đồng biến x > Û a +1 > Û a >- Vậy a >- Ví dụ 2: Cho đường thẳng d : y = ( m - 1) x + n Tìm giá trị m n để đường thẳng d qua điểm A ( 1;- 1) có hệ số góc - (Đề thi vào 10 tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2018 - 2019) CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Giải chi tiết Đường thẳng d có hệ số góc - nên m - =- Û m =- Đường thẳng d qua điểm A( 1;- 1) nên - =- 3.1 + n Û n = Vậy m =- 2, n = Ví dụ 3: Cho hàm số y = ax + b có đồ thị ( D) Tìm a, b biết ( D) qua hai điểm A( 5;1) B ( - 1;- 1) Giải chi tiết Theo giả thiết ( D) qua hai điểm A( 5;1) B ( - 1;- 1) nên ta có: ìï ïï a = ìïï = 5a + b ìïï a = Û í Û ïí í ïỵï - =- a + b ïïỵ b = a - ïï ïï b =3 ïỵ Thay vào phương trình hàm số ta được: y = x - 3 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y = x - 3 Ví dụ 4: Tìm tất giá trị m để hàm số y = ( m - m + 2017) x + 2018 đồng biến ¡ (Đề thi vào 10 tỉnh Gia Lai năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết Hàm số đồng biến ¡ Û a > Û m - m + 2017 > , với m ỉ 1ư 8067 Û ç m- ÷ + > , với m (luụn ỳng) ữ ỗ ữ ỗ ố 2ứ Vậy với giá trị m hàm số ln đồng biến ¡ Ví dụ Xác định m để đường thẳng y = ( - m) x + 3m - m tạo với trục hồnh góc a = 60° (Đề thi vào 10 tỉnh Cần Thơ năm học 2011 - 2012) Giải chi tiết Đường thẳng y = ( - m) x + 3m - m tạo với trục hoành góc a = 60° Û - m = tan60°Û m = - tan 60°= Vậy m = - 3 Ví dụ 6: Cho đường thẳng ( d ) : y = x + m - CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ a) Khi m = , tìm a để điểm A ( a;- 4) thuộc đường thẳng ( d ) b) Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt trục tọa độ Ox, Oy M N cho tam giác OMN có diện tích (Đề thi vào 10 tỉnh Hưng Yên năm học 2012 - 2013) Giải chi tiết a) Khi m = để điểm A ( a;- 4) thuộc đường thẳng ( d ) - = 2.a + - Û a =- Vậy a =- ỉ 1- m ;0÷ ÷ b) Đường thẳng ( d ) cắt trục tọa độ Ox, Oy M N M ỗ ỗ ữ v ỗ ố ứ ổ 1 1- m ÷ N ( 0; m - 1) nên SMNO = MO.NO = ( m - 1) ỗ ữ ỗ ỗ ố ứ 2 ÷ Mà SMNO = Û ỉ 1- m ÷ = Û m =4 ( m - 1) ỗỗỗ ( ) ữ ữ è ø ém = ê ê ëm =- Vậy m = 3, m =- Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số Phương pháp giải  Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất: + Đồ thị hàm số y = ax đường thẳng qua gốc tọa độ qua điểm M ( 1; a) ỉb - ;0÷ ÷ + Đồ thị hàm số y = ax + b ng thng qua A( 0; b) v qua B ỗ ç ÷ ç è a ø ỉb - ;0÷ ữ Chỳ ý: Cú th thay im B ỗ ỗ ÷ với điểm C khác cách cho x bi mt giỏ tr ỗ ố a ứ nguyờn no xác định y  Vẽ đồ thị hàm số y = ax ( a ¹ 0) + Lập bảng giá trị + Vẽ đồ thị Bài tập mẫu Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( P) : y = x Vẽ đồ thị parabol ( P) (Đề thi vào 10 tỉnh Vĩnh Long năm học 2017 - 2018) Giải chi tiết CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Bảng giá trị x y: x -2 -1 y 2 Đồ thị hàm số cho có dạng hình vẽ Ví dụ 2: a) Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + b) Gọi A, B giao điểm đồ thị hàm số với