Phuong tich 2

Phương tích điểm đường trịn số ứng dụng PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Phần 1: TÓM TẮT -  Các toán hình học phẳng có liên quan đến đường trịn toán hay thường xuất đề thi học sinh giỏi đề thi tuyển sinh Đại học Một khái niệm quan trọng có nhiều ứng dụng liên quan đến đường trịn phương tích điểm đường trịn Đây khái niệm khơng khó nắm bắt, ứng dụng việc giải tốn hình học phẳng phong phú Nhiều tốn phức tạp giải gọn gàng nhờ sử dụng tính chất có liên quan đến phương tích Bài viết nêu lên số ứng dụng phương tích việc giải số tốn hình học phẳng Nội dung viết chia làm phần, tóm tắt lại lý thuyết phương tích, phần thứ hai số toán áp dụng, chia làm bốn loại, tốn định lượng, định tính, dựng hình biểu thức tọa độ Phần cuối số tập vận dụng khác Phương tích điểm đường trịn số ứng dụng Phần NỘI DUNG A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho đường trịn (O) bán kính R điểm M Phương tích điểm M đường trịn (O), ký hiệu S M /(O ) , xác định sau: S M /( O ) OM  R Nhận xét: Từ định nghĩa ta có:  SM /( O )   M nằm (O);   S S M /( O ) 0  M nằm (O); M /( O )   M nằm (O) Định lý Cho đường trịn (O) bán kính R điểm M Một đường thẳng d thay đổi qua M cắt (O) hai điểm A, B Khi S M /( O ) MA MB Hệ Cho đường trịn (O) bán kính R điểm M nằm (O) Từ M kẻ tiếp tuyến 2 MT đến (O) (M tiếp điểm) Khi SM /(O ) OM  R MT Hệ Cho đường trịn (O) bán kính R điểm M d1 , d hai đường thẳng qua M cắt (O) A, B C, D Khi MA MB MC MD Ngược lại, cho d1 , d hai đường thẳng bất B A O M D C kỳ qua M A, B hai điểm d1 C, D hai điểm d Khi đó, MA MB MC MD bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn Trục đẳng phương hai đường tròn Cho hai đường tròn (O1 ) (O2 ) khơng tâm Lúc quỹ tích điểm có phương tích hai đường trịn đường thẳng vng góc với đường nối tâm O1O2 Đường thẳng gọi trục đẳng phương (O1 ) (O2 ) Chú ý: Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng  Nếu hai đường tròn (O1 ) (O2 ) cắt hai điểm A, B Lúc A, B có phương tích hai đường trịn (O1 ) (O2 ) Do trục đẳng phương (O1 ) (O2 ) A O2 O1 đường thẳng AB  B Nếu hai đường tròn (O1 ) (O2 ) tiếp xúc với điểm T Lúc T có phương tích (O1 ) (O2 ) Do trục đẳng O2 O1 T phương (O1 ) (O2 ) đường thẳng qua T vng góc với O1O2 tiếp tuyến chung (O1 ) (O2 ) điểm T Tâm đẳng phương ba đường tròn Cho ba đường trịn (O1 ),(O2 ),(O3 ) có tâm d2 d3 O1 , O2 , O3 không thuộc đường thẳng Gọi d1 , d , d trục đẳng phương (O2 ) (O3 ) ,của (O3 ) (O1 ) , (O1 ) (O2 ) Khi O3 O1 K ba đường thẳng d1 , d , d đồng quy điểm K K điểm có phương tích ba đường tròn (O1 ),(O2 ),(O3 ) gọi tâm đẳng d1 O2 phương ba đường tròn Phương trình đường trịn biểu thức tọa độ phương tích a) Phương trình đường trịn Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn điểm M ( x; y ) thuộc đường trịn (C) có tâm I  x ; y  0 bán kính R Khi (C) IM R , tức là: ( x  x0 )  ( y  y0 ) R (1) Phương trình (1) viết lại là: x  y  x0 x  y0 y  x02  y02  R 0 (2) Phương trình (1) (2) gọi phương trình đường trịn (C) cho Ngược lại, cho phương trình: x  y  2ax  2by  c 0 (*) Khi có ba trường hợp sau xảy ra:  Nếu a  b  c  khơng có điểm có tọa độ  x; y  thỏa phương trình (*) Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng  Nếu a  b  c 0 có điểm I   a;  b  có tọa độ thỏa (*)  Nếu a  b  c  (*) phương trình đường