de TS toan 10 chuyen quang nam 2017 2018

thuvienhoclieu.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi : TỐN (Tốn chun) Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 11/7/2017 Câu (2,0 điểm) A a) Cho biểu thức 3x 2x   2x  x  4x  A  x x  x   4x  1 với x  x 3x Rút gọn biểu thức A tìm x để b) Tìm tất cặp số nguyên (a ; b) thỏa mãn đẳng thức 9a  6a  b  Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình  2x2  x  x  1  3  x2  y2  x  y  xy   2 b) Giải hệ phương trình (x  y )(xy  1)   (x  y) Câu (1,0 điểm) Cho parabol (P): y  x đường thẳng (d): y  ax b Tìm a b để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B cho A có hồnh đợ bằng khoảng cách từ A đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ B đến trục tung Câu (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD, điểm E nằm cạnh BC (E khác B , E khác C) Hai đường thẳng AE CD cắt tại F 1   AF AB2 a) Chứng minh AE b) Gọi G trọng tâm của tam giác ACD I trung điểm của cạnh AD Điểm M AD AC   3; ID , MG AC AM AN N di động đoạn thẳng đường thẳng cắt tại Chứng minh AM AD AM AN trường hợp giá trị của tích nhỏ nhất, tính tỉ số Câu (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB  AC) nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H Ba điểm D, E, F lần lượt chân đường cao vẽ từ A, B, C của tam giác ABC Gọi M trung điểm của cạnh BC, K giao điểm của EF BC Đường thẳng AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N a) Chứng minh tứ giác BFNK nợi tiếp đường trịn HK vuông góc với AM b) Lấy điểm L cung nhỏ BC của đường tròn (O) ( L khác B, L khác C ) Gọi P giao điểm của AL BE, Q giao điểm của BL AD Chứng minh đường thẳng DE cách đều hai điểm P Q Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com 3 Tìm giá trị lớn của biểu thức P  x yz  y zx  z xy - HẾT - Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017-2018 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUN (Bản hướng dẫn gồm 05 trang) Nội dung Câu Câu (2,0) A a) Cho biểu thức 3x 2x  x   2x  4x 1  A 3x Rút gọn biểu thức A tìm x để 3x 2x A   x 1 x 2 x 1 x 1      3x  x  1  x  x    x    x  2  x  1  x  1 Với x  x A  3x 4:   x   Điểm x x  x   x  1  với x  x x  x 1,0  0,25 x  2 x 1 x 1 4x x  x  x   x  1   x  x  1  x   x  1  x x 2 0,25 x   3x x  x   x  3x (*) 0,25 Đặt t  x  t  0, t  /  Phương trình (*) trở thành: 0,25 3t  t    (t  1)(3t  3t  2)   t   x  (thỏa điều kiện) b) Tìm tất cặp số nguyên ( a ; b) thỏa mãn đẳng thức 9a  6a  b  1,0 9a  6a  b3   9a  6a   b3   (3a  1)  b  (*) Vì (3a  1)  nên b   hay b  1 + Với b  1 : Từ (*) suy ra: a 0,25 (không thỏa) + Với b  : Vì (3a  1) số phương nên b  số phương 0,25  b2  b     b3   (b  1)(b  b  1)  (b  1)2    (b  1)2  b     b 1  b 1     N  b   0;2 ( b  1) + Do b  số phương khác nên b  b   a  + Với (thỏa) b2a  a (cả giá trị a không thỏa) 0,25 + Với Vậy (a ; b)  (0;0) cặp số thỏa yêu cầu 3 * Cách khác: 9a  6a  b   9a  6a   b   (3a  1)  b  (*) (0,25) Vì (3a  1)  nên b   hay b  1 + Xét b  1 không thỏa (*) + Xét b  , từ (*) suy a  + Xét b  không thỏa (*) thuvienhoclieu.com 0,25 (0,25) Trang thuvienhoclieu.com 2 + Xét b  : Ta có: (3a  1)  b   (3a  1)  (b  1)(b  b  1) 2 Gọi d = ƯCLN (b  1, b  b  1) Vì b  b   b(b  1)  2(b  1)  nên 3Md (0,25) Hơn (3a  1) không chia hết d  Do đó d  2 Lại có (3a  1)  (b  1)(b  b  1) nên b  b  b  đều hai số phương 2 2 Mặt khác: (b  1)  b  b   b (vì b  ) nên b  b  khơng phải số phương Vậy (a; b)  (0;0) cặp số cần tìm Câu Câu 2x2  x (2,0) a) Giải phương trình  Nội dung  x  1   