de TS toan 10 chuyen quang nam 2019 2020

thuvienhoclieu.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi : TỐN (Tốn chun) Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Khóa thi ngày: 10-12/6/2019 Câu (2,0 điểm)  x 2 x   x2  x x  x 1 A   x  x 1 x x 1  x 3  a) Cho biểu thức với x  Rút gọn biểu thức A tìm x để A  4n 4n b) Chứng minh với số nguyên dương n , số M  9.3  8.2  2019 chia hết cho 20 Câu (1,0 điểm) Cho parabol ( P) : y   x đường thẳng (d ) : y  x  m  Tìm tất giá trị tham số m để ( d ) cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn x12  x22  Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình x  x  x   x  3  x  y  x  y   2 b) Giải hệ phương trình  x  y  xy  y  13 Câu (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn Gọi H, K hình chiếu vng góc C lên đường thẳng AB, AD a) Chứng minh AB.AH  AD.AK  AC b) Trên hai đoạn thẳng BC, CD lấy hai điểm M, N ( M khác B, M khác C ) cho hai tam giác ABM ACN có diện tích nhau; BD cắt AM AN BM DN  1 tại E F Chứng minh BC DC BE  DF  EF Câu (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB  AC) nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H Ba điểm D, E, F chân đường cao vẽ từ A, B, C tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC, P giao điểm EF BC Đường thẳng DF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF tại điểm thứ hai K a) Chứng minh PB.P C  PE.PF KE song song với BC b) Đường thẳng PH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF tại điểm thứ hai Q Chứng minh tứ giác BIQF nội tiếp đường tròn Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2  a   b2    b   c2    c   a2   P    ab  a  bc  b  thuvienhoclieu.com ca  c  Trang thuvienhoclieu.com - HẾT Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2019-2020 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUN (Bản hướng dẫn gồm 05 trang) Câu Câu (2,0) Nội dung Điểm  x 2 x   x  x x  x 1 A     x  x 1 x x 1  x 3   a) Cho biểu thức với x  Rút gọn biểu thức A tìm x để A   x 2 x 8   Ta có: x  x  x x   x2  x x  x   Do đó: A A6   x 2  x 3 x x 1  x 1  x 2    x 1  x  1,25  0,25 x x 1 x x 6 x x 1    x 2   x 3  x x 1 0,25 x 1 x x 1    0,25  x 1 x x 1 x 3   x 2 6  x 3 x 4 0   x 2  x 4 0 x 1  x 1  0,25  0,25  x    x  16 (không đối chiếu điều kiện x  được) 4n 4n b) Chứng minh với số nguyên dương n , số M  9.3  8.2  2019 chia hết cho 20   M  92 n1  12 n 1  2.42 n1  2020 Câu (1,0) 0,75  92n1  12n1  M  1 , 2.42n1M8, 2020M4  M M4 M   92n1  42n1    42 n1  12 n1   2020  92n1  42n1  M  4 ,  42n1  12n1  M  1 , 2020M5  M M5 0,25 Mặt khác nguyên tố nên M M20 0,25 0,25 Cho parabol ( P ) : y   x đường thẳng (d ) : y  x  m  Tìm tất giá trị tham số m để (d ) cắt ( P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn 1,0 x12  x22  Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) (d ) là:  x  x  m  0,25  x  x  m   (1) (d ) cắt ( P) tại hai điểm phân biệt phương trình (1) có nghiệm phân biệt, tức là:  '    4( m  2)   m  (*) x12  x22    x1  