G iyva~1

GỢI Ý VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG I: VECTƠ §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA Bài 1.1 Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B ta xác định hai vectơ khác vectơ-không AB, BA Mà từ năm đỉnh A, B, C , D, E ngũ giác ta có 10 cặp điểm phân biệt có 20 vectơ thỏa mãn yêu cầu toán Bài 1.2: a) AB DC , OB DO b) BO, DO, OD Bài 1.3: a) A nằm đoạn BC b) A nằm đoạn BC Bài 1.4 a) B trung điểm AC b) A, B, C, D thẳng hàng ABCD hình bình hành Bài 1.5: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai e) Sai f) Bài 1.6: a) FO, OC, ED b) CO, OF , BA, DE Bài 1.7: (hình 1.40) Ta có AB AC AB AC BC AB a; E a a a AC , OM OM 2 Gọi E điểm cho tứ giác OBEA hình bình hành hình vng A Ta có OA D OA OA OB OE OA Bài 1.8: (Hình 1.41)Ta có AB OB OE AB a AB B O a C Hình 1.40 Gọi M trung điểm BC Ta có A AG  AG  2 2 a a AM  AB  BM  a   3 a a a 21 BI  BI  BM  MI    Bài 1,9: MA I G B MB MA MB C M Hình 1.41 Tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng AB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Bài 1.10: (Hình 1.42) Do M, Q trung điểm AB AD nên MQ đường trung bình tam giác ABD suy MQ / /BD BD (1) Tương tự NP đường trung bình tam giác CBD suy NP / /BD NP BD (2) MQ Từ (1) (2) suy MQ / /NP NP tứ giác MNPQ hình bình hành MQ Vậy ta có MQ P M B Hình 1.42 NP Vì DP  PQ  QB từ suy DP Bài 1.12: (Hình 1.44) PQ B Q P D C M Hình 1.43 QB a) Ta có CI DA suy AICD hình bình hành  AD  IC Ta có DC  AI mà AB  2CD AI  AB  I trung điểm AB Ta có DC  IB DC / /IB tứ giác BCDI hình bình hành Suy DI CB b) I trung điểm AB  AI  IB tứ giác BCDI hình bình hành  IB  DC suy N A Suy DM NB Xét tam giác CDQ có M trung điểm DC MP / / QC P trung điểm DQ Tương tự xét tam giác ABP suy Q trung điểm PB IB C N Bài 1.11: (Hình 1.43) Ta có tứ giác DMBN hình bình hành DM  NB  AB, DM / / NB AI D Q A D A C I Hình 1.44 DC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word B Bài 1.13: Ta có B 'C B 'A BA, CH BC , AH AB BC B 'C / /AH , B ' A / /CH Suy AHCB ' hình bình hành AH B 'C §2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Bài 1.14: (Hình 1.45)Theo quy tắc trừ ta có AB  AC  CB  AB  AC  BC  a C Gọi A ' đỉnh hình bình hành ABA ' C O tâm hình nình hành Khi ta có AB  AC  AA ' Ta có AO  AB  OB  a  a2 a  O A Bài 1.15 (Hình 1.46) a) Ta có OD  BO  AB  OD  AB  BO  AO OD AC AO B Hình 1.45 Suy AB  AC  AA '  AO  a AB A' B' A a 2 Ta có OC  AO suy AB OC OD B O AB AO OD OB OD D C Hình 1.46  AB  OC  OD  b) Áp dụng quy tắc trừ ta có     MA  MB  MC  MD  MA  MB  MC  MD  BA  DC  BA  DC Lấy B ' điểm đối xứng B qua A Khi  DC  