trịn (C) có tâm I   a;  b  bán kính R  a  b  c b) Biểu thức tọa độ phương tích Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình f ( x; y )  x  y  2ax  2by  c 0, a  b  c  điểm M ( x0 ; y0 ) Khi phương tích M đường tròn (C) là: S M /( C )  f ( x0 ; y0 )  x02  y02  ax0  2by0  c Từ ta có:  Điểm M ( x0 ; y0 ) nằm đường tròn (C) f ( x0 ; y0 ) 0  Điểm M ( x0 ; y0 ) nằm ngồi đường trịn (C) f ( x0 ; y0 )   Điểm M ( x0 ; y0 ) nằm đường tròn (C) f ( x0 ; y0 )  Cho hai đường trịn (C ) (C ) khơng tâm, có phương trình là: 2 x  y  2a1 x  2b1 y  c1 0, a12  b12  c1  , x  y  2a2 x  2b2 y  c2 0, a22  b22  c2  Khi đó, trục đẳng phương hai đường tròn (C1 ) (C2 ) đường thẳng  có phương trình: (2a1  2a2 ) x  (2b1  2b2 ) y  c1  c2 0 c) Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Trong mặt phẳng cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R đường thẳng  Khi đó:  (C)  khơng có điểm chung d ( I ,  )  R  (C) tiếp xúc với  d ( I ,  ) R  (C) cắt  hai điểm phân biệt d ( I ,  )  R d) Vị trí tương đối hai đường tròn Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (C ) phương chúng Khi vị trí tương đối hai đường trịn (C ) khơng tâm Gọi  trục đẳng (C ) (C ) vị trí tương đối 2 (C ) (hoặc (C ) ) với  B Các ví dụ Một số tốn định lượng Mục dành để trình bày số tốn mang tính định tính tính phương tích số điểm đặc biệt tam giác đường trịn ngoại tiếp tam giác số tốn tính tốn khác có sử dụng phương tích điểm đường trịn Một số ví dụ Phương tích điểm đường trịn số ứng dụng có sử dụng tính chất quen thuộc tích vơ hướng   AB  AC  BC AB AC  Một số kết có liên quan đến đường thẳng Euler, đường trịn Euler, tính chất trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác sử dụng khơng chứng minh lại Ví dụ (Phương tích trọng tâm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) Tính phương tích trọng tâm G (O) theo cạnh BC a, CA b, AB c Giải     Do G trọng tâm tam giác ABC nên OG  OA  OB  OC Suy ra:       OG  OA2  OB  OC  2OA OB  2OB OC  2OC OA   OA2  OB  OC  OA2  OB  AB  OB  OC  BC  OA2  OC  AC  1   R  a  b  c  R   a  b  c  9 Vậy SG /(O ) OG  R   a  b  c  Ví dụ (Phương tích trực tâm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) bán kính R Tính phương tích trực tâm H (O) theo R góc A,B,C Giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC, theo tính chất đường thẳng Euler ta có      OH 3OG OA  OB  OC Suy ra:       OH OA2  OB  OC  2OA OB  2OB OC  2OC OA     OA2  OB  OC  OA2  OB  AB  OB  OC  BC  OA2  OC  AC 9 R   a  b  c  Vậy : S H /( O ) OH  R 8R   a  b  c  8R  R  sin A  sin B  sin C  R   2(cos A  cos B  cos 2C )   R cos A cos B cos C Chú ý: Từ kết ta suy cơng thức tính OH là: OH R (1  8cos A cos B cos C ) Ví dụ (Phương tích tâm đường tròn nội tiếp đường tròn ngoại tiếp) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O; R  ngoại tiếp đường tròn ( I ; r ) Hãy tính phương tích I đường tròn  O  Giải: Phương tích điểm đường trịn số ứng dụng a b c Đặt AB c, BC a, CA b, p  Do I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên:         aOA  bOB  cOC 1   aIA  bIB  cIC 0  OI   aOA  bOB  cOC a b c 2p Suy       OI  a R  b R  c R  2abOA OB  2bcOB OC  2acOC OA 4p   R ( a  b  c )  ab(2 R  c )  bc(2 R  a )  ca(2 R  b )  4p   R ( a  b  c  2ab  2bc  2ca)  abc(a  b  c)  4p abc S R   R ( a  b  c)  p.abc  R  R  