Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn

BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A Tóm tắt lý thuyết Đưa thừa số dấu  A B ( A 0; B 0) A2 B  A B ( B 0)    A B ( A  0; B 0) Đưa thừa số vào dấu  A2 B (khi A 0; B 0) A B    A2 B (khi A  0; B 0) Khử mẫu biểu thức lấy A AB   B B B AB  B 0; AB 0  Trục thức mẫu  A A B  ( B  0) B a) B    A 0; A B  c) C AB C  A  B2 A B e) C A B C  A B A B b) d) C A B C  A B A B     A 0; A B  C A B C  A  B2 AB   A, B 0; A B    A, B 0; A B  *) Chú ý: Để trục thức mẫu, bình thường ta nhân tử mẫu phân thức với lượng liên hợp mãu cần đẳng thức sau:  a  b   a  b  a  b - Các dạng liên hợp thường gặp +)  A B   A  B A  B  A  B  A  B  A  B +) B Bài tập dạng toán Dạng 1: Đưa thừa số dấu vào dấu Cách giải: Sử dụng kiến thức sau - Cách đưa thừa số A2 dấu căn:  A B ( A 0; B 0) A2 B  A B ( B 0)    A B ( A  0; B 0)  A2 B (khiA 0; B 0) A B    A2 B ( khiA  0; B 0) - Cách đưa thừa số vào dấu căn: Bài 1: Viết gọn biểu thức sau a 25.90 96.125 b c 75.54 d 245.35 Lời giải a) Ta có: 25.90 15 10 b) Ta có: 96.125  16.6.5.25 20 30 c) Ta có: 75.54 45 d) Ta có: 245.35  49.5.5.7 35 Bài 2: Đưa thừa số dấu a 45  20  245 b  27  45  c  d  10  Lời giải 2 a) Ta có: 45  20  245    3    b) Ta có:  27  45  4  3   7  c) Ta có: d) Ta có: 62   5  10    1   5    1  1  1   5   5 2  Bài 3: Đưa thừa số dấu a 27 x  x 0  b c 25 x  x   d 48 xy  x 0; y  R  Lời giải a) Ta có: 27 x   x   3x 3 x  x 0  xy  x 0; y 0  xy   y  x  y x  y x  x 0; y 0  b) Ta có: c) Ta có: 25 x 5 x x  x   48 xy  x 0; y  R  4 y x  y 0  d) Ta có: Bài 4: Đưa thừa số vào dấu a a 13  a 0  b a 12  a  0 c a d Lời giải a) Ta có: a 13  13a  a 0  b) Ta có: a  15  15    a   a a  15a   15a  a   a a 12  3a  a   c) Ta có: a d) Ta có: a  2a  a 0  a  15  a  0 a a  a 0  Dạng 2: So sánh bậc hai Cách giải: Đưa thừa số vào dấu so sánh Bài 1: So sánh cặp số dây a) 29 b) c) 3 d) 12 3 2 Lời giải  2 29  29  116  29  13  13  117  a) Ta có  5 5       4  4  3  3      2  2  b) Ta có: 25 27  3 2 2 c) Ta có: 3  3  27  12 d) Ta có:   45  Bài 2: So sánh cặp số dây 1 b) 37 a) 13 a) 51 150 b) Lời giải  50   5  48  a) Ta có: 25     25 36  24  6 1     37  37  36  6  37  b) Ta có: 37 51 17.3 17  51     9   150  150    25  , mà c) Ta có: 17 1  6 51  150 3 1 36 1      ;6    18 2 2 2   d) Ta có: mà 18  1   2 Bài Sắp xếp số sau theo thứ tự tăng dần: 5;2 6; 29;4 Lời giải Ta có:  45;  24;4  32 Vậy:  29   Bài Sắp xếp số sau theo thứ tự giảm dần: 2;2 8; 28;5 Lời giải Ta có: 4 2; 28 2 Vậy:    28 Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa bậc hai Cách giải: Đưa thừa số vào dấu rút gọn Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau a A  125  