trục tung trục hồnh Tính diện tích tam giác OAB (Đề thi vào 10 tỉnh Hịa Bình năm học 2012 - 2013) Giải chi tiết a) Vẽ đồ thị hàm số y = 3x + ỉ - ;0÷ ÷ Đồ thị qua A( 0;2) B ç ç ÷ ç è3 ø 1 - 2 = b) Ta có SOAB = OA.OB = 2 3 Vậy SOAB = Ví dụ 3: Cho parabol ( P) : y = x đường thẳng ( d ) : y = x + a) Vẽ đồ thị ( P) b) Viết phương trình đường thẳng ( d1 ) biết ( d1 ) song song với đường thẳng ( d ) tiếp xúc ( P) (Đề thi vào 10 tỉnh Bình Dương năm học 2017 - 2018) Giải chi tiết a) Vẽ đồ thị ( P) : y = x x -2 -1 y 1 Đồ thị hàm số có dạng hình vẽ CHUN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ b) Gọi phương trình đường thẳng ( d1 ) có dạng: y = ax + b ìïï a = Þ ( d1 ) : y = x + b Vì ( d1 ) song song với ( d ) nên ta có: ùùợ b Phng trỡnh honh giao điểm ( P) ( d1 ) là: x = x + b Û x - x - b = (*) Vì ( d1 ) tiếp xúc với ( P) nên (*) có nghiệm kép Û D ¢= Û + b = Û b =- (thoản mãn) Vậy phương trình đường thẳng ( d1 ) là: y = x - Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với tham số Phương pháp giải - Bước 1: Giả sử M ( x0 ; y0 ) điểm cố định mà đường thẳng ( d ) : y = ax + b qua - Bước 2: Đặt điều kiện y0 = ax0 + b ( *) với m ïìï A = - Bước 3: Biến đổi (*) dạng Am + B = " m Û í ïïỵ B = - Bước 4: Kết luận Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho đường thẳng: ( m - 1) x +( m - 2) y = (với m tham số) Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định với giá trị m Giải chi tiết Giả sử M ( x0 ; y0 ) điểm cố định thuộc đường thẳng cho Ta có: ( m - 1) x0 +( m - 2) y0 = với m Û m ( x0 + y0 ) - ( x0 + y0 +1) = với m ìï x + y0 = Û ïí Û ïỵï x0 + y0 +1 = ìïï y0 =- í ïỵï x0 = Vậy đường thẳng cho qua điểm M ( 1;- 1) với m Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: m ( d1 ) : y =- mx + m +1,( d2 ) : y = x - 1- (với m tham số khác 0) m Tìm điểm cố định mà đường thẳng ( d1 ) qua Chứng minh giao điểm hai đường thẳng thuộc đường cố định (Thi thử THPT Thăng Long – Hà Nội 2018 - 2019) CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Giải chi tiết Giả sử M ( x M ; yM ) điểm cố định mà đường thẳng ( d1 ) ln qua Ta có: yM =- mx M + m +1 với m Û m ( - x M ) +( - yM ) = với m ïì - x M = Û ïí Û ïïỵ - yM = ïìï x M = í ïïỵ yM = Vậy đường thẳng ( d1 ) qua điểm M ( 1;1) cố định Giả sử N ( x0 ; y0 ) giao điểm ( d1 ) ( d2 ) Khi đó: ìï y0 =- mx0 + m +1 ïï Û í ïï y0 = x0 - - ïỵ m m ìï y0 - = m ( - x0 ) (1) ïï í ïï y +1 = ( x - 5) (2) ïïỵ m Nhân theo vế (1) (2) ta được: ( y0 +1) ( y0 - 1) = ( - x0 ) ( x0 - 5) Û y02 - =- x02 + x0 - Û ( x0 - 3) + y02 = Giả sử I ( 3;0) thuộc mặt phẳng tọa độ Ta có IN = Vậy N thuộc đường trịn tâm I bán kính ( x0 - 3) + y02 = không đổi Dạng Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải * Chứng minh ba điểm thẳng hàng - Bước 1: Tìm phương trình đường thẳng qua hai điểm - Bước 2: Chứng minh đường thẳng cịn lại thuộc đường thẳng - Bước 3: Kết luận * Chứng minh