R  Rr 4p 2p 2p     (S diện tích tam giác ABC) Vậy S I /( O ) OI  R  Rr Chú ý: Lời giải toán cho ta hệ thức Euler là: OI R  Rr Ví dụ Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c Xét đường tròn ( I ) cho S A /( I )  a S B /( I )  b SC /( I )  c 0 a) Chứng minh I trực tâm tam giác ABC b) Gọi R R ' bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn ( I ) Chứng minh R ' 2 R c) Gọi M trung điểm BC Tính SM /( I ) Giải: a) Theo giải thiết, ta có S A /( I )  a , SB /( I )  b , SC /( I )  c Ta có: S S S A /( I ) B /( I ) C /( I ) IA2  R '2  a  IA2 R '2  a R '2  BC (1) IB  R '  b  IB R '2  b R '2  AC (2) IC  R '  c  IC R '2  c R '2  AB (3) Từ (1) (2) suy CA2  CB IA2  IB CI  AB Lập luận tương tự ta có BI  AC AI  BC Vậy I trực tâm tam giác ABC b) Gọi M trung điểm BC, I trực tâm tam giác ABC nên: AI 2OM  AI 4OM 4  R  BM  4 R  a Từ suy ra: R '2 IA2  a 4 R  a  a 4 R  R ' 2 R Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng IB  IC BC R  b  R  c a 2b  2c  a 2    4 R  c) Ta có IM  4 Suy ra: S 2b  2c  a 2b  2c  a 2 IM  R '  R   R  4 M /( I ) 2 Ví dụ Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I đường tròn  O; R  Gọi p1 S A /( O ) , p2 S B /( O ) , p3  S I /( O ) Chứng minh AB  2( p1  p2  p3 ) Giải: Ta có p1 OA2  R , p2 OB  R , p3 OI  R Từ OI  OA2 OB AB   suy 2 AB 2OA2  2OB  4OI 2(OA2  R )  2(OB  R )  4(OI  R ) 2( p1  p2  p3 ) Vậy AB  2( p1  p2  p3 ) Ví dụ Cho nửa đường trịn đường kính AB hai điểm M, N thay đổi Gọi I giao điểm AM BN Ký hiệu (O1 ) , (O2 ) đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP ANP Chứng minh S A /( O1 )  S A /(O2 ) không đổi Giải: Ta có: M     A /( O1 )  S A /( O2 )  AI AM  BI BN        AI AB  BI BA  AB AI  IB  AB  AB S  Vậy S A /( O1 ) N  I O2  S A /(O2 ) không đổi O1 A B Ví dụ Cho hai đường trịn (O1 ) , (O2 ) có tâm O1 O2 M điểm tùy ý Ký hiệu d trục đẳng phương (O1 ) (O2 ) , H hình chiếu vng góc M d Chứng minh S M /( O1 )  S M /( O2 )  2O1O2 MH Từ suy MH  Giải: S M /( O1 )  S M /( O2 ) 2O1O2 Phương tích điểm đường trịn số ứng dụng Ta có:   SM /(O1 ) O1M  R  HM  HO1  R12  HM  HO12  HM HO1  R12  HM  S H /(O1 )  HM KO1   Tương tự: S M /( O2 ) HM  S H /( O2 )  HM KO2 Do đó: S M /( O1 )  S  M      S  S  HM KO1  KO2 M /( O2 ) H /( O1 ) H /( O2 )   HM O2O1  MH O1O2  O1 H K O2  Ví dụ (USA MO 1998) Cho hai đường trịn (C1 ) (C2 ) có tâm ( (C2 ) chứa (C1 ) ) điểm A (C1 ) Tiếp tuyến A đường tròn (C1 ) cắt đường tròn (C2 ) hai điểm B, C Gọi D trung điểm AB Một đường thẳng qua B cắt (C1 ) hai điểm E, F Biết đường trung trực DE CF cắt điểm I đường thẳng BC Tính IB tỉ số IC Giải: Ta có S B /( C1 ) BA BE.BF B BC D Mặt khác lại có: BA 2 BD BD.BC nên A I BE.BF BD.BC Do tứ giác DECF nội tiếp E đường tròn (T) Tâm đường tròn (T) nằm O C đường trung trực ED CF nên I tâm (T) Mà I thuộc CD nên I trung điểm CD Từ F ta có DB  DC và: IB ID  DB ID DB    1   IC IC IC IC 3 Ví dụ (IMO Shortlist 2011) Cho A1 A2 A3 A4 tứ giác nội tiếp Gọi O1 r1 tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác A2 A3 A4 Định nghĩa O2 , O3 , O4 r2 , r3 , r4 tương tự Chứng minh 1 1    0 2 2 2 O1 A1  r1 O2 A2  r2 O3 A3  r3 O4 A4  r42 Phương tích điểm đường trịn số ứng dụng Giải Gọi M giao điểm A1 A3 A2 A4 Đặt a MA1 , b MA2 , c MA3 , d MA4 Gọi B1 giao điểm A1 A3 với đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 