G iyva~1

GỢI Ý VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG III §1 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG r Bài 3.1: a) D ^ Oy Þ D nhận j ( 0;1) làm VTPT phương trình tổng qt đường thẳng D 0.( x - 1) + 1.(y + 3) = hay y + = u r b) D / /d Þ D nhận n ( 1;2) làm VTPT phương trình tổng qt đường thẳng D 1.( x - 1) + 2.(y + 3) = hay x + 2y + = uuur Bài 3.2: a) Ta có đường cao AH qua A nhận BC ( 1;3) VTPT nên có phương trình tổng qt 1.( x - 2) + 3.( y - 1) = hay x + 3y - = b) Gọi I trung điểm AB ỉ1 1÷ x + xC y + yC 1 xI = B = , yI = B = ị Iỗ ; ữ ỗ ữ ỗ 2 2 ố2 2ứ uuur Đường trung trực đoạn thẳng AB qua I nhân AB ( - 3;- 1) làm ỉ 1ư ổ 1ử x- ữ - 1.ỗ y- ữ ữ ữ VTPT nờn cú phng trỡnh tng quỏt l - 3.ỗ ç ç ÷ ÷= hay ç ç 2ø 2ø è è 3x + y + = c) Phương trình tổng qt đường thẳng BC có dạng 3x - y + = x y + = hay - u r d) Đường thẳng BC có VTPT n ( 3;- 1) đường thẳng cần tìm u r song song với đường thẳng AB nên nhận n ( 3;- 1) làm VTPT có phương trình tổng qt 3.( x - 2) - 1.( y - 1) = hay 3x - y - = Bài 3.3: a) Vì D / /d nên VTPT d VTPT D nên đường u r r thẳng D nhận n ( 4;- 7) làm VTPT u ( 7;4) làm VTCP phương trình tổng quát 4( x - 2) - 7( y - 5) = hay 4x - 7y - 27 = 0; b) Đường thẳng  có hệ số góc k = 11 nên có dạng y = 11x + m Mặt khác P Ỵ D nên - = 11.2 + m Û m = - 27 Vậy phương trình tổng quát D 11x - y - 27 = Bài 3.4: Gọi A ( a;0) , B ( 0;b) ( a, b > 0) Vậy đường thẳng cần tìm có dạng : D : x y 6a + = Vỡ M ẻ D ị + = 1ị b = a b a b a- Ta có: 6a 48 = a - 8+ + 14 ³ + 14 a- a- Dấu xảy Û a = + 3, b = + OA + OB = a + b = a + Suy D : x + y =1 8+ 6+ Bài 3.5 a) d1 / / d2 b) d1 º d2 c) d1 cắt d2 ỉ1 9ư ;- ÷ ÷ Bài 3.6 a) N ỗ ỗ ữ b) A ẻ D ị 3xA - yA - = Þ yA = 3xA - , ỗ ố4 4ứ B ẻ D Þ xB + yB + = Þ yB = - 2xB - B trung điểm AM suy ìï ïï xA = - ï Þ D : 29x - 3y + = í ïï ïï xB = ỵ Bài 3.7 a) Nếu a = b Þ D º D , Nu a b ị D v D cắt 2xB = xA ïì Û ïí ïï - 4xB - = + 3xA - ợ a2 - b2 b Vậy b ¹ a ¹ b điều kiện cần tìm a- b a b) Cho y = Þ ( a - b) x = (a2 - b2)x = b suy Û b = Û a=0 a - b a - b2 Bài 3.8 a) D1 qua điểm cố định M ( 1;0) æk2 - 2k3 ữ ; ữ b) N ỗ ỗ ữ çk2 + k2 + 1ø è Bài 3.9 TH1: Nếu m = Þ D cắt D TH2:Nếu m ¹ : m - th1: ¹ m ị D1 ct D - m ìï m = ±1 m - 1- m = ¹ Û ïí Û m = D1 / / D th2: ïï m ¹ - - m ỵ th3: m - 1- m = = Û m = - D1 º D - m 2 Bài 3.10 ( PA + PB ) £ 2( PA + PB ) = 2AB = 16 Do max ( PA + PB ) = P trung điểm cung AB Khi P ( 2;1) hay P ( 0;- 1) suy m = m = Bài 3.11 Để ý hai đường thẳng vng góc với nên cắt điểm M Rõ ràng đường thẳng thứ qua điểm cố định A ( 1;1) đường thẳng thứ hai qua điểm cố định B ( 3;- 1) , nên tập hợp điểm M đường trịn