ba đường thẳng đồng quy - Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm M ( d1 ) ( d2 ) - Bước 2: Chứng minh M thuộc ( d3 ) - Bước 3: Kết luận Bài tập mẫu Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình: ( d1 ) : y = x + 2; ( d2 ) : y =- 2; ( d3 ) : y = ( k +1) x + k Tìm k để đường thẳng đồng quy (Đề thi vào 10 tỉnh Đak Lak năm học 2018 – 2019) CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Giải chi tiết ìïï y = x + Û Tọa độ giao điểm ( d1 ) , ( d2 ) nghiệm hệ: í ïỵï y =- ìïï x =- í ïỵï y =- Do đường thẳng đồng quy Û ( d3 ) qua điểm ( - 4;- 2) Û - =- ( k +1) + k Û 3k =- Û k =Vậy k =- đường thẳng cho đồng quy Ví dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A ( 2;4) , B ( - 3;- 1) , C ( - 2;1) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng (Đề thi vào 10 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2011 - 2012) Giải chi tiết Giả sử đường thẳng qua A( 2;4) B ( - 3;- 1) có phương trình y = ax + b ìïï 2a + b = Û Khi đó: í ïỵï - 3a + b =- ìïï a = í ïỵï b = Suy phương trình đường thẳng qua A B y = x + ( d ) Mà C ( - 2;1) khơng thuộc đường thẳng ( d ) ¹ - + hay ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng Chú ý: Ngồi ra, ta chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng cách chứng minh AB khác BC + AC BC khác AB + AC AC khác AB + BC Khoảng cách hai điểm A B AB = ( - - 2) + ( - - ) = 2 2 ù2 é ù2 Khoảng cách hai điểm B C BC = é ë- - ( - 3) û + ë1- ( - 1) û = + = Khoảng cách hai điểm A C AC = ( - - 2) +( 1- 4) = ( - 4) +( - 3) = 2 2 Ta có: BC + AC = + > = AB Tương tự, ta có BC khác AB + AC AC khác AB + BC Suy ba điểm A, B, C không thẳng hàng Tương tự, để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh AB = BC + AC (chứng minh tổng hai đoạn độ dài đoạn cịn lại) Ví dụ 3: Tìm giá trị m để hai đường thẳng ( d1 ) : mx + y = ( d2 ) : x - my = m + cắt điểm M thuộc đường thẳng ( d ) : x + y = CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ (Đề thi vào 10 tỉnh Quảng Ninh năm học 2016 - 2017) * Phân tích đề Tìm tọa độ giao điểm M ( d1 ) ,( d2 ) Vì M thuộc đường thẳng ( d ) nên tọa độ M thỏa mãn phương trình ( d ) * Giải chi tiết Để hai đường thẳng ( d1 ) ,( d2 ) cắt m ¹ Û m ¹ - thỏa mãn với m -m Tọa độ giao điểm M ( d1 ) ,( d2 ) nghiệm hệ phương trình: ìï y = - mx ïì y = - mx ïìï mx + y = ï ï Û Û Û í í í ïïỵ x - my = m + ïï x - m ( - mx ) = m + ïï ( + m ) x = m + ỵ î 2m + ïìï ïï x = + m íï ïï - m - m +1 ïï y = m +1 ïỵ Vì M thuộc đường thẳng ( d ) nên: 2m +6 - m - m +1 + = Û m + - m - 12 m + = 8m +8 2 1+m m +1 ém = Û 10m +10m = Û 10m ( m +1) = Û ê ê ëm =- Vậy với m = m =- hai đường thẳng ( d1 ) ( d2 ) cắt điểm M thuộc đường thẳng ( d ) Dạng 5: Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng Phương pháp giải Cho đường thẳng ( d ) : y = ax + b ( a, b ¹ 0) , ta cú: ổb b - ;0ữ ị OA = ữ + d ầ Ox = A ỗ ỗ ữ ç è a ø a + d Ç Oy = B ( 0; b) Þ OB = b + Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng d Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d, theo hệ thức lượng tam giác vuông là: 1 = + 2 OH OA OB Bài tập mẫu CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ , OB = Gọi h khoảng cách từ O đến đường thẳng ( d ) Ta có: OA = 1- m ( - m) m - m + 1 Þ 2= + = + = h OA2 OB 9 Theo giả thiết, h = Û h = Û ± 14 = Û 2m - m - = Û m = m - 2m + 2 b) Ta thấy, khoảng cách từ O đến đường thẳng d đạt giá trị lớn Û m - 2m + đạt giá trị nhỏ Ta có: m - 2m + = ( m - 1) +1 ³ 1, " m Đẳng thức xảy Û m = Vậy hmax = Û m = Nhận xét: Dễ thấy điểm B ( 0;3) điểm cố định mà đường thẳng ( d ) qua Gọi H hình chiếu O lên ( d ) Ta có: OH £ OB Đẳng thức xảy Û H º B Û d ^ Oy B Û m = Do OH lớn m = Dạng 6: Sự tương giao hai đồ thị BÀI TỐN 1: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp giải Cho hai đường thẳng ( d ) : y = ax + b ( d ¢) : y = a¢x + b¢ ïìï a = a¢ + d / / d ¢Û ùùợ b b ùỡù a = a + d d  ùùợ b = b + d ^ d ¢Û a.a¢=- + d cắt d ¢Û a ¹ a¢ Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng ( d ) : y =- x + m + ( d ¢) : y = ( m - 2) x + Tìm m để ( d ) ( d ¢) song song với (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Dương năm học 2017 - 2018) Giải chi tiết CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ ìï - = m - ìï m = ïì m = ±1 ï Û ïí Û ïí Û m =- Điều kiện để hai đồ thị song song l ùợù m + ùợù m ùùợ m Vy m =- hai đường thẳng cho song song Ví dụ 2: Tìm giá trị tham số k để đường thẳng d1 : y =- x + cắt đường thẳng d2 : y = x + - k điểm nằm trục hoành (Đề thi vào 10 tỉnh Thái Nguyên năm học 2015 - 2016) Giải chi tiết Ta thấy hai đường thẳng d1; d2 cắt nhau: + Đường thẳng d1 cắt trục hồnh điểm A( 2;0) ỉk - ÷ ;0÷ + Đường thẳng d2 cắt trục hồnh điểm B ỗ ỗ ữ ỗ ố ứ + hai đường thẳng d1; d2 cắt điểm trục hồnh k- =2 Û k =7 Vậy k = Ví dụ 3: Cho hai hàm số y = ( 3m + 2) x + với m ¹ - y =- x - có đồ thị cắt điểm A( x; y) Tìm giá trị m để biểu thức P = y + x - đạt giá trị nhỏ (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Dương năm học 2015 - 2016) Giải chi tiết ỉ- 2 ; Với m ¹ - hai th ct ti im A ỗ ç ç èm +1 m +1 ỉ2 Ta có: P = y + x - = ỗ ç ç èm +1 Đặt t = 1÷ ÷ ữ ứ ổ- ữ ỗ 1ữ + ữ ữ ỗ ữ ố ữ- ỗm +1 ø ø 2 2 ta P = ( t - 1) - 2t - = t - 4t - = ( t - 2) - ³ - m +1 Đẳng thức xảy Û t = Þ =2 Û m =0 m +1 Vậy m = biểu thức P = y + x - đạt giá trị nhỏ Ví dụ 4: Cho hai hàm số y = x - y =- x +4 a) Tìm tọa độ giao điểm M hai đồ thị hàm số b) Gọi N, P giao điểm hai đồ thị với trục tung Tính diện tích tam giác MNP CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ (Thi thử THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội 2018) Giải chi tiết a) Tọa độ giao điểm M hai đồ thị hàm số nghiệm hệ phương trình: ïìï y = x - ï Û í ïï y =- x + ỵï ïìï x - y = ï Û í1 ïï x + y = ỵï ïì x = ị M ( 2;3) ớù ùùợ y = b) N = d ầ Oy ị N ( 0;- 1) ; P = d Âầ Oy