KiÕn thøc vÒ ph¬ng tÝch vµ trôc ®¼ng ph¬ng chØ lµ kiÕn thøc trong s¸ch gi¸o khoa, ®¬n gi¶n vµ dÔ hiÓu; tuy nhiªn nã cã øng dông nhiÒu trong viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh ph¼ng, nhÊt lµ c¸c bµi thuéc d¹ng chøng minh th¼ng hµng, ®ång quy, vu«ng gãc. Hëng øng ®Ò nghÞ cña gi¸o viªn c¸c trêng thuéc héi Duyªn h¶i , chóng t«i, dùa vµo kinh nghiÖm gi¶ng d¹y vµ c¸c tµi liÖu cã ®îc, viÕt chuyªn ®Ò nµy theo híng nªu lªn c¸c øng dông kiÕn thøc vÒ ph¬ng tÝch vµ trôc ®¼ng ph¬ng . Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i ký hiÖu ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC lµ (ABC). Chuyªn ®Ò ch¾c cßn nhiÒu thiÕu xãt, chóng t«i mong nhËn ®îc sù gãp ý cña c¸c ®ång nghiÖp
Phơng tích trục đẳng phơng Lời nói đầu Kiến thức phơng tích trục đẳng phơng kiến thức sách giáo khoa, đơn giản dễ hiĨu; nhiªn nã cã øng dơng nhiỊu viƯc giải toán hình phẳng, thuộc dạng chứng minh thẳng hàng, đồng quy, vuông góc Hởng ứng đề nghị giáo viên trờng thuộc hội Duyên hải , chúng tôi, dựa vào kinh nghiệm giảng dạy tài liệu có đợc, viết chuyên đề theo hớng nêu lên ứng dụng kiến thức phơng tích trục đẳng phơng Trong viết này, ký hiệu đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC (ABC) Chuyên đề nhiều thiếu xót, mong nhận đợc góp ý đồng nghiệp! Mục lục Phần A Lý thuết Trang Phơng tích điểm đờng tròn Trục đẳng phơng hai đờng tròn Tâm đẳng phơng n đờng tròn Phần B đẳng phơng Mét sè øng dơng cđa ph¬ng tích trục Chứng minh thẳng hàng Chứng minh đồng quy Chứng minh vuông góc Một số ứng dụng khác Phần C 11 Bài tập đề nghị A Lý thuyết I Phơng tích điểm đờng tròn Định nghĩa: Trên mặt phẳng, cho đờng tròn (O; R) điểm M Đờng thẳng qua M cắt (O; R) A B Khi đó, đại lợng đợc gọi phơng tích điểm M đờng tròn (O; R), ký hiệu là: Tính chất a Điểm M thuộc đờng tròn (O) Điểm M nằm đờng tròn (O) Điểm M nằm đờng tròn (O) b Từ điểm M đờng tròn (O) kẻ tiếp tuyến MT, T tiếp điểm Khi ®ã c Cho ®iĨm ph©n biƯt A, B, C, D điểm thẳng hàng, hai đờng AC BD cắt I Khi đó, điểm thuộc đờng tròn d Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, phơng trích điểm M(x0; y0) đờng tròn (O): là: I Trục đẳng phơng đờng tròn Định nghĩa Tập hợp điểm có phơng tích đờng tròn (là đờng thẳng)đợc gọi trục đẳng phơng đờng tròn Tính chất a Trục đẳng phơng đờng tròn(không đồng tâm) đờng thẳng vuông góc với đờng nối tâm đờng tròn b Ba điểm đẳng phơng đói với đờng tròn thẳng hàng c Nếu đờng tròn phân biệt tiếp xúc với A đờng thẳng qua A vuông góc với đờng nối tâm trục đẳng phơng d Nếu A va B điểm phân biệt có phơng tích đờng tròn đờng thẳng AB trục đẳng phơng đờng tròn Nếu A va B điểm chung phân biệt đờng tròn đờng thẳng AB trục đẳng phơng đờng tròn e Nếu đờng tròn nhau, đờng thẳng qua trung điểm tiếp tuyến chung trục đẳng phơng đờng tròn e Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, trục đẳng phơng đờng tròn đờng thẳng có phơng trình: I