9D4 8 giai bai toan bang cach lap phuong trinh

Toán Tài liệu dạy học Bài GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Các bước giải toán cách lập phương trình  Bước Lập phương trình  Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;  Biểu diễn kiện chưa biết qua ẩn số;  Lập phương trình biểu thị tương quan ẩn số kiện biết;  Bước Giải phương trình;  Bước Đối chiếu nghiệm phương trình với điều kiện ẩn số (nếu có) với đề để đưa kết luận B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tốn có nội dung hình học  Với hình chữ nhật: Diện tích = chiều dài x chiều rộng Chu vi = (chiều dài + chiều rộng) x  Với hình tam giác: Diện tích = x cạnh đáy x chiều cao Chu vi = tổng cạnh Ví dụ Một tam giác có chiều cao cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm dm cạnh đáy giảm dm diện tích tăng thêm 12 dm Tính chiều cao cạnh đáy tam giác ĐS: 33 44 Ví dụ Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 m Nếu tăng chiều dài thêm 10 m giảm chiều rộng m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn ĐS: 30 24 Dạng 2: Bài tốn có quan hệ số  Số tự nhiên có hai chữ số: ab = 10a + b  Số tự nhiên có ba chữ số: abc = 100a + 10b + c Ví dụ Cho số tự nhiên có hai chữ số Tổng hai chữ số chúng 10 Tích hai chữ số nhỏ số cho 12 Tìm số cho ĐS: 28 Ví dụ Tích hai số tự nhiên liên tiếp lớn tổng chúng 109 Tìm hai số ĐS: 11 12 Dạng 3: Bài toán suất lao động  Khối lượng công việc = Năng suất ´ Thời gian hồn thành Ví dụ Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hồn thành Toán Tài liệu dạy học kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm? ĐS: 50 Ví dụ Một người dự định sản xuất 120 sản phẩm thời gian định Do tăng suất sản phẩm giờ, nên hoàn thành sớm dự định Hãy tính suất dự kiến người ĐS: 20 Dạng 4: Bài tốn cơng việc làm chung, làm riêng  Ta thường xem khối lượng công việc đơn vị  Năng suất + Năng suất = Tổng suất 12 Ví dụ Hai người làm chung cơng việc xong Nếu người làm thời gian để người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm để xong công việc? ĐS: Ví dụ Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng vịi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể bao lâu? ĐS: 12 Dạng 5: Bài toán chuyển động  Quãng đường = Vận tóc ´ thời gian Ví dụ Hai tơ khởi hành lúc từ hai đỉnh A B cách 160 km, ngược chiều gặp sau Tìm vận tốc tơ biết ô tô từ A tăng vậc tốc thêm 10 km/h hai lần vận tốc ô tô từ B ĐS: 50 30 Ví dụ 10 Một tơ xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn quãng đường AB dài 120 km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h nên ô tô đến sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe ĐS: 50 40 Dạng 6: Bài tốn chuyển động có vận tốc cản  Vận tốc xuôi = Vận tốc thực + Vận tốc cản  Vận tốc ngược = Vận tốc thực – Vận tốc cản Ví dụ 11 Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc xuôi dịng 30 km/h, sau lại ngược từ B A Thời gian xi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nước km/h vận tốc riêng ca nô xi ngược dịng khơng đổi ĐS: 80 Ví dụ 12 Một tàu thủy chạy khúc sông dài 120 km, 45 phút Tính vận tốc tàu thủy nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước km/h ĐS: 36 Dạng 7: Các dạng tốn khác  Toán Tài liệu dạy học Ví dụ 13 Hai giá sách có 450 Nếu chuyển 50 từ giá thứ sang giá thứ hai số sách giá thứ hai số sách giá thứ Tính số sách giá ĐS: 300 150 Ví dụ 14 Có hai thùng dầu chứa tất 160 lít dầu Biết rót từ thùng thừ sang thùng thứ hai 20 lít dầu số dầu hai thùng Tính số dầu ban đầu thùng ĐS: 100 60 C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 100 m Tính độ dài cạnh ruộng Biết tăng chiều rộng ruộng lên m giảm chiều dài ruộng m diện tích ruộng tăng thêm m ĐS: 20 Bài Cho số có hai chữ số Tổng hai chữ số chúng Tích hai chữ số nhỏ số cho 58 Tìm số cho ĐS: 72 Bài Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 hàng số ngày quy định Do ngày đội chở vượt mức nên đội hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày chở thêm 10 Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết ngày? ĐS: Bài Hai đội xe chở cát để san lấp khu đất Nếu hai đội làm 18 ngày xong cơng việc Nếu đội thứ làm ngày, sau đội thứ hai làm tiếp ngày cơng việc Hỏi đội làm ngày? ĐS: 45 30 Bài Quãng đường từ A đến B dài 90 km Một người xe máy từ A đến B Khi đến B, người nghỉ 30 phút quay trở A với vận tốc lớn lúc km/h Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở A Tính vận tốc xe máy lúc từ A đến B ĐS: 36 Bài Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60 km, sau chạy xi dịng 48 km dịng sơng có vận tốc dịng nước km/h Tính vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dòng ĐS: 22 Bài Hùng Long có tất 40 viên bi Nếu Hùng cho Long viên, số bi Long gấp số bi Hùng Tính số bi ban đầu Long Hùng ĐS: 24 16 Toaùn Tài liệu dạy học HƯỚNG DẪN GIẢI Ví dụ Một tam giác có chiều cao cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm dm cạnh đáy giảm dm diện tích tăng thêm 12 dm Tính chiều cao cạnh đáy tam giác Lời giải Gọi x (dm) chiều cao tam giác lúc ban đầu, ( x  0) x Suy cạnh đáy tam giác lúc ban đầu (dm) x  x  x 3 (dm ) Diện tích tam giác ban đầu Diện tích tam giác sau tăng chiều cao thêm dm giảm cạnh đáy dm  ( x  3)    3x  3  (dm ) Theo đề, diện tích tam giác tăng thêm 12 dm ta có phương trình 2 4 x  12  ( x  3)  x  3    x 99  x 33  (thỏa đk) Vậy chiều cao cạnh đáy tam giác lúc ban đầu 33 dm 44 dm Ví dụ Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 m Nếu tăng chiều dài thêm 10 m giảm chiều rộng m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn Lời giải Gọi x (m) chiều dài mảnh vườn ( x  0) 720 Khi chiều rộng mảnh vườn x (m) Diện tích mảnh vườn sau tăng chiều dài thêm 10 m giảm chiều rộng m  720  ( x  10)   6  x  (m ) Vì diện tích sau tăng chiều dài thêm 10 m giảm chiều rộng m khơng đổi, ta có  720 ( x  10)   x  phương trình   720  Giải phương trình ta x 30 (thỏa đk) x  40 (không thỏa đk) Toán Tài liệu dạy học Vậy chiều dài chiều rộng mảnh vườn ban đầu 30 m 24 m Ví dụ Cho số tự nhiên có hai chữ số Tổng hai chữ số chúng 10 Tích hai chữ số nhỏ số cho 12 Tìm số cho Lời giải  Gọi chữ số hàng chục x , ( x   , x 9) Khi chữ số hàng đơn vị 10  x Tích hai chữ số nhỏ số cho 12 nên ta có phương trình x(10  x)  12 10 x  (10  x)  x  x  0 Giải phương trình ta x  (không thỏa đk) x 2 (thỏa đk) Vậy số tự nhiên cần tìm 28 Ví dụ Tích hai số tự nhiên liên tiếp lớn tổng chúng 109 Tìm hai số Lời giải Gọi x , x  , ( x  ) hai số tự nhiên liên tiếp Tích hai số tự nhiên liên tiếp lớn tổng chúng 109 nên ta có phương trình x( x  1)  x  ( x  1)  109  x  x  110 0 Giải phương trình ta x  10 (không thỏa đk) x 11 (thỏa đk) Vậy hai số cần tìm 11 12 Ví dụ Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm? Lời giải  Gọi x (sản phẩm) số sản phẩm phân xưởng dự định ngày sản xuất ( x   ) 1100 Khi số ngày hồn thành kế hoạch dự định x (ngày) Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm nên số sản phẩm ngày thực tế sản xuất x  (sản phẩm) Toán Tài liệu dạy học 1100 Khi số ngày hồn thành kế hoạch thực tế x  (ngày) Vì phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm dự định ngày nên ta có phương trình 1100 1100 2  ( x   ) x 5 x Giải phương trình ta x  55 (khơng thỏa đk) x 50 (thỏa đk) Vậy ngày phân xưởng phải sản xuất 50 sản phẩm Ví dụ Một người dự định sản xuất 120 sản phẩm thời gian định Do tăng suất sản phẩm giờ, nên hoàn thành sớm dự định Hãy tính suất dự kiến người Lời giải  Gọi suất dự kiến người x , x   120 Khi thời gian hồn thành dự kiến x (giờ) Do tăng suất sản phẩm nên suất thực tế x  120 Khi thời gian hoàn thành thực tế x  (giờ) 120 120 1  ( x   ) x nên ta có phương trình x  Vì thời gian hồn thành sớm dự kiến Giải phương trình ta x  24 (khơng thỏa đk) x 20 (thỏa đk) Vậy suất dự kiến người 20 sản phẩm 12 Ví dụ Hai người làm chung cơng việc xong Nếu người làm thời gian để người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm để xong công việc? Lời giải 12   x   Gọi x (giờ) số người thứ làm xong cơng việc  Khi người thứ làm x công việc; Toán Tài liệu dạy học 12 12 12   người thứ làm x x công việc Do người làm thời gian để người thứ làm xong cơng việc người thứ hai số người thứ hai làm xong cơng việc x  (giờ) Khi người thứ hai làm x  công việc; 12 12 12   người thứ hai làm x  5( x  2) công việc Như ta có phương trình Giải phương trình ta 12 12  1 x 5( x  2) x  (không thỏa đk) x 4 (thỏa đk) Như làm người thứ làm xong cơng việc người hai làm xong công việc Ví dụ Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng vịi thứ chảy đầy bể nhanh vịi thứ hai Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể bao lâu? Lời giải Gọi x (giờ) số vòi thứ chảy riêng đầy bể ( x 24 ) Khi vịi thứ chảy x bể; 24 24 24   48 phút ( giờ) vòi thứ chảy x x bể Vì chảy riêng vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai nên số vòi thứ hai chảy riêng đầy bể x  Khi vịi thứ hai chảy x  bể; 24 24 vòi thừ hai chảy 5( x  4) bể Toán Tài liệu dạy học Như ta có phương trình thỏa đk) x 8 (thỏa đk) 24 24 12  1 x  x 5( x  4) (khơng Giải phương trình ta Như chảy riêng vịi thứ chảy vòi thứ hai chảy 12 đầy bể Ví dụ Hai tơ khởi hành lúc từ hai đỉnh A B cách 160 km, ngược chiều gặp sau Tìm vận tốc ô tô biết ô tô từ A tăng vậc tốc thêm 10 km/h hai lần vận tốc ô tô từ B Lời giải Gọi x (km/h) vận tốc ô tô xuất phát từ A ( x  ) Vì ô tô từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h hai lần vận tốc ô tô từ B nên vận