chuyên đề toán phương tích và trục đẳng phương

Lời nói đầu Phơng tích trục đẳng phơng Kiến thức phơng tích trục đẳng phơng kiến thức sách giáo khoa, đơn giản dễ hiểu; nhiên có ứng dụng nhiều việc giải toán hình phẳng, thuộc dạng chứng minh thẳng hàng, đồng quy, vuông góc Hởng ứng đề nghị giáo viên trờng thuộc hội Duyên hải , chúng tôi, dựa vào kinh nghiệm giảng dạy tài liệu có đợc, viết chuyên đề theo hớng nêu lên ứng dụng kiến thức phơng tích trục đẳng phơng Trong viết này, ký hiệu đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC (ABC) Chuyên đề nhiều thiếu xót, mong nhận đợc góp ý đồng nghiệp! Mục lục Phần A Lý thuết Phơng tích điểm đờng tròn Trục đẳng phơng hai đờng tròn Tâm đẳng phơng n đờng tròn Phần B Một số ứng dụng phơng tích trục đẳng phơng Chứng minh thẳng hàng Chứng minh đồng quy Chứng minh vuông góc Một số ứng dụng khác Phần C Trang Bài tập đề nghị 11 A Lý thuyết I Phơng tích điểm đờng tròn Định nghĩa: Trên mặt phẳng, cho đờng tròn (O; R) điểm M Đờng thẳng qua M cắt (O; R) A B Khi đó, đại lợng OM R = MA.MB đợc gọi phơng tích điểm M đờng tròn (O; R), ký hiệu là: PM /(O ) Tính chất a Điểm M thuộc đờng tròn (O) PM /(O ) = Điểm M nằm đờng tròn (O) PM /(O ) > Điểm M nằm đờng tròn (O) PM /(O ) < b Từ điểm M đờng tròn (O) kẻ tiếp tuyến MT, T tiếp điểm Khi PM /( O ) = MT c Cho điểm phân biệt A, B, C, D điểm thẳng hàng, hai đờng AC BD cắt I Khi đó, điểm thuộc đờng tròn IB.ID = IA.IC d Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, phơng trích điểm M(x0; y0) đờng tròn (O): x + y 2ax 2by + c = là: 2 PM /( O ) = x0 + y 2ax 2by + c I Trục đẳng phơng đờng tròn Định nghĩa Tập hợp điểm có phơng tích đờng tròn (là đờng thẳng)đợc gọi trục đẳng phơng đờng tròn Tính chất a Trục đẳng phơng đờng tròn(không đồng tâm) đờng thẳng vuông góc với đờng nối tâm đờng tròn b Ba điểm đẳng phơng đói với đờng tròn thẳng hàng c Nếu đờng tròn phân biệt tiếp xúc với A đờng thẳng qua A vuông góc với đờng nối tâm trục đẳng phơng d Nếu A va B điểm phân biệt có phơng tích đờng tròn đờng thẳng AB trục đẳng phơng đờng tròn Nếu A va B điểm chung phân biệt đờng tròn đờng thẳng AB trục đẳng phơng đờng tròn e Nếu đờng tròn nhau, đờng thẳng qua trung điểm tiếp tuyến chung trục đẳng phơng đờng tròn e Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, trục đẳng phơng đờng tròn x + y 2a1 x 2b1 y + c1 = 0; x + y 2a x 2b2 y + c = đờng thẳng có phơng trình: 2(a1 a ) x + 2(b1 b2 ) y + c1 c = I Tâm đẳng phơng Định nghĩa Điểm đẳng phơng n (lớn 2) đờng tròn đợc gọi tâm đẳng phơng n đờng tròn Tính chất: Cho A, B, C điểm không thẳng hàng Gọi x, y, z trục đảng phơng cặp đờng tròn (B) (C); (C) (A); (A) (B) Khi x, y, z đồng quy tâm đẳng phơng đờng tròn < (X) đờng tròn tâm X > B Một số ứng dụng I Chứng minh thẳng hàng VD1: (Ân Độ 1995) Cho tam giác ABC Một đờng thẳng cắt hai cạnh AB, AC D E; P điểm tam giác, không nằm DE Đờng ED cắt PB PC M N Hai đờng tròn (PND), (PME) cắt P Q Chứng minh A, P, Q thẳng hàng Lời giải: Từ giả thiết suy PQ trục đảng phơng đờng tròn (PDN), (PEM) Gọi I, J giao AP với DE BC Khi đó: IM JB IN = JC IM