Tâm đẳng phơng Định nghĩa Điểm đẳng phơng n (lớn 2) đờng tròn đợc gọi tâm đẳng phơng n đờng tròn ®ã TÝnh chÊt: Cho A, B, C lµ điểm không thẳng hàng Gọi x, y, z trục đảng phơng cặp đờng tròn (B) (C); (C) (A); (A) (B) Khi x, y, z đồng quy tâm đẳng phơng đờng tròn < (X) đờng tròn tâm X > B Một số ứng dụng I Chứng minh thẳng hàng VD1: (Ân Độ 1995) Cho tam giác ABC Một đờng thẳng cắt hai cạnh AB, AC D E; P điểm tam giác, không nằm DE Đờng ED cắt PB PC M N Hai đờng tròn (PND), (PME) cắt P Q Chứng minh A, P, Q thẳng hàng Lời giải: Từ giả thiết suy PQ trục đảng phơng đờng tròn (PDN), (PEM) Gọi I, J giao AP với DE BC Khi đó: Vì Dẫn đến hay Mà suy IP hay AP trục đảng phơng đờng tròn (PDN), (PEM) suy A thuéc ®êng PQ VD2 (IMO 2013) Cho tam giác ABC nhọn, đờng cao AD, BE, CF cắt H Cho M điểm cạnh BC không trùng với B C Kẻ đờng kính MP MQ đờng tròn (MBF) (MCE).Chứng minh H, P, Q thẳng hàng Lời giải: Gọi N điểm chung thứ hai hai đờng tròn (MBF) (MCE) Vì nên A thuộc trục đẳng phơng đờng tròn Suy A, M, N thẳng hàng Dẫn đến hay tứ giác MNHD nội tiếp Từ đó: Vậy H, P, Q thẳng hàng VD3 (Chọn đội tuyển VN, 2006) Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đờng tròn (O;R) Đờng thẳng d thay đổi vuông góc với OA, cắt cạnh AB, AC M N; BN cắt CM K; AK cắt BC P a) Chứng minh đờng tròn (MNP) qua điểm cố định d thay đổi b) Gọi H I trực tâm tam giác AMN ABC Chứng minh H, I, K thẳng hàng từ suy , a = BC, l khoảng cách từ A tới HK Lời giải: a) - áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC với đờng đồng quy AP, BN, CN ta có: Lại áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với điểm thẳng hµng N, M, S ta cã: Gäi E lµ trung điểm BC Theo ta có: Dẫn đến tứ giác MNEP nội tiếp, hay đờng tròn (MNP) qua điểm cố định E b) Gọi (O1), (O2) đờng tròn đờng kính BN CM Gọi MF NJ đờng cao tam giác AMN - Vì HN.HJ = HM.HF nên H thuộc trục đẳng phơng d (O1) (O2) Tơng tự có I thuộc d - Vì KM.KC = KN.KB nên thuộc trục đẳng phơng d (O1) (O2) Suy H, K, I thuộc d hay ba điểm thẳng hàng II Chøng minh ®ång quy VD1(IMO 1995) Cho ®iĨm thẳng hàng (theo thứ tự) A, B, C, D Đờng tròn đờng kính AC đờng tròn đờng kính BD cắt X Y Đờng XY cắt BC Z Trên XY lấy P(khác X, Y) Đờng CP cắt đờng tròn đờng kính AC M khác C Đờng BP cắt đờng tròn đờng kính BD N khác B Chứng minh: AM, DN, XY đồng quy Lời giải: Gọi Q R giao XY víi DN vµ AM Ta chøng minh Q trïng R Vì tứ giác QMCZ nội tiếp suy Vì tứ giác RNBZ nội tiếp suy Vì P thuộc trục đẳng phơng XY đờng tròn đờng kính AC BD nên Dẫn đến hay Q trùng R (đpcm) VD (Dự tuyển IMO 1994)Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lợt D, E, F; X điểm tam giác cho đờng tròn ni tiếp tam giác XBC tiếp xúc với BC D tiếp xúc với XB, XC t¹i Y, Z Chøng minh r»ng FE, YZ, BC đồng quy Lời giải: Gọi P Q giao điểm BC với FE YZ - áp dụng định lý Menelaus: cho tam giác ABC, với điểm thẳng hàng E, F, P ta có: cho tam giác XBC, với điểm