Tỉ số lượng giác của góc nhọn

TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Cho góc nhọn B   00    900  Dựng ABC vuông Cạnh huyền Cạnh đối ˆ cho   ABC Từ ta có: sin  A AC AB AC BC ; cos  ; tan  ; cot  BC BC BC AC α A Cạnh kề C Ta có bảng tóm tắt: Các tỉ số lượng giác góc nhọn  Tỉ số cạnh đối cạnh huyền gọi sin Công thức sin  góc  , kí hiệu sin Tỉ số cạnh kề cạnh huyền gọi cơsin AC BC cos  góc  , kí hiệu cos Tỉ số cạnh đối cạnh kề gọi tang AB BC tan  góc  , kí hiệu tan Tỉ số cạnh kề cạnh đối gọi côtang AC BC cot  BC AC góc  , kí hiệu cot Tỉ số lượng giác hai góc phụ Định lí: Nếu hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc cơtang góc Cụ thể ta có: Nếu    90 Sin =Cos ;Cos =Sin ;tan =cot ;tan =cot Một số hệ thức liên hệ tỉ số lượng giác +) Sin 1 +) Cos 1 +) tan  Cot 1 +)  tan 2  cos 2 +) +) Sin   Cos  1 +)  Cot 2  Bảng tỷ số lượng giác số góc đặc biệt 1 Sin 2 +) tan   Cot  Sin Cos Cos Sin 300 Sin cos 3 3 tan cot 450 2 2 600 2 900  3 B Bài tập dạng tốn Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác góc nhọn, tính cạnh, tính góc Cách giải: Sử dụng kiến thức phần tóm tắt lý thuyết Bài 1: Đề Tìm tỉ số lượng giác cịn lại góc α, Ta có: biết: a Sin  Lời giải Sin 2  cos 2 1  cos 2  b cos = 12 tan  13 c 16  cos = (cos  0) 25  tan = ; cot  Bài 2: Đề Tìm góc nhọn α, biết: a sin cos b tan cot b tan cot Lời giải a) Ta có: sin cos  sin sin  900      900     450 b) Ta có: tan cot  tan tan  900      900     450 Bài 3: Đề Tính giá trị biểu thức sau 2 a A 4  sin 45  2cos 60  3cot 45 Lời giải 2  2 1 A 4        1   2  a) Ta có: b tan cot 0 b B tan 45 cos30 cot 30 2 c C cos 15  cos 25   cos 75 b) Ta có: B 1 3 3 2 c) Ta có: C  cos 2150  cos 750    cos 450 2 2 d D sin 10  sin 20   sin 80  2 1         d) Ta có: D  sin 2100  cos 2100     sin 400  cos 400  1    4 Cho tam giác ABC vuông C Bài 4: có A BC 1, 2cm; AC 0,9cm Tính tỉ số lượng giác góc giác góc B, từ suy tỉ số lượng 0,9 A 1,2 C B Lời giải 4 SinB  ; cosB  ; tanB  ; CotB  5 Ta có: 4  SinA  ; CosA  ; tanA  ; cotA  5 Cho tam giác ABC vng A Bài 5: có C AB 1,6cm; AC 1, 2cm Tính tỉ số lượng giác góc B, 1,2 từ suy tỉ số lượng giác góc C A Lời giải 4 SinB  ; cosB  ; tanB  ; cotB  5 Ta có: 4  SinC  ; CosC  ; tanC  ; cotC  5 Bài 6: 1,6 B Cho tam giác ABC vuông AH  H  BC  A, đường cao A , tính sinB sinC làm 13 trịn kết đến chữ số thập phân thứ tư trường hợp sau C H B a) AB 13m, BH 0,5dm b) BH 3cm, CH 4cm Lời giải a) Áp dụng tỉ số lượng giác cho tam giác vng ABH để tính sinB , từ suy sinC b) Áp dụng hệ thức lượng cạnh góc vng hình chiếu lên cạnh huyền tam giác vng ABC để tính AB Sau làm tương tự câu a Bài 7: Cho tam giác ABC có AB a 5, BC a A AC a a) Chứng minh tam giác ABC vng b) Tính tỉ số lượng giác góc B, suy tỉ số lượng giác góc A từ C Lời giải a) Dùng định lý pytago đảo, ta có: AB  AC  BC  5a 3a  2a   ABC vng C b) Tính được: - SinB   5 tan B   3 - cos B  15  5 CotB  3  6 Bài 8: B Cho tam giác ABC vuông A , AB 5cm , A cotB  Tính độ dài đoạn thẳng AC BC a) Chứng minh