A3 A4 Khi ta có   O1 A12  r12  A1B1 A1 A3  MB1  MA1 MA3  MA1  A1 B1 O3 A2  M O1 O2 O4 A4   MB1  a  c  a  Mặt khác MB1.MA3 MA2 MA4  MB1  bd c A3 Do (c  a )  bd  O1 A12  r12   a  (c  a )   bd  ac  c  c  1  c   Suy   Tương tự ta có: 2 O1 A1  r1 bd  ac  c  a  2   d  1  a  1  b  ,   ,    ac  bd  d  b  O3 A32  r32 bd  ac  a  c  O4 A4  r4 bd  ac  b  d    O2 A2  r2 Vậy 1 1  c a d b           0 2 2 2 2 O1 A1  r1 O2 A2  r2 O3 A3  r3 O4 A4  r4 bd  ac  c  a c  a d  b d  b  Một số tốn định tính Trong Ví dụ 1, Ví dụ Ví dụ đây, ta sử dụng phương tích để chứng minh số điểm nằm đường tròn Một kết thường sử dụng để làm việc Hệ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD ( AB CD) nội tiếp (O) Dựng hai hình thoi AEDF BMCN có cạnh Chứng minh bốn điểm EFMN thuộc đường trịn Giải: Gọi R bán kính đường tròn (O), I  MN  BC J EF  AD Do AB CD nên điểm M, N, O, E, F không nằm đường thẳng Ta có: OM.ON  OI  IM OI  IN  OI  IN OI  IN   2    OI  IN  OB  BI    BN    BI  A B M F I O E J N C D  R  BN Tương tự, OE.OF  R  AE Mà BN  AE nên OM.ON OE.OF suy bốn điểm M, N, E, F thuộc đường trịn Ví dụ (IMO Shortlist 1995) Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB D, E, F X điểm nằm tam giác ABC cho đường Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng tròn nội tiếp tam giác XBC tiếp xúc với XB, XC, BC Z, Y, D Chứng minh tứ giác EFZY nội tiếp Giải: Trường hợp tam giác ABC cân A A hiển nhiên Khi tam giác ABC không cân A, E X gọi I EF  BC Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC để tính F Y BC BD Z IB  DC  BD I B C D Tương tự, gọi I '  XY  BC Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác XBC để tính BC BD I'B  Từ suy I I ' Do BC trục đẳng phương đường tròn nội tiếp DC  BD tam giác ABC đường tròn nội tiếp tam giác XBC IE.IF IZ IY suy EFZY tứ giác nội tiếp Ví dụ (IMO 2008) Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi M , M , M trung điểm BC, CA, AB Đường tròn tâm M bán kính M 1H cắt BC A1 , A2 ; đường trịn tâm M bán kính M H cắt CA B1 , B2 ; đường tròn tâm M bán kính M H cắt AB C1 , C2 Chứng minh A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 thuộc đường tròn Giải: Do M 1M // AB AB  CH nên M 1M  CH Mà H điểm chung đường tròn  M  đường tròn  M  nên CH trục đẳng phương hai đường tròn  M   M  Suy CA1.CA2 CB1.CB2 A1 , A2 , B1 , B2 thuộc đường tròn  T1  Tương tự A1 , A2 , C1 , C2 thuộc đường tròn  T2  B1 , B2 , C1 , C2 thuộc đường tròn  T3  A B2 C1 Nếu hai ba đường trịn trùng A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 thuộc đường tròn Nếu ba đường tròn phân biệt trục đẳng phương  T1   T2  BC, trục đẳng phương  T2   T3  AB trục đẳng phương  T1   T3  AC phải đồng quy chúng lại cắt A, B, C nên vô lý Vậy A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 thuộc đường tròn M2 M3 H C2 B B1 A1 M1 A2 C Ví dụ Cho tam giác ABC có hai điểm A,B cố định, điểm C thay đổi đường thẳng  cắt  1 đường thẳng AB k   0;  , ( k số ) Gọi D điểm cạnh AB cho  2 10 Phương tích điểm đường trịn số ứng dụng AD kAB Đường trịn đường kính BD cắt đường thẳng qua C trung điểm đoạn thẳng AB E F Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF C thay đổi Giải Gọi M trung điểm AB, H điểm đối xứng với D qua M H điểm cố định BH  AD Vì AD kAB,0  k  nên D thuộc đoạn AM, H thuộc đoạn MB, M thuộc