Điểm 1,0 (1) (1)  x  x   x x    ( x  3)  x x   x  (2) 2 Đặt t  x  (t  0) , phương trình (2) trở thành: t  xt  x   t   x t  x x   13  x       13  x  2  x   ( x) x    Với t   x x    x Với t  x  x  x     x   2x  x   (2 x)  x  hc x  3/  x  (1)  x  x x   x    x  x x   x x   ( x  3)       x  x   x  x   Giải phương trình x  x   tìm x  Giải phương trình x  x   tìm (0,25)  x  y  x  y  xy   ( x  y )( xy  1)   ( x  y )2 b) Giải hệ phương trình  ( x  y )2  x  y  xy     ( x  y )  xy  ( xy  1)   ( x  y)  xy    Hệ phương trình cho tương đương với:  (1)  P  0,25 (0,25)  13 kết luận Đặt S  x  y, P  xy , hệ phương trình trở thành: 0,25 (0,5)  x(2 x  x  3)  x  x  x    x  x  x  x   x 0,25 0,25  13 x  1, x  Vậy phương trình cho có hai nghiệm: * Cách khác: Điều kiện: x  3  (0,25) 1,0 0,25  S  S  3P  (1)  2 ( S  P )( P  1)   S  P (2) S2  S  (3) 0,25 Thay (3) vào (2) biến đổi được: S  S  S  6S   S ( S  2)( S  S  3)   S  S  + S   P  1 Giải ( x; y )  (1; 1) ( x; y)  ( 1;1) + S   P  Giải ( x; y )  (1;1) 0,25 0,25 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (1;1) , (1; 1) , (1;1) * Cách khác: thuvienhoclieu.com (0,5) Trang thuvienhoclieu.com 2 2 2 2 Ta có: (2)  ( x  y )( xy  1)   xy  ( x  y )  ( x  y )( xy  1)  ( x  y )  2( xy  2)   ( x  y )( xy  2)  2( xy  2)   ( xy  2)( x  y  2)   xy  2 x  y  + Với xy  2 ta có hệ:  x  y  x  y  xy  ( x  y )  ( x  y )  xy  ( x  y )  ( x  y )   (0,25)       xy  2  xy  2  xy  2 (vô nghiệm) 2 + Với x  y  ta có hệ:  x  y  x  y  xy  ( x  y )  xy  ( x  y )  xy   xy  ( x  y )        2 2  x  y   x  y  ( x  y )  xy  ( x  y)  2( x  y )  x  y  x  y  x  x   x  1       xy   y   y  1  y   xy  1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: (1;1) , (1; 1) , ( 1;1) (0,25) Câu Nội dung Điểm Câu Cho parabol ( P): y  x đường thẳng (d ): y  ax  b Tìm a b để (d ) cắt ( P) tại hai (1,0) điểm phân biệt A, B cho A có hồnh đợ bằng khoảng cách từ A đến trục tung 1,0 bằng hai lần khoảng cách từ B đến trục tung + A thuộc (P) có hồnh đợ bằng nên A(2;4) 0,25 d qua A(2;4) nên  2a  b  b   2a Suy (d ) : y  ax  2a  + Phương trình hồnh đợ giao điểm của (P) (d): x  ax  2a    x  x  a  (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi: a   hay a  Hoặc: + Phương trình hồnh đợ giao điểm của (P) (d): x  ax  2a   (*) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt phương trình (*) có nghiệm phân biệt     (a  4)2   a  (được 0,25) + Khi đó hồnh đợ của A B lần lượt là: x A  2, xB  a  d ( A; Oy )  2d ( B; Oy )  x A  xB   a   a 1 0,25 a  Vậy a = 1; b = a = 3; b = –2 Câu 1 Câu   2 (2,0) a) Chứng minh AE AF AB * Cách 1: A I N G M D * Cách 2: C' Nội dung Điểm 0,75  AF  2  AB   AB      1  AE   AF  AB 0,25 AB AB AD  cos  ,   sin  0,25 ·BAE  AFD ·   Ta có: AE AF AF Đặt E D' K 0,25 AE B 0,25 C F  AB   AB  2      cos   sin   AE AF    Vậy:  0,25 Ghi chú: khơng có hình khơng chấm AE  AF  AB  AB AE thuvienhoclieu.com  AB AF 1  DC AE  AD AF 1 Trang (0,25) thuvienhoclieu.com AE DC DC DF    AF DF AE AF Ta có: (0,25) DC AD DF AD2 DF  AD AF       AF AF AF AF AF Vậy: AE * Cách 3: A B E C D J F (0,25) Dựng đường thẳng qua A, vuông góc với AE cắt đường thẳng CD tại J (0,5) + Chứng minh hai tam giác ADJ ABE bằng Suy AJ=AE + Trong tam giác vuông AJF có: 1 1 1 (0,25)      2 2 AD AJ AF AB AE AF AD AC   3; AM AN b) Chứng minh trường hợp tích AM AN nhỏ nhất, tính tỉ số Hình vẽ phục vụ câu b (khơng có hình khơng chấm) AM AD 1,25 0,25 AD AC  3 * Khi M trùng I M trùng D ta có: AM AN * Trường hợp M khác I M khác D: Gọi K trung