thẳng hàng Y, Z, Q ta cã: Suy DÉn ®Õn tø giác FEYZ nội tiếp - Ba đờng BC, FE, YZ tơng ứng trục đẳng phơng cặp đờng tròn (DFE) (DYZ); (DFE) (FEYZ); (FEYZ) (DYZ) VËy BC, FE, YZ ®ång quy III Chøng minh vuông góc VD Cho hình thang ABCD, F điểm cạnh đáy AB cho FD = FC Gọi E giao điểm hai đờng chéo; (O1), (O2) lần lợt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADF BCF Chứng minh EF vuông góc với O1O2 Lêi gi¶i: Ta di chøng minh E thc trơc đẳng phơng đờng tròn (ADF) (BCF) Gọi M giao điểm thứ hai AC với đờng tròn (ADF); N giao điểm thứ hai BD với đờng tròn (BCF) Ta có: Dẫn đến tứ giác CDMN nội tiếp, từ tứ giác ABNM nội tiếp Suy hay E thuộc trục đẳng phơng đờng tròn (ADF) (BCF) Suy FE trục đảng phơng đờng tròn (ADF) (BCF) Vậy EF vuông góc với O1O2 VD Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đờng chéo AC, BD Gọi H, K trực tâm tam giác OAD OBC; M, N trung điểm AB, CD Chứng minh MN vuông góc với HK Lời giải: Ký hiệu (M) (N) đờng tròn đờng kính AB CD - Vì nên - Vì nên Suy HK trục đẳng phơng đờng tròn (M) (N) Vậy MN vuông góc với HK IV Một số ứng dụng khác VD Từ điểm M đờng tròn (O), kẻ tiếp tuyến MA MB (A, B tiếp điểm) Gọi I trung điểm MA, N giao (O) với IB(N khác B) Chøng minh r»ng MN = 2IN Lêi gi¶i: 10 Dùng hình bình hành ADMN Ta chứng minh MN = DN Thật vậy, ta có: Dẫn đến tứ giác ADMB nội tiếp Suy Nh vậy, tam giác DMN cân N, hay MN = ND (đpcm) VD Cho tam giác ABC, đờng tròn (O) cắt AB AC F E; BE cắt CF P, AP cắt BC D Đờng thẳng qua D, song song với FE cắt tia AB, AC M N; FE cắt BC Q Chứng minh đờng tròn (QMN) qua điểm cố định (O) thay ®ỉi Lêi gi¶i: 11 - Ta cã: Suy tø giác MBNC nội tiếp Dẫn đến: - Ap dụng định lý Ceva định lý Menelaus, ta có: Dẫn đến: Với I trung điểm BC Từ (1) (2) suy tứ giác QMIN nội tiếp Vậy đờng tròn (QMN) qua điểm I cố định Bài tập Về phía tam giác ABC, dựng tam giác cân DBC, ECA, FAB với đỉnh D, E, F Chứng minh đờng thẳng qua A, B, C lần lợt vuông góc 12 1 1 với FE, FD, DE đồng quy Cho tam giác ABC Dựng hình vuông DEFG có đỉnh D, E thuộc cạnh BC,còn F G lần lợt thuộc AC AB Gọi dA trục đẳng phơng đờng tròn (ABD) (ACE) Các đờng dB, dC đợc xác định ttơng tự Chứng minh dA, dB, dC đồng quy Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), M trung điểm BC, M giao điểm AM (O) Tiếp tuyến M (O) cắt đờng thẳng qua M, vuông góc với OA X Định nghĩa tơng tự X cho điểm Y, Z Chứng minh X, Y, Z thẳng hàng Cho hai đờng tròn (O1) (O2) Kẻ tiếp tuyÕn chung A1A2(A1 thuéc (O1) A2 thuéc (O2) ) Tõ trung điểm K A1A2, kẻ tiếp tuyến KB1 vµ KB2 tíi (O1) vµ (O2) Gäi L lµ giao ®iĨm cđa A1B1 vµ A2B2, P lµ giao cđa KL vµ O1O2 Chøng minh r»ng P, L, B1 vµ B2 thuộc đờng tròn Cho C điểm thuộc đờng tròn đờng kính AB, C khác A B Gọi H kà hình chiếu vuông góc C AB Đờng tròn đờng kính CH cắt CA, CB E, F cắt đờng tròn đờng kinh AB D Chøng minh r»ng FE, CD, BA ®ång quy Cho hai đờng tròn (O1) (O2) Kẻ tiếp tuyÕn chung