AB '  BA  DC  BA  AB '  BB ' Suy MA  MB  MC  MD  BB '  BB '  2a Bài 1.16: Ta có AB OB DC CO AD AD a cos 600 2a cos 300 a 3, a Bài 1.17: a) Từ giả thiết suy ba điểm A, B, C tạo thành tam giác nhận O làm trọng tâm AOB BOC COA 1200 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word b) Gọi I trung điểm BC Theo câu a) OB AC OA a ABC nên AI a Bài 1.18: Dựng hình bình hành OACB Khi đó: OA OB OD Vậy OD nằm phân giác góc xOy OACB hình thoi OA OB Bài 1.19: a) Áp dụng quy tắc trừ ta có DA  CA  DB  CB  DA  DB  CA  CB  BA  BA (đúng) b) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có     AC  DA  BD  AD  CD  BA  DA  AC  BD  BA  AD  CD  DC  BD  BD  CD (đúng) Bài 1.20: Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với AD AE ED FE EF FE Cách 2: VT AD AE BF BE BF CF CD DF 0 (đúng) BE CD CF ED AE ED FE DF BF FE AE BF CD VP Bài 1.21 a) Ta có OD  BO AB  OD  OC  AB  BO  OC  AO  OC  AC b) Theo quy tắc hình bình hành ta có BA  BC  OB  BD  OB  OB  BD  OD c) Theo câu b) ta có BA  BC  OB  OD Theo quy tắc trừ ta có MO  MB  BO Mà OD  BO suy BA  BC  OB  MO  MB Bài 1.22: (Hình 1.48) a) Vì PB  AP, MC  PN nên NA PB MC NA AP PN NP PN CD DF A B O D C Hình 1.47 A N P B M Hình 1.48 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word C b) Vì MC  BM kết hớp với quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành ta có MC BP NC BM BP NC BN NC BC Bài 1.23: Theo quy tắc trừ quy tắc hình bình hành ta có B 'B CC ' AB D 'D AD AB AC Bài 1.24: Đặt u OA AB ' AB ' OB AC ' AC AC AD ' AD AD ' OC OE OF OB OC OE phương với OF Vì ngũ giác nên vectơ OA nên u phương với OF Tương tự u phương với OE suy u Bài 1.25: Theo quy tắc ba điểm ta có AQ AM Mặt khác BA AQ MN BC NP PQ BD, DA BA DC DA DC BC DB suy BD DB §3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ Bài 1.26: a) Theo quy tắc ba điểm ta có AN  CB  NC  CM  NM 1 a Suy AN  CB  MN  AB  2 N b) Theo quy tắc trừ ta có BC  2MN  BM  BA  AM C a  BC  2MN  AM  2 c) Gọi F điểm đối xứng A qua C , F điểm E là đỉnh hình bình hành ABEF , theo quy tắc hình bình hành ta có I AB  AC  AB  AF  AE Gọi I hình chiếu E lên AC A H K M B E Vì AB / / EF  EIF  CAB  600 Hình http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word IE a  IE  EF sin IFE  a sin 600  EF IF a cos IFE   IF  EF cos IFE  a cos 600  EF Áp dụng định lí Pitago ta có sin IFE  2 a a 3 a 28  AE  AI  IE   2a       2    2 a 28 Suy AB  AC  AE  d) Lấy điểm H , K cho 0, 25MA  MH ; MB  MK Suy 0, 25MA  MB  MH  MK  KH Do 2  a   a 2 a  AM    0, 25MA  MB  KH    MB           8   2    4 Bài 1.27: Gọi O tâm hình vng Theo quy tắc ba điểm ta có u MO OA Mà OD