ID = Vì ED // BC ID JB IN IE = IE JC Dẫn đến IN ID = IM IE hay PI /( PDN ) = PI /( PEM ) Mà PP /( PDN ) = PP /( PEM ) = suy IP hay AP trục đảng phơng đờng tròn (PDN), (PEM) suy A thuộc đờng PQ VD2 (IMO 2013) Cho tam giác ABC nhọn, đờng cao AD, BE, CF cắt H Cho M điểm cạnh BC không trùng với B C Kẻ đờng kính MP MQ đờng tròn (MBF) (MCE).Chứng minh H, P, Q thẳng hàng Lời giải: Gọi N điểm chung thứ hai hai đờng tròn (MBF) (MCE) Vì AB AF = AC AE nên A thuộc trục đẳng phơng đờng tròn Suy A, M, N thẳng hàng Dẫn đến AM AN = AH AD hay tứ giác MNHD nội tiếp Từ đó: MNH = 90 MNH + MNP = 180 = MNQ + MNP Vậy H, P, Q thẳng hàng VD3 (Chọn đội tuyển VN, 2006) Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đờng tròn (O;R) Đờng thẳng d thay đổi vuông góc với OA, cắt cạnh AB, AC M N; BN cắt CM K; AK cắt BC P a) Chứng minh đờng tròn (MNP) qua điểm cố định d thay đổi b) Gọi H I trực tâm tam giác AMN ABC Chứng minh H, I, K thẳng hàng từ suy l R a , a = BC, l khoảng cách từ A tới HK Lời giải: a) - áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC với đờng đồng quy AP, BN, CN ta có: PB NC MA = PC NA MB Lại áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với điểm thẳng hàng N, M, S ta có: SB NC MA = PC NA MB Gọi E trung điểm BC Theo ta có: SB.PC + SC.PB = SB.( SC SP.) + SC ( SB SP ) = SB.SC SP.( SC + SB.) = 2SB.SC SP.SE = Dẫn đến tứ giác MNEP nội tiếp, hay đờng tròn (MNP) qua điểm cố định E b) Gọi (O1), (O2) đờng tròn đờng kính BN CM Gọi MF NJ đờng cao tam giác AMN - Vì HN.HJ = HM.HF nên H thuộc trục đẳng phơng d (O1) (O2) Tơng tự có I thuộc d - Vì KM.KC = KN.KB nên thuộc trục đẳng phơng d (O1) (O2) Suy H, K, I thuộc d hay ba điểm thẳng hàng II Chứng minh đồng quy VD1(IMO 1995) Cho điểm thẳng hàng (theo thứ tự) A, B, C, D Đờng tròn đờng kính AC đờng tròn đờng kính BD cắt X Y Đờng XY cắt BC Z Trên XY lấy P(khác X, Y) Đờng CP cắt đờng tròn đờng kính AC M khác C Đờng BP cắt đờng tròn đờng kính BD N khác B Chứng minh: AM, DN, XY đồng quy Lời giải: Gọi Q R giao XY với DN AM Ta chứng minh Q trùng R Vì tứ giác QMCZ nội tiếp suy PM PC = PQ.PZ Vì tứ giác RNBZ nội tiếp suy PN PB = PR.PZ Vì P thuộc trục đẳng phơng XY đờng tròn đờng kính AC BD nên PM PC = PN PB Dẫn đến PR.PZ = PQ.PZ QR = hay Q trùng R (đpcm) VD (Dự tuyển IMO 1994)Đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lợt D, E, F; X điểm tam giác cho đờng tròn ni tiếp tam giác XBC tiếp xúc với BC D tiếp xúc với XB, XC Y, Z Chứng minh FE, YZ, BC đồng quy Lời giải: Gọi P Q giao điểm BC với FE YZ - áp dụng định lý Menelaus: cho tam giác ABC, với điểm thẳng hàng E, F, P ta có: FA PB EC = FB PC EA cho tam giác XBC, với điểm thẳng hàng Y, Z, Q ta có: ZX QB YC = ZB QC YX Suy PB QB = P Q PE.PF = PY PZ PC QC Dẫn đến tứ giác FEYZ nội tiếp - Ba đờng BC, FE, YZ tơng ứng trục đẳng phơng cặp đờng tròn (DFE) (DYZ); (DFE) (FEYZ); (FEYZ) (DYZ) Vậy BC, FE, YZ đồng quy III Chứng minh vuông góc VD Cho hình thang ABCD, F điểm cạnh đáy AB cho FD = FC Gọi E giao điểm hai đờng chéo; (O1), (O2) lần lợt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADF BCF Chứng minh