điểm của CD Dựng CC’//MG, DD’//MG (C’, D’ thuộc AG) 0,25 AD AD ' AC AC ' AD AC AD ' AC ' AD ' AC '  ,      AG Khi đó: AM AG AN AG Do đó AM AN AG AG AD AC AK     Hai tam giác KDD’ KCC’ bằng nên KC’=KD’ Suy AM AN AG Ta có: 3 AD AC AD AC  AM.AN  AD.AC +  AM AN AM AN 0,25 (AD, AC không đổi) AD AC AM AG =  MN//DC =  Đẳng thức xảy AM AN hay MG//DC Khi đó: AD AK AM  Vậy AM.AN nhỏ AD A B I M D G P N K MD  HC  PK  AM H 0,25 0,25 AD AC  3 AM AN * Chứng minh bằng cách khác: Gọi H giao điểm của MN BC, P trung điểm của MH (0,25) AD MD AC NC HC  1 ,  1  1 AM AM AN AN AM AD AC MD HC MD  HC    2   2 C AM AN AM AM AM PK GK AD AC AM     2 3 AM GA ) Suy AM AN AM (vì Lưu ý: M trùng D I, ta vẫn có HC+MD=2PK Câu Nội dung Câu a) Chứng minh tứ giác BFNK nợi tiếp đường trịn HK vuông góc với AM thuvienhoclieu.com Trang (0,25) Điểm 1,25 thuvienhoclieu.com (2,0) Hình vẽ phục vụ câu a (khơng tính điểm hình vẽ câu b, khơng có hình khơng chấm) A A E N E F B K H D P O 0,25 O I B C M L J S C D Q · · KNB=ACB (vì tứ giác ANBC nợi tiếp) ·KFB=ACB · 0,25 (vì tứ giác BCEF nội tiếp) · · Suy KNB=KFB Do đó tứ giác BFNK nội tiếp + Hai tam giác KNB KCA đồng dạng nên KN.KA = KB.KC + Hai tam giác KBF KEC đồng dạng nên KF.KE = KB.KC KN KE = Suy KN.KA = KF.KE hay KF KA · · NKF=EKA 0,25 · · Suy KNF=KEA Do đó tứ giác ANFE nội tiếp 0,25 Hơn Do đó hai tam giác KNF KEA đồng dạng Suy A, N, F, H, E nằm đường trịn đường kính AH Do đó NH  AK + Tia NH cắt đường trịn (O) tại S, AS đường kính của (O) + Chứng minh tứ giác BHCS hình bình hành Suy HS qua trung điểm M của BC Suy N, H, M, S thẳng hàng Khi đó H trực tâm của tam giác AKM Vậy HK  AM b) Chứng minh đường thẳng DE cách đều hai điểm P Q 0,25 0,75 · · + Hạ PI QJ vuông góc với đường thẳng DE lần lượt tại I, J Đặt LAC=LBC=α 0,5 · · =(AB.cosA).tanα.cosB=AB.cosA.cosB.tanα PI=EP.sinPEI=AE.tanα.sinBAD · · QJ=QD.sinQDJ=BD.tanα.sinABE =(AB.cosB).tanα.cosA=AB.cosA.cosB.tanα 0,25 Suy PI=QJ Vậy P Q cách đều đường thẳng DE Ghi chú: Nếu thí sinh xét trường hợp giải trường hợp A, D, L thẳng hàng 0,25 Nếu khơng chia trường hợp mà vẽ hình đặc biệt A, D, L thẳng hàng để giải khơng cho điểm Câu Cho số thực dương (1,0) 3 x, y , z thỏa x  y  z  Tìm giá trị lớn của P  x yz  y zx  z xy 1,0 Ta có: (a  b  c )  3(ab  bc  ca ) với a, b, c số thực (dấu bằng xảy a=b=c) Áp dụng bất đẳng thức với a  xy, b  yz , c  zx (x, y, z > 0) ta được: ( xy  yz  zx)2  3( y zx  z xy  x yz )  xyz ( x  y  z )  Ta có: P  xyz ( x  y  z )  ( xy  yz  zx) ( xy  yz  zx)  xyz  ( xy  yz  zx )2 (x  y2  z2 ) 0,25 0,25  ( xy  yz  zx )( xy  yz  zx)( x  y  z ) 3  ( xy  yz  zx )  ( xy  yz  zx )  ( x  y  z )   ( x  y  z)2   32    3          9     P   x  y  z  Vậy giá trị lớn của P bằng x  y  z  * Lưu ý: thuvienhoclieu.com Trang 0,25 0,25 thuvienhoclieu.com Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án vẫn cho đủ số điểm từng phần hướng dẫn quy định thuvienhoclieu.com Trang ... sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017- 2018 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUYÊN (Bản hướng dẫn gồm 05 trang)... của tam giác AKM Vậy HK  AM b) Chứng minh đường thẳng DE cách đều hai điểm P Q 0,25 0,75 · · + Hạ PI QJ vuông góc với đường thẳng DE lần lượt tại I, J Đặt LAC=LBC=α 0,5 · · =(AB.cosA).tanα.cosB=AB.cosA.cosB.tanα... QJ=QD.sinQDJ=BD.tanα.sinABE =(AB.cosB).tanα.cosA=AB.cosA.cosB.tanα 0,25 Suy PI=QJ Vậy P Q cách đều đường thẳng DE Ghi chú: Nếu thí sinh xét trường hợp giải trường hợp A, D, L thẳng hàng 0,25 Nếu khơng chia