x2   x1x2    2(m  2)    2m    m  thuvienhoclieu.com 0,25 0,25 0,25 Trang thuvienhoclieu.com Kết hợp với điều kiện (*) suy ra: Câu Câu (2,0) 1 m  Nội dung Điểm a) Giải phương trình x  x  x  4( x  3) (1) 1,0 2 Đặt t  x  x , t  (Điều kiện: x  x  0,25) 0,25 PT (1) trở thành: t  t  12  (chỉ cần thay t khơng cịn chứa x )  t  3 (loại) t  (thỏa t  ) 0,25 (Nếu không loại t  3 , bước có xét t  3 phương trình bước 0,25) Với t  x  x  3 vô nghiệm x  x   x  x  16  x  x  16   x   * Trình bày khác: Điều kiện: x  x  0,25 0,25 (0,25) (0,5) (1)   x  x   x  x  12    (0,25)  x  x  3 (vô nghiệm) x2  x  (0,25)  x  x  16  x  x  16   x   (0,25) Ghi chú: Nếu thí sinh khơng đặt điều kiện giải hồn tồn điểm tối đa  x  y  x  y   x  y  xy  y  13 b) Giải hệ phương trình  Hệ phương trình cho tương đương với: Suy ra: 2 x  y  x  y   2  x  y  xy  y  13 0,25 x  y  xy  x  y  7  x  2(2 y  4) x  y  y    x  y  + Với x  y  ta có hệ:  x  y  x  y   y  y   x     y 1  x  y   x  y  + Với 1,0 x  y 1 hoặc x  5 y  0,25  x  4   y  3 0,25 ta có hệ:  26  10 13 x   x  y  x  y  13 y  26 y    13    x   y  x   y  13  13     y  13 Vậy hệ PT có nghiệm:  26  10 13 x   13  13  13   y  13 0,25  26  10 13 13  13   26  10 13 13  13  ; ;       13 13 13 13 (0;1) (4; 3)     , , , ( x  2)  ( y  1)   ( x  y )  3(y  1)  16 * Cách khác: Hệ phương trình cho tương đương với:  a  b  (1)  (a  2b)  3b  16 Đặt a  x  2, b  y  , hệ phương trình trở thành:  thuvienhoclieu.com Trang (0,25) (0,25) thuvienhoclieu.com  2a  2b2  16  2 (a  2b)  3b  16  a  4ab  5b2   a  b a  5b Thay a  b vào (1) ta được: 2b   b  2 Với b  a  Suy ra: x  0, y  Với b  2 a  2 Suy ra: x  4, y  3 Thay a  5b vào (1) ta được: Với Với Câu Câu (2,0) 13 b 13 b 13 13 26b2   b   10 13 a 13 a Suy ra: 10 13 13 Suy ra: 13 13 (0,25) 26  10 13 13  13 x , y 13 13 26  10 13 13  13 , y 13 13 x (0,25) Nội dung Điểm Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn Gọi H, K hình chiếu vng 1,25 góc C lên đường thẳng AB, AD a) Chứng minh AB.AH  AD.AK  AC Hình vẽ phục vụ câu a (chưa vẽ đường phụ vẽ 0,25 0,25) BL  AC, DI  AC  L, I  AC  0,25 Dựng Hai tam giác vuông ABL ACH đồng dạng nên: AB AL   AB.AH  AC.AL AC AH (Chỉ cần nêu hai tam giác ABL ACH đồng dạng, Lưu ý: Khơng có hình khơng chấm 0,25 không cần chứng minh) Hai tam giác vuông ADI ACK đồng dạng nên: AD AI   AD.AK  AC.AI AC AK (Chỉ cần nêu hai tam giác ADI ACK đồng dạng, không cần chứng minh) Mà AI  CL nên: AB.AH  AD.AK  AC(AL  AI)  AC(AL  CL)  AC * Cách khác: 0,25 0,25   Dựng Hai tam giác vuông ABL ACH đồng dạng nên: (0,25) AB AL   AB.AH  AC.AL AC AH (1) BCL CAK Hai tam giác vuông đồng dạng nên: BC CL   BC.AK  CA.CL  AD.AK  AC.CL CA AK (2) (0,25) BL  AC L  AC Từ (1) (2) suy ra: AB.AH  AD.AK  AC (0,25) (0,25) b) Trên hai đoạn thẳng BC, CD lấy hai điểm M, N ( M khác B, M khác C ) 0,75 cho hai tam giác ABM ACN có diện tích nhau; BD cắt AM AN tại BM DN  1 F E Chứng minh BC DC BE  DF  EF thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com SABM  SACN  