tam giác ABC vuông B b) Tính tỉ số lượng giác góc B, suy tỉ số lượng giác góc A C từ Lời giải Áp dụng tỉ số cotB tam giác vuông ABC định lý pytago ta tính AC 8cm, BC  89cm Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, A AB 6cm, tanB  12 Hãy tính độ dài đường cao AH trung tuyến BM M tam giác ABC B H C   AH 30 (cm); BM  601 (cm) ABH H 13 Xét   Bài 10: Cho tam giác ABC vng C, có A BC 1, 2cm; AC 0,9cm Tính tỉ số lượng giác góc giác góc B 0,9 Từ suy tỉ số lượng A B 1,2 4 4 sinB  ; cosB  ; tanB  ; cotB   sinA  ; cosA  ; tanA  ; cotA  5 5 Ta có: Bài 11: C Cho tam giác ABC vng AH  H  BC  A, đường cao A biết BH 4cm , CH 1cm Hãy giải tam giác ABC C Xét tam giác ABC vuông A, H B áp dụng hệ thức lượng tam giác vng, ta có: 2 +) AB BC.BH  AB 20  AB 2 5(cm)  AC  5(cm) +) Ta có: tanB  AC  450 ; tanC   AB 2  C  450    B AB AC Bài 12: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH  H  BC  A , biết BH 4cm , AC 3 13cm 13 Hãy giải tam giác ABC Đặt C H B HC x  cm  Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ABC , ta có:  x 9(tm) AC BC.CH (4  x ).x  x  x 9.13  x  x  121    x  13(loai ) Ta có: BC BH  HC 13  cm  +) AB BH BC 13.4 52  AB 2 13(cm)   AC  13   B  560  C  340 SinB BC 13 13 +) Bài 13: Cho tam giác ABC vng A, có: A AB 10cm, AC 15cm a Tính góc B b Phân giác góc Tính c Vẽ I 10 B cắt AC I AI AH B vng góc với BI H 15 H Tính AH C a) Xét tam giác ABC vuông A, áp dụng hệ thức lượng tam giác vng, ta có:   AC 15   B  560 tanB AB 10 b) Ta có: tan ABI  c) AI  AI  AB.tan ABI =10.tan 280 5,3(cm) AB Sin ABH  AH  AH  AB.Sin 280 4, 7(cm) AB Bài 14: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao A  2 tanC AH 6cm  H  BC  Hãy tính , biết độ dài cạnh: HB, HC , AB, AC B H Lời giải    AH  tanC CH Theo giả thiết ta có: Lại có: AHB#CHA( g.g )  AH HB AB HA.2 6.2 AH     HB   4; CH  9 CH HA AC 3 Xét tam giác ABC vuông A, áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: AB BH HC  AB 2 13(cm); AC CH CB  AC 3 13(cm) Bài 15: C Cho tam giác ABC vng A, có A  500 AC 15cm, B Hãy tính độ dài 15 D a) AB, AC b) phân giác CD 500 a B C Lời giải a) Tam giác ABC vuông A, theo hệ thức lượng cạnh góc tam giác vng, ta có:  15.cot 500 15.0,8391 12,59  cm  AB  AC.cot B   BC  AC  15  15 19,58  cm  AC BC.sinB  sin500 0, 7660 sinB b) Tam giác ABC vuông A 0     nên: B  C 90  C 90  B 40 ACD  C   400 200  CD tia phân giác C , ta có: 2 Trong tam giác vuông ACD vuông A, theo hệ thức lượng cạnh góc ta có: AC 15 AC CD.cos ACD.cos 200  CD   15,96  cm  cos 20 0,9397 Cho tam giác ABC nhọn, Bài 16: có A BC a, AC b, AB c 2  Chứng minh rằng: a b  c  2bc.cos A H B C Lời giải Vẽ đường cao CH tam giác ABC cos A  AH   AH  AC.cos A AC HAC vuông H HAC vuông H 2 , theo định lý Pytago ta có: AH  HC  AC HBC vuông H 2 2 , theo định lý Pytago ta có: BC HB  HC  AB  AH   HC nên:   AB  AB AH  AH  AC  AC  AB  AC AB.cos A 2  Vậy a b  c  2bc.cos A BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM tan   12 Độ dài cạnh AC , BC Câu 1: Cho ABC vuông A AB 6cm, B  Biết