ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II PHỊNG GD&ĐT QUẬN NAM TỪ LIÊM TRƯỜNG THCS NAM TỪ LIÊM MƠN: TỐN NĂM HỌC 2021-2022 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút Câu (2,0 điểm) P Cho hai biểu thức: x 1 x Q x 2 x x x x với x 0; x 4 x 1; x 9 1) Tính giá trị Q x 25 2) Rút gọn biểu thức P 3) Đặt A P.Q Tìm giá trị nguyên x để A Câu (2,5 điểm) 1) Giải tốn cách lập phương trình Một phịng học có 420 ghế ngồi xếp theo hàng số ghế hàng Nếu số hàng tăng thêm số ghế hàng tăng thêm phịng có 480 ghế Hỏi ban đầu phịng có hàng hàng có ghế? 2) Trái Đất, hành tinh sống có dạng hình cầu có bán kính 6370 km Biết 29% diện tích bề mặt Trái Đất khơng bị bao phủ nước (bao gồm núi, sa mạc, cao nguyên, đồng địa hình khác) Tính diện tích bề mặt Trái Đất, không bị bao phủ nước, lấy 3,14 làm tròn kết đến chữ số hàng đơn vị Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: 3x x 10 0 1 2) Cho phương trình: x mx m 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x1 x2 3 Câu O (3,0 điểm) Cho dây BC cố định Trên cung lớn BC lấy điểm A cho AB AC Gọi D, E , F chân đường vng góc kẻ từ A, B, C đến cạnh BC , CA, AB 1) Chứng minh tứ giác AEDB nội tiếp O 2) Tia AD BE cắt đường tròn M N CMR: DE //MN 3) CMR: FC tia phân giác góc DFE đường trịn ngoại tiếp tam giác DEF ln qua điểm cố định A di động cung lớn BC Câu (0,5 điểm) Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện biểu thức P x y xy x y x y Tìm giá trị nhỏ HƯỚNG DẪN Câu (2,0 điểm) P Cho hai biểu thức: x 1 x Q x 2 x x x x với x 0; x 4 x 1; x 9 1) Tính giá trị Q x 25 2) Rút gọn biểu thức P 3) Đặt A P.Q Tìm giá trị nguyên x để A Lời giải 1) Tính giá trị Q x 25 Thay x 25 (thoả mãn điều kiện) vào biểu thức M ta được: M 25 21 25 25 15 Vậy x 25 M b) Rút gọn biểu thức P Điều kiện: với x 0; x 4 P x 1 x 2 x x 2 x x 2 x x 2 x 2 x x x 2 x x 2 x x2 x x x 2 x x x 2 x x N Vậy x x với x 0; x 4 x 2 x x 2 x 3)Đặt A P.Q Tìm giá trị nguyên x để A A P.Q x x x x x x x 2 1 x A 1 x x x x 2 x 2 x 2 0 x x 2 x 0 x x 20 0 x4 x 1; 2;3 Do x nguyên nên Vậy x 1; 2;3 A Câu (2,5 điểm) 1) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Một phịng học có 420 ghế ngồi xếp theo hàng số ghế hàng Nếu số hàng tăng thêm số ghế hàng tăng thêm phịng có 480 ghế Hỏi ban đầu phịng có hàng hàng có ghế? 2) Trái Đất, hành tinh sống có dạng hình cầu có bán kính 6370 km Biết 29% diện tích bề mặt Trái Đất khơng bị bao phủ nước (bao gồm núi, sa mạc, cao nguyên, đồng địa hình khác) Tính diện tích bề mặt Trái Đất, không bị bao phủ nước, lấy 3,14 làm tròn kết đến chữ số hàng đơn vị Hướng dẫn 1) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình * Gọi số hàng ghế ban đầu x ( hàng) với x 420 Khi số ghế ban đầu hàng x ( ghế) Số hàng ghế tăng hàng là: x (hàng) 420 2 Số ghế hàng tăng ghế là: x (ghế) Vì số hàng tăng thêm số ghế hàng tăng thêm phịng có 480 ghế nên 480 x 1 420 x 420 x 420 480 x 420 x 58 0 x x 58 x 420 0 x 14 x 15 ( thỏa mãn điều kiện) Nếu x 14 có 14 hàng Khi hàng có: 420 : 14 30 ghế Nếu x 15 có 14 hàng Khi hàng có: 420 : 14 28 ghế 2) Bài toán thực tế Diện tích xung quanh bề mặt Trái Đất: Diện tích khơng bị bao phủ nước là: Câu Sxq 2 R 