S9 ec98~1

CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ GIẢI BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Bài toán quan hệ số Phương pháp giải • Cách viết số hệ thập phân số tự nhiên: + Số có hai chữ số: ab 10a  b + Số có ba chữ số: abc 100a  10b  c + Số có bốn chữ số: abcd 1000a  100b  10c  d • Quan hệ chia hết chia có dư: Số a chia cho b thương c có số dư r, viết lại là: a b.c  r + Nếu a chia hết cho b số dư r 0 + Nếu a khơng chia hết cho b số dư  r  b Bài tập mẫu Ví dụ 1: Tìm hai số biết tổng chúng tổng nghịch đảo chúng 14 • Giải chi tiết Gọi hai số cần tìm x, y Điều kiện: x, y 0 Tổng hai số là: x  y 9 Tổng nghịch đảo chúng là: 1   x y 14 (1) (2)  x  y 9  Ta có hệ phương trình:  1  x  y 14  Từ (1) có: y 9  x, thay vào (2) ta được: 1    14   x   14 x 9 x   x   x  81x  126 0  x  x 14  x 2  x 7 (thỏa mãn)  Với x 2 y 7 Với x 7 y 2 Vậy hai số cần tìm Ví dụ 2: Tìm số có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị đem số chia cho tổng chữ số thương dư • Giải chi tiết Gọi số có hai chữ số cần tìm ab với a, b   0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 , a 0 Vì chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị nên a  b 5 (1) Nếu đem số chia cho tổng chữ số thương dư Do đó: ab 7  a  b   (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:  a  b 5  a  b 5 a  b 5 q 8 a  b 5      10a  b 7  a  b    ab 7  a  b   3a  6b 6 a  2b 2 b 3 Vậy số cần tìm 83 Ví dụ 3: Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số cho 63 Tổng số cho số tạo thành 99 Tìm số cho • Giải chi tiết Gọi số có hai chữ số cần tìm ab Điều kiện: a, b  *; a, b 9 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho ta số ba ba  ab 63  Theo đề ta có hệ phương trình:  ba  ab  99  Vậy số cần tìm 18 ab 18  ba 81 Dạng 2: Bài toán công việc đồng thời Phương pháp giải công việc x a • Nếu (hoặc ngày) làm cơng việc a (hoặc ngày) làm cơng x x việc • Nếu x (hoặc ngày) làm xong cơng việc (hoặc ngày) làm Bài tập mẫu Ví dụ 1: Hai người làm chung cơng việc sau 36 phút làm xong Nếu làm người thứ hồn thành cơng việc sớm người thứ hai Hỏi người làm xong cơng việc • Phân tích đề Gọi ẩn thời gian người thứ làm xong cơng việc lập bảng: Thời gian hồn thành cơng việc Năng suất làm (giờ) 18 x Hai người Người thứ x 3 Người thứ hai 18 x x 3 • Giải chi tiết 18  h   h 5 Gọi x (giờ) thời gian người thứ làm xong cơng việc Điều kiện: x  Khi thời gian người thứ hai làm xong công việc x  (giờ) Đổi 36 phút 3 Trong giờ: công việc x + Người thứ hai làm công việc x 3 + Cả hai người làm công việc 18 1   Ta có phương trình: x  x 18 + Người thứ làm  x 6  tháa m·n   18  x  3  18 x 5x  x    5x  21x  54 0    x   lo¹i   Vậy người thứ làm xong công việc, xong công việc Ví dụ 2: Hai vịi nước chảy vào bể nước cạn (khơng có nước) 12 phút đầy bể Nếu vịi thứ chảy 30 phút vòi thứ hai chảy thi bể 12 Hỏi vòi chảy thi đầy bể? (Thi thử THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội năm học 2018-2019) • Giải chi tiết Đổi 12 phút 1   h  , 30 phút   h  5 Gọi thời gian vòi thứ vòi thứ hai chảy đầy bể x, y (giờ) 6 Điều kiện: x  , y  5 Trong giờ: + Vòi thứ chảy bể x + Vòi thứ hai chảy bể y  bể 1 Suy phương trình:   (1) x y + Cả hai vòi chảy 1: Trong 30 phút, vòi thứ chảy 1 :2  bể x 2x Vì vịi thứ chảy 30 phút vịi thứ hai chảy 1   x y 12 bể, nên 12 (2) 1  x  y 6   Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:  