đoạn EF Ta có ME.MF MD.MB MH MA tứ giác AEHF tứ giác nội tiếp A D E I M d H F Suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF nằm đường thẳng d đường trung trực AH C B Đảo lại, với điểm I đường trung trực AH, gọi E F giao điểm đường trịn tâm I bán kính IA với đường trịn đường kính BD Gọi M giao điểm EF MH MB MB  MH BH    1 , tức M AB Khi ME.MF MH MA MD.MB , suy MD MA MA  MD AD trung điểm HD trung điểm AB Nếu  qua M cắt đường trịn đường kính BD E,F quỹ tích điểm I, tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF Nếu  khơng qua M Khi qua M vẽ đường thẳng song song với  cắt đường trịn đường kính DB E,F tâm I’ đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF khơng thuộc quỹ tích Nếu I I ' : Gọi C điểm giao  đường thẳng EF khơng trùng với M Khi ta có tam giác ABC mà đường trung tuyến qua C cắt đường trịn đường kính BD hai điểm E, F tam giác AEF có tâm đường trịn ngoại tiếp điểm I Lúc quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF C thay đổi đường trung trực đoạn thẳng AH loại trừ I’ Một ứng dụng phương tích chứng minh ba đường thẳng đồng quy Theo cách này, thường ba đường thẳng cho ba trục đẳng phương cặp đường trịn lấy ba đường trịn Lúc theo tính chất tâm đẳng phương ba đường thẳng đồng quy Các Ví dụ 5, 6, minh họa điều Ví dụ Cho nửa đường trịn đường kính AB điểm C nằm cho C khơng phải trung điểm cung nửa đường tròn Gọi H chân đường vng góc hạ từ C xuống AB Đường trịn đường kính CH cắt CA E, CB F đường trịn đường kính AB D Chứng minh CD, EF, AB đồng quy 11 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Giải: o o       Ta có EAB 90  ECH , EFC 90  CEF Vì CEHF hình chữ nhật nên ECH CEF   Suy EAB tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn (T) EFC Ta có CD trục đẳng phương đường C trịn đường kính CH đường trịn đường kính D F AB; EF trục đẳng phương đường tròn (T) đường trịn đường kính CH AB trục E đẳng phương đường trịn đường kính AB với B đường trịn (T) Từ theo tính chất tâm I A H đẳng phương, ta có AB, CD, EF đồng quy Chú ý: Cũng chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp cách CE.CA CF.CB CH Ví dụ (USA MO 1997) Cho tam giác ABC Bên tam giác vẽ tam giác cân BCD, CAE, ABF có cạnh đáy tương ứng BC, CA, AB Chứng minh ba đường thẳng vng góc kẻ từ A, B, C xuống EF, FD, DE đồng quy Giải: A Ký hiệu d1 , d2 , d3 đường thẳng vng góc kẻ từ A, B, C xuống EF, FD, DE E F Khi d1 trục đẳng phương đường tròn  E; EA  đường tròn  F; EA  ; d2 trục đẳng phương đường tròn  F; EA  C B đường tròn  D; DB  ; d3 trục đẳng phương đường tròn  D; DB  đường tròn  E; EA  Theo tính chất tâm đẳng phương D ba đường thẳng đồng quy Chú ý: Bài toán giải nhanh gọn cách sử dụng Định lý Carnot sau: “Cho tam giác ABC điểm M, N, P Gọi  A ,  B ,  C đường thẳng qua M, N, P vng góc với BC, CA, AB Khi  A ,  B ,  C đồng quy ( MB  MC )  (NC  NA2 )  ( PA  PB ) 0 ” Ví dụ (IMO 1995) Trên đường thẳng d lấy điểm A,B,C,D (theo thứ tự đó) Đường trịn đường kính AC BD cắt X, Y Đường thẳng XY cắt BC Z Lấy P điểm XY khác Z Đường thẳng CP cắt đường trịn đường kính AC điểm thứ hai M BD cắt đường trịn đường kính BD điểm thứ hai N Chứng minh AM, DN XY đồng quy Giải: 12 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng     Ta có MAD , MND 90o  MCB 90o  MNB I Mặt khác, PC.PM PB.PN PX PY nên tứ M N   