2.3,14.6370 40003,6 km S 29 29 Sxq 40003,6 11601,044 11601 km 100 100 (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x x 10 0 1 2) Cho phương trình: x mx m 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x1 x2 3 Lời giải 1) Giải phương trình: x x 10 0 x x 10 0 x x x 10 0 3x x x 0 x x 0 5 x vl x 0 x 2 x 0 x 2 x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm là: S 1 2) Cho phương trình: x mx m 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn x1 x2 3 Phương trình có m2 4( m 1) m2 4m m 0m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 m x1 x2 m x x m Áp dụng hệ thức Viet có Ta có x1 x2 3 x1 x2 9 x12 x2 x1 x2 9 x1 x2 x1 x2 x1 x2 9 m m 1 m 9 m 2m m 0 * Xét TH1: m m m Thay vào pt (*) có m 2m m 1 0 m 4m 0 m 1(TM ) m 5( L) Xét TH2: m m m Thay vào pt (*) có m 2m m 1 0 m 0 m 3(L) m 3(TM) m 1, 3 Kết hợp điều kiện m Vậy giá trị cần tìm Câu O (3,0 điểm) Cho dây BC cố định Trên cung lớn BC lấy điểm A cho AB AC Gọi D, E , F chân đường vng góc kẻ từ A, B, C đến cạnh BC , CA, AB 1) Chứng minh tứ giác AEDB nội tiếp O 2) Tia AD BE cắt đường tròn M N CMR: DE //MN 3) CMR: FC tia phân giác góc DFE đường trịn ngoại tiếp tam giác DEF ln qua điểm cố định A di động cung lớn BC Lời giải A E F O B C D 1) Chứng minh tứ giác AEDB nội tiếp Tứ giác AEDB có: AEB ADB 90 ( AD BC ; CF AB ) tứ giác AEDB nội tiếp đường trịn đường kính AB O 2) Tia AD BE cắt đường tròn M N CMR: DE //MN N A E F O B D C M Tứ giác AEDB nội tiếp BED BAD (hai góc nội tiếp chắn AD ); Mà BAD BNM (hai góc nội tiếp chắn BM ); BED BNM BAD , mà hai góc vị trí đồng vị DE //MN 3) CMR: FC tia phân giác góc DFE đường trịn ngoại tiếp tam giác DEF ln qua điểm cố định A di động cung lớn BC N A E F O B D C M M BFC BEC 90 GT Tứ giác BFEC có: tứ giác BFEC nội tiếp đường trịn đường kính BC EFC EBC (hai góc nội tiếp chắn EC ); AFC ADC 90 GT Tương tự tứ giác AFDC có: tứ giác AFDC nội tiếp đường trịn đường kính AC DFC DAC (hai góc nội tiếp chắn DC ); EFC DFC EBC DAC FC EBC DAC BCA Mà (cùng phụ với ) tia phân giác DFE Gọi M trung điểm BC M cố định, ta chứng minh tứ giác MDFE nội tiếp, thật vậy: M trung điểm BC EM trung tuyến BEC vuông E EM BC MB MC MEC cân M MEC MCE DME MEC MCE 2MCE (góc ngồi MCE ); Mặt khác tứ giác BFEC nội tiếp AFE MCE (cùng bù với BFE ); tứ giác AFDC nội tiếp BFD MCE (cùng bù với AFD ) AFE BFD 2MCE DME ; Mà AFE BFD DFE 180 DME DFE 180 tứ giác MDFE nội tiếp Vậy điểm A di động cung lớn BC đường trịn ngoại tiếp DEF ln qua trung điểm M BC cố định Câu (0,5 điểm) Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện biểu thức P x y xy x y x y Lời giải Cách 1: Vì x 0, y nên xy hay xy x y x y x y Tìm giá trị nhỏ Với x y , xy x y x y 2 xy x y x y 2 x y xy x y 2 P x y x y xy x y Ta có x y 4 x y x y 4 x y Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si có: x y 2 2 2 x y 4 x y x y 2 4 x y Hay P 4 P P 4 x y Dấu “=” xảy 4 x y x y 2 x y 2 x y 8 x y 2 x 2 y 2 x y 4 x 2 y 2 Vậy giá trị nhỏ P 4, đạt Cách 2: Ta có xy x y x y xy x y x y 2 x y xy x y xy 1 xy x y xy 4 (áp dụng bất đẳng thức Cô-si) x y x y x y 16 x y 16 4 xy x y xy x y Dấu “=” xảy x y 8 xy x y 4 x 2 y 2 Vậy giá trị nhỏ P 4, đạt x 2 y 2