tốc ô tô x  10 xuất phát từ B (km/h) Sau (lúc gặp nhau) quãng đường ô tô thứ 2x (km) quãng đường ô tô thứ x  10 2 (km) hai Như ta có phương trình x  10 2x   160 Giải phương trình ta x 50 (thỏa đk) Vậy vận tốc ô tô xuất phát từ A 50 km/h ô tô xuất phát từ B 30 km/h Ví dụ 10 Một ô tô xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn qng đường AB dài 120 km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h nên ô tô đến sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe Lời giải Gọi x (km/h) vận tốc ô tô ( x  10) Do vận tốc ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h nên vận tốc xe máy x  10 (km/h) 120 120 Thời gian ô tô xe máy hết quãng đường AB x (giờ), x  10 120 120   xe máy 36 phút ( giờ) ta có phương trình x x  10 Vì tơ đến sớm Giải phương trình ta x  40 (không thỏa đk) x 50 (thỏa đk) Toán Tài liệu dạy học Vậy vận tốc ô tô xe máy 50 km/h 40 km/h Ví dụ 11 Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc xi dịng 30 km/h, sau lại ngược từ B A Thời gian xi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nước km/h vận tốc riêng ca nơ xi ngược dịng khơng đổi Lời giải Gọi x (km) khoảng cách hai bến A B ( x  0) x Thời gian ca nơ xi dịng 30 (h) Vận tốc thực ca nô 30  25 (km/h) Suy vận tốc ngược dịng ca nơ 25  20 (km/h) x Thời gian ca nơ ngược dịng 20 (km/h) Vì thời gian xi thời gian ngược dịng 20 phút ( giờ) nên ta có phương trình x x   30 20 Giải phương trình ta x 80 (thỏa đk) Vậy khoảng cách hai bến A B 80 km Ví dụ 12 Một tàu thủy chạy khúc sông dài 120 km, 45 phút Tính vận tốc tàu thủy nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước km/h Lời giải Gọi x (km/h) vận tốc tàu thủy nước yên lặng ( x  0) Suy vận tốc xi dịng vận tốc ngược dòng tàu thủy x  x  (km/h) 120 120 Thời gian xi dịng ngược dịng tàu thủy x  (h) x  (h)  27   h Thời gian lẫn 45 phút   nên ta có phương trình sau 120 120 27   x4 x 4 Toaùn Giải phương trình ta Tài liệu dạy học x  (không thỏa đk) x 36 (thỏa đk) Vậy vận tốc tàu thủy nước yên lặng 36 km/h Ví dụ 13 Hai giá sách có 450 Nếu chuyển 50 từ giá thứ sang giá thứ hai số sách giá thứ hai số sách giá thứ Tính số sách giá Lời giải Gọi x (cuốn) số sách giá thứ ( x  , x  50) Suy số sách giá thứ hai 450  x (cuốn) ( x  50) (450  x)  50 Theo đề ta có phương trình sau Giải phương trình ta x 300 (thỏa đk) Vậy số sách giá sách thứ thứ hai 300 150 Ví dụ 14 Có hai thùng dầu chứa tất 160 lít dầu Biết rót từ thùng thừ sang thùng thứ hai 20 lít dầu số dầu hai thùng Tính số dầu ban đầu thùng Lời giải Gọi x (lít) số lít dầu ban đầu thùng thứ ( x  20) Suy số lít dầu ban đầu thùng thứ hai 160  x lít Theo đề ta có phương trình x  20 160  x  20  x 100 (n) Vậy số lít dầu ban đầu thùng thứ thùng thứ hai 100 lít 60 lít Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 100 m Tính độ dài cạnh ruộng Biết tăng chiều rộng ruộng lên m giảm chiều dài ruộng Bài m diện tích ruộng tăng thêm m Lời giải Gọi x (m) chiều rộng của ruộng ( x  0) 100 Khi chiều dài ruộng x (m) Toán Tài liệu dạy học Diện tích ruộng sau tăng chiều rộng lên m giảm chiều dài m  100 ( x  2)    x  5  (m )  100 ( x  2)   x  Vì diện tích ruộng