đường kính AB 3.312: Toạ độ A nghiệm hệ pt: ïìï 5x - 2y + = ïì x = Û ïí Þ A ( 0;3) í ïï 4x + 7y - 21 = ïï y = ỵ î 5a + Vì B ( a;b) thuộc AB nên 5a - 2b + = Þ b = hay ổ 5a + 6ử ữ Bỗ a; ữ ỗ ữ ỗ ứ ố uuur Mt khỏc, H trực tâm nên HB ^ AC suy HB VTPT AC uuur uuur HB phương với nAC ( 4;7) a 5a + Û = = Û a = - Þ B ( - 4;- 7) 14 3.313: Gọi D đường thẳng qua A vng góc với d Ta có hệ số góc đường thẳng d kd = hệ số góc đường thẳng D 1 đường thẳng D có dạng y = - x + m 3 A ẻ D ị = - + m Þ m = 3 Vậy D : y = - x + hay x + 3y - = 3 Tọa độ giao điểm D d nghiệm hệ ìï ïï x = - ìï 3x - y + = ïí Û íï ïï x + 3y - = ïï 12 ỵ ïï y = ỵ kD = - ỉ 12ư - ; ÷ ÷ Suy hỡnh chiu ca A lờn d l A 'ỗ ỗ ữ ỗ 5ứ ố 3.314 Qua A k ng thẳng vng góc với CK cắt CK CB A1, A2 Đường thẳng A1A2 (hay AA2) có phương trình 3x - y + 18 = Toạ độ điểm A1 nghiệm hệ ìï 3x + 9y - 22 = ỉ 14 ỉ 16 ùớ ỗị A1 ỗ ;4ữ ị A ;2ữ ữ ữ ỗ 2ỗ ữ ữ ỗ ứ ỗ ø ïï 3x - y + 18 = è è ỵ Cạnh BC (hay BA2) có phương trình y - = ìï 3x + 9y - 22 = ổ4 ị Cỗ ;2ữ ữ To im C l nghim ca h ùớ ỗ ữ ỗ ùù y- 2= ố ứ ợ §2 PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG ïì x = + t Bài 3.15 a) Phương trình tham số đường thẳng D D : ïí ïï y = - + 2t ỵ u r b) Vì D nhận vectơ n ( 4;2) làm vectơ pháp tuyến nên VTCP D r u ( - 1;2) ïì x = - t Vậy phương trình tham số đường thẳng D D : ïí ïï y = - + 2t ỵ uuur c) Ta có AB ( - 2;3) mà D song song với đường thẳng AB nên nhận r u ( - 2;3) làm VTCP ïì x = 1- 2t Vậy phương trình tham số đường thẳng D D : ïí ïï y = + 3t ỵ uuur d) Vì D đường trung trực đoạn thẳng AB nên nhận AB ( - 2;3) làm VTPT qua trung điểm I đoạn thẳng AB r ỉ 1÷ 1; ÷ Ta có I ç nhận D ç u ( 3;2) làm VTCP nờn phng trỡnh tham s ca ỗ ố 2ữ ứ ïìï x = + 3t đường thẳng D D : ïí ïï y = + 2t ïỵ uuur Bài 3.16 a) Đường thẳng  qua hai điểm A B nên nhận AB = ( - 4;0) làm vectơ phương ìï x = - 4t phương trình tham số ïí ; phương trình tắckhơng có ; ïï y = ỵ phương trình tổng qt y = b) D ^ d nên VTPT d VTCP D nên đường thẳng D nhận ìï x = + t r ï ; phương u ( 1;- 3) làm VTCP nên phương trình tham số íï ïỵ y = - 3t x- y- trình tắc ; phương trình tổng quát = - 3x + y - = c) D / / D ' nên VTCP D ' VTCP D nên đường thẳng D r ïì x = 3t nhận u ( 3;2) làm VTCP nên phương trình tham số ïí ; phương ïï y = 2t ỵ x y trình tắc = ; phương trình tổng qt 2x - y = uuur Bài 3.17: a) Ta có AB ( - 4;- 2) suy đường thẳng chứa cạnh BC có ìï x = - - 4t phương trình ïí ïï y = - - 2t ỵ uuur BC ( 1;8) suy đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình ìï x = - + t ïí ïï y = - + 8t ỵ uur CA ( 3;- 6) suy đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình ïìï