Tài liệu ôn thi vào năm 2017 Chủ đề 3: CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Hai tam giác bất kỳ: Dùng định lý: đường thẳng song song với cạnh cắt cạnh lại tam giác Trường hợp: c – c – c Trường hợp: c – g – c Trường hợp: g – g Hai tam giác vuông: Trường hợp: g – g Trường hợp: c – g – c Trường hợp: cạnh huyền – cạnh góc vng CÁC VÍ DỤ Mức độ 1: NB Câu Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh AH HB.HC Lời giải: A Xét hai tam giác AHB CHA ta có: AHB CHA 900 ABH CAH ( phụ ACH ) AHB ∽ CHA (g-g) B AH HB CH HA C H AH HB.HC Câu Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao AH H BC Vẽ HD vng góc AB D, HE vng góc AC E Chứng minh AHB đồng dạng với ADH Lời giải: Ta có AH HD đường cao ABC BHA nên ta có AHB DHA tam giác vuông Xét hai tam giác vuông AHB ADH có HAB DHA A E D B C H AHB ∽ ADH Câu Cho ABC có AB = cm, AC = cm, BC = cm Đường phân giác góc A cắt cạnh BC D Qua D vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt AC E BA K Chứng minh EDC đồng dạng BDK Lời giải: K A Xét ABC có 2 E BC 25, AB AC 9 16 25 BC AB AC ABC vuông A B ECD KBC 90 KBC DEC Ta có ECD DEC 90 D C Trang 01 Tài liệu ôn thi vào năm 2017 Xét hai tam giác vng EDC BDK có DBK DEC EDC∽ BDK ( g-g) Mức độ 2: TH Câu Tuyển sinh vào 10 Bình Dương 2010-2011 Một hình vng ABCD nội tiếp đường trịn Tâm O bán kính R Một điểm M di động cung ABC, M không trùng với A, B C, MD cắt AC H Chứng minh tam giác MDC đồng dạng với tam giác MAH B Lời giải: Xét hai tam giác MDC MAH có MDC MAH (góc nội tiếp chắn cung MC ) (1) ) (2) AMH DMC (góc nội tiếp chắn hai cung AD CD Từ (1) (2) MDC ∽ MAH ( g-g) A O M C H D Câu Tuyển sinh vào 10 Nghệ An 2011-2012 Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE tới đường tròn (B, C hai tiếp điểm; D nằm A E) Gọi H giao điểm AO BC Chứng minh AH.AO = AD.AE Lời giải: B Xét tam giác cân ABC có AO phân giác đường cao Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vng ACO ta có AC AH AO (1) A D Xét hai tam giác ADC ACE có CAD EAC DCA CED (góc tiếp tuyến dây cung số đo góc nội tiếp) ADC ∽ ACE ( g-g) H O E C AC AE AC AD AE (2) AD AC Từ (1) (2) AH.AO = AD.AE (đpcm) Câu Tuyển sinh vào 10 ĐĂK LẮK 2012-2013 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC) Hai tiếp tuyến B C cắt M AM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D E trung điểm đoạn AD EC cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F Chứng minh MB MA.MD Lời giải: A Xét hai tam giác MBA MDB có BMD AMB MBD AMB (góc tiếp tuyến dây cung số đo góc nội tiếp) MBA ∽ MDB ( g-g) B D MB MA MB MA.MD (đpcm) MD MB E O C M Trang 02 Tài liệu ôn thi vào năm 2017 Mức độ 3: VDT Câu Tuyển sinh vào 10 Trà Vinh 2015-2016 Từ điểm M đường tròn O, vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (A, B hai tiếp điểm) Qua A vẽ đường thẳng song song với MB, cắt đường tròn E; đoạn thẳng ME cắt đường tròn F Hai đường thẳng AF MB cắt I Chứng minh IB IF IA Lời giải: Xét hai tam giác BIF AIB có BIF AIB IAB IBF (góc tiếp tuyến dây cung số đo góc nội tiếp) BIF ∽ AIB ( g-g) A E F O M IB IF IB IA.IF (đpcm) IA IB I B Câu Tuyển sinh vào 10 Thái Bình 2015-2016 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Điểm M di chuyển nửa đường tròn (M khác A B) C trung điểm dây cung AM Đường thẳng d tiếp tuyến với nửa đường tròn B Tia AM cắt d điểm N Đường thẳng OC cắt d E Chứng minh: tứ giác OCNB nội tiếp AC.AN=AO.AB Lời giải: + Ta có OC vng góc MA ( đường kính qua trung điểm dây cung vng góc dây cung) Xét tứ giác OCNB có OCN OBN 900 Nên tứ giác OCNB nội tiếp (tổng hai góc đối 1800 ) + Xét