Phuong tich 5

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TÍCH VÀ ỨNG DỤNG Nguyễn Quỳnh, Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ Đào Văn Lương, Chun Lào Cai Hồng Thơng, Chun Lê Q Đơn, Điện Biên HỊA BÌNH, THÁNG NĂM 2013 Phần A Phần B Phần C Cơ sở lý thuyết Phương tích điểm đường trịn Trục đẳng phương hai đường tròn Tâm đẳng phương ba đường trịn Ứng dụng phương tích giải số tập hình học phẳng Các tập sử dụng tính chất phương tích Các tập sử dụng tính chất trục đẳng phương Các tập sử dụng tính chất tâm đẳng phương Bài tập đề nghị Đề Lời giải Tài liệu tham khảo Trang 2 7 10 23 28 28 30 40 MỤC LỤC Trang PHẦN A: CƠ SỞ LÝ THUYẾT Phương tích điểm đường trịn 1.1 Bài tốn Cho đường trịn (O; R) điểm M cố định, OM = d Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A B Khi MA.MB MO  R d  R Chứng minh A B M O C Gọi C điểm đối xứng A qua O Ta có CB  AM hay B hình chiếu C AM         Khi ta có MA.MB MA.MB MC.MA  MO  OC MO  OA          2  MO  OA MO  OA MO  OA    OM  OA2 d  R 1.2 Định nghĩa Đại lượng không đổi MA.MB d  R Bài tốn 1.1 gọi phương tích điểm M đường trịn (O), kí hiệu PM/(O) Ta có: PM /  O  MA.MB d  R 1.3 Tính chất 1.3.1 Tính chất Điểm M nằm bên ngồi đường trịn (O) PM /  O   Trang Điểm M nằm đường tròn (O ) PM /  O  0 Điểm M nằm bên đường tròn (O ) PM /  O   1.3.2 Tính chất Trong mặt phẳng, cho đường trịn  O; R  điểm M nằm bên (O) Qua M kẻ cát tuyến MAB tiếp tuyến MT tới (O ) Khi   MA.MB MT OM  R 1.3.3 Tính chất Cho hai đường thẳng AB, CD phân biệt cắt M ( M không trùng A, B, C , D ) Khi     đó, MA.MB MC MD bốn điểm A, B, C , D nằm đường trịn 1.3.4 Tính chất Cho hai đường thẳng AB, MT phân biệt cắt M ( M không trùng A, B, T ) Khi  đó, MA.MB MT đường tròn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với MT T 1.4 Phương tích hệ tọa độ Descartes Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Descartes, cho điểm M  x0 ; y0  đường tròn (C ) : x  y  2ax  2by  c 0 Đặt F ( x; y )  x  y  2ax  2by  c, PM /  O1  F ( x0 ; y0 ) x02  y02  2ax0  2by0  c Trục đẳng phương hai đường tròn 2.1 Định lý định nghĩa Trang Cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O1; R1) (O2; R2) Tập hợp điểm M có phương tích hai đường trịn đường thẳng, đường thẳng gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1) (O2) Chứng minh Giả sử điểm M có phương tích hai đường trịn cho Gọi H hình chiếu M O1O2, I trung điểm O1O2 Ta có:   MH  HO12    MH  HO2  R12  R22  HO12  HO2 R12  R22   HO1  HO2   HO  HO  R 2  R22 M I O1 O2 H R12  R22  O2O1.2 HI R  R  IH  2O1O2 2 Do H cố định, suy tập hợp điểm M có phương tích hai đường trịn đường thẳng qua H vng góc với O1O2 2.2 Tính chất Cho hai đường trịn (O1) (O2) Từ định lý 2.1 ta có tính chất sau: 2.2.1 Tính chất Trục đẳng phương hai đường trịn vng góc với đường thẳng nối tâm 2.2.2 Tính chất Nếu hai đường tròn cắt A B AB trục đẳng phương chúng 2.2.3 Tính chất Trang Nếu điểm M có phương tích (O1) (O2) đường thẳng qua M vng góc với O1O2 trục đẳng phương hai đường trịn 2.2.4 Tính chất Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường trịn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường trịn 2.2.5 Tính chất Nếu điểm có phương tích hai đường trịn điểm thẳng hàng 2.2.6 Tính chất Nếu (O1) (O2) tiếp xúc A đường thẳng qua A vng góc với O1O2 trục đẳng phương hai đường tròn 2.2 Cách xác định trục đẳng phương hai đường trịn khơng đồng tâm Trong mặt phẳng