UBND THỊ XÃ SƠN TÂY PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II LỚP NĂM HỌC 2020 - 2021 Mơn: TỐN (20/4/2021) Thời gian làm 90 phút A Bài :(2 điểm) Cho hai biểu thức: x x 2 B x x 12 x x với x 0 , x 4 a) Tính giá trị biểu thức A x 25 B b) Chứng minh x1 x P P c) Đặt P A.B Tìm giá trị x để Bài :(1,5 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình 1cm diện tích hình chữ nhật tăng thêm 13cm Nếu giảm chiều dài 2cm , chiều rộng 1cm diện tích hình chữ nhật giảm 15cm Cho hình chữ nhật, tăng độ dài cạnh lên Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật cho Bài :(2 điểm) x y 4 5 x y 2 1) Giải hệ phương trình 2 2) Cho phương trình x 2mx m m 0 ( m tham số) a) Giải phương trình với m 3 x x 5 x x b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn Bài :(3,5 điểm) 1) Có chai đựng nước hình vẽ Bạn An đo đường kính đáy chai 6cm lượng nước chai cao 9cm Tính thể tích lượng nước chai O; R có đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy điểm M , E khác A, B (M thuộc 2) Cho đường tròn cung nhỏ AE ) AM cắt BE C , AE cắt BM D a) Chứng minh: Tứ giác CMDE nội tiếp b) Gọi CD cắt AB H Chứng minh rằng: BE.BC BH BA Từ suy ra: BE.BC AM AC không đổi M E di động nửa đường tròn c) Chứng minh tiếp tuyến đường tròn M E cắt điểm CD Bài : (0,5 điểm) Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn a b 1 1 P a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT A Bài 1: (2 điểm) Cho hai biểu thức: x x 2 B x x 12 x x với x 0, x 4 a) Tính giá trị biểu thức A x 25 x1 x B b) Chứng minh P P c) Đặt P A.B Tìm giá trị x để Lời giải a) Thay x 25 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta có: 25 25 A A Vậy với x 25 b) Với x 0, x 4 x 2 x B x 2 x 12 x 2 4 x x 2 x x x 2 x x x 12 x x 2 x x x x x 2 x 2 x x x1 x x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x 2 x 2 x x 2 B Vậy x1 x với x 0, x 4 (đpcm) 12 x x 2 P A.B c) x x1 x1 x 2 x x 2 P P P0 Do x 0, x 4 Từ (1) (2) x1 0 x 2 x 0 (1) x 2 x 1 (2) x 1 x 1 Kết hợp với điều kiện x 0, x 4 x P P Vậy với x Bài 2: (1,5 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình 1cm diện tích hình chữ nhật 2cm , chiều rộng 1cm diện tích hình chữ nhật tăng thêm 13cm Nếu giảm chiều dài giảm 15cm Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật cho Cho hình chữ nhật, tăng độ dài cạnh lên Lời giải Gọi chiều dài hình chữ nhật x (Đơn vị cm, điều kiện x ) Gọi chiều rộng hình chữ nhật y (Đơn vị cm, điều kiện y ) Diện tích hình chữ nhật x y ( cm ) Nếu tăng độ dài cạnh lên 1cm diện tích hình chữ nhật tăng thêm 13 cm nên ta có phương trình x 1 y 1 xy 13 (1) Nếu giảm chiều dài cm , chiều rộng 1cm diện tích hình chữ nhật giảm 15 cm nên ta có phương trình x y 1 xy 15 (2) x 1 y 1 xy 13 x y 12 x 7 tm x y 1 xy 15 x y 17 y 5 tm Từ (1) (2) ta có hệ Vậy chiều dài hình chữ nhật 7cm , chiều rộng hình chữ nhật 5cm Bài 3: (2 điểm) x y 4 5 x y 2 1) Giải hệ phương trình 2 2) Cho phương trình x 2mx m m 0 ( m tham số) a) Giải phương trình với m 3 x x 5 x x