45  405 b B  50  128  162  18 c C  63  252  343  175 Lời giải a) Ta có: A  125  45  405  25.5  9.5  81.5 5    b) Ta có: B  50  128  162  18  25.2  64.2  81.2  9.2 5    3 c) Ta có: C  63  252  343  175  7.9  7.36  7.49  7.25 3   7   Bài 2: Rút gọn biểu thức sau a A  200  32  72 b B 4 20  125  45  15 c C (2   2)( 72  20  2) d D   3 29  12    ( 20  3) e E  f F    13  48 g Lời giải a) Ta có: A  200  32  72 10   12 5 3 29  20 G    48  10  b) Ta có: B 4 20  125  45  15 25 4.2  3.5  5.3  8  15   15 5 5 c) Ta có: C (2   2)( 72  20  2) (2.2   2)(6  10  2) (3  2)(4  10 5) C 3.2(  2)(2  5) 6(2 10   25  10) 6(7 10  29) d) Ta có: D   3 29  12    ( 20  3)    ( 20  3)    20 D 5 (  1)   (  1) 1 e) Ta có: E 5 3 29  20  5 (2  3)  3 5 (  1)  5  1 f) Ta có: F    13  48    (2  1)      (  1)     g) Ta có: G    48  10     48  10(2  3)    5(5  3)  3 Bài 3: Rút gọn biểu thức sau a c e) A 2a8 ( a  4a  4)(a 2) a C 5 x  E 100 x  x b x3 ( x  0) d 4v  6v  v    v   3 f) B 4 25u  15 16u 169u  (u  0) u D  36b  1 54b  150b (b 0) t F   4t  t   t 2  2 Lời giải a) Ta có: A 2a a  2 2a (a  4a  4)  2a (a  2)  a a a +) Nếu a    A 2 2a +) Nếu a    A  2a b) Ta có: B 4 25u  15 16u 169u  20 u  10 u  13 u  u (u 0) u 100 x C 5 x   x c) Ta có: x3 10 x  10 x  x  x d) Ta có: D  36b  e) Ta có: f) Ta có: 1 1 54b  150b  b  6b  6b  b  5 E 4v  6v  v    v  3  3  v  3  6b  6b  b (b 0) 4v  v  t t F   4t  t   t 2     t  1  t  t 2  2 2 Dạng 4: Khử mẫu biểu thức dấu bậc hai Cách giải: Nắm vững cách khử mẫu biểu thức dấu bậc hai Khử mẫu biểu thức lấy A AB   B B B AB ( B 0; AB 0) Bài 1: Khử thức mẫu số phân số a 108 c 10 13 e 3 2 b d 75 f Lời giải a) Ta có: 7 7 21     108 36.3 6 3.3 b) Ta có: 5 30    6 6 c) Ta có: 10 10 10 13 130    13 13 13 13 5 d) Ta có: e) Ta có: f) Ta có: 4 2 3     75 15 25.3 5 3 32 32   2 5 5   3   1   3  1    1  2 2  3 1  1  3 1  3 Bài 2: Khử mẫu biểu thức dấu bậc hai sau a x3  x 0; y   49 y b xy 3  x  0; y   xy Lời giải a) Ta có: 5x3 x  x 0; y    49 y 7 xy b) Ta có: 5x x  y xy x  y y xy  x xy  x 0; y   7y 3  3xy xy  3xy   xy  x  0; y    x  0; y   7 xy 2  xy x y xy Bài 3: Khử mẫu biểu thức dấu bậc hai sau a 5b  a  0, b 0  49a 1 16 ab  a  0, b   ab b Lời giải a) 5b 5b 5ab a  0, b 0     5ab  a  0, b 0   49a a a 7a a 7a 1 16 ab ab  ab 2  ab  a  0, b  0  ab ab ab ab b) Dạng 5: Trục thức mẫu Cách giải: Nắm vững cách trục thức mẫu A A B  B 1) B  m 2) A 3) m A B m  A B A B Bài 1: Trục thức mẫu rút gọn a 2  3 b Lời giải 1  27  27       27  19  27 a) Ta có: 2  3 b) Ta có: 3  3  3 5  3 5   3 5  3 5  3 5   27  19  3 Bài 2: Trục thức mẫu rút gọn a 5 b Lời giải 10 2 2 3 3   a) Ta có:  b) Ta có:  2 5   10  5 5 2 2  2 22    3 2  Bài 3: Trục thức