cho hai đường trịn khơng đồng tâm (O1) (O2) Xét trường hợp sau: 2.2.1 Trường hợp 1: Hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt A, B Khi đường thẳng AB trục đẳng phương hai đường tròn 2.2.2 Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc T Khi tiếp tuyến chung T trục đẳng phương hai đường trịn 2.2.3 Trường hợp 3: Hai đường trịn khơng có điểm chung Dựng đường tròn (O3 ) cắt hai đường tròn Trục đẳng phương cặp đường tròn (O1 ) (O3 ); (O2 ) (O3 ) cắt K Đường thẳng qua K vng góc với O1O2 trục đẳng phương (O1 ),(O2 ) 2.3 Trục đẳng phương Hệ tọa độ Descartes Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trịn khơng đồng tâm: (C1 ) : x  y  2a1 x  2b1 y  c1 0 , (C2 ) : x  y  2a2 x  2b2 y  c2 0 Từ biểu thức phương tích điểm đường trịn hệ tọa độ suy trục đẳng phương (C1 ) (C2 ) đường thẳng có phương trình Trang  a1  a2  x   b1  b2  y  c1  c2 0   Tâm đẳng phương ba đường tròn 3.1 Định lý định nghĩa Cho đường trịn (C1), (C2) (C3) Khi trục đẳng phương cặp đường tròn trùng song song qua điểm Nếu trục đẳng phương qua điểm điểm gọi tâm đẳng phương ba đường tròn Chứng minh Gọi dij trục đẳng phương hai đường tròn (Ci) (Cj) Ta xét hai trường hợp sau a)Giả sử có cặp đường thẳng song song, khơng tính tổng qt ta giả sử d12 // d23 Ta có d12  O1O2 , d 23  O2O3 suy O1 , O2 , O3 thẳng hàng Mà d13  O1O3 suy d13 // d 23 // d12 b)Giả sử d12 d23 có điểm chung M Khi ta có  PM /  O1   PM / O2   PM /  O1   PM /  O3   M  d13  P  P M /  O3   M /  O2  d1 O1 O2 M d2 d1 O3 Từ suy có hai đường thẳng trùng trục đẳng phương cặp đường tròn lại Nếu hai trục đẳng phương cắt điểm điểm thuộc trục đẳng phương cịn lại Trang 3.2 Tính chất 3.2.1 Tính chất 1: Nếu đường trịn đơi cắt dây cung chung qua điểm 3.2.2 Tính chất 2: Nếu trục đẳng phương song song trùng tâm đường trịn thẳng hàng 3.2.3 Tính chất 3: Nếu đường trịn qua điểm có tâm thẳng hàng trục đẳng phương trùng Trang PHẦN B: ỨNG DỤNG PHƯƠNG TÍCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG CÁC BÀI TẬP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TÍCH Bài tập 1.1 (S44 Mathematical Reflection MR2-2007) Từ điểm P nằm bên ngồi đường trịn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (O), (A, B tiếp điểm) Gọi M trung điểm AP N giao điểm BM với (O), (N không trùng B) Chứng minh PN 2MN Lời giải N' A Ta có M P O N B MN MB MA2 MA.MP Gọi N ' điểm đối xứng với N qua M , MN MB MN '.MB, suy MA.MP MN ' MB, hay tứ giác ABPN ' tứ giác nội tiếp đường tròn       Đặt NAP , NAB , ta có PAN ' PBN ' BAN   NAN '  ANN '      Mặt khác ANN ' NAB  NBA   , hay tam giác NPN’ cân N suy PN 2MN Bài tập 1.2 Cho đường tròn (O) hai điểm A, B cố định Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) M N Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc đường thẳng cố định Trang Lời giải A M C B I O N Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB AB cắt (I) điểm thứ hai C Ta có P A /  I   AC AB  AM AN  P A /  O  (khơng đổi A, (O) cố định) Suy AC  PA / O AB Vì A, B cố định C thuộc AB nên từ hệ thức ta có C cố định Suy I thuộc đường trung trực BC cố định Suy AK  AB AC số nên điểm K cố đinh Bài tập chứng minh AI Bài tập 1.3 Cho đường tròn (O) dây AB Trên tia AB lấy điểm C nằm đường trịn (O) Từ điểm E cung lớn AB kẻ đường kính EF cắt dây AB D Tia CE cắt (O) điểm I Cho A, B, C cố định, chứng minh đường tròn (O) thay đổi qua A, B đường FI qua điểm cố định Lời giải Trang