SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi : TỐN (chun) Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : (Đề thi có 01 trang) Câu (2,0 điểm) a 1 2a b ab ab a : a) Cho biểu thức A ab ab 1 ab a 0; b với ab 1 Rút gọn biểu thức A tìm giá trị lớn A a + b = ab b) Tìm tất cặp số nguyên ( x ; y) thỏa mãn đẳng thức x y x y 2 xy Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình x x x 3x 3 x x x x 27 8 x y 18 b) Giải hệ phương trình x x 1 y y2 Câu (1,0 điểm) Cho hai hàm số y 2 x y mx Tìm m để hai đồ thị hai hàm số cho cắt ba điểm phân biệt ba đỉnh tam giác Câu (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM 3MD Kẻ tia Bx cắt cạnh CD I cho ABM MBI Kẻ tia phân giác CBI , tia cắt cạnh CD N a) So sánh MN với AM + NC b) Tính diện tích tam giác BMN theo a Câu (2,0 điểm) Cho đường trịn tâm O, dây cung AB khơng qua O Điểm M nằm cung lớn AB Các đường cao AE, BF tam giác ABM cắt H a) Chứng minh OM vng góc với EF b) Đường trịn tâm H bán kính HM cắt MA, MB C D Chứng minh M di động cung lớn AB đường thẳng kẻ từ H vng góc với CD ln qua điểm cố định Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh a b b c c a 3(a b c ) a b bc ca a b c - HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018-2019 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUN (Bản hướng dẫn gồm 04 trang) Câu Nội dung Câu a 1 2a b ab ab a : , a) Cho biểu thức A ab ab 1 ab (2,0) với a 0; b ab 1 Rút gọn biểu thức A tìm giá trị lớn A a + b = ab a 2a b ab : ab ab 2(1 a ) ab (1 a ) ab 1,0 0,25 A Khi a 0; b , Điểm 0,25 a + b = ab a+ b 1 1 1 1 1 ab a b a b 0,25 1 1 ) Dấu “ = “ xảy b 4; a 4 Vậy giá Do A (1 b 2 b b 0,25 trị lớn A a b 4 b) Tìm tất cặp số nguyên ( x ; y) thỏa mãn đẳng thức x y x y 2 xy 1,0 - Với y 0 , ta có x 0 - Với y 0 , ta có: 2 2 2 2 x y x y 2 xy x y 5y ( x y ) x ( x y )2 y a2 a x a 5 x 3 x a 5 x 3 x x a 1 y Khi x = y y 0 y 3 y 1 Khi x = -3 y y 0 y Vậy x; y 0;0 ; 3; 1 ; 3;3 ; 3;1 ; 3; Câu Nội dung Câu a) Giải phương trình x x x 3x 3x x x x Đặt a x x 3; b x 3x 2; c 3x x 2; d x x 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 1,0 0,25 (2,0) Ta có a b c d 3 3 a b c d (1) (2) 3 (2) a b 3ab a b c d 3cd c d 0,25 a b ab a b cd a b ab cd -Với a b , ta có 69 x x x x x x x 0 69 x 0,25 -Với ab cd , ta có 11 11 x 3 x 3x 3x x x x x 0;1; ; 2 0,25 11 11 69 69 Vậy pt có nghiệm x 0; x 1; x ; x ;x ;x 2 2 27 8 x y 18 b) Giải hệ phương trình 1,0 x x 1 y y 27 3 x 18 (2 x ) 18 y3 y 0,25 x x 3 2 x x 1 y y y y x Đặt a 2 x ; b = a3 b3 18 Ta có y ab(a b) 3 a b 3 ab 1 3 3 3 3 ;b ;b Giải tìm a a 2 2 3 3 ; ; ; Tìm nghiệm x; y hệ 0,25 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Câu Cho hai hàm số y 2 x y mx Tìm m để hai đồ thị hai hàm số cho cắt ba điểm phân biệt ba đỉnh tam giác 1,0 (1,0) Phương trình hoành độ giao điểm m m 2 x mx x m x 0 x 0; x ; x 2 0,25 m m2 m m2 Gọi ba giao điểm O (0;0); A ; ; B ; H giao điểm AB trục 2 2 0,25 m tung, suy AB m ; OH m2 Tam giác OAB OH 0,25 AB m 2 Giải tìm m 0; m 3; m , loại m 0 Vậy m 3; m 0,25 Câu Nội dung Câu a) So sánh MN với AM + NC (2,0) Hình vẽ phục vụ câu a) A B Trên cạnh BI lấy điểm H cho BH = BA = a ΔABMΔHBMABM ΔABMΔHBMHBM ΔABMΔHBMHBN ΔABMΔHBMCBN Suy BHM BAM 900 ; BHN BCN 900 Suy M; H; N thẳng hàng, M MN = MH + HN = AM + NC H D I C N Điểm 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 Ghi chú: khơng có hình khơng chấm b) Tính diện tích tam giác BMN theo a 1,0 Đặt NC x MN AM NC a x ; DN a x 0,25 a2 3 Theo định lí Pitago MN MD DN a x a x 16 4 a Giải tìm x 1 3 a 25 Diện tích tam giác BMN BH MN a a a 2 4 56 2 Câu Nội dung Câu a) Chứng minh OM vng góc với EF (2,0) Hình vẽ phục vụ câu a (khơng tính điểm hình vẽ câu b, khơng có hình khơng chấm) 0,25 0,25 0,25 Điểm 1,0 0,25 x x M M E F H E F O H A B A O I C D B K N Tứ giác ABEF có AEB AFB 900 nên nội tiếp đường tròn MEF FAB Từ M kẻ tia tiếp tuyến Mx với đường trịn tâm O (như hình vẽ), ta có Suy xMB xMB MAB FAB MEF Mx / / EF Theo tính chất tiếp tuyến đường trịn, ta có MO Mx MO EF b) Chứng minh M di động cung lớn AB đường thẳng kẻ từ H vng góc với CD ln qua điểm cố định Kẻ đường kính MN đường trịn tâm O Tứ giác AHBN có AH song song với NB (cùng vng góc với MB), có BH song song với NA (cùng vng góc với MA) nên hình bình hành Suy HN cắt AB trung điểm I đoạn Do MH / / OI ; MH 2.OI Gọi K điểm đối xứng O qua I, suy OK = 2OI điểm K cố định Tứ giác MHKO có MH, OK song song ( gấp đôi OI) nên hình bình hành Suy HK / / MO Xét đường trịn tâm H bán kính HM, theo tính chất đường kính vng góc với dây cung, suy E trung điểm MD F trung điểm MC Do EF / / CD MO CD HK CD Vậy M động cung lớn AB đường thẳng kẻ từ H vng góc với CD ln qua điểm cố định K Câu Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng; a b b c c a 3(a b c ) (1,0) a b bc ca a b c 2 a b b c c a 3(a b c ) Với ba số thực dương a, b, c ta có (1) a b bc ca a b c a b2 b2 c2 c2 a 2 a b c 3(a b c ) a b bc ca c a b2 a b c 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 a b c b c a a b c c a b2 0,25 bc a ca a b2 c b b c2 a 0 a b bc ca ac c a bc c b ab b a bc b c ab a b ac a c 0 a b a b ca ca b c b c 0,25 2 ac c a bc c b ab b a 0 (2) 0,25 a b b c a b a c a c b c Với ba số thực dương a, b, c ta có (2) ln Vậy (1) ln (đpcm) 0,25 * Lưu ý: Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án giám khảo cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định