Tài liệu ôn thi vào năm 2017 Chủ đề 9: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG LÀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Phương pháp 1: Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng (d) bán kính R ( Phương pháp thường dung chưa biết giao điểm (d) (O) ) Phương pháp 2: Nếu biết đường thẳng (d) (O) có giao điểm A Ta cần chứng minh minh OA d Phương pháp 3: Phương pháp trùng khít Để chứng minh đường thẳng (d) tiếp tuyến (O) ta dựng đường thẳng (d’) tiếp tuyến (O) sau chứng minh (d) (d’) trùng Do (d) tiếp tuyến (O) CÁC VÍ DỤ Mức độ 1: NB Câu 1: Chọn sai câu sau: đường thẳng a tiếp tuyến đường tròn (O; 6cm) a) Khoảng cách từ O đến a OH = 6cm b) Đường thẳng a cắt đường tròn (O; 6cm) hai điểm phân biệt c) Đường thẳng a qua điểm C thuộc đường tròn (O; 6m) d) Đường thẳng a vng góc với OH H; H thuộc đường tròn (O; 6cm) Câu 2: Cho tam giác ABC có AB=3, AC=4, BC=5 Vẽ đường trịn (B;BA) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn Hướng dẫn giải 2 2 Ta có: BC 5 25; AB AC 3 25; BC AB AC ABC vuông A 2 2 AB AC Suy ra: AC tiếp tuyến (B;BA) B A C Câu 3: Cho hình vẽ, có BAC 60 ; AO=10cm Chọn đáp án của: a) Độ dài bán kính OB là: A B b) Độ dài tiếp tuyến AB là: A C C D đáp án khác B D đáp án khác Tài liệu ôn thi vào năm 2017 B A O C Mức độ 2: TH Câu 4: Cho đường trịn (O) đường kính AB Ax, By tia tiếp tuyến (O) (Ax, By nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB) Trên Ax lấy điểm C, By lấy điểm D cho COD 90 Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O) Hướng dẫn giải Từ C vẽ tiếp tuyến CD’ đường tròn (O) (D’ thuộc By) tiếp xúc với (O) tiếp điểm H Ta có: OC phân giác AOH (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) Và OD’ phân giác góc BOH Mà hai góc AOH BOH hai góc kề bù nên Ð OCD’ = 900 ta có Ð COD’ = ÐCOD= 900 mà D, D’ thuộc By nên suy D D Vì CD’ tiếp tuyến (O) CD tiếp tuyến (O) Câu 5: Cho đường tròn (O; 3cm) điểm A đường tròn Qua A kẻ tiếp tuyến Ax, lấy lấy điểm B cho AB=OA a) Tính độ dài đoạn OB; b) Gọi I trung điểm đoạn OB, AI cắt đường trịn (O) C Tứ giác CBAO hình gì? Vì sao? c) Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn (O) Hướng dẫn giải Tài liệu ơn thi vào năm 2017 a) OB 2 cm b) Ta có: OB AC AOC cân O OABC hình vng c) Theo câu b tứ giác OABC hình vng OC BC BC tiếp tuyến (O) B A C I O Câu 6: Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt tiếp tuyến A đường tròn điểm C a) Chứng minh CB tiếp tuyến đường trịn b) Cho bán kính đường trịn 15cm, AB=24cm Tính độ dài OC Hướng dẫn giải a) Ta có: OC AB OC qua trung điểm AB OC đường cao đồng thời trung tuyến ABC ABC cân C ACO BCO AOC BOC c g c AC CB OB BC Bc tiếp tuyến (O) b) OC=22,5cm Tài liệu ôn thi vào năm 2017 Mức độ 3: VDT Câu 7: Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB, AC E F BF CE cắt I Gọi M trung điểm AI Chứng minh: MF tiếp tuyến (O) Hướng dẫn giải Ta chứng minh I trực tâm tam giác ABC Trong tam giác vuông AFI có FM trung tuyến nên MF = MA = MI, suy tam giác MFA cân M, suy AFM MAF Ta có: OFC FCO (Tam giác OCF cân O) Từ đó: Suy MFO 90 Vậy nên MF tiếp tuyến (O) A E B M F I H O C Câu 8: Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Đường trịn đường kính BH cắt AB D, đường trịn đường kính CH cắt AC E Chứng minh DE tiếp tuyến chung (I) (J) Hướng dẫn giải Tài liệu ôn thi vào năm 2017 Để chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn tâm I đường kính BH ta chứng minh ID DE hay Ð DOE = 90o Vì D, E thuộc đường trịn đường kính BH HC nên ta có: ÐBDH =ÐCEH = 900 tứ giác ADHE hình chữ nhật Gọi O giao điểm AH DE, ta có OD = OH = OE = OA ODH cân O ÐODH = ÐOHD Ta có IDH cân I ÐIDH = ÐIHD ÐIDO = 900 ID DE ID DE , D I Ta có DE tiếp xúc với (I) D Chứng minh tương tự ta có DE tiếp xúc với (J) E A E O D B I H J C Câu 9: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H Gọi I trung