1     x y 12 1   x 1     y  x 2 (thỏa mãn)   y 3 Vậy thời gian vịi thứ chảy đầy bể giờ, thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể Ví dụ 3: Để chuẩn bị cho chuyến đánh bắt cá Hoàng Sa, hai ngư dân đảo Lý Sơn cần chuyển số lương thực, thực phẩm lên tàu Nếu người thứ chuyển xong nửa số lương thực, thực phẩm; sau người thứ hai chuyển hết số cịn lại lên tàu thời gian người thứ hai hồn thành lâu người thứ Nếu hai làm chung thời gian 20 Hỏi làm riêng người chuyển hết số lương thực, thực phẩm lên tàu thời gian bao lâu? chuyển hết số lương thực, thực phẩm lên tàu (Sở Quảng Ngãi năm học 2014-2015) • Giải chi tiết Gọi x (giờ) thời gian người thứ làm xong cơng việc, y (giờ) thời gian người thứ hai làm xong cơng việc 20 Điêu kiện: x, y  Theo đề bài, thời gian người thứ hai làm nửa công việc lâu người thứ làm nửa công việc Do đó: y x  3 (1) 2 Trong giờ: + Người thứ làm + Người thứ hai làm công việc y + Cả hai người làm 1: Suy công việc x 20  công việc 20 1   (2) x y 20 1 1  x  y  20      x y 20  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:   y  x 3  y  x 6   2 1   4    x x  20  y  x   3   x 4  tháa m·n   Xét phương trình: (4)  x  x  120 0    30 x   lo¹i   Vậy thời gian làm xong cơng việc người thứ giờ, người thứ hai 10 Ví dụ 4: Cho hai vịi nước lúc chảy vào bể cạn Nếu chảy riêng vịi vịi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Khi nước đầy bể, người ta khóa vịi thứ vịi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy sau bể cạn nước Khi nước bể cạn, mở ba vịi sau 24 bể lại đầy nước Hỏi dùng vòi thứ sau bể đầy nước • Phân tích đề Gọi ẩn thời gian vịi thứ chảy đầy bể “Khi nước bể cạn, mở ba vịi” lúc có vịi thứ vịi thứ hai chảy vào, cịn vịi thứ ba chảy Sau 24 đầy bể Ta xác định thời gian vòi thứ ba chảy cạn bể Thời gian hồn thành cơng việc (giờ) Vịi x Vịi x4 Năng suất làm x x4 Vòi 6 24 24 Cả ba vòi (vòi 1, chảy vào, vòi chảy ra) • Giải chi tiết Gọi thời gian mà vòi thứ chảy riêng đầy bể x (giờ) Điều kiện: x  Khi thời gian vịi thứ hai chảy riêng đầy bể x  (giờ) Trong giờ: bể x + Vòi thứ hai chảy bể x4 + Vòi thứ ba chảy bể (vì vịi thứ ba chảy riêng cạn bể) + Cả ba vòi chảy bể 24 Vì ba vịi chảy sau 24 đầy bể nên ta có phương trình: + Vịi thứ chảy  x 8  tháa m·n  1 1 1         x  28 x  96 0     x  12  lo¹i  x x  24 x x4 24  Vậy dùng vịi thứ sau bể đầy nước Dạng 3: Bài toán chuyển động Phương pháp giải S S • Dựa vào cơng thức S vt  v   t  , S quãng đường, v vân tốc t t v thời gian • Chuyển động ngược chiều gặp nhau: Hai xe chuyển động lúc ngược chiều quãng đường S, với vận tốc v1 , v2 , sau thời gian t hai xe gặp Ta có: S S1  S2 v1t  v2t  t  S v1  v2 • Chuyển động chiều đuổi kịp nhau: Hai xe xuất lúc hai địa điểm A B cách khoảng S, phía C Sau khoảng thời gian t hai xe gặp Ta có: S S S v1t  v2t  t   v1  v2  v1  v2 t Một ca nô chuyển động dòng nước với vận tốc thực v: + Vận tốc xi dịng v  vận tốc dịng nước + Vận tốc ngược dòng v  vận tốc dòng nước + Vận tốc dòng nước  Bài tập mẫu (vận tốc xi dịng  vận tốc ngược dịng) Ví dụ 1: Quäng đường AB dài 50km Hai xe máy khởi hành lúc từ A đến B Vận tốc xe thứ lớn vận tốc xe thứ hai 10km/h nên xe thứ đến B trước xe thứ hai 15 phút Tính vận tốc xe (Sở Bình Phước năm học 2018-2019) • Phân tích đề Gọi ẩn vận tốc xe thứ nhất, từ biểu diễn vận tốc xe thứ hai theo ẩn Sau lập bảng: Vận tốc (km/h) Xe thứ x Xe thứ hai x  10 