thực phép tính 12   15 A      3   1 a   5  5  B    1        b   11 Lời giải  a) Ta có:  15  15  3 6 1  2 6  61 ;   2 ; 12 4   A  115 3   5 5  5;   B 4   b) Ta có: Bài 4: Trục thức thực phép tính a A 32 2   1  2  5  53  B            b  Lời giải a) Ta có: A 32 2   1     A 2  5  53  B        B       b) Ta có: Bài 5: Rút gọn biểu thức sau a c A C ( 14  2 B b 15 12   )(  11) 1   D d Lời giải 11 7 24  3 1     24  3 1 1 A a) Ta có: 14  7(  1) 7 14     2 2(  1) 2 b) Ta có: B  7 24  1   11   24    1  72  1  (  1)  1  (  1)  1 0 1  c) Ta có: 12   15 C      3   1 D d) Ta có: 3 1          15   12  6  11     6 6 9      3 1 1       1  1        11  115  1    2   3 1  1 1   1 1   Bài 6: Trục thức mẫu a c e A  14 3 b   2  10 C d 10  15  14  21 E f B D F 34 6 2 31 2  3    (  3) 1 Lời giải a b c A  14 2(  )(2  7) 2(6  21  21  7) 2(13  21)    12  5 3 (2  )(2  ) B C 34 (3  3)(   5) (3  3)(   5)    6 2   (   5)(   5) 34 1 (  1)(  2)   (  1)(  2) (2  1)(5  4)   2  10 ( 1)(  2) 12 d D e f 31 2  E F  31(2   5) 31(2   5) 31(2   5)(4  1)   (2   5)(4  1) (2  2)  1 (4 2)  1 ( 3   10  15  14  21 (  3)(  7) 2)(  5) 32 2   (  3) 2 1 Bài 7: Chứng minh a a b b  a  b a ab ( a  b ) ( a, b  0) b a  a b b a b  (a, b 0; a b) a  b a b (a b  b)( a  b ) ab  b  ab b(a, b  0) a b a ( a  b )  b c Lời giải a a b b  a  b a) Ta có: b) Ta có: a  a b ab  ( a )3  ( b )  a b ab a  ab  b  ab ( a  b )2 b a( a  b)  b( a  b) a b   a b a b ( a  b )( a  b ) (a b  b)( a  b ) b (a  b )( a  b ) b[( a )  ab  ( b ) ] b( a  b )  ;  2 a b a b a  a b  ( b ) (a  b ) c) Ta có:  b( a  b)  C b a b 13 Dạng 6: Sử dụng phép biến đổi thức bậc hai để giải phương trình Cách giải: +) Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa: +) Đưa thừa số ngồi dấu căn: A có nghĩa A 0  A B ( A 0; B 0) A2 B  A B ( B 0)    A B ( A  0; B 0) +) Rút gọn thức đồng dạng +) Biến đổi phương trình dạng: A B  A B ( B 0) Bài 1: Giải phương trình sau a 4a  12 9a  81 25 7  a   18 0 25 81 a b 18 x   8x   Lời giải a) Ta có: 25 a 4a  12 9a  81 7  a   18 0  a 3 25 81 14 a  0 x  4 Cách 1: a 3 a 3 a  3 a     a 3 a  9( a  9) a  0  Cách 2: Điều kiện a 3 a 3 a  3(  a  0  b) Ta có: 18 x   8x    a 3(tm) a  3) 0    a   26 (loai )  35 x  4  x  4  x  3 Bài 3: 18 x   Giải phương trình: 8x   x  4 Lời giải 18 x   Ta có: 8x   35 x 1 4  x  4  x  3 Vậy phương trình có nghiệm x 35 Bài 4: Giải phương trình sau x 4x   6 81 a 2  x 1  b x   x   16 x  16  x  16( x 1)  0( x  1; x 0) 36 x  72  15 c x 1 1 e 1   1( x 0) x 3  x  x   x 1 x 1  x d x 4(5  x  2)( x 2) 25 Lời giải a) Ta có: x x 4x   6  4( x  2)  6  x  9 x  6  x  3  x 11 2 81 9 b) Ta có: x   x   16 x  16  x  16  x  16  x  8  x 65(tm) x 1 1  x 1   0  ( x   