EF vuông góc với O1O2 Lời giải: Ta di chứng minh E thuộc trục đẳng phơng đờng tròn (ADF) (BCF) Gọi M giao điểm thứ hai AC với đờng tròn (ADF); N giao điểm thứ hai BD với đờng tròn (BCF) Ta có: AMD = AFD = BFC = BNC DMC = DNC Dẫn đến tứ giác CDMN nội tiếp, từ tứ giác ABNM nội tiếp Suy EM EA = EN EB hay E thuộc trục đẳng phơng đờng tròn (ADF) (BCF) Suy FE trục đảng phơng đờng tròn (ADF) (BCF) Vậy EF vuông góc với O1O2 VD Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đờng chéo AC, BD Gọi H, K trực tâm tam giác OAD OBC; M, N trung điểm AB, CD Chứng minh MN vuông góc với HK Lời giải: Ký hiệu (M) (N) đờng tròn đờng kính AB CD - Vì HA.HE = HD.HP nên PH /( M ) = PH /( N ) - Vì KB.KQ = KC.KF nên PK /( M ) = PK /( N ) Suy HK trục đẳng phơng đờng tròn (M) (N) Vậy MN vuông góc với HK IV Một số ứng dụng khác VD Từ điểm M đờng tròn (O), kẻ tiếp tuyến MA MB (A, B tiếp điểm) Gọi I trung điểm MA, N giao (O) với IB(N khác B) Chứng minh MN = 2IN Lời giải: Dựng hình bình hành ADMN Ta chứng minh MN = DN Thật vậy, ta có: IN IB = IA ID.IB = IM IA Dẫn đến tứ giác ADMB nội tiếp Suy M = B1 = A3 A1 + A2 = A2 + A3 M + M = A2 + A3 MDN = DMN Nh vậy, tam giác DMN cân N, hay MN = ND (đpcm) VD Cho tam giác ABC, đờng tròn (O) cắt AB AC F E; BE cắt CF P, AP cắt BC D Đờng thẳng qua D, song song với FE cắt tia AB, AC M N; FE cắt BC Q Chứng minh đờng tròn (QMN) qua điểm cố định (O) thay đổi Lời giải: 10 - Ta có: MNC = FEC = MBC Suy tứ giác MBNC nội tiếp Dẫn đến: DM DN = DB.DC (1) - Ap dụng định lý Ceva định lý Menelaus, ta có: DB DC QB QC EC EA EC EA FA = FB FA = FB Dẫn đến: DBQC + DC QB = DB ( DC DQ) + DC ( DB DQ) = DB.DC = DQ( DB + QC ) = DI QB DB.DC = DI QB (2) Với I trung điểm BC Từ (1) (2) suy tứ giác QMIN nội tiếp Vậy đờng tròn (QMN) qua điểm I cố định 11 Bài tập Về phía tam giác ABC, dựng tam giác cân DBC, ECA, FAB với đỉnh D, E, F Chứng minh đờng thẳng qua A, B, C lần lợt vuông góc với FE, FD, DE đồng quy Cho tam giác ABC Dựng hình vuông DEFG có đỉnh D, E thuộc cạnh BC,còn F G lần lợt thuộc AC AB Gọi dA trục đẳng phơng đờng tròn (ABD) (ACE) Các đờng dB, dC đợc xác định ttơng tự Chứng minh dA, dB, dC đồng quy Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), M trung điểm BC, M giao điểm AM (O) Tiếp tuyến M (O) cắt đờng thẳng qua M, vuông góc với OA X Định nghĩa tơng tự X cho điểm Y, Z Chứng minh X, Y, Z thẳng hàng Cho hai đờng tròn (O1) (O2) Kẻ tiếp tuyến chung A1A2(A1 thuộc (O1) A2 thuộc (O2) ) Từ trung điểm K A1A2, kẻ tiếp tuyến KB1 KB2 tới (O1) (O2) Gọi L giao điểm A1B1 A2B2, P giao KL O1O2 Chứng minh P, L, B1 B2 thuộc đờng tròn Cho C điểm thuộc đờng tròn đờng kính AB, C khác A B Gọi H kà hình chiếu vuông góc C AB Đờng tròn đờng kính CH cắt CA, CB E, F cắt đờng tròn đờng kinh AB D Chứng minh FE, CD, BA đồng quy Cho hai đờng tròn (O1) (O2) Kẻ tiếp tuyến chung A1A2 ,tuyến chung B1B2 (A1 ,B1 thuộc (O1) A2, B2 thuộc (O2) Chứng minh A1B1, A2B2, O1O2 đồng quy Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O), đờng cao AA1, BB1,CC1; A2, B2, C2 lần lợt điểm đối xứng với A1, B1, C1 qua trung điểm