tăng thêm m nên ta có phương trình   105  Giải phương trình ta x  (không thỏa đk) x 5 (thỏa đk) Vậy chiều rộng chiều dài ruộng m 20 m Cho số có hai chữ số Tổng hai chữ số chúng Tích hai chữ số nhỏ số cho 58 Tìm số cho Bài Lời giải  Gọi chữ số hàng chục x , ( x   , x 9) Khi chữ số hàng đơn vị  x Tích hai chữ số nhỏ số cho 58 đon vị nên ta có phương trình x(9  x)  58 10 x  (9  x) Giải phương trình ta x  (không thỏa đk) x 7 (thỏa đk) Vậy số cần tìm 72 Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 hàng số ngày quy định Do ngày đội chở vượt mức nên đội hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Bài chở thêm 10 Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết ngày? Lời giải  Gọi x (ngày) số ngày đội xe dự định hồn thành cơng việc ( x   ) 140 Khi ngày đội xe dự định chở x (tấn) Do hoàn thành kế hoạch sớm dự định ngày nên số ngày thực tế hồn thành cơng việc x  (ngày) 150 Khi ngày thực tế đội xe chở x  (tấn) Vì ngày chở vượt mức chở thêm đươc 10 ta có phương trình Toán Tài liệu dạy học 150 140   x x Giải phương trình ta x  (khơng thỏa đk) x 7 (thỏa đk) Vậy theo kế hoạch đội xe chở hàng hết ngày Bài Hai đội xe chở cát để san lấp khu đất Nếu hai đội làm 18 ngày xong cơng việc Nếu đội thứ làm ngày, sau đội thứ hai làm tiếp ngày cơng việc Hỏi đội làm ngày? Lời giải Gọi x (ngày) số ngày đội xe thứ làm xong cơng việc ( x  18) 18 Khi 18 ngày đội xe thứ làm x cơng việc Vì đội thứ thứ làm ngày, sau đội thứ hai làm tiếp ngày 2  cơng việc đội thứ hai làm ngày x cơng việc 9 6    Suy 18 ngày đội thứ hai làm  x  cơng việc 18       1 x 5 x Ta có phương trình Giải phương trình ta x 45 (thỏa đk) Vậy làm đội thứ làm xong công việc hết 45 ngày, đội hai làm xong công việc hết 30 ngày Quãng đường từ A đến B dài 90 km Một người xe máy từ A đến B Khi đến B, người nghỉ 30 phút quay trở A với vận tốc lớn lúc km/h Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở A Tính vận tốc xe máy lúc từ A đến B Bài Lời giải Gọi x (km/h) vận tốc xe máy từ A đến B ( x  0) 90 Suy thời gian xe máy từ A đến B x (h) Vận tốc xe máy trở từ B đến A x  (km/h) Toaùn Tài liệu dạy học 90 Suy thời gian xe máy trở từ B đến A x  (h) 90 90   5 x x4 Ta có phương trình Giải phương trình ta x  (không thỏa đk) x 36 (thỏa đk) Vậy vận tốc xe máy lúc từ A đến B 36 km/h Bài Một tàu tuần tra chạy ngược dịng 60 km, sau chạy xi dịng 48 km dịng sơng có vận tốc dịng nước km/h Tính vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dịng Lời giải Gọi x (km/h) vận tốc thực tàu tuần tra ( x  0) Vận tốc xi dịng ngược dịng tàu tuần tra x  (km/h) x  (km/h) 48 60 Khi thời gian xi dịng ngược dịng tàu tuần tra x  (h) x  (h) 48 60 1  x Thời gian xi dịng thời gian ngược dịng nên ta có phương trình x  Giải phương trình ta x  10 (khơng thỏa đk) x 22 (thỏa đk) Vậy vận tốc thực tàu tuần tra 22 km/h Bài Hùng Long có tất 40 viên bi Nếu Hùng cho Long viên, số bi Long gấp số bi Hùng Tính số bi ban đầu Long Hùng Lời giải  Gọi x (viên bi) số bi ban đầu Hùng ( x   ) Suy số bi ban đầu Long 40  x (viên bi) Theo đề ta có phương trình 3( x  6) 40  x   x 16 (n) Vậy số bi ban đầu Hùng Long 16 24 viên - HẾT -