OA 2OB MO 3OC OB , OC OB MO OC MO OD 2OD OA nên u 2OA Suy u không phụ thuộc vào vị trí điểm M b) u  2OA  2OA  a Bài 1.28: (hình 1.49) a) AM BN CP 1 AB AC BC BA CA CB 2 b) OM ON OP 1 OB OC OC OA OA OB 2 OA OB OC Bài 1.29: a) Ta có A N P B M Hình 1.49 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word C AH 2AG AB CH AH AC AC AB AB AC AC AH AB CH Bài 1.30: Ta có MC MB MC AB AC AM MB BC BC BC MC MB AM MB MC AM BC BC Bài 1.31: Ta có: b) MH B 'B AB CC ' D 'D AD AC AB AB ' AB ' AD ' AC AB AB AB MB AM BC AC ' MC AC AC AD AD ' Bài 1.15: (hình 1.50) Qua M kẻ đường thẳng song song với cạnh  ABC, đường thẳng A cắt điểm hình vẽ Dễ thấy E2 F1 F ta có tam giác MD1D2 , ME2E2 , MF1F2 hình bình hành MF1AE2 , ME1CD2 , MD1BF2 Ta có: MD ME (MD (ME F2 B MD ) , ME ) , MF E E1 M C D1 D D2 Hình 1.50 (MF MF ) Cộng vế đẳng thức nhóm ta được: MD ME MF MO Bài 1.32: Ta gọi M trung điểm AB M' hình chiếu M lên d Khi đó, ta có: AA ' BB ' 2MM ' Gọi N trung điểm GC (ta có G trung điểm MN) N' hình chiếu lên d thì: GG ' CC ' 2NN ' , MM ' NN ' 2GG ' Từ ba đẳng thức ta có đpcm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Bài 1.33: Đặt u OA OB OC OE OF Vì ngũ giác nên vectơ OA OB OC OE phương với OF nên u phương với OF Tương tự u phương với OE suy u Bài 1.34: Giả sử n vectơ , i 1, 2, , n Đặt u a1 a2 an Vì tổng n vectơ n vectơ phương với vectơ cịn lại u phương với hai vectơ a1 , a nên u Bài 1.35: (hình 1.51) a) Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp ABC ta có B C C A A B a r cot cot ; b r cot cot ; c r cot cot 2 2 2 Theo ví dụ ta có aIA bIB cIC B C C A cot cot IA cot cot IB 2 2 cot A 1 IB IC ; IN IC IA ; IP 2 Theo câu a) ta có A B C cot IB IC cot IA IC cot IA IB 2 b) Ta có IM A Suy cot IM c) Ta có B cot IN C cot IP cot B IC IA IC 0A E F P N I B D M Hình 1.51 IA IP IN IM ; IB IM IP IN ; IC IM IN IP Kết hợp ví dụ suy aIA b d) ID bIB cIC c a IM DC IB BC a DB IC BC aID p c IB Tương tự ta có : c p b IN p c a a IB b c IP p b a IC a IC với p nửa chu vi http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word C bIE aID p a IC bIE p cIF c IA ; cIF 2p b p c IA b IA 2p p c a IB aIA bIB cIC aAD bBE cCF Bài 1.36: (hình 1.52)Gọi A' giao điểm AM với BC ta A 'C A 'B có MA ' MB MC (*) BC BC Mặt khác A 'C S MA 'C S MAC A 'C S MAC 1 A ' B S MA 'B S MAB A 'B S MAB A 'B S MAB BC S MAB S MAC A 'C SMAC Và (1) BC SMAB SMAC MA ' SMBC Mặt khác MA ' MA MA (2) MA SMAB SMAC Thay (1) (2) vào (*) ta điều phải chứng minh Bài 1.37: (hình 1.53)Ta chứng minh quy nạp Với n đẳng thức trở thành a.e1 b.e2 c.e3 (đúng đẳng thức tương đương với đẳng thức 11) Giả sử với n k 1, k