1)  ( x   1)  2( x   1)( x 1  1) 0 2 c) Ta có:  x    x    2( x   1) 0    x 0  x 1(tm) 15 d) Ta có: 36 x  72  15 x 4(5  x  2)  x   x  4(5  x  2)  25 x   20  ptvn e) Ta có: 1   1  x 3  x  x   x 1 x 1  x x3  x2  x2  x 1  x 1   x  x  x   x 1  x 1 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x 1 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Khẳng định sau sai a A2 B  A B  A 0; B 0  b A B  A B  A 0; B 0  c  A B    A  B  A 0; B 0  d B A  B A  B  0; A 0  Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: Dễ thấy C hệ thức sai, vế trái số âm, vế phải dương Câu 2: Khẳng định sau a        3 b 16  x 1 3 1  d 27 c  14 Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: A) Sai Khẳng định     3 B) Sai Khẳng định   4   3 C) Sai Khẳng định   28 D) Đúng Ta có:   27 32   27 15 15 Câu 3: Kết rút gọn 5 x  45 x  80 x  20 x số a 5x b  5x c 5x d  5x Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: 2 Ta có: 5 x  45 x  80 x  20 x 5 x  3 x  x  x  x Câu 4: Rút gọn phân số a c 180  45  80  125 1  245 kết b d Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: 17   180  Ta có: 45  80  300 245  3     5 Câu 5: So sánh sai a  3  2 b 4  c d  Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: A) Đúng Ta có:  32.5  45    5  52.3  75   2    3 3   3 2    2 B) Sai Ta có: 16 4    3 3   3 4    16 4 C) Đúng Ta có: D) Đúng Ta có:  2.2  98    2 2   28   Câu 6: Nếu a 3 b giá trị biểu thức a 2b a  ab  4b 2b  a a b c d Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: 18 số Ta có: a 2b 2b a  ab  4b a  2b  a 2b  a a 2b    1 2        3   3  4 3     1   1   2   b   ta được: Thay a 3 Câu 7: Nếu 3x  27 x  12 x  75 x  120 x số a 16 x c 19 x b d 17 x x 20 Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: Ta có: 3x  27 x  12 x  75 x  120  3x  12 3x 12 x  35 x  12  16 x 4  x 16  x  Câu 8: Giải phương trình   3   x 3   x số a Phương trình có ngiệm x  b Phương trình có nghiệm x 7 c Phương trình có nghiệm x  d Phương trình vơ nghiệm Lời giải Chọn đáp án B Giải thích:  x 7 3   3 x 3  x 3  x 7     x 3  7  x  Ta có:   Vậy nghiệm phương trình là: x 7 Câu 9: Cho hai số a, b không âm Khẳng định sau 19 a a b  ab a b  ab b c a b  ab a b ab  d Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: Do a b khơng âm nên  Ta có: a b  a b xác định 0  a  ab  b 0  a  b 2 ab  a b  ab Câu 10: Với a dương Khẳng định sau a c a 2 a a 4 a b d a 3 a a 4 a Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: Với a dương nên Ta có: a  a a xác định a 1  1  0   a   0  a  a  0  a  a 2 a a  C BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Đưa thừa số đấu căn: a) 5a  a 0  b) 18a  a 0  c)  9b  b 0  24a 4b8  a, b  R  Lời giải 20 d)