b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt , thỏa mãn Lời giải 1) Đặt a x b y2 x 1; y 2 Phương trình cho trở thành: 3a b 4 2a 3b 5 9a 3b 12 2a 3b 5 Trả ẩn ban đầu, ta 7a 7 3a b 4 x 1 1 y Kết hợp với điều kiện, ta có a 1 3.1 b 4 x 1 y 1 x; y 2; 1 a 1 b 1 x 2 y 1 x 2 y nghiệm hệ phương trình cho 2) a) Với m 3 phương trình cho trở thành x x 0 x ; nghiệm cịn Phương trình có a b c 1 0 nên phương trình có nghiệm c x2 a lại b) Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt m2 m2 m 1 m 1 m1 Theo hệ thức Vi-et ta có: b x1 x2 a 2m x x c m m a Theo đề ta có x1 x2 5 x1 x2 25 x12 x22 x1 x2 25 x1 x2 x1 x2 25 4m m m 1 25 4m 25 x1 , x2 ' 4m 21 m 21 Kết hợp với điều kiện m ta có Bài 4: m 21 giá trị thỏa u cầu tốn (3,5 điểm) 1) Có chai đựng nước hình vẽ Bạn An đo đường kính đáy chai 6cm lượng nước chai cao 9cm Tính thể tích lượng nước chai O; R có đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy điểm M , E khác 2) Cho đường tròn A, B (M thuộc cung nhỏ AE ) AM cắt BE C , AE cắt BM D a) Chứng minh: Tứ giác CMDE nội tiếp b) Gọi CD cắt AB H Chứng minh rằng: BE.BC BH BA Từ suy ra: BE.BC AM AC không đổi M E di động nửa đường tròn c) Chứng minh tiếp tuyến đường tròn M E cắt điểm CD Lời giải 1) Theo ta có bán kính đáy chai nước hình trụ r 6cm đường cao nước chai h 9cm 2 Thể tích nước chai là: V r h 324 (cm ) 2) 0 a) Ta có : AMB 90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) CMD 90 AEB 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CED 90 Xét tứ giác CMED có: CMD CED 180 Mà CMD, CED góc đối Tứ giác CMED nội tiếp b) Dễ thấy H trực tâm ABC CH đường cao ABC CH AB ABM chung BHD BMA 900 BDH ∽ BAM Xét BDH BAM có: BD BH BD.BM BA.BH (1) BA BM CBM chung BDE ∽ BCM BED BMC 90 Xét BDE BCM có: BE BD BE.BC BM BD (2) BM BC Từ (1) (2) BE.BC BA.BH (3) EAB chung ADH ∽ ABE AHD AEB 90 Xét ADH ABE có: AD AH AD AE AB AH (4) AB AE Từ (3) (4) BE.BC AM AC BA.BH AB AH AB.( BH AH ) AB c) Xét AMB vuông M có MO đường trung tuyến OBM OMB hay OMB ABM (5) Vì tứ giác AMDH nội tiếp MAH MDF hay MAB MDF (6) Xét CMD vuông M MF đường trung tuyến MF FD MFD cân F FMD MDF (7) Từ (6) (7) MAH FMD hay MAB FMD(8) Mà MAB ABM 90 (9) Lại có: MOB cân O ABM BMO(10) Từ (8),(9) (10) FMD BMO 90 MF tiếp tuyến (O ) Chứng minh tương tự: EF tiếp tuyến (O ) tiếp tuyến M , E (O) cắt điểm F thuộc CD Cách Giả sử tiếp tuyến M E (O) cắt F FO FMO OHF 900 M , F , E , H , O I ; Ta có: Xét ( I ) có: FHM FBM Và ME MF ME MF FME FHM ME MB E sđ M E F Xét (O) có: Suy ra: FBM MBE Tứ giác HMCB nội tiếp MHD MHC MBC MBE Do đó: MHD FHM H , D, E thẳng hàng F thuộc CD Bài 5: (0,5 điểm) Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn a b 1 1 P a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Ta có: a b2 P a b a 1 a 1 b 1 b 1 b a 1 a b 1 a b 1 a2 b2 (Vì a2 b2 a b b a ) a 1 b 1 ab ab a b ab 1 ab (Vì a b 1 ) Vì a , b số thực dương Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: a b 1 ab ab 4 ab Vậy P 1 2.4 9 a b a b a b 1 Dấu " " xảy Vậy P đạt giá trị nhỏ a b