hai tam giác ANO ABC có ANO ABC ( chắn cung CO) NAO BAC ANO ∽ ABC ( g-g) M N C A O B E AN AO AC AN AO AB (đpcm) AB AC Câu Tuyển sinh vào 10 Hà Nội 2015-2016 Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB Lấy điểm C đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O) Đường thẳng qua C vng góc với AB cắt nửa đường trịn K Gọi M điểm cung KB (M khác K, M khác B) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM, BM H D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn điểm thứ hai N 1) Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh CA.CB=CH.CD D Lời giải: M K 1) Xét tứ giác ACMD có ACD DMA 900 Nên tứ giác ACMD nội tiếp ( đỉnh M, C nhìn AD góc khơng đổi ) N 2) Xét hai tam giác vng HAC BDC có H HAC BDC (cùng phụ ABD ) A C O B HAC ∽ BDC ( g-g) CA CH CA.CB CH CD (đpcm) CD CB Trang 03 Tài liệu ôn thi vào năm 2017 Mức độ 4: VDC Câu Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.Gọi M điểm cung nhỏ AC.Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ M đến BC AC P trung điểm AB, Q trung điểm FE 1) Chứng minh tứ giác MFEC nội tiếp 2) Chứng minh BM EF BA.EM 3) Chứng minh AMP ∽ FMQ Lời giải: 1) Chứng minh tứ giác MFEC nội tiếp: E; F nhìn đoạn thẳng CM góc 900 nên tứ giác MFEC nội tiếp 2) Chứng minh BM EF BA.EM Chứng minh EFM ∽ BAM : M A F P Ta có góc ABM ACM (vì chắn cung AM) Q O Do MFEC nội tiếp nên góc ACM FEM (cùng chắn cung FM) ABM FEM (1) Ta lại có góc AMB ACB (Cùng chắn cung AB).Do MFEC nội tiếp nên FME FCM (Cùng chắn cung FE) Góc AMB FME (2) Từ (1) (2) suy EFM ∽ BAM C E B BM EM BM EF BA.EM (đpcm) BA EF 3) Chứng minh AMP ∽ FMQ AB AM Ta có EFM∽ABM (theo c/m trên) mà AB 2AP ; FE 2FQ (gt) FE MF AP AM AP AM góc PAM MFQ (suy từ EFM ∽ BAM ) FQ MF FQ FM Vậy AMP ∽ FMQ Câu Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB,bán kính OC AB.Gọi M điểm cung BC.Kẻ đường cao CH tam giác ACM Chứng minh AOHC nội tiếp Chứng tỏ CHM vuông cân OH phân giác góc COM Gọi giao điểm OH với BC I.MI cắt (O) D Cmr: CDBM hình thang cân BM cắt OH N.Chứng minh BNI AMC đồng dạng,từ suy ra: BN.MC=IN.MA D Lời giải: Chứng minh AOHC nội tiếp: học sinh tự chứng minh Chứng minh CHM vuông cân: Do OC AB trại trung điểm O Sd AC SdCB 90o Ta lại có: N C I M H A CMA sđAC 45o CHM vuông cân M Chứng minh OH phân giác góc COM : Do CHM vuông cân H CH HM ; CO OB (bán kính); OH chung CHO = HOM COH HOM đpcm Chứng minh CDBM hình thang cân: B O Trang 04 Tài liệu ôn thi vào năm 2017 Do OCM cân O có OH phân giácOH đường trung trực CM mà IOHICM cân I I CM I MC mà ICM MDB (cùng chắn cung BM) I MC I DB hayCM / / DB Do IDB cân I IDB IBD MBC MDC (cùng chắn cung CM) nên CDB MBD CDBM hình thang cân Chứng minh D BNI ∽ D AMC : Do OH đường trung trực CM NOH CN=NM Do AMB 900 HMB 900 hay NM AM mà CHAM CH//NM Có CMH 45o NHM 45o D MNH vuông cân M CHMN hình vng INB CMA 45o BM Do CMBD thang cân CD BM CD AD CM CAM CBM (cùng chắn cungCM mà AC ) CB D I NB D CMA Câu Cho hình bình hành ABCD AC BD Gọi E F hình chiếu B lên đường thằng DA DC Chứng minh rằng: DB DA.DE DC.DF E a) Phân tích tìm hình phụ Giả sử lấy điểm M thuộc đoạn BD cho DM DA DM DB DA.DE , kết hợp với góc D DE DB chung để suy MDA ∽ EDB , BED 900 AMD 900 hay AM DB Do điềm M cần tìm hình chiếu A lên DB A D B M C F b) Bài giải Qua A kẻ đường thẳng vng góc với BD cắt BD M, AC BD nên góc ADB ABD nhọn nên M nằm D B , BD DM MB - Dễ chứng minh DAM ∽ DBE (g-g), suy DM DA DM DB DA.DE 1 DE DB -Lại có DBF∽BAM (vì F M 900 BDF ABM (so le trong)) BM AB BM AB AB.DF DF DB - Cộng vế theo vế hệ thức (1) (2) ta được: DB DA.DE DC.DF đpcm Trang 05