9/9 Nhóm Chun Đề Tốn TỔ Tốn học đam mê PHIẾU SỐ 8: HÌNH HỌC 9: LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM TỚI DÂY Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng Bài 1: Cho đường trịn tâm O bán kính cm , dây AB cm Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB ? Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính 25 cm , dây AB 40 cm Vẽ dây CD song song với AB có khoảng cách đến AB 22 cm Tính độ dài dây CD Bài 3: Cho đường trịn tâm O bán kính 25 cm Hai dây AB, CD song song với có độ dài theo thứ tự 40 cm, 48 cm E Tính khoảng cách hai dây Bài 4: Cho hình vẽ, hai dây CD, EF vng góc với I , IC = cm, ID = 14 cm Tính O C I D F khoảng cách từ O đến dây Bài 5: Cho đường trịn tâm O bán kính dm, điểm M cách O dm a Tính độ dài dây ngắn qua M b Tính độ dài dây dài qua M Bài 6: Cho đường tròn (O; 17) M điểm cách O khoảng Có dây qua M có độ dài số tự nhiên Dạng 2: So sánh hai đoạn thẳng Bài 1: Cho đường trịn ( O) có dây AB CD nhau, tia AB CD cắt điểm E nằm bên ngồi đường trịn Gọi H K theo thứ tự trung điểm AB CD Chứng minh rằng: a EH = EK Bài 2: Cho đường tròn b EA = EC ( O) , điểm A nằm bên đường tròn Vẽ dây BC vng góc với OA A Vẽ dây EF qua A không vuông góc với OA Hãy so sánh độ dài hai dây BC EF Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 9/9 Nhóm Chun Đề Tốn TỔ Bài 3: Cho đường trịn Tốn học đam mê ( O) , dây AB dây CD , CD < AB Giao điểm M đường thẳng AB, CD nằm ngồi đường trịn Đường trịn (O; OM ) cắt MA MD E F Chứng minh rằng: MF < ME Bài 4: Cho đường tròn ( O) , hai dây AB CD cắt M nằm bên đường tròn Gọi H , K theo thứ tự trung điểm AB, CD Cho biết AB > CD Chứng minh rằng: MH > MK O Bài 5: Cho đường trịn ( ) dây AB khơng đường kính Gọi M trung điểm AB Qua M vẽ dây CD không trùng với AB Chứng minh rằng: a M không trung điểm CD b AB < CD Dạng 3: Chứng minh số quan hệ hình học Bài 1: Cho đường trịn (O), bán kính OA OB Trên cung nhỏ AB lấy điểm M , N cho AM = BN Gọi C giao điểm đường thẳng AM BN Chứng minh rằng: · a OC tia phân giác AOB b OC vng góc với AB Bài 2: Cho đường trịn (O) , đường kính AB Kẻ hai dây song song AC BD Chứng minh : a) AC = BD b) Ba điểm C , O, D thẳng hàng µ µ O Bài 3: Cho D ABC nội tiếp ( ) có A = 30 , B = 45 Điểm M thay đổi ba cạnh tam giác Tìm vị trí M để OM nhỏ Bài 4: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Trên bán kính OA, OB lấy điểm M , N cho OM = ON Qua M , N vẽ dây CD, EF song song với ( C , E thuộc nửa đường tròn đường kính AB ) Nhóm chun đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 9/9 Nhóm Chun Đề Tốn TỔ Toán học đam mê a Chứng minh tứ giác CDFE hình chữ nhật OM = R, b Cho góc nhọn CD OA 60 , tính diện tích hình chữ nhật CDFE ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng Bài 1: ( O; cm ) ; AB = cm O Þ MA = MB = AB = cm Kẻ OM ^ AB M (quan hệ A B M vng góc đường kính dây) D OAM vng M Þ OA2 = OM + MA2 (định