ngoµi A1A2 ,tuyÕn chung B1B2 (A1 ,B1 thuéc (O1) A2, B2 thuéc (O2) Chøng minh r»ng A1B1, A2B2, O1O2 đồng quy Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O), đờng cao AA1, BB1,CC1; A2, B2, C2 lần lợt điểm đối xứng víi A1, B1, C1 qua trung ®iĨm cđa BC, CA, AB Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AB2C2, BA2C2 ,CB2A2 cắt (O) lần thứ hai A3, B3, C3 Chøng minh r»ng A1A3, B1B3, C1C3 ®ång quy Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), đờng tròn bàng tiÕp gãc A cã t©m I tiÕp xóc víi BC, CA, AB M, N, P Chứng minh tâm đờng tròn Ơ-le tam giác MNP thuộc đờng thẳng OI Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) ngoại tiếp đờng tròn (I) Các điểm A, B, C tơng ứng thuộc BC, CA, AB thỏa mÃn: Chứng minh điểm A, B, C thuộc đờng thẳng đờng thẳng vuông góc với OI Cho đờng tròn (O), hai đờng kính AB CD Tiếp tuyến (O) B cắt AC E, DE cắt (O) lần thứ hai F Chứng minh r»ng AF, BC, OE ®ång quy 13 Cho ®êng tròn (O) điểm M (O) Từ M, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB cát tuyến MCD (A B tiếp điểm) Chứng minh tiếp tuyến (O) C D cắt đờng thẳng CD (IMO 1985) Cho tam giác ABC Đuờng tròn (O) qua A C cắt AB AC lần K N Đờng tròn (ABC) (KBN) cắt B M Chứng mninh góc OMB vuông Cho tam gác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I điểm thỏa mÃn: Các tia AI, BI, CI cắt (O) A1, B1, C1 Tính Cho tam giác ABC, đờng cao AD, trực tâm H; M N trung điểm BC AD Biết AD = BC Chøng minh r»ng HN = HM Cho đờng tròn (O) hai điểm A, B đối xứng với qua O Điểm M thay đổi (O) Các đờng MA, MB cắt (O) P Q Chứng minh không phụ thuộc vị trí M (VMO - 2003) Cho đờng tròn Điểm A thay đổi (O2) cho O1, O2, A không thẳng hàng Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (O1) (B C tiếp điểm) Các đờng MB, MC cắt (O2) lần E F Tiếp tuyến (O2) A cắt FE D Chứng minh điểm D thuộc đờng cố định A thay đổi Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đờng tròn (S) (T) cắt A B Đờng thẳng d tiếp xúc với (S) (T) D C Biết toạ độ điểm A, B, D Tìm tọa độ điểm C viết phơng trình đờng tròn (T) 14 Tài liệu tham khảo [1] Tài liệu bồi dưỡng chuyên môn giáo viên trường trung học phổ thông chuyên năm 2012, tr 207-219 [2] Các chuyên đề hình học tạp chí tốn học tuổi trẻ [3] Các chuyên đề hình học trang web : diendantoanhoc.net, vnmath.com… 15 ...Mục lục Phần A Lý thuết Trang Phơng tích điểm đờng tròn Trục đẳng phơng hai đờng tròn Tâm đẳng phơng n đờng tròn Phần B đẳng ph¬ng Mét số ứng dụng phơng tích trục Chứng minh thẳng hàng Chứng minh... y0) đờng tròn (O): là: I Trục đẳng phơng đờng tròn Định nghĩa Tập hợp điểm có phơng tích đờng tròn (là đờng thẳng)đợc gọi trục đẳng phơng đờng tròn Tính chất a Trục đẳng phơng đờng tròn(không... thẳng AB trục đẳng phơng đờng tròn Nếu A va B điểm chung phân biệt đờng tròn đờng thẳng AB trục đẳng phơng đờng tròn e Nếu đờng tròn nhau, đờng thẳng qua trung điểm tiếp tuyến chung trục đẳng phơng