ị P ( 0;4) Gọi H hình chiếu M Oy Ta có MH = x M = 1 Diện tích tam giác SMNP = MH.NP = 2.5 = (đvdt) 2 BÀI TỐN 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL Phương pháp giải - Tìm giao điểm đường thẳng y = ax + b ( a ¹ 0) Parabol y = Ax ( A ¹ 0) + Phương trình hoành độ giao điểm Ax = ax + b ( *) + Hoành độ giao điểm nghiệm ( *) - Số giao điểm số nghiệm ( *) + d cắt ( P) Û ( *) có hai nghiệm phân biệt + d tiếp xúc ( P) Û ( *) có nghiệm kép + d khơng cắt ( P) Û ( *) vô nghiệm Bài tập mẫu Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm Parabol ( P) : y =- x đường thẳng ( d ) : y =- x + (THCS Thái Thịnh năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( P) ( d ) : - x =- x + Û x - x + = Û x = Thay x = vào phương trình đường thẳng ( d ) ta y =- Vậy giao điểm hai đồ thị M ( 3;- 9) CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm A, B đồ thị hai hàm số y = x y = x + Gọi D, C hình chiếu vng góc A, B lên trục hồnh Tính diện tích tứ giác ABCD (Đề thi vào 10 tỉnh Bắc Ninh năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết éx =- 2 Xét phương trình: x = x + Û x - x - = Û ê ê ëx = Thay x =- x = vào phương trình y = x + ta y = y = Vậy A ( - 1;1) , B ( 2;4) Suy D( - 1;0) , C ( 2;0) Tứ giác ABCD hình thang vng nên có diện tích là: S ABCD = ( AD + BC) DC = ( + 4) 15 = 2 Ví dụ 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( d ) : y =- x + parabol ( P) : y = x a) Tìm tọa độ giao điểm ( d ) ( P) b) Gọi A, B hai giao điểm ( d ) ( P) Tính diện tích tam giác OAB (Đề thi vào 10 TP Hà Nội năm học 2014 - 2015) Giải chi tiết a) Phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P) là: x + x - = D = 25 > suy phương trình có nghiệm phân biệt x = 2, x =- Với x = y = , suy A( 2;4) Với x =- y = , suy B ( - 3;9) Vậy ( d ) cắt ( P) điểm phân biệt A( 2;4) B ( - 3;9) b) Gọi A¢, B ¢ hình chiếu A B xuống trục hồnh Ta có: SDOAB = S AA¢B¢B - SD OAA¢- SD OBB¢ A¢B¢= x B¢- x A¢ = x A¢- x B¢ = 5, AA¢= y A = 4, BB ¢= y B = Ta có: S AA¢B ¢B = AA¢+ BB ¢ 9+4 65 A¢B¢= = (đvdt) 2 1 SDOAA¢ = AA¢.OA¢= 4.2 = (đvdt) 2 CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 1 27 SD OBB¢ = BB ¢.OB ¢= 9.3 = (đvdt) 2 Vậy diện tích tam giác OAB là: SDOAB = SAA¢B¢B - SDOAA¢- SDOBB¢ = 65 27 - 4= 15 (đvdt) 2 Nhận xét: Nếu tính diện tích tam giác OAB, cách trực tiếp SOAB = OB AH , AH đường cao kẻ từ đỉnh A Dễ thấy tính độ dài đoạn OB, gặp khó khăn việc tính đường cao AH Do vậy, ta nghĩ đến việc tính diện tích tam giác OAB cách gián tiếp Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol ( P) : y = x đường thẳng ( d ) : y = ( m - 1) x - m + 3m a) Với m = , tìm tọa độ giao điểm ( d ) ( P) b) Tìm m để ( d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt có hồnh độ chiều dài chiều rộng hình chữ nhật có diện tích (Thi thử THPT Sơn Tây – Hà Nội năm học 2018 - 2019) Phân tích đề a) Giải phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P) trường