lý Pitago) Þ OM = OA2 - MA2 = 52 - 42 = Þ OM = cm Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là: OM = cm Bài 2: ( O; 25 cm) ; AB = 40 cm K Þ HA = HB = AB = 20 cm Kẻ OH ^ AB H (quan hệ C O cm 25 25 c A m H D B vng góc đường kính dây) OH OB HB 252 202 15 cm Þ KC = KD = CD Kẻ OK ^ CD K (qhệ vng góc đkính dây) mà OH ^ AB H AB // CD H, O, K thẳng hàng OK 22 15 7 cm DK OD OK 252 24 cm CD 48 cm Vậy CD = 48cm O; 25 cm) AB = 40 cm CD = 48 cm Bài 3: ( ; ; Kẻ OH ^ AB H Þ HA = HB = AB = 20 cm (qhệ vng góc đk dây) Þ KC = KD = CD = 24 cm OK ^ CD K (qhệ vng góc đkính dây) Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 9/9 Nhóm Chuyên Đề Toán TỔ Toán học đam mê Do AB < CD Þ OH > OK (liên hệ dây k/c từ tâm tới dây) Rõ ràng O, H , K thẳng hàng Ta có: OH = OB - HB = 252 - 202 = 225 Þ OH = 15 cm OK = OD - KD = 252 - 242 = 49 Þ OK = cm K C O 25 c A m O D cm 25 C A K H B D B H + TH1: Nếu O nằm dải song song AB CD thì: HK = OH + OK = 15 + = 22 cm + TH2: Nếu O nằm dải song song AB CD thì: HK = OH - OK = 15 - = cm Bài 4: EF = CD = IC + ID = +14 = 16 cm E Kẻ OH ^ CD; OK ^ EF ( O ) có EF = CD Þ OH = OK (liên hệ dây khoảng K C cách từ tâm đến dây) O I D H F OH ^ CD Þ HC = HD = CD = cm Do IH = CH - IC = - = cm Tứ giác OHIK hình chữ nhật có OH = OK nên OHIK hình vng Do OH = OK = IH = cm Bài 5: a Giả sử OM ^ AB M , AB dây (O) Gọi CD dây (khác AB ) qua M Kẻ OK ^ CD O D K A M B C D OKM vuông K nên OM > OK Ta có: OM > OK nên AB < CD (liên hệ dây khoảng cách từ tâm tới dây) Dây ngắn qua M dây vng góc với OM M Nhóm chun đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 9/9 Nhóm Chuyên Đề Toán TỔ Toán học đam mê Ta có: OA = dm; OM = dm AM = OA2 - OM = 52 - 32 = 16 Þ AM = dm Þ AB = AM = dm b Dây dài qua M đường kính, độ dài 10 dm D Bài 6: Muốn biến có dây qua M có độ dài A số tự nhiên ta tính độ dài dây dài M O dây ngắn Dây dài đường kính AB = 34 17 B C Dây ngắn dây CD ^ OM M 2 Tương tự ta tính CD = 2CM = 17 - = 2.15 = 30 Các số tự nhiên 30 34 là: 31, 32, 33 Do tính chất đối xứng đường trịn qua đường kính AB mà có hai dây có độ dài 31, hai dây có độ dài 32, hai dây có độ dài 33 Vậy có tất 3.2 + = dây qua M có độ dài số tự nhiên Dạng 2: So sánh hai đoạn thẳng Bài 1: HB = HA Þ OH ^ AB KC = KD Þ OK ^ CD ìï OH = OK AB = CD ị ùớ ùùợ HA = HB = KD = KC Xét D OEH D OEK có: · · OHE = OKE = 900 ; OE chung ; OH = OK (cmt) Þ D OEH = D OEK (cạnh huyền - cạnh góc vng) Þ EH = EK Þ EH + HA = EK + KC (do HA = KC ) Þ EA = EC Bài 2: OH ^ EF ( H Ỵ EF ) Từ O kẻ B E H D OHA vuông H Þ OH < OA (cạnh góc vng nhỏ cạnh huyền) A F O Þ EF > BC (quan hệ dây khoảng cách từ Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ C 9/9 Nhóm Chuyên Đề Toán TỔ Toán học đam mê tâm tới dây) Bài 3: Kẻ OH ^ AB, OK ^ CD - Trong đường trịn nhỏ: CD < AB Þ OK > OH E A H B O - Trong đường trịn lớn: OK > OH Þ MF < ME M C K D F B 2 Bài 4: D OMH vng H Þ OM = OH + HM D