giác MNCB nội tiếp Từ suy MCB MNB X đó: P     MAD  MND 90o  MCB  900  MCB 180o B A D Vậy tứ giác ADNM nội tiếp đường trịn (T) C Z Ta có AM trục đẳng phương đường trịn đường kính AC đường tròn (T); DN trục Y đẳng phương đường trịn đường kính BD đường trịn (T); XY trục đẳng phương đường trịn đường kính AC đường trịn đường kính BD Vậy theo tính chất tâm đẳng phương, suy AM, DN XY đồng quy Ví dụ (Iran MO 2001) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ( I ),( Ia ) đường tròn nội tiếp bàng tiếp góc A Giả sử IIa cắt BC (O) A ' M Gọi N  trung điểm cung MBA (O) NI , NIa cắt (O) S T Chứng minh ba điểm S, T, A ' thẳng hàng Giải: Ta có 1    s® AS    NIM  NTS  s®NA  s® MN  s® AS 2  I TS I IS Suy tứ giác I TIS nội tiếp đường  a a a  tròn    (C ) o   Mặt khác, IBI nên tứ giác IBIa C nội a  ICI a 90 tiếp đường trịn (C2 ) Ta có IIa trục đẳng phương (C1 ) (C2 ) BC trục đẳng phương (O) (C2 ) TS trục đẳng phương (O) (C1 ) Theo tính chất tâm đẳng phương IIa , BC, TS đồng quy A ' Vậy ba điểm S, T, A ' thẳng hàng S A O I C N B A' T M Ia Ví dụ Cho đường trịn (O;R) hai điểm P, Q cố định (P nằm (O) Q nằm (O)) Dây cung AB (O) qua Q; PA, PB cắt (O) lần thứ hai D, C Chứng minh CD qua điểm cố định Giải: 13 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Dự đoán điểm cố định giao điểm I PQ CD Gọi K giao điểm thứ hai PQ với đường tròn ngoại tiếp    tam giác PAB Khi PDC PBA PKA chứng minh tứ giác IADK nội tiếp Ta có QO  R QA.QB QP.QK , mà P Q cố định nên PQ không đổi suy QK khơng đổi K cố định B P C I K Q O Do tứ giác IADK nội tiếp nên PO  R PA.PD PI PK , A mà P K cố định nên PK không đổi suy PI khơng đổi D I cố định Vậy CD qua điêm I cố định Ví dụ 10 Trên đường trịn (O) cho ba điểm A, B, C cố định cho tam giác ABC cân A  không chứa A (O) cho AM không qua O M điểm di động cung BC Đường trịn (T) có tâm A bán kính AB cắt tia MC D, đường thẳng AD cắt (O) E khác với A Gọi H hình chiếu D AC   a) Chứng minh BDH  MEC 2 b) Gọi I trung điểm AD, d1 đường thẳng qua A vng góc với IO, d2 đường thẳng qua D vng góc với AI Giả sử d1 d2 cắt K Chứng minh K nằm đường thẳng cố định M thay đổi Giải:  a) Ta có MA phân giác góc BMC Gọi M D’ điểm đối xứng với B qua MA, D’ thuộc tia MC Vì AD '  AB nên D’ nằm B đường tròn (T) tâm A bán kính AB D’ giao điểm (khác C) (T) MC Mà N O D giao điểm CM (T) D  D ' Vậy BD  AM I E Gọi N  BD  AM , ta có tứ giác ANDH nội D A tiếp đường trịn đường kính AD H Xét tam giác NDH tam giác MEC, ta có:    (1) NHD NAD  MCE C HND  HAD   CME (2) K Từ (1) (2) suy tam giác NDH đồng dạng   với tam giác MEC BDH  MEC b) Ta có d1 trục đẳng phương đường tròn (I,IA) (O); d2 trục đẳng phương đường tròn (I,IA) (T); BC trục đẳng phương (O) (T) Theo tính chất tâm đẳng phương d1 , d2 BC đồng quy Do giao điểm K d1 , d2 thuộc đường thẳng BC cố định 14 Phương tích điểm đường trịn số ứng dụng Ví dụ 11 Cho tam giác ABC Các phân giác ngồi góc A, B, C cắt cạnh đối diện A1 , B1 , C1 Chứng minh A1 , B1 , C1 thẳng hàng nằm đường thẳng vng góc với đường thẳng nối tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải C1 Gọi A2 , B2 , C2 tam giác tạo ba phân giác ngồi góc A, B, C Khi ta có AA2  B2 C2 , BB2  A2 C2 CC2  A2 B2 C1 B2 Tứ giác BC2 B2 C nội tiếp nên A A1C2 A1 B2  A1 B A1C Tương tự ta có: B1C2 B1 A2  B1 A B1C C2 A1 C1 B2 C1 A2 C1 A.C1 