Gọi e vectơ đơn vị vng góc với A1Ak hướng ngồi tam giác A1Ak 1Ak Theo giả thiết quy nạp ta có AA 2e1 A2A3e2 Ak 2Ak 1ek Bn A1I B1A1I A1B1I a b IC A M B C A' Hình 1.52 e1 A1 ek A2 e2 ek A3 e Ak-1 ek Ak 1A1 2p Ak e 900 Ak-2 Hình 1.53 (1) Mặt khác xét tam giác A1Ak 1Ak ta có A1Ak 1e Ak 1Ak ek Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Bài 1.38: (hình 1.54)Gọi Bi , i 1, 2, , n tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh AA i i Xét tứ giác A1B1IBn có A1Bn I a IB Ak A1ek (2) A1 B1 Bn A2 An Bn-1 B2 A3 I An-1 Bn-2word An-2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file Hình 1.54 Suy Bn IA1 B1IA1 Mặt khác IB1 IBn dó IA1 Tương tự ta có IAi Bi 1Bi , i 2, 3, , n Xét đa giác lồi B1B2 Bn theo định lý nhím ta có B1B2 e2 Bn 1Bn en A A A IB1 cos e1 IB2 cos e2 IBn cos n en 2 Mà IB1 IB2 IBn suy đpcm B1Bn Bn B1 e1 HB HB.BC c2 , HC HC BC b2 b2 c2 IB IC c2 b2 c2 b2 Bài 1.39: Ta có Suy IH Mà b c Hay a IA a IH b IB IA nên suy c IC b2 IB a2 IA Bài 1.40: O nằm đoạn IK cho OI 2OK Bài 1.41: a) I điểm đối xứng A qua B AB AB BC b) CJ c) AK d) AL 2 Bài 1.42: a) Cho M I IA IB 2IC IJ IC Với J trung điểm AB, suy I trung điểm JC MA c2 IC a2 MB 2MC kMI 4MI kMI k 3AB AD b) k 4, AI c) k 2, IA 2AB 3AC 4AD Bài 1.43: M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác Bài 1.44: a) Vì Khơng tính tổng quát giả sử Suy MA MB MC Do tồn điểm M b) Giả sử tồn điểm N Ta có NA NB NC ! D : DA MD CA MC DB 0 CB (mâu thuẫn với ABC tam giác) Bài 1.45: O điểm tùy ý, ta có: 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Suy AM BN CP AM BN CP BN CP Vì BN CP khơng phương nên khơng thể xảy dấu AM BN CP Tương tự ta có BN AM CP , CP AM BN MB MA MB MA Bài 1.77: CM CA CB MC CA CB AB AB AB AB Hay MC AB MABC MB.AC MD MC MD MC Bài 1.78: Ta có: AM AC AD AM AC AD CD CD CD CD MD MC MD MC BM BC BD BM BC BD CD CD CD CD Từ suy MD MC AM BM AC BC AD BD CD CD MD MC AM BM max AC BC ; AD BD CD CD p max AC BC AB ; AD BD AB Hay p max p1 ; p2 Bài 1.79: Ta chứng minh quy nạp + Với n : hiển nhiên + Giả sử BĐT với n k ta chứng minh với n k hay 2k OPi i vectơ ta chọn hai vectơ có góc lớn nhất, giả sử OP1 , OP2k Trong 2k 2k Đặt OA OP1 OP2k , OB OPi i Suy điểm A, B nằm góc POP 2k OA OB AOB 900 OB 2k Mặt khác theo giả thiết quy nạp ta có OB OPi i 2k OPi Suy OA OB OB i §4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Bài 1.80: a) x M kb k a b) x I a b c) x N 5b 2a 18 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word a Bài 1.81: x I b c DA CA a d a b d b DB CB ab ac bd cd bc ab cd ad 2(ab cd ) c (a b ) d (a b ) 2(ab cd ) (a b )(c d ) Bài 1.82: Ta có Bài 1.83: a) A 