Thời gian (h) 50 x 50 x  10 Quảng đường (km) 50 50 Từ giả thiết, xe thứ đến B trước xe thứ hai 15 phút, suy phương trình • Giải chi tiết  h Gọi vận tốc xe thứ x (km/h) Điều kiện x  10 Khi vận tốc xe thứ hai x  10 (km/h) 50 Thời gian xe thứ từ A đến B (h) x 50 Thời gian xe thứ hai từ A đến B (h) x  10 Vì xe thứ đến B trước xe thứ hai 15 phút nên ta có phương trình: Đổi 15 phút   x 50  tháa m·n  50 50    x  10 x  2000 0   x  50   x  40  0   x  10 x  x  40  lo¹i  Vậy vận tốc xe thứ 50 km/h; vận tốc xe thứ hai 40 km/h Ví dụ 2: Hai bến sơng A B cách 60km Một ca nơ xi dịng từ A đến B ngược dòng từ B A Thời gian xi dịng thời gian ngược dịng 20 phút Tính vận tốc ngược dịng ca nơ, biết vận tốc xi dịng lớn vận tốc ngược dịng ca nơ 6km/h (Sở Tiền Giang năm học 2018-2019) • Phân tích đề Lập bảng: Vận tốc (km/h) Xi dịng x 6 Ngược dịng x Thời gian (h) 60 x 6 60 x Quảng đường (km) 60 60 Dựa vào giả thiết thời gian xi dịng thời gian ngược dịng 20 phút để lập phương trình • Giải chi tiết Đổi 20 phút  (h) Gọi vận tốc ngược dịng ca nơ x (km/h) Điều kiện: x  Vận tốc xi dịng ca nơ x  (km/h) 60 Thời gian ca nô xi dịng từ A đến B (h) x 6 60 Thời gian ca nơ ngược dịng từ B đến A (h) x Vì thời gian xi dịng thời gian ngược dịng 20 phút nên ta có phương trình: 180  x   x  x  6 60 60 180 x     = x x 6 3x  x   3x  x   3x  x    180  x    180 x  x  x    x 30  tháa m·n   x  x  1080 0     x  36  lo¹i  Vậy vận tốc ngược dịng ca nơ 30km/h Ví dụ 3: Một tơ từ A đến B cách 260km, sau ô tơ 120km với vận tốc dự định tăng vận tốc thêm 10km/h quãng đường lại Tính vận tốc dự định tơ, biết xe đến B sớm thời gian dự định 20 phút (THCS Archimedes năm học 2017-2018) • Phân tích đề Gọi ẩn vận tốc dự định ô tô lập bảng: Vận tốc (km/h) Dự định x x Thực tế x  10 Thời gian (h) 260 x 120 x 140 x  10 Từ suy phương trình • Giải chi tiết Đổi 20 phút  (h) Gọi vận tốc dự định ô tô x (km/h) Điều kiện: x  260 Thời gian ô tô dự định từ A đến B (h) x 120 Thời gian ô tô hết 120km (h) x Quãng đường lại ô tô phải là: 260  120 140 (km) Quảng đường (km) 260 120 140 Vận tốc ô tô quãng đường lại x  10 (km/h) 140 Thời gian ô tô hết 140km x  10 Vì tơ đến B sớm 20 phút so với dự định nên ta có phương trình: 260 120 140 140 140        140.3  x  10   140.3 x  x  x  10  x x x  10 x x  10  x 60  tháa m·n   x  10 x  4200 0    x  70  lo¹i  Vậy vận tốc dự định tơ 60km/h Ví dụ 4: Một ca nơ xi dịng 78km ngược dịng 44km với vận tốc dự định Nếu ca nơ xi 13km ngược dịng 11km với vận tốc dự định thi Tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước • Phân tích đề Gọi hai ẩn vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước Lưu ý: Vận tốc xi dịng  vận tốc thực ca nơ  vận tốc dịng nước Vận tốc ngược dịng  vận tốc thực ca nơ  vận tốc dòng nước Lập bảng: Vận tốc (km/h) Xi dịng x y Ngược dịng x y Xi dịng x y Ngược dòng x y Dự định Thực tế Thời gian (h) Quảng đường 78 x y 44 x y 13 x y 11 x y (km) 78 44 13 11 • Giải chi tiết Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h) Điều kiện: x  Gọi vận tốc dòng nước y (km/h) Điều kiện: y  Ca nơ xi dịng với vận tốc x  y (km/h) Đi đoạn đường 78km nên thời gian 78 (giờ) x y Ca nơ ngược dịng với vận tốc x  y (km/h) 44 Đi đoạn đường 44km nên thời gian (giờ) x y Tổng thời gian xi dịng 78km ngược dòng 44km nên ta có phương trình: 78 44  5 (1) x y x y Ca nơ xi dịng 13km ngược dịng 11km nên ta có phương trình: