G iyva~1

GỢI Ý VÀ ĐÁP SỐ CHƯƠNG I: VECTƠ §1 CÁC ĐỊNH NGHĨA Bài 1.1 Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B ta xác định hai vectơ khác uuur uuu r vectơ-không AB, BA Mà từ năm đỉnh A, B, C , D, E ngũ giác ta có 10 cặp điểm phân biệt có 20 vectơ thỏa mãn yêu cầu toán uuur uuur uuu r uuur Bài 1.2: a) AB = DC , OB = DO uuur uuur uuu r b) BO, DO, OD Bài 1.3: a) A nằm đoạn BC b) A nằm đoạn BC Bài 1.4 a) B trung điểm AC b) A, B, C, D thẳng hàng ABCD hình bình hành Bài 1.5: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai e) Sai f)        Bài 1.6: a) FO, OC , ED b) CO, OF , BA, DE uuur Bài 1.7: (hình 1.40) Ta có AB = AB = a ; uuur AC = AC = AB + BC = a uuu r a uuur a A OA = OA = AC = , OM = OM = 2 Gọi E điểm cho tứ giác OBEA hình bình hành hình vng uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r D OA + OB = OE Þ OA + OB = OE = AB = a Ta có uuur AB = AB = a Bài 1.8: (Hình 1.41)Ta có E B O C Hình 1.40 Gọi M trung điểm BC Ta có A I G B C M Hình 1.41  2 a a AG  AG  AM  AB  BM  a   3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word  a a a 21 2 BI BI  BM  MI    uuur uuur Bài 1,9: MA = MB Û MA = MB Þ Tập hợp điểm M đường trung trực đoạn thẳng AB Bài 1.10: (Hình 1.42) Do M, Q trung điểm AB AD nên MQ đường trung bình tam giác ABD suy MQ / / BD D MQ = BD (1) Q A Tương tự NP đường trung bình tam giác P M CBD suy NP / / BD NP = BD (2) C B N MQ / / NP Từ (1) (2) suy NP = MQ Hình 1.42 tứ giác MNPQ hình bình hành uuur uuur Vậy ta có MQ =NP Bài 1.11: (Hình 1.43) Ta có tứ giác hình bình hành DMBN DM  NB  AB, DM / / NB uuuu r uuur Suy DM = NB D Xét tam giác CDQ có M trung điểm DC MP / / QC P trung điểm DQ Tương tự xét tam giác ABP suy Q trung điểm PB uuur uuur uuu r Vì DP PQ QB từ suy DP = PQ = QB Bài 1.12: (Hình 1.44) uur uuu r a) Ta có CI = DA suy AICD hình bình hành    AD IC Ta có DC  AI mà AB 2CD AI  AB  I trung điểm AB Ta có DC IB DC / / IB Þ tứ giác BCDI hình bình hành uur uuu r Suy DI = CB A N A B Q P C M Hình 1.43 D C I 1.44 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu fileHình word B   b) I trung điểm AB  AI IB tứ giác BCDI hình bình hành   uur uur uuur  IB DC suy AI = IB = DC Bài 1.13: Ta có B 'C ^ BC , AH ^ BC Þ B 'C / / AH , B 'A ^ BA, CH ^ AB Þ B 'A / / CH uuur uuuur AH = B 'C Suy AHCB ' hình bình hành §2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Bài 1.14: (Hình 1.45)Theo quy tắc trừ ta có      AB  AC CB  AB  AC BC a Gọi A ' đỉnh hình bình hành ABA  ' C và O tâm hình nình hành Khi ta có AB  AC  AA ' a2 a Ta có AO  AB  OB  a     Suy AB  AC  AA ' 2 AO a C A' O A B Hình 1.45 Bài 1.15. (Hình  1.46)      a) Ta có OD BO  AB  OD  AB  BO  AO uuur uuu r AC a AB + OD = AO = = 2   Ta có OC  AO suy B' A B O D uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r r AB- OC + OD = AB AO + OD = OB + OD =    AB  OC  OD 0 C Hình 1.46 b)  Áp  dụng   quytắc trừ ta  có     MA  MB  MC  MD  MA  MB  MC  MD BA  DC BA  DC     Lấy B ' làđiểm  đối xứng  của B qua A Khi  DC  AB '  BA  DC BA  AB ' BB '      Suy MA  MB  MC  MD  BB ' BB ' 2a uuur uuur uuur Bài 1.16: Ta có AB + AD = AD = 2a cos300 = a 3, http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word uuu r uuur uuu r a OB - DC = CO = a cos600 = Bài 1.17: a) Từ giả thiết suy ba điểm A, B, C tạo thành tam giác nhận · · · O làm trọng tâm AOB =BOC =COA = 1200 b) Gọi I trung điểm BC Theo câu a) D ABC nên AI = a uuu r uuur uuu r OB + AC - OA = a uuu r uuu r uuur Bài 1.18: Dựng hình bình hành OACB Khi đó: OA + OB = OD uuu r Vậy OD nằm phân giác góc xOy Û OACB hình thoi Û OA = OB Bài   1.19:  a)  Áp dụng  quy   tắc trừ ta có DA  CA DB  CB  DA  DB CA  CB    BA BA (đúng) b)  Áp  dụng  quy  tắc  ba điểm   ta có     AC  DA  BD  AD  CD  BA  DA  AC  BD  BA  AD  CD      DC  BD BD  CD (đúng) Bài 1.20: Cách 1: Đẳng thức cần chứng minh tương đương với uuur uuur uuur uuu r uuu r uuu r r ( AD - AE ) + ( BE - BF ) + ( CF - CD ) = uuu r uuu r uuur r Û ED + FE + DF = uuu r uuu r r Û EF + FE = (đúng) Cách 2: uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuur VT = AD + BE +CF = ( AE + ED ) + ( BF + FE ) + ( CD + DF ) uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuur = AE + BF +CD + ED + FE + DF uuur uuu r uuu r = AE + BF +CD =VP Bài  1.21  a)Tacó ODBO  do A AB  OD  OC  AB  BO  OC  AO  OC  AC b)  Theo  quy  tắc  hình  bình hành ta có BA  BC  OB BD  OB  OB BD OD A O c) Theo câu b) ta có BA BC  OB OD D Theo quy tắc trừ ta có MO  MB  BO       P 1.47 Hình Mà OD BO suy BA  BC  OB MO  MB     B C N B word M http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file Hình 1.48 C Bài 1.22:  (Hình  1.48) a) Vì PB  AP, MC PN nên uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur r NA +PB + MC = NA + AP + PN = NP + PN = b) Vì MC BM kết hớp với quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành ta có uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur MC + BP + NC = BM + BP + NC = BN + NC = BC Bài 1.23: Theo quy tắc trừ quy tắc hình bình hành ta có uuuur uuuu r uuuur uuur uuuu r uuuur uuur uuur uuuu r B 'B + CC ' + D 'D = AB - AB ' + AC ' - AC + AD - AD ' uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur r = AB + AD - AC - AB ' + AD ' + AC = r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r Bài 1.24: Đặt u = OA + OB + OC + OE + OF uuu r uuu r uuur uuu r uuu r Vì ngũ giác nên vectơ OA + OB + OC + OE phương với OF r uuu r nên u phương với OF r uuu r r r Tương tự u phương với OE suy u = Bài 1.25: Theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur AQ = AM + MN + NP + PQ = BA + DA + DC + BC uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur Mặt khác BA + BC = BD, DA + DC = DB suy uuur uuur uuur r AQ = BD + DB = §3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ Bài 1.26: a) Theo quy tắc ba điểm ta có  1    AN  CB NC  CM NM A  1 a Suy AN  CB MN  AB  2 N b) Theo quy tắc trừ ta có H 1     BC  MN BM  BA  AM C M   a  BC  MN  AM  2 c) Gọi F điểm đối xứng A qua C , F điểm E là đỉnh hình bình hành ABEF , theo quy    tắc hình  bình hành ta có I AB  AC  AB  AF  AE ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) E http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Hình K B Gọi I hình chiếu E lên AC   Vì AB / / EF  EIF CAB 600 IE a   sin IFE   IE EF sin IFE a sin 600  EF IF a   cos IFE   IF EF cos IFE a cos 600  EF Áp dụng định lí Pitago ta có 2 a a 3 a 28  AE  AI  IE   2a       2      a 28 Suy AB  AC  AE     3 d) Lấy điểm H , K cho 0, 25MA MH ; MB MK  3    Suy 0, 25MA  MB MH  MK KH Do 2 2  3  a   a 2 a  AM    0, 25MA  MB KH           MB    8   2     4 Bài 1.27: Gọi O tâm hình vng Theo quy tắc ba điểm ta có r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r u = ( MO +OA ) - 2( MO +OB ) + 3( MO +OC ) - 2( MO +OD ) uuu r uuu r uuur uuu r = OA - 2OB + 3OC - 2OD uuu r uuu r uuur uuu r r uuu r Mà OD = - OB , OC = - OA nên u = - 2OA r Suy u không phụ thuộc vào vị trí điểm M   b) u   2OA 2OA a Bài 1.28: (hình 1.49) uuuu r uuur uuu r a) AM + BN +CP = A N P B M Hình 1.49 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word C r r r uuur uuur uuur uuu uur uuu = ( AB + AC ) + ( BC + BA ) + ( CA +CB ) = 0b) 2 uuur uuur uuu r OM +ON +OP = r uuur r r uuu r uuu r uuu r uuur uuu uuur uuu uuu OB +OC ) + ( OC +OA ) + ( OA +OB ) = OA +OB +OC ( 2 Bài 1.29: a) Ta có uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AH = 2AG - AB = AC + AB - AB = AC - AB 3 uuur uuur uuur u u u r u u u r 1 CH = AH - AC = - AB - AC 3 uuuu r u u u r u u u r u u u r 1 uuur uuur b) MH = AH - AB + CH = AC - AB 6 Bài 1.30: Ta có r uuur r uuur MC uuur MB uuur MC uuuu MB uuuu AB + AC = AM + MB ) + AM + MC ) ( ( BC BC BC BC uuuu r MC uuur MB uuur uuuu r = AM + MB + MC = AM BC BC Bài 1.31: Ta có: uuuu r uuur uuuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuuu r B ' B +CC ' + D ' D = ( AB - AB ' ) + ( AC ' - AC ) + ( AD - AD ' ) uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur r = ( AB + AD ) - AC - ( AB ' + AD ' ) + AC = ( ( ) ) Bài 1.15: (hình 1.50) Qua M kẻ đường thẳng song song với cạnh  ABC, đường thẳng cắt A điểm hình vẽ Dễ thấy ta có tam giác E2 F1 F MD1D2, ME 2E 2, MF1F2 