hợp m = , từ tìm tọa độ giao điểm ( d ) ( P) b) Ở câu ta phải trả lời hai câu hỏi: + Tìm m để ( d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt + Hoành độ giao điểm chiều dài chiều rộng hình chữ nhật có diện tích Giả sử ( d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 Theo giả thiết x1, x2 chiều dài chiều rộng hình chữ nhật có diện tích x1 x2 = nên x1, x2 số dương CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Giải chi tiết Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P) : x = ( m - 1) x - m + 3m Û x - ( m - 1) x + m - 3m = (1) éx = a) Với m = phương trình (1) trở thành: x - x = Û ê ê ëx = Thay x = 0, x = vào phương trình parabol ( P) : y = x ta y = 0, y = 16 Vậy với m = ( d ) ( P) cắt hai điểm phân biệt A ( 0;0) , B ( 4;16) b) Để ( d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt có hoành độ chiều dài chiều rộng hình chữ nhật có diện tích x1, x2 thỏa mãn x1 x2 = phương trình (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt ïìï D ¢> ï Û ïí x1 + x2 > Û ïï ïïỵ x1 x2 > ìï ( m - 1) - m - 3m > ( ) ïï ïï Û í ( m - 1) > ïï ïï m - 3m > ïỵ ìï m +1 > ï ïíï m > Û ïï ïï m ( m - 3) > ỵ ïíìï m > Û m > 3( *) ïïỵ m > é êm = ( tháa m·n ( *) ) 7 ê 2 Ta có: x1 x2 = Û m - 3m = Û m - 12 m - = Û ê 4 ê êm =- ( kh«ng tháa m·n ( *) ) ê ë Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( d ) : y = ( m + 2) x + parabol ( P) : y = x a) Chứng minh ( d ) ( P) cắt hai điểm phân biệt b) Tìm tất giá trị m để ( d ) ( P) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ số nguyên (Đề thi vào 10 TP Hà Nội năm học 2018 - 2019) Phân tích đề CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ a) ( d ) ( P) cắt hai điểm phân biệt phương trình hồnh độ giao điểm chúng ln có hai nghiệm phân biệt với m b) Gọi x1, x2 hoành độ giao điểm ( d ) ( P) Vì x1, x2 nguyên nên x1 + x2 x1 x2 số nguyên Giải chi tiết a) Hoành độ giao điểm ( d ) ( P) nghiệm phương trình: x = ( m + 2) x + Û x - ( m + 2) x - = (1) Ta có: a = ¹ Xét D = ( m + 2) + 4.3 = ( m + 2) +12 > 0, " m Ỵ ¡ (vì ( m + 2) ³ 0, " m Ỵ ¡ ) 2 Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Vậy ( d ) ( P) cắt hai điểm phân biệt với m ìïï x1 + x2 = m + x , x b) Gọi nghiệm phương trình (1) Theo định lí Vi-ét: í ïïỵ x1 x2 =- ìïï x1 =- ìïï x1 = ìïï x1 =- ìïï x1 = Để x1, x2 Ỵ ¢ mà x1 x2 =- nên í í í í ïïỵ x2 = ïïỵ x2 =- ïïỵ x2 = ïïỵ x2 =- éx1 + x2 = Û Suy ê êx + x =- 2 ë ém + = ê Û ê ëm + =- ém = ê ê ëm =- Vậy với m = m =- ( d ) ( P) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ số ngun Ví dụ 6: Cho parabol ( P) : y = x đường thẳng ( d ) : y =- mx - m (m tham số) a) Tìm m để ( d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt A, B b) Giả sử x1, x2 hồnh độ A, B Tìm m để x1 + x2 = Giải chi tiết a) Để ( d ) ( P) cắt hai điểm phân biệt phương trình hồnh độ giao điểm: x + 2mx + m = có hai nghiệm phân biệt ém > Û D ¢> Û m - m > Û m ( m - 4) > Û ê ê ëm < ìïï x1 + x2 =- m b) Theo hệ thức Vi-ét ta có: í ïïỵ x1 x2 = 4m CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ + Xét m > x1 x2 = m > , đó: x1 + x2 = Û x1 + x = Û - 2m = Û 2m = Û m = (loại m > ) + Xét m < x1 x2 = m < , đó: x1 + x2 = Û x1 - x2 = é êm = ( loại m < m - 4m = Û m - 16m - = Û ê ê êm =- (tháa m·n) ê ë Vậy m =- ) Nhận xét Ở câu b) sử dụng tính chất: a + b = a + b Û ab ³ a - b = a - b Û ab £ Ngồi ra, ta làm sau: Ta có: x1 + x2 = Û ( x1 + x2 ) = Û x12 + x22 + x1 x2 = Û ( x1 + x2 ) - x1 x2 + x1 x2 = Û m - 8m + m - = (*) + Nếu m > (*) trở thành: m - 8m +8m - = Û m - = Û m = ± (loại m > ) + Nếu m < (*) trở thành: é ờm = (loại m < 0) m - 8m - 8m - = Û m - 16 m - = Û ê ê êm =- (tháa m·n) ê ë BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Xác định hệ số a, b để đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm A ( 2;- 2) B ( - 3;2) (Đề thi vào 10 tỉnh Quảng Ninh năm học 2018 - 2019) Câu 2: Cho parabol ( P) : y = x đường thẳng ( d ) : y =- x + a) Vẽ parabol ( P) đường thẳng ( d ) mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm parabol ( P) đường thẳng ( d ) phép tính (Đề thi vào 10 tỉnh Bình Phước năm học 2018 - 2019) CHUYÊN ĐỀ 2:HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Câu 3: Cho parabol ( P) : y = ax Tìm a biết parabol ( P) qua điểm A ( 3;- 3) Vẽ ( P) với a vừa tìm Câu 4: Cho parabol ( P) : y =- x đường thẳng ( d ) : y = x + m +1 (m tham số) a) Vẽ đồ thị ( P) b) Tìm tất giá trị tham số m để ( d ) cắt ( P) hai điểm phân biệt (Đề thi vào 10 tỉnh Bình Dương năm học 2018 - 2019) Câu 5: Tìm tất giá trị tham số k để đường thẳng d1 : y =- x + cắt đường thẳng d2 : y = x + - k điểm nằm trục hồnh Câu 6: Tìm giá trị tham số m để hàm số bậc y = ( m - 2) x + đồng biến ¡ (Đề thi vào 10 tỉnh Bắc Giang năm học 2011 - 2012) Câu 7: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = x + 5, ( d2 ) : y =- x +1 cắt I Tìm m để đường thẳng ( d3 ) : y = ( m +1) x + m - qua điểm I (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Dương năm học 2011 - 2012) Câu 8: Cho đường thẳng ( dm ) : y = 1- m x +( - m) ( m + 2) (m tham số) m +2 a) Tìm m để đường thẳng ( dm ) vng góc với đường thẳng ( d ) : y = x - b) Với giá trị m ( dm ) hàm số đồng biến? (Đề thi vào 10 tỉnh Kiên Giang năm học 2011 - 2012) Câu 9: Cho hàm số: y = mx +1 (1), m tham số a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) qua điểm A( 1;4) Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến ¡ ? b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng ( d ) có phương trình: x + y + = (Đề thi vào 10 tỉnh Ninh Bình năm học 2011 - 2012) Câu 10: Cho hàm số bậc y = ax - (1) Hãy xác định hệ số a, biết a > đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành trục tung hai điểm A, B cho OB = 2OA (với O gốc tọa độ) (Đề thi vào 10 thành phố Đà Nẵng năm học 2013 - 2014)