SABM SACN BM CN    SABC SACD BC CD 0,25 BM DN CN DN DC     1 BC DC DC DC DC BE  a, DF  b, EF  c Đặt BM BM BE a    BM / /AD BC  AD BC AD DE b c Vì nên: DN DN DF b    Vì D N / /AB DC  AB nên: DC AB BF a  c a b  1 Suy ra: b  c a  c  a(a  c)  b(b  c)  (a  c)(b  c)  0,25 0,25  a  ab  b  c  a  2ab  b  c   a  b   c  a  b  c Vậy BE  DF  EF Câu Câu (2,0) Nội dung Điểm Cho tam giác nhọn ABC (AB  AC) nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H Ba điểm D, E, F chân đường cao vẽ từ A, B, C tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC, P giao điểm EF BC Đường thẳng DF cắt đường tròn 1,25 ngoại tiếp tam giác HEF tại điểm thứ hai K a) Chứng minh PB.P C  PE.PF KE song song với BC Hình vẽ phục vụ câu a (chỉ cần phục vụ hai ý câu a 0,25) 0,25 Lưu ý: Khơng có hình khơng chấm o · · Ta có: BEC  BFC  90  Tứ giác BCEF nội tiếp đường trịn đường kính BC · · PFC PEB  PCF PBE P 0,25 PB PE    PB.PC  PE.PF PF PC (1) o ·BDH  BFH ·  90 nên tứ giác BDHF nội tiếp Vì Tứ giác HEKF nội tiếp · · · · · EBC  HBD  HFD  HEK  BEK  KE / /BC 0,25 Hai tam giác Ta có: có góc chung nên chúng đồng dạng 0,25 0,25 b) Đường thẳng PH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF tại điểm thứ hai Q 0,75 Chứng minh tứ giác BIQF nội tiếp đường tròn thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com · · Hai tam giác PHE PFQ có góc P chung PEH  PQF nên chúng đồng dạng PH PE   PH.PQ  PE.PF PF PQ (2) Từ (1) (2) suy ra: PB.P C  PH.PQ  PB PQ  Hai tam giác PBQ PHC có góc P chung PH PC nên chúng đồng dạng · · · ·  PQB  PCH hay HQB  BCH  Tứ giác BCQH nội tiếp · · · · · · 0,25 · Từ đó: FQB  FQH  HQB  FEH  HCB  2FCB  FIB Vậy tứ giác BIQF nội tiếp đường tròn Câu Câu (1,0) 0,25 0,25 Nội dung Điểm Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2  a   b2    b   c    c   a   P    ab  a  bc  b  1,0 ca  c   Ta có:  a  b Đẳng thức xảy khi: (không nêu được) 1 a  2  b   a  b  2a   2ab  2a    a   b2  ab  a   0,25 2ab  2a     1   ab  a   ab  a   0,25 1 1 1      ab  a   ab  a  1   ab  a     a   b2  11 1 1 1  11 1 1 1        ab  a  4  ab  a   12 ab  a  ab  a  ab  a  Đẳng thức xảy khi: a  b  (không nêu được) Tương tự, xét hai biểu thức P   b   c2  ,   c   a2  bc  b  ca  c  0,25 ta suy ra: 11  1       2  ab  a  bc  b  ca  c   1   1 Vì a.b.c  nên ab  a  bc  b  ca  c  Do đó: P  P   a  b  c 1 Vậy giá trị nhỏ P a  b  c  thuvienhoclieu.com 0,25 Trang thuvienhoclieu.com * Lưu ý: Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định thuvienhoclieu.com Trang ... sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2019- 2020 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUN (Bản hướng dẫn gồm 05 trang)... 8.2  2019 chia hết cho 20   M  92 n1  12 n 1  2.42 n1  2020 Câu (1,0) 0,75  92n1  12n1  M  1 , 2.42n1M8, 2020M4  M M4 M   92n1  42n1    42 n1  12 n1   2020 ... Câu Câu (2,0) 13 b 13 b 13 13 26b2   b   10 13 a 13 a Suy ra: 10 13 13 Suy ra: 13 13 (0,25) 26  10 13 13  13 x , y 13 13 26  10 13 13  13 , y 13 13 x (0,25) Nội dung