OMK vng K Þ OM = OK + KM 2 2 Þ OH + HM = OK + KM ( = OM H ) C 2 Ta có: AB > CD Þ OH < OK Þ OH < OK O M K A D Þ MH > MK Þ MH > MK Bài 5: a Vì MA = MB nên OM ^ AB B C Giả sử MC = MD Þ OM ^ CD Điều vơ lý qua M điểm M có hai đường thẳng vng góc với OM O H Vậy điều giả sử sai A Do M khơng trung điểm CD b Kẻ OH ^ CD D Ta có: D OMH vng H Þ OH < OM Þ CD > AB hay AB < CD Dạng 3: Chứng minh số quan hệ hình học Bài 1: C M H N A A 31 O N H 31 O4 K B B Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ C K M 9/9 Nhóm Chun Đề Tốn TỔ Toán học đam mê a Kẻ OH ^ AC , OK ^ CB Ta có AM = BN nên OH = OK · · Xét D OHC D OKC có: OHC = OKC = 90 ; OC chung; OH = OK (cmt) ả ả ị D OHC = D OKC (cạnh huyền - cạnh góc vng) Þ O1 = O2 (1) · · Xét D OHA D OKB có: OHA = OKB = 90 ; OA = OB; OH = OK (cmt) ¶ ¶ Þ D OHA = D OKB (cạnh huyền - cạnh gúc vuụng) ị O3 = O4 (2) ả ả ả ¶ · · Từ (1) (2) Þ O1 + O3 = O2 + O4 hay AOC = BOC Þ OC tia phân giác ·AOB · b D OAB cân O có OC tia phân giác AOB (chứng minh trên) Þ OC ^ AB (tính chất tam giác cân) C Bài 2: Kẻ OH ^ AC ; OK ^ BD a Do AC // BD nên O, H , K thẳng hàng AH = HC = 1 AC ; BK = DK = BD 2 H A Xét D OAH D OBK có: · · · · OHA = OKB = 900 ; OA = OB; OAH = OBK (slt) Þ D OAH = D OBK (cạnh huyền - góc nhọn) Þ AH = BK (2 cạnh tương ứng) Þ AC = BD b Xét D OAC D OBD có: · · AC = BD (cmt); OAC = OBD (slt); OA = OB; · Þ D OAC = D OBD (c.g.c) Þ ·AOC = BOD (góc tương ứng) · · mà AOD + BOD = 180 (hai góc kề bù) Þ ·AOD + ·AOC = 1800 Þ C , O, D thẳng hàng Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ B O K D 9/9 Nhóm Chuyên Đề Toán TỔ Toán học đam mê Bài 3: Kẻ OI ^ AB I OH ^ AC H ; OK ^ BC K C M H K I A µ µ = 1050 = 450 (gt) ị C D ABC cú: àA = 30 , B B O 0 mà 105 > 45 > 30 µ µ µ Nên C > B > A Þ AB > AC > BC (quan hệ cạnh góc tam giác) Mà A, B, C Ỵ (O) (gt) nên OI < OH < OK (liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây) Xét (O) có: M Ỵ AB OM > OI Nếu M Ỵ BC OM > OK Nếu M Ỵ AC OM > OH Mà OI < OH < OK (chứng minh trên) Nên OM nhỏ Û OM ³ OI Dấu “=” xảy Û M º I Mà OI ^ AB I nên I trung điểm AB (qhệ vng góc đk dây) Nên M trung điểm AB Vậy OM nhỏ M trung điểm AB C Bài 4: E a Kẻ OH ^ CD, đường thẳng OH cắt EF K nên OK ^ EF H A Xét D OHM D OKN có: M N O K D · · · · OHM = OKN = 900 ; OM = ON ; MOH = NOK (đối đỉnh) F Þ D OHM = D OKN (cạnh huyền - góc nhọn) Þ OH = OK (cạnh tương ứng) Þ CD = EF (liên hệ dây khoảng cách từ tâm tới dây) mà CD // EF (gt) nên CDFE hình bình hành + Có HK đường trung bình hình bỡnh hnh CDFE =H = 900 ị CDFE Þ KH // CE Þ C hình chữ nhật Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ B 9/9 Nhóm Chun Đề Tốn TỔ Tốn học đam mê R R Þ OH = OM sin M = R.sin 600 = Þ OK = 3 b D OMH vuông H : Þ CE = HK = 2OH = D OHC vng H Þ CD = 2CH = Vậy 2R 3 Þ CH = OC - OH = R - 3R R R = Þ CH = 9 2R SCDFE = CE.CD = 2R 2R 4R 2 = 3 (đvdt) Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/