B Suy A1 , B1 , C1 nằm trục đẳng phương đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC đường tròn  T  ngoại tiếp tam giác A2 B2 C2 I B C O A2 Để ý (O) đường tròn Euler tam giác A2 B2 C2 , I trực tâm tam giác A2 B2 C2 , T tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 B2 C2 Từ suy ba điểm I , O, T nằm đường thẳng Euler tam giác A2 B2 C2 Vậy đường thẳng qua A1 , B1 , C1 vng góc với đường thẳng IO Ví dụ 12 Cho tam giác ABC vuông C Gọi H chân đường vng góc hạ từ C tam giác ABC Lấy X điểm nằm đoạn CH, gọi K, L điểm nằm đoạn thẳng AX, BX cho BK = BC AL = AC Giả sử M giao điểm AL BK Chứng minh MK ML Giải 15 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng K' C L' X L K A M H B Ta có K nằm đường trịn (T1 ) tâm B bán kính BC L nằm đường tròn (T2 ) tâm A bán kính AC Gọi K ' giao điểm thứ hai khác K đường thẳng AX với (T1 ) L’ giao điểm khác L BX với (T2 ) Khi CH trục đẳng phương (T1 ) (T2 ) XL XL '  XK XK ' suy K,L,K’,L’ nằm đường trịn (T3 ) 2 Vì BX trục đẳng phương (T3 ) (T2 ) nên BK BC PB /(T2 ) BL.BL ' PB /(T3 ) , suy BK tiếp tuyến (T3 ) K Tương tự, ta có AL tiếp tuyến (T3 ) L Từ suy MK ML Ví dụ 13 Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H W điểm cạnh BC Gọi M, N chân đường vng góc kẻ từ B C; Ký hiệu ( w1 ) đường tròn ngoại tiếp tam giác BWN gọi X điểm ( w1 ) cho XW đường kính ( w1 ) Tương tự, ký hiệu ( w2 ) đường tròn ngoại tiếp tam giác CWM gọi Y điểm ( w2 ) cho YW đường kính ( w1 ) Chứng minh X, Y, H thẳng hàng Giải 16 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng A Y M N w2 Z H X B L C W w1 Gọi L chân đường vng góc kẻ từ A Z giao điểm thứ hai ( w1 ) ( w2 ) Khi ZW trục đẳng phương ( w1 ) ( w2 ) ; BN trục đẳng phương đường tròn ngoại tiếp BNMC với ( w1 ) ; CM trục đẳng phương đường tròn ngoại tiếp BNMC với ( w2 ) Suy  ba đường thẳng BN, CM, ZW đồng quy A, tức A,Z,W thẳng hàng Vì XZW YZW 90o nên X,Y,Z thẳng hàng Ta có AH AL  AB AN  AW AZ H thuộc đường thẳng AW H Z hiển AZ AL  nhiên X,Y,H thẳng hàng Nếu H không thuộc đường thẳng AW từ suy hai AH AW tam giác AHZ AWL đồng dạng với Do AZH  ALW 90o Điều chứng tỏ H, Z, Y thẳng hàng Vậy H, X, Y thẳng hàng Ví dụ 14 (IMO Shortlist 2011) Cho ABC tam giác nhọn với đường tròn ngoại tiếp  Gọi B0 , C0 trung điểm AC AB; D chân đường cao kẻ từ A G trọng tâm tam giác ABC Gọi  đường tròn qua B0 , C0 tiếp xúc với đường tròn (T) điểm X  A Chứng minh D, G, X thẳng hàng Giải Nếu AB  AC kết hiển nhiên Không tổng quát, giả sử AB  AC Gọi 1 đường tròn ngoại tiếp tam giác AB0C0 Khi 1 ảnh  qua phép vị tự tâm A tỉ số Gọi a x tiếp tuyến  lại A X Khi a,x, B0C0 trục đẳng phương ba đường tròn  , 1  nên đồng quy điểm S Vì A D đối xứng qua B0C0 nên SA SD SX , tức S tâm đường tròn  ngoại tiếp tam giác ADX Hơn nữa, ta có tứ giác ASOX nội tiếp 17 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Ký hiệu T giao điểm thứ hai đường thẳng DX với  O A T tâm  O thuộc 1 Sử dụng tính chất góc nội tiếp đường trịn   , ta có:  DAT  ADX  ATD C0 S B0 1  (360o  ASX )  AOX G 2 O 180o  ( ASX  AOX ) 90o B D Suy AD  AT A0 C AT//BC Suy ATCB hình thang cân nội tiếp  X Gọi A0 trung điểm BC Xét phép vị tự V tâm G tỉ số  biến A , B , C A, B, C thành 0 Vì A0 B0C0 D hình thang cân nên V (T ) D T, G, D thẳng hàng Vậy D,G,X thẳng hàng Một số tốn dựng hình Ví dụ Cho hai