BC, CA, AB Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AB2C2, BA2C2 ,CB2A2 cắt (O) lần thứ hai A3, B3, C3 Chứng minh A1A3, B1B3, C1C3 đồng quy Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), đờng tròn bàng tiếp góc A có tâm I tiếp xúc với BC, CA, AB M, N, P Chứng minh tâm đờng tròn Ơ-le tam giác MNP thuộc đờng thẳng OI Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) ngoại tiếp đờng tròn (I) Các điểm A, B, C tơng ứng thuộc BC, CA, AB thỏa mãn: AIA' = BIB ' = CIC ' = 90 Chứng minh điểm A, B, C thuộc đờng thẳng đờng thẳng 10 vuông góc với OI Cho đờng tròn (O), hai đờng kính AB CD Tiếp tuyến (O) B cắt AC E, DE cắt (O) lần thứ hai F 11 Chứng minh AF, BC, OE đồng quy Cho đờng tròn (O) điểm M (O) Từ M, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB cát 12 tuyến MCD (A B tiếp điểm) Chứng minh tiếp tuyến (O) C D cắt đờng thẳng CD 12 (IMO 1985) Cho tam giác ABC Đuờng tròn (O) qua A C cắt AB AC lần K N Đờng tròn (ABC) (KBN) cắt B M 13 Chứng mninh góc OMB vuông Cho tam gác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I điểm thỏa mãn: IA + 3IB + 5IC = O Các tia AI, BI, CI cắt (O) A1, B1, C1 IA 3IB 5IC 14 Tính T = IA1 + IB1 + IC1 Cho tam giác ABC, đờng cao AD, trực tâm H; M N trung điểm BC AD Biết AD = BC Chứng minh HN = HM 15 Cho đờng tròn (O) hai điểm A, B đối xứng với qua O Điểm M thay đổi (O) Các đờng MA, MB cắt (O) P Q Chứng minh T= AM BM + AP BQ không phụ thuộc vị trí M (VMO - 2003) 16 Cho đờng tròn (O1 ; R1 ), (O1 ; R1 ), R2 > R1 Điểm A thay đổi (O2) cho O1, O2, A không thẳng hàng Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (O1) (B C tiếp điểm) Các đờng MB, MC cắt (O2) lần E F Tiếp tuyến (O2) A cắt FE D Chứng minh điểm D thuộc đờng cố định A thay đổi Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đờng tròn (S) (T) cắt A 17 B Đờng thẳng d tiếp xúc với (S) (T) D C Biết toạ độ điểm A, B, D 14 12 A(10;6), B ( ; ), D(4;0) Tìm tọa độ điểm C viết phơng trình đờng tròn (T) 5 13 Ti liu tham kho [1] Ti liu bi dng chuyờn mụn giỏo viờn trng trung hc ph thụng chuyờn nm 2012, tr 207-219 [2] Cac chuyờn hinh hoc tap chi toan hoc tuụi tre [3] Cac chuyờn hinh hoc cac trang web : diendantoanhoc.net, vnmath.com 14 [...]... (O1) và (O2) Kẻ tiếp tuyến chung A1A2(A1 thuộc (O1) A2 thuộc (O2) ) Từ trung điểm K của A1A2, kẻ 2 tiếp tuyến KB1 và KB2 tới (O1) và (O2) Gọi L là giao điểm của A1B1 và A2B2, P là giao của KL và O1O2 5 Chứng minh rằng P, L, B1 và B2 cùng thuộc một đờng tròn Cho C là điểm thuộc đờng tròn đờng kính AB, C khác A và B Gọi H kà hình chiếu vuông góc của C trên AB Đờng tròn đờng kính CH cắt CA, CB tại E, F và. .. đồng quy Cho đờng tròn (O) và điểm M ngoài (O) Từ M, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB và cát 12 tuyến MCD (A và B là tiếp điểm) Chứng minh rằng tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau trên đờng thẳng CD 12 (IMO 1985) Cho tam giác ABC Đuờng tròn (O) qua A và C cắt AB và AC lần nữa tại K và N Đờng tròn (ABC) và (KBN) cắt nhau tại B và M 13 Chứng mninh rằng góc OMB vuông Cho tam gác ABC nội tiếp đờng tròn (O),... (O1) (B và C là các tiếp điểm) Các đờng MB, MC cắt (O2) lần nữa tại E và F Tiếp tuyến của (O2) tại A cắt FE tại D Chứng minh rằng điểm D luôn thuộc đờng cố định khi A thay đổi Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đờng tròn (S) và (T) cắt nhau tại A và 17 B Đờng thẳng d tiếp xúc với (S) và (T) tại D và C Biết toạ độ các điểm A, B, D là 14 12 A(10;6), B ( ; ), D(4;0) Tìm tọa độ điểm C và viết... quy Cho tam giác ABC Dựng hình vuông DEFG có các đỉnh D, E thuộc cạnh BC,còn F và G lần lợt thuộc AC và AB Gọi dA là trục đẳng phơng của 2 đờng tròn (ABD) và (ACE) Các đờng dB, dC đợc xác định ttơng tự 3 Chứng minh rằng dA, dB, dC đồng quy Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), M là trung điểm BC, M là giao điểm của AM và (O) Tiếp tuyến tại M của (O) cắt đờng thẳng qua M, vuông góc với OA tại X Định... đờng tròn (O) và ngoại tiếp đờng tròn (I) Các điểm A, B, C tơng ứng thuộc BC, CA, AB và thỏa mãn: AIA' = BIB ' = CIC ' = 90 0 Chứng minh rằng các điểm A, B, C cùng thuộc một đờng thẳng và đờng thẳng ấy 10 vuông góc với OI Cho đờng tròn (O), hai đờng kính AB và CD Tiếp tuyến của (O) tại B cắt AC tại E, DE cắt (O) lần thứ hai tại F 11 Chứng minh rằng AF, BC, OE đồng quy Cho đờng tròn (O) và điểm M ngoài... cắt (O) tại A1, B1, C1 IA 3IB 5IC 14 Tính T = IA1 + IB1 + IC1 Cho tam giác ABC, đờng cao AD, trực tâm H; M và N là trung điểm BC và AD Biết rằng AD = BC Chứng minh rằng HN = HM 15 Cho đờng tròn (O) và hai điểm A, B đối xứng với nhau qua O Điểm M thay đổi trên (O) Các đờng MA, MB cắt (O) tại P và Q Chứng minh rằng T= AM BM + AP BQ không phụ thuộc vị trí M (VMO - 2003) 16 Cho 2 đờng tròn (O1 ; R1 ),... FEC = MBC Suy ra tứ giác MBNC nội tiếp Dẫn đến: DM DN = DB.DC (1) - Ap dụng định lý Ceva và định lý Menelaus, ta có: DB DC QB QC EC EA EC EA FA = 1 FB FA = 1 FB Dẫn đến: DBQC + DC QB = 0 DB ( DC DQ) + DC ( DB DQ) = 0 2 DB.DC = DQ( DB + QC ) = 2 DI QB DB.DC = DI QB (2) Với I là trung điểm của BC Từ (1) và (2) suy ra tứ giác QMIN nội tiếp Vậy đờng tròn (QMN) luôn qua điểm I cố định 11 1 Bài... và B Gọi H kà hình chiếu vuông góc của C trên AB Đờng tròn đờng kính CH cắt CA, CB tại E, F và cắt đờng tròn đờng kinh AB tại D 6 Chứng minh rằng FE, CD, BA đồng quy Cho hai đờng tròn ngoài nhau (O1) và (O2) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài A1A2 ,tuyến chung trong B1B2 (A1 ,B1 thuộc (O1) A2, B2 thuộc (O2) 7 Chứng minh rằng A1B1, A2B2, O1O2 đồng quy Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O), các đờng cao ...Mục lục Phần A Lý thuết Phơng tích điểm đờng tròn Trục đẳng phơng hai đờng tròn Tâm đẳng phơng n đờng tròn Phần B Một số ứng dụng phơng tích trục đẳng phơng Chứng minh thẳng hàng Chứng... = x0 + y 2ax 2by + c I Trục đẳng phơng đờng tròn Định nghĩa Tập hợp điểm có phơng tích đờng tròn (là đờng thẳng)đợc gọi trục đẳng phơng đờng tròn Tính chất a Trục đẳng phơng đờng tròn(không... thẳng AB trục đẳng phơng đờng tròn Nếu A va B điểm chung phân biệt đờng tròn đờng thẳng AB trục đẳng phơng đờng tròn e Nếu đờng tròn nhau, đờng thẳng qua trung điểm tiếp tuyến chung trục đẳng phơng