là? 13 a) b) 13 13 c) 15 d) Chọn đáp án A A Giải thích: Ta có: AC tan   12 AB a) Trong ABC có α  AC 5t    t  0  AB 12t C B AB 6cm  12t 6  t   AC  12 Vì b) Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC , ta được:  5 BC  AB  AC  BC 62     2 13  BC   cm   BC   Câu 2: Cho OPQ có OQ 9, 6cm, PQ 12cm Số đo góc OPQ là? (làm trịn kết đến độ)    b) P 53 ; Q 37 ; O 90    a) P 37 ; Q 35 ; O 37    c) P 90 ; Q 35 ; O 54    d) P 53 ; Q 90 ; O 37 10 Chọn đáp án B A Giải thích: Ta có: OP  OQ  7,    9,  144  1  2  2  PQ 12 144 2 Từ (1)(2), suy ra: OP  OQ PQ α C B  OPQ vuông O   9, 0,8  P  530  sinP 1,  900  P  900  530 37 Q   Câu 3: Cho ABC có B 60 , C 45 , AB 10cm Chu vi tam giác ABC là? (làm tròn kêt đến chữ số thập phân thứ hai) a) 35, b) 35, c) 35,8 Chọn đáp án D d) 35,9 A Giải thích: Xét AHB vng H , ta có:   AH  sin600  AH  AH 5  cm  sinB AB 10 10   BH  cos 600  BH  BH 5  cm  cosB AB 10 Xét AHC vuông AHC H 60° B  , ta có: C 45 tam giác vuông cân H  AH HC 5  cm  Ta có: BC BH  HC 5  13, 65  cm  Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AHC , ta có: AC  AH  HC  AC 12, 25  cm  11 45° C Chu vi tam giác ABC là: PABC  AB  BC  CA 35,9  cm  Câu 4: Với góc nhọn  tùy ý Khẳng định sau sai a) tan  sin cos b) cot  cos sin 2 d) sin   cos  1 c) tan cot 2 Chọn đáp án C A Giải thích: Ta có: tan  sin cos cot  cos sin 10 sin cos  tan cot  1 cos sin 60° B BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: 12 45° C Cho tam giác ABC vuông A có A AB 60mm; AC 8cm Tính tỉ số lượng giác góc B Từ suy tỉ số lượng giác góc C B C Lời giải 8 sinB   ; cosB   ; tanB   ; cotB  10 10 Ta có: 4  sinC  ; cosB  ; tanB  ; cotB  5 Cho tam giác ABC vuông A Bài 2: Hãy tính A tỉ số lượng giác góc C biết cosB 0, B C Lời giải 2 2   Ta có: Sin B  cos B 1  Sin B  0, 1  Sin B 0, 074  B  C Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A Biết   , tan  B AB 30cm , 12 Tính BC , AC A 30 B Lời giải Ta có:   , tan   AC   AC   AC 150 12,5 B  BC 12 AB 12 30 12 12 Bài 4: 13 C Cho tam giác ABC vuông AH A, đường cao A Tính sinB, sinC a) AB 13cm, BH 5cm b) BH 3cm, CH 4cm B H C Lời giải a) Ta có: AB 13cm, BH 5cm  AH  BC  SinB, SinC b) Ta có: BH 3cm, CH 4cm  AH  AB, AC  SinB, SinC Bài 5: Cho tam giác ABC vng A,  góc C 30 BC 10cm B a Tính AB, AC b Kẻ từ A N đường thẳng AM , AN lần M lượt vng góc với đường phân giác ngồi góc B Chứng minh A C MN  AB c Chứng minh tam giác MAB ABC đồng dạng Tìm tỉ số đồng dạng Lời giải b) Chú ý: Hai đường phân giá hai góc kề bù vng góc với c) Ta có: BM phân giác góc *) Chú ý: Tam giác MAB B Từ tính số đo góc tam giác MAB ABC tam giác nửa đều, từ tính tỉ số đồng dạng 0,5 Bài 6: 14 Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  , B H    450 C , đường trung tuyến AM , đường cao AH , M MA MB MC a Chứng minh rằng: a) sin2 2sin cos A b)  cos 2 2cos  c)  cos 2 2sin  AMH 2 ; Sin 2  AH  AH  AH 2 AB AC 2.sin cos AM AM BC BC a) Ta có: b) c)  cos 2 =1+ HM HC HC AC   2 2.cos 2 AM AM BC BC  cos 2 1  HM HB HB AB  2 2.sin 2 AM AM BC BC 15 C