điểm BC Chứng minh ID, IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE Hướng dẫn giải Gọi O trung điểm AH Tam giác ADH vng D có DO trung tuyến nên ta có: DO EO AH OA OH AH OA OH Tam giác AEH vng E có EO trung tuyến nên ta có: OA = OD = OE, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE Tam giác OAD cân O) ÐODA = ÐOAD (1) BDC vng D có DI trung tuyến Ð IDC = ÐDCI (2) H giao điểm hai đường cao BD CE H trực tâm ABC, DI BC IC , tam giác ICD cân I, o AH BC F (3) Khi Ð OAD ICD 90 (2) Từ (1), (2) (3) ta có ÐODA + ÐIDC = ÐOAD +ÐICD = 900 OD DI , D O Ta có ID tiếp xúc với (O) D Chứng minh tương tự ta có IE tiếp xúc với (O) E (DPCM) Tài liệu ôn thi vào năm 2017 A D O E B H F I C Mức độ 4: VDC Câu 10: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC Gọi M điểm cung AC Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM K cắt tia OM D OD cắt AC H Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp Chứng minh CD = MB DM = CB Xác định vị trí điểm C nửa đường trịn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn Trong trường hợp AD tiếp tuyến cửa nửa đường tròn (O), tính diện tích phần tam giác ADC ngồi đường tròn (O) theo R Hướng dẫn giải H K 180 tứ giác CKMH nội tiếp tứ giác DMBC hình bình hành ADC có AK CD DH AC nên M trực tâm tam giác Suy ra: CM AD Vậy AD AB CM // AB AM BC Mà AM MC nên AM BC AM MC BC sđ BC = 600 Tính diện tích phần tam giác ADC ngồi (O) theo R: Gọi S diện tích phần tam giác ADC ngồi đường trịn (O) S1 diện tích tứ giác AOCD S2 diện tích hình quạt góc tâm AOC Ta có: S = S1 – S2 Tính S1: 0 AD tiếp tuyến đường tròn (O) AM MC BC 60 AOD 60 1 R2 AD AO R 3.R 2 Do đó: AD = AO tg 600 = R SADO = D K // M C = H A O B Tài liệu ôn thi vào năm 2017 AOD COD (c.g.c) SAOD = SCOD Tính S2: R2 SAOCD = SADO = 2 = R R 1200 R AC 1200 S quạt AOC = 360 = Tính S: S = S1 – S2 = R R 3R R R 3 – = = (đvdt) Câu 11: Cho tam giác nhọn ABC có ÐB = 450 Vẽ đường trịn đường kính AC có tâm O, đường tròn cắt BA BC D E Chứng minh AE = EB Gọi H giao điểm CD AE, Chứng minh đường trung trực đoạn HE qua trung điểm I BH Chứng minh OD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE Hướng dẫn giải ÐAEC = 90 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐAEB = 900 ( hai góc kề bù); Theo giả thiết ÐABE = 450 => AEB tam giác vuông cân E => EA = EB Gọi K trung điểm HE (1); I trung điểm HB => IK đường trung bình tam giác HBE => IK // BE mà ÐAEC = 900 nên BE HE E => IK HE K (2) Từ (1) (2) => IK trung trực HE Vậy trung trực đoạn HE qua trung điểm I BH theo I thuộc trung trực HE => IE = IH mà I trung điểm BH => IE = IB Ð ADC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐBDH = 900 (kề bù ÐADC) => tam giác BDH vuông D có DI trung tuyến (do I trung điểm BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BDE bán kính ID Ta có ODC cân O (vì OD OC bán kính ) => ÐD1 = ÐC1 (3) IBD cân I (vì ID IB bán kính ) => ÐD2 = ÐB1 (4) A D / B / I F _H _K E O C Theo ta có CD AE hai đường cao tam giác ABC => H trực tâm tam giác ABC => BH đường cao tam giác ABC => BH AC F => AEB có ÐAFB = 900 Theo ADC có ÐADC = 900 => ÐB1 = ÐC1 ( phụ ÐBAC) (5) Từ (3), (4), (5) =>ÐD1 = ÐD2 mà ÐD2 +ÐIDH =ÐBDC = 900=> ÐD1 +ÐIDH = 900 = ÐIDO => OD ID D => OD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE Tài liệu ôn thi vào năm 2017 Câu 12: Cho đường trịn (O) đường kính AB C điểm thay đổi đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) C cắt AB D Qua O vẽ đường thẳng vng góc với phân giác góc ODC, đường cắt CD M Chứng minh đường thẳng d qua M song song với AB tiếp xúc với (O) C thay đổi Hướng dẫn giải Ta thấy đường thẳng d (O) chưa có giao điểm nào, ta dùng cách để giải toán OH d H d Vẽ Ta cần chứng minh OH = OC Ta có tam giác DMO cân D DMO DOM Mà HMO DOM (so le trong) DMO HMO Từ ta có: CMO HMO OH = OC Vậy d tiếp tuyến (O) C thay đổi M H d C D A O B