0; b) E a ,B c c a a ;0 , C ;0 2 a a ; 4 c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trùng với trọng tâm G 0; Bài 1.84: a) A 4; , C 4; , B 0; , D 0; 3 b) I 2; , G 0; Bài 1.85: Kẻ BH AD BH 3; AB 3; AH A(0; 0) ; B( 3; 3) C (4 AB AC 3; BC 3; 3) D(4; 0) (4; 0) CD 3; 6; , D 6; , B 3; 3 , 3; 3 , E 3; 3 Bài 1.87: ĐS: a) u (28; 28) Bài 1.88: ĐS: a) u 38; b) M Bài 1.89: a) Trung điểm BC I G 3; Bài 1.86: ĐS: A C 3; 3 , F a b) u (0; ) 2; 1 , trọng tâm tam giác ABC ; 2 ;1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 19 b) Tứ giác ABCD hình bình hành AB DC x y D 0; Bài 1.90: Do I 4; trung điểm CD nên đặt C x; y ,D x; y CD 2x ; 2y CD Tứ giác ABCD hình bình hành BA x y ;2 Bài 1.91: Từ giả thiết ta có C 0; y , G x ; Vậy C 2; , D 6; , O G trọng tâm tam giác nên xA xB xC 3xG x yA yB yC 3yG y Vậy C 0; Bài 1.92: Ta có MN 3; , PA x A 2; yA , MN PA A 1; N trung điểm AC suy C 3; M trung điểm BC suy B 5; Bài 1.93: a) A' điểm đối xứng A qua B suy B trung điểm AA' A ' 5; Tương tự B ' 9; , C ' 2; 7 b) Trọng tâm tam giác ABC A ' B 'C ' có tọa độ 2; Bài 1.94: a) A, B, D thẳng hàng AB AC không phương b) AB 1; , AC 4; Vì c) CD 2; CD xAB yAC x 4y 5x 6y x y CD 2AB AC Bài 1.95: Gọi I x ; y giao điểm AC BD suy AI ; AC phương BI ; BD phương Mặt khác AI ( x ;y 1), AC (2;6) suy x y 6x 2y (1) 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word BI (x Vậy I 1; y 3), BD ( 1; 0) suy y ; điểm cần tìm Bài 1.96: b) Ta có u xa b 3x 3x 3;2x ,a u phương với xa u k xa b ,u 3; 2x b 0; b a l a k 3x 2x y k 2x 3y 2x y x y 3l x y Gọi M x ; y 3S ABM BC 2; y ; BC BM x x b 3x y b có sơ k , l cho 3y Bài 1.97: Ta có S ABC Suy 3y 3x Do Suy 3 vào (1) ta có x x 3BM BC 3BM 3; 3 x x 3 y 3 y y y Vậy có hai điểm thỏa mãn M1 1; , M 3; 2 AB AC khơng Bài 1.98: a) Ta có AB 1; , AC 4; Vì phương b) Ta có 2BD 5DC , BD x D ; yD , DC x D ; yD Do 2x D yD c) Ta có G xD 5 yD xD yD 15 7 D 15 ; 7 ; Gọi I x ; y giao điểm AD BG http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 21 Do AI x 1; y x 22 y BI x ; y , BG , AD 9x 22 phương suy ; 7 22y 13 ; phương suy tồn k : BI kBG y 35 Từ I ;1 Bài 1.99 a) Dễ thấy điểm A, B nằm hai phía với trục hồnh Ta có PA PB AB Dấu xảy AP phương với AB x 1 6 Suy P xP P ;0 5 b) Dễ thấy A, B phía với trục hồnh Gọi A' điểm đối xứng với A qua trục hoành, suy A ' 1; PA PA ' Ta có PA PB PA ' PB A ' B Dấu xảy A ' P phương với A ' B x 5 Suy P xP P ;0 3 Bài 1.100: I trung điểm AC nên C 4; Gọi D 2a ;a B 2a ; a AK 1; , AB 2a ; a Vì AK , AB phương nên 2a a a D 2;1 , B 0;1 1 MP Bài 1.101: Ta chứng minh MN M, N, P thẳng hàng 1 Bài 1.102: Ta có: AO AB AC AE (1 x )AB xAC AE kAO k k xAC AB AC A, E, O thẳng hàng (1 x )AB k 36 ; x 13 13 22 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word giá trị cần tìm 13 Vậy x Bài 1.103: IA 3JA 2JC 2IB IA 3IA 2IB 2IC 5IJ Suy 2(IA IB IC ) 5IJ I, J, G thẳng hàng 6IG 5IJ Bài 1.104: a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC suy MN MA MB MC MN GA GB GC 3MG 3MG Suy M , N , G thẳng hàng hay MN qua điểm cố định G MP b) P trung điểm AM MA 2MA MN Gọi I trung điểm BC, J trung điểm AI suy 2JA Do MP JB MB MC JC 2MJ suy MP qua điểm cố định J Bài 1.105: Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC suy aIA bIB cIC Do MP aMA bMB cMC MP Vậy MP qua điểm cố định I Bài 1.106: Ta có: EF AD AB , EK 2 a b c MI AD AB EF 2EK Vì K trung điểm EF Bài 1.107: Vì G , G1 trọng tâm tam giác ABC , A1B1C suy 3GG1 GA1 GB1 3GG1 GA 3GG1 AA1 GC GB GC BB1 AA1 BB1 CC CC Tương tự G , G2 trọng tâm tam giác ABC , A2B2C suy 3GG1 GA1 3GG2 GB1 AA2 Mặt khác AA2 GC BB2 BB2 CC CC AA1 BB1 CC A1A2 B1B2 C 1C Mà A2 B2,C trọng tâm tam giác BCA1, CAB1, ABC1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 23 Suy AA B1B2 C1C A1A AB A1A AA1 BB1 CC Do AA2 GG2 BB2 AA1 Vậy GG2 AB AC CC BB1 B1B BC B1B AA1 BB1 CC1 BA C 1C CA C 1C 1 ( )AB 1 AB AC ; AB BC ; BP )MC ;CN (1 ( B1A C1A C1B 3GG1 Ta có: MN MP B1C CC Bài 1.108: Ta có: MB BC AC 1 1 )AC Và AC Để M, N, P thẳng hàng ta phải có 1 1 1 1 1 Bài 1.109: Gọi P, Q, R, S tiếp điểm đoạn thẳng AB,BC,CD,DA đường tròn tâm O Đặt SA AP a, BP BQ b, CQ CR c, DR DS d Áp dụng định lý nhím cho tứ giác ABCD ta có: 24 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word CB a b OP a c b d b c OQ b c a OA a b d OC c d a c b d OA OC b d OM a d d OB b c OD d a b c d OR a c OB c ON a OS c b c a OD b OB a d b c OC d OD d a OA 0 Suy O, M, N thẳng hàng (đpcm) Bài 1.110: Gọi M1, N 1, P1,Q1, R1, S1 hình chiếu M , N , P,Q, R, S lên AB, BC ,CD, DE , EF , FA Suy M1, N 1, P1,Q1, R1, S1 trung điểm AB, BC ,CD, DE , EF , FA Ta có MS RR1 RQ PN R1E MM1 MM1 EQ1 PP1 M1A Q1Q PP1 AS1 PC S1S CN N 1N RR1 ( Vì theo định lí nhím MM1 PP1 RR1 Mặt khác AB Do MS OS CD RQ OQ OO2 N 1N k Q1Q S1S EF suy MM OM k OM OP PN ON k OM 0) RR1 OR1 PP1 OP1 k OR OP OR OO1 Hay ba điểm O, O1, O2 thẳng hàng CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG VECTƠ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC Bài 1.111: Ta có KA KB KC LB LC LD Trừ vế với vế ta KA LD 2KL KL LA LD 2KL DA 3KL Suy KL//AD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 25 k2 Bài 1.112: AC 2 k k 1 AC , k k A2 AC nên AC / /AC 2 Tương tự ta có B2C / /BC A2B2 / /AB Bài 1.113: Giả sử năm điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 nằm đường tròn (O) Ta cần chứng minh tồn điểm H thuộc mười đường thẳng Gọi G trọng tâm tam giác A1A2A3 ; P trung điểm đoạn thẳng A4A5 Vì OP A4A5 (do OA4 OA5 ) nên điểm H thuộc đường thẳng qua G vng góc với đường thẳng A4A5 có số thực k cho OA1 OA2 OA3 (vì G trọng tâm OA4 OA5 (vì P trung điểm đoạn thẳng kOP Mà OG HG tam giác A1A2A3 ) OP A4A5 ) Do HG kOP OA1 OA2 Hay OA OH OG OH OA3 OH OA OA 3 kOP k OA4 k OA OA5 k OA Vì điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 tốn có vai trị bình đẳng nên chọn k cho Khi OH Hay OH k OA1 3 k OA2 OA3 OA4 OA5 OG (G trọng tâm hệ điểm A1, A2 , A3 , A4 , A5 ) Bài 1.114: Ta cần chứng minh tồn điểm H thuộc đường thẳng MM', NN', PP', QQ' Vì OP CD (do OC = OD) nên điểm H thuộc đường thẳng MM' có số thực k cho HM kOP 26 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Mà M P trung điểm AB CD nên HM HA Do HM HO OC HB ; OP kOP OA HA Vì điểm A, B, C, D tốn có vai trị bình đẳng nên chọn k OC OD 2OH OA kOD OD 4OI (Dễ thấy I trọng tâm tứ giác Hay 2OH ABCD) OB k OC OD kOC OA OB k OC HB OB Khi 2OH HO Hay OD OH 2OI Vậy H điểm đối xứng O qua I Bài 1.115: Gọi A, B, C ba đỉnh tam giác DE đoạn thẳng Gọi G trọng tâm tam giác M trung điểm DE với điểm O tùy ý ta có OA OB OC OD OE 3OG 2IM Do GM qua điểm cố định O trọng tâm hệ điểm A, B, C, D, E Bài 1.116: Hướng dẫn : a, CA b, AB Đặt BC c Giả sử đường thẳng x qua A cắt BC M ta có AB BM AC MC c BM b MC c 2BM b BM MC Suy BM a b c Do : a c b MB Tương tự ta có : a , CM a b b c c MC a b c NC b c a NA b c a PA Do x, y, z đồng quy I xác định bới a c b PB b c a IA a c b IB a b c IC Bài 1.117: Giả sử đường trịn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC M Gọi B’,C’ tiếp điểm cạnh AB,AC với đường trịn bàng tiếp góc A Khi AB ' AC ' AB BB ' AC CC ' c BM c CM Đến tương tự 1.116 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 27 Bài 1.118: a) Ta có: GA GB 2(GM b) 3AA1 GC GD 2GM MA MB GP ) (MA MB) (PC PD) AB AC AD ; 4AG AB 2GP PC PD AC AD AA1 AG AA1; AG phương hay AA1 qua G Tương tự ta có BB1 qua G; CC1 qua G; DD1 qua G Vậy ta có AA1 , BB1 , CC , DD1 đồng quy G Bài 1.119: a) Gọi O trung điểm CC1 AA1 AM MA1 AM MB 2AO AC AC1 AC MB (vì AC 1BM hình bình hành) AA1 MC AC MB 2AO hay O trung điểm AA1 Tương tự ta có BB1 2BO hay O trung điểm BB1 Vậy AA1 , BB1 , CC đồng quy trung điểm O đường b) Ta có: 3MG 2MO MA MA MA1 MB MA MC MB MC 2MO 3MG MO MG Bài 1.120: Đặt IM e1 , IN e2 , IP e3 Gọi X, Y, Z trung điểm NP, PM, MN M, G, O thẳng hàng O điểm xác định 2IO e1 e2 e3 1 e1 e2 e3 e2 e3 e Suy OX OI IX 2 Suy OX BC , tương tự ta có OY AC , OZ AB Suy a , b c đồng quy O AB AD Bài 1.121: Đặt m, n (0 m , n 1) Gọi I giao điểm BD' AB AD DB' Ta có AC AB AD ; AC AB AD mAB nAD 28 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word AD AD n DA n IB m n nID DD BD n (m 1) AD m (n n n (m 1) n 1 AC AI (m mn Do IC n n n n BD n BB m nBD n (m 1) ID n IB BA AB AI CC n 1)AB n (m mn 1)AB (n 1)AD 1)AD ; AC AC (1 m )AB (1 n )AD C 'C Suy IC mn Suy I, C', C thẳng hàng đpcm Bài 1.122: Đặt AI xAN ; CI Ta có: AI BN ) x (AB x BC x AC x xAB 3x AB 21 Vì M, I, C thẳng hàng nên ta có: x IC 21 Tương tự: IM xAB x (AC yCM AB ) Bài 1.123: Ta đặt: CA a;CB 21x AM 8 x 23 b Khi CM b CE Vì E nằm ngồi đoạn thẳng AC nên có số k cho CE x AC AI AN 23 kCA kCA ka ka , với k Khi CF kCB kb Điểm D nằm AM EF nên có hai số x y cho: CD xCA Hay xa x )CM (1 x b kya yCE k (1 (1 y )CF y )b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 29 Vì hai vectơ a, b không phương nên x Suy x , CD 2k Ta có: ED CD Chú ý CF Do ED GB DB DC (2k 1)a k )(b a ) = (1 kCB hay AB (1 BG x k (1 3AM IB IM AB AM 5AI (1) AB AC k )b k )AB kAB suy (1 k )AB 4DB 3DC 2IB 3IM 4AB 0 3AC 7AD (2) Từ (1) (2) suy 3AC 6AM 7AD 10AI 7AD 10AI Bài 1.125: Vì A, O, N thẳng hàng nên: BO Tương tự: AO (x yAM yAM AB y)AB y AM a , CA AB b; AM y a x y 1)AB (x xBA 10 x BN 1)BN (x 1)BN hay (1) b , Ta có : b; BN Thay vào (1) ta có: x x AD AI y AB (x Đặt CB a y) Bài 1.124: Ta có: 2AB (1 CE ky y a b x y b a 3 yb a x y a 3y b 30 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word GB x Từ ta có: y 10 Với x BO x y 3 y x BN Vì SONB 10 BA SNAB y BA 10 BO 10 x )BN 10 (1 BN hay NO SABC 10 10 NA NO NA 10 30 BI k, k BI kBC BC Ta có AI AB BI AB kBC AB kAD Mặt khác G trọng tâm tam giác MNB suy 1 3AG AM AN AB AB AD AC AB 1 11 AB 2AD AB AB AB AD 11 k Vì AG , AI phương nên k 11 3OA, OD 2OA Bài 1.127: Ta có OC Bài 1.126: Đặt Vì OM , ON cung phương nên có số thực k cho ON Đặt kOM CN ND Suy ON k, k k Bài 1.128: Ta có SABC Đặt AB ' OB , ta có ON k k OA k 4k k k BC xAB ; AC '=yAC ; AM ' Ta có B ' M ' AM ' AB ' 2k k OB k 3SAMC OA zAM 3MC BM BC zAM xAB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 31 z AB z BM xAB 2z AC x AB B 'C ' AC ' AB ' z 2z BC x AB z AB yAC x AB xAB z Mặt khác B ' M ' , B 'C ' phương nên AM AM ' AK Bài 1.129: (hình 1.56) Đặt CK Hay AB AB ' Ta có: MK AC AC ' x x 2z y z x y x 2z AC x x MA x C B M MC (1) K S A Do: MK , MS phương nên D MK l MS l MB Mặt khác MA.MB MD MC MD Hình 1.56 a MB a MA2 a MD Suy MK al 2MA Từ (1) (2) suy ra: al x 2MA2 al x 2MC MA x al 2MC MA2 MC MC MC MA MC AM CM AK CK 32 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word