x = + 3t í ïï y = - - 6t ỵ ỉ3 ö - ;1÷ ÷ b) M trung điểm BC nờn M ỗ ỗ ữdo ú ng thng cha ng ỗ ứ ố uuuu rổ - ;2ữ ữ trung tuyn AM nhn AM ỗ ỗ ữlm VTCP nờn cú phng trỡnh l ỗ ố ứ ìï ïï x = - 7t í ïï y = - +22t ïỵ c) Trung điểm AB I ( 0;- 2) , tâm tam giỏc ABC l ổ 1ử Gỗ - ; ữ ữ ỗ ữ ỗ 3ứ ố uur ổ 7ư ïìï x = - t - ; ÷ IG : ữ Khi ú ta cú IG ỗ ú ỗ ữ ỗ ùù y = - + 7t è 3ø ỵ Bài 3.18 a) AB : 5x + 2y - 13 = b) AH : 3x - y + = uuuu r æ9 3ư ;- ÷ ÷ c) Gọi M trung điểm ca BC nờn M = ỗ , ỗ AM = ( 7;- 11) ị ữ ỗ ố2 2ứ AM : 11x + 7y - 39 = d) 3x - y - 12 = ỉ10 1ư ; ÷ ÷ e) Trng tõm ca tam giỏcG = ỗ ỗ ữsuy ng thng cn tỡm l ỗ ố 3ứ f) Đường thẳng qua M vng góc với trục tung có dạng là: y=- g) x + y - = y= ỉ7 2ư ; ÷ ÷ h) Lấy K ẻ AB cho AK = 2BK đ K = ỗ ỗ ữ Khi ú ỗ ố3 3ứ uuur CK = ( - 11;8) ® CK : 8x + 11y - 26 = Bài 3.19 Gọi A ( a;0) , B ( 0;b) , a > 0, b > phương trình D cần tìm có x y + = Mặt khác OA = a,OB = b a b a) D1 : x + 3y - = 0; D : 2x + y - = b) D : 2x + 3y - 12 = Bài 3.20 A ( - 2;1) ,C ( 10;9) ; dạng CD : 2x - y - 11 = 0, BC : x - 2y - 28 = Bài 3.21 Gọi AB : 3x - y - = 0, AD : x + y - = Khi A ( 1;1) Þ C ( 5;1) , CD : 3x - y - 14 = 0, AD : x + y - = Bài 3.22 A ( 0;a ) Þ B ( 2;6 - a ) , C ( - 6;2 - a ) BC qua gốc tọa độ nên uuu r uuur OB OC phương suy 2( - a ) = ( - a ) ( - 6) Û a = Bài 3.23.ĐS: 7x - 2y - 12 = 0, 5x + y - 28 = 0, 2x - 3y - 18 = Bài 3.24 ĐS: A ( - 4;2) , B ( - 3;- 2) , C ( 1;0) Bài 3.25 A Ỵ d1, C Ỵ d2 , B, D thuộc trục hoành suy A ( a;a ) ,C ( c;1 - 2c ) , B ( b;0) , D ( d;0) Vì ABCD hình vng B, D thuộc trục hoành nên A C đối xứng qua trục hồnh ïìï a = c Û a = c = Suy A ( 1;1) ,C ( 1;- 1) í ïï a = 2c - ỵ ABCD hình vng suy BA ^ BC trung điểm AC trùng với trung điểm BD uuu r uuur éb = BA ^ BC Þ BA.BC = Û ( 1- b) - = Û ê êb = (1) ê ë Trung điểm AC trùng trung điểm BD nên b + d = (2) ìï b = ìï b = Từ (1) (2) ta có ïí ïí ïï d = ïï d = ỵ ỵ Vậy có hai hình vng thỏa mãn có tọa độ đỉnh A ( 1;1) , B ( 2;0) ,C ( 1;- 1) , D ( 0;0) A ( 1;1) , B ( 0;0) ,C ( 1;- 1) , D ( 2;0) Bài 3.26 ĐS: B ( - 2;- 3) , C ( 4;- 5) Bài 3.27 B Ỵ d1; C Ỵ d2 nên tọa độ B, C có dạng B ( a;2 - a ) , C ( b;8 - b) uuur uuur AB = ( a - 2;- a ) ; AC ( b - 2;6 - b) Tam giác ABC vng cân A nên ìï AB = AC ìï a - 2 + a2 = b - 2 + - b ( ) ( ) ( ) Û ïìï ( a - 1) ( b - 4) = ïí uuur uuur ï Û í í ïï AB AC = ïï ( a - 2) ( b - 2) - a ( - b) = ïï ( a - 1) - ( b - 4) = ïỵ ïỵ ỵï ìï a = - ìï a = Giải hệ dễ dàng tìm ïí ïí ïï b = ïï b = ỵ î B ;3 , C ;5 B 3; , C ) ( ) ( ) ( 5;3) Từ ( Bài 3.28 Điểm A '( 0;3) Î BC điểm đối xứng A qua D , A ''( 0;2) Ỵ BC điểm đối xứng A qua D ' ỉ 1ư ỉ 5ư 0; ÷ ,C ç 0; ÷ ÷ ÷ Ta