điểm A, B nằm phía đường thẳng  Hãy dựng đường tròn qua hai điểm A,B tiếp xúc với  Phân tích: Nếu AB//  gọi b đường trung trực AB M giao điểm  b Khi đường trịn ngoại tiếp tam giác ABM đường trịn cần tìm A B M Xét trường hợp AB không song song với  Giả sử dựng đường tròn (C) thỏa yêu cầu Khi gọi I giao điểm AB  M tiếp điểm (C)  Giả sử B nằm A I, IM IA AB A B M2 M1 I E Gọi a đường thẳng qua B vng góc với AB Đường trịn đường kính AI cắt a E 18 Phương tích điểm đường tròn số ứng dụng Khi tam giác AEI vng E có đường cao EB nên IE IA AB Vậy IM IE nên M giao điểm  đường tròn tâm I bán kính IE Suy đường trịn ngoại tiếp tam giác ABM đường tròn cần dựng Số nghiệm hình trường hợp số giao điểm  đường trịn tâm I bán kính IE Việc suy cách dựng chứng minh đơn giản bạn học sinh tự thực Ví dụ a) Cho đường thẳng  đường tròn (O) Gọi A điểm thuộc đường thẳng  Hãy dựng đường tròn (T) tiếp xúc với  A đồng thời tiếp xúc với (O) b) Cho hai đường tròn (O1 ) (O2 ) A điểm đường tròn (O1 ) Hãy dựng đường tròn (T) tiếp xúc với (O1 ) A đồng thời tiếp xúc với (O2 ) a) Phân tích: Giả sử dựng đường trịn (T) thỏa yêu cầu Gọi ( K1 ) , ( K ) hai E đường trịn tiếp xúc với  A cho ( K1 ) cắt (O) E, F ( K ) cắt (O) G, H Khi EF trục đẳng phương (O) O ( K1 ) , GH trục đẳng phương (O) M2 ( K ) ,  trục đẳng phương ( K1 ) ( K ) Theo tính chất tâm đẳng phương F d G T2 K1 M1 H K2 T1 EF, GH  đồng quy I Gọi M tiếp điểm tiếp tuyến qua I với I A (O) Gọi d đường thẳng qua A vng góc với  , a trung trực MA, T giao điểm a d Khi đường trịn tâm T bán kính TA đường trịn cần tìm Số nghiệm tùy thuộc số tiếp điểm M đường thẳng qua I tiếp xúc với  Việc suy cách dựng chứng minh đơn giản bạn học sinh tự thực b) Kẻ tiếp tuyến  (O1 ) A Khi tốn quy câu a) Ví dụ Cho đường tròn (O) hai điểm phân biệt A, B Hãy dựng đường tròn qua hai điểm A, B tiếp xúc với (O) Phân tích: Giả sử dựng đường tròn (T) thỏa yêu cầu Gọi ( K1 ) , ( K ) hai đường trịn qua hai điểm A, B cho ( K1 ) cắt (O) E, F ( K ) cắt (O) G, H Khi EF trục đẳng phương (O) ( K1 ) , GH trục đẳng phương (O) ( K ) ,  trục đẳng phương ( K1 ) ( K ) Theo tính chất tâm đẳng phương EF, GH  đồng quy I 19 Phương tích điểm đường trịn số ứng dụng Gọi M tiếp điểm tiếp tuyến qua I với (O) (T) đường tròn qua ba điểm A, B, M Khi (T) đường trịn cần tìm Số nghiệm tùy thuộc số tiếp điểm M đường thẳng qua I tiếp xúc với  Việc suy cách dựng chứng minh đơn giản bạn học sinh tự thực E M2 G T2 F H K1 M1 K2 T1 I B A Một số tốn biểu thức tọa độ Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) : x  y  x  y  20 0 điểm M (3;4) Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C ) (A, B tiếp điểm) Viết phương trình đường thẳng AB Giải Đường trịn (C ) có tâm I (1;  2) bán kính R 5 A Ta có IM  40  R nên M nằm ngồi đường trịn (C ) Gọi (C ') đường trịn tâm M bán kính M I MA  IM  R  15 Khi (C ') có phương trình: ( x  3)  ( y  4) 15 B  x  y  x  y  10 0 Ta có AB trục đẳng phương (C ) (C ') nên phương trình AB là: x  12 y  30 0   15  15  ; Chú ý: Cũng tìm trực tiếp tọa độ tiếp điểm A   4     15  15  B ;  sau viết phương trình đường thẳng AB Tuy nhiên cách cần 4   nhiều tính tốn phức tạp Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C ) : x  y  x  0 hai điểm A(1;4) , B (5;0) Viết phương trình đường trịn (C ') qua A, B tiếp xúc với (C ) 20