SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2012-2013 Khóa thi: Ngày tháng năm 2012 Mơn: TỐN (Chun Tốn) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (1,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A = b) Cho x = a − a −6 − 4−a a −2 (với a ≥ a ≠ 4) 28 − 16 Tính giá trị biểu thức: P = (x + 2x − 1) 2012 −1 Câu 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 3(1 − x) − + x = x + xy − 4x = −6 b) Giải hệ phương trình: y + xy = −1 Câu 3: (1,5 điểm) Cho parabol (P): y = − x2 đường thẳng (d): y = (3 − m)x + − 2m (m tham số) a) Chứng minh với m ≠ −1 (d) ln cắt (P) điểm phân biệt A, B b) Gọi yA, yB tung độ điểm A, B Tìm m để |yA − yB| = Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = cm, AD = cm Đường thẳng vng góc với AC C cắt đường thẳng AB AD E F a) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp đường tròn b) Gọi I giao điểm đường thẳng BD EF Tính độ dài đoạn thẳng ID c) M điểm thay đổi cạnh AB (M khác A, M khác B), đường thẳng CM cắt đường thẳng AD N Gọi S1 diện tích tam giác CME, S diện tích tam giác AMN Xác định vị trí điểm M để S1 = S2 Câu 5: (1,0 điểm) Cho a, b hai số thực không âm thỏa: a + b ≤ Chứng minh: + a − 2b + ≥ + a + 2b - Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2012-2013 Khóa thi: Ngày tháng năm 2012 Mơn: TỐN (Chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Câu (1,5 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Bản hướng dẫn gồm 03 trang) Nội dung a − a −6 − 4−a a −2 ( a + 2)( a − 3) − A= (2 + a )(2 − a ) a −2 a) (0,75) A = = (a ≥ a ≠4) a −3 + 2− a 2− a = −1 (4 − 3) −1 = − ( − 1) = −1 = −1 −1 ⇒ x + 2x − = ⇒ P = (x + 2x − 1) 2012 = Câu (2,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 28 − 16 Tính: P = (x + 2x − 1) 2012 −1 b) (0,75) Cho x = x= Điểm 0,25 0,25 0,25 a) (1,0) Giải phương trình: 3(1 − x) − + x = (1) Bình phương vế (1) ta được: 3(1 − x) + + x − 3(1 − x)(3 + x) = ⇒ 0,25 3(1 − x)(3 + x) = − x ⇒ 3(1 − x)(3 + x) = − 2x + x ⇒ x + x − = ⇒ x = x =−2 Thử lại, x = −2 nghiệm 0,25 0,25 0,25 x + xy − 4x = −6 (1) b) (1,0) Giải hệ phương trình: (I) y + xy = − (2) Nếu (x;y) nghiệm (2) y ≠ Do đó: (2) ⇔ x = −y −1 (3) y Thay (3) vào (1) biến đổi, ta được: 4y3 + 7y2 + 4y + = ⇔ (y + 1)(4y2 + 3y + 1) = (thí sinh bỏ qua bước này) ⇔y = – y = – ⇒x = Vậy hệ có nghiệm: (x ; y) = (2 ; −1) Câu Câu (1,5 điểm) Nội dung a) (0,75) (P): y = − x , (d): y = (3 − m)x + − 2m Chứng minh với m ≠ −1 (d) ln cắt (P) điểm phân biệt A, B 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm Phương trình hoành độ giao điểm (P) (d): − x2 = (3 − m)x + − 2m ⇔ x2 + (3 − m)x + − 2m = (1) ∆ = (3−m)2 − 4(2 − 2m) = m2 + 2m + Viết được: ∆ = (m + 1)2 > 0, với m ≠ − kết luận b) (0,75) Tìm m để |yA − yB| = Giải PT (1) hai nghiệm: x1 = − x2 = m − Tính được: y1 = − 4, y2 = −(m − 1)2 |yA − yB| = |y1 − y2| = |m2−2m−3| |yA − yB| = ⇔ m2−2m−3 = m2−2m−3 = −2 ⇔ m = ± m = ± Câu (4,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 a) (1,0) Chứng minh tứ giác EBDF nội tiếp đường tròn Ta có: · · ADB = ACB · · · ( phụ với BAC ) AEC = ACB · · ⇒ ADB = AEC ⇒ tứ giác EBDF nội tiếp 0,25 0,25 0,25 0,25 b) (1,5) Tính ID Tam giác AEC vng C BC ⊥ AE nên: BE.BA = BC2 0,25 BC =1 BA IB BE BE//CD ⇒ = = ID CD BD ⇒ = ID 4 ⇒ ID = BD tính được: BD = ⇒ ID = (cm) ⇒ BE = Câu Câu (tt) 0,25 0,25 0,25 Nội dung c) (1,5 điểm) Xác định vị trí điểm M để S1 = Đặt AM = x, < x < ⇒ MB = 4−x , ME = 5−x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm S2 0,25 0,25 Ta có: AN AM BC.AM 2.x = ⇒ AN = = BC MB MB 4− x 0,25 1 x2 BC.ME = − x , S2 = AM.AN = 2 4−x 3 x S1 = S2 ⇔ 5−x = ⇔ x2+18x−40=0 2 4−x S1 = ⇔ x = (vì < x < 4) Vậy M trung điểm AB Câu (1,0 điểm) Cho a, b ≥ a + b ≤ Chứng minh : 0,25 0,25 0,25 + a − 2b + ≥ + a + 2b Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: + ≥ + a + 2b 1 + ≥2 + (1) (bđt Cơsi) Ta có: = a +1 b + (a + 1)(b + ) a + 2b + 2 a +1+ b + ≤ (bđt Cô si) ( a + 1)(b + ) ≤ 2 ≥ (2) ⇒ (a + 1)(b + ) 2 + ≥ Từ (1) (2) suy ra: + a + 2b Dấu “=” xảy : a+1 = b + a+b=2 ⇔ a= b= 4 0,25 0,25 0,25 0,25 * Lưu ý: Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định ...Khóa thi: Ngày tháng năm 2012 Mơn: TỐN (Chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút ( khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Câu (1,5 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Bản... 3) −1 = − ( − 1) = −1 = −1 −1 ⇒ x + 2x − = ⇒ P = (x + 2x − 1) 2012 = Câu (2,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 28 − 16 Tính: P = (x + 2x − 1) 2012 −1 b) (0,75) Cho x = x= Điểm 0,25 0,25 0,25 a) (1,0) Giải... phương trình: (I) y + xy = − (2) Nếu (x;y) nghiệm (2) y ≠ Do đó: (2) ⇔ x = −y −1 (3) y Thay (3) vào (1) biến đổi, ta được: 4y3 + 7y2 + 4y + = ⇔ (y + 1)(4y2 + 3y + 1) = (thí sinh bỏ qua bước này)