có BC : x = suy B ỗ ỗ ỗ ữ ữ ç 2ø è ç 3ø è Bài 3.29 ĐS: B ( 0;0) , C ( 0;5) Bài 3.30 ĐS: AB : 23x - y - 24 = , BC : 19x - 13y + = Bài 3.31 a) M ẻ D ị M ( 2t - 3;t ) suy ổ 11ử 267 267 ữ ỗ 2MA + MB = 15t - 66t + 126 = 15ỗt + ữ ữ ỗ 5ứ 5 ố ổ7 11ử 11 ị Mỗ ; ữ ữ Du bng xy t = ỗ ữ ỗ ố5 ø 2 b) Dễ thấy A, B phía với D Gọi A' điểm đối xứng A qua D Þ A '( 4;1) Ta có MA + MB = MA '+ MB ³ A 'B , dấu "=" xảy ỉ3 9ư Û M Ỵ A 'B M = A 'B ầ D ị M ỗ ; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố2 4ứ c) Lấy A' câu b) suy MA - MB = MA '- MB £ A 'B dấu "=" ỉ3 9ư ; ÷ ÷ xảy Û M = A 'B ầ D ị M ỗ ỗ ữ ç2 4ø è Bài 3.32 ĐS: BC : 3x + 11y - 20 = D '/ / D Þ D ' : 2x + y + c = , éc = - 3(l ) c- d ( I ; D ) = d ( I ; D ') Û = Û ê ê c = 13 5 ê ë D ' : x + y + 13 = Vậy b) D ' : 2x - y + 15 = Bài 3.34 Ta có DC : x - 2y + = 0; BC : 2x + y - = 0; Bài 3.33 a) d ( I ; D ) = AD : 2x + y - 12 = 0; AC : x + 3y - 11 = 0; BD : 3x - y - = ( Bài 3.35 Dễ thấy B ( 1;0) Vì C ẻ D ị C a; 3( a - 1) ) A, B thuộc trục hoành tam giác ABC vuông nên A ( a;0) uuur uuur AB = ( a - 1;0) , AC = 0; 3( a - 1) , ABC tam giác uuur uuur AB, AC khơng phương hay a ¹ ( ) Theo cơng thức tính diện tích tam giác ta có SABC = pr = AB AC suy 2( AB + BC + CA ) = AB AC , mặt khác AB = a - , BC = a - ,CA = ( ) nên ta có + a - = 3a- 3( a - 1) suy a = 1(loại), a = + a = - - Vậy có hai trường hợp xảy ta tìm tọa độ trọng tâm hai trường hợp ỉ7 + 3 + 6ư ỉ- 1- - - 6ử ữ ữ ỗ ữ ữ G1 ỗ ; G ; ỗ ỗ , ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ 3 3 è ø è ø Nhận xét: Cách khác: Gọi I tâm đường tròn nội tiếp D ABC Vỡ r = ị yI = ±2 Từ phương trình đường thẳng BC suy B = 600 éx = x = + x- C ê A BI : y = Þ x = ± Þ I ê x = xC = - - 3 ê ëA Từ phương trình BC ta suy yC tìm tọa độ ba đỉnh suy tọa độ trọng tâm r A a ;3 a Þ B + a ;9 a ( ) ( ) Bài 3.36 , u ( - 1;5) , uuur uuur AB ( 4;6) , AC ( - - a;5a - 3) uuur r uuur r cos AB;u = cos AC ;u Û ( ) ( ) 26 42 + 62 = éa = Û ê êa = ê ë 26a - 13 ( + a) + ( 5a - 3) Chỉ có trường hợp a = Þ B ( 5;4) Bài 3.37 (hình 3.27)Gọi H' chân đường cao xuất phát từ đỉnh A, H giao điểm đường thẳng D AH Vì H Ỵ D nên H ( a;4 - a ) A H B H' CE Hình 3.27 uuur r AH u = Û - 1( a - 6) + 1.( - - a ) = Û a = Þ H ( 2;2) r (Trong u ( - 1;1) vectơ phương D ) H trung điểm đoạn thẳng AH' nên H '( - 2;- 2) r Đường thẳng chứa cạnh BC qua H nhận u làm vectơ phương nên ïì x = - - t BC : ïí ïï y = - + t ỵ Gọi B ( - - t;t - 2) Þ C ( t - 2;- - t ) uuur uuur E nằm đường cao qua đỉnh C nên EC AB = hay ét = ( t - 3) ( - - t ) + ( 1- t ) ( t - 8) = Û t2 - 2t - = Û êêt = - ê ë Vậy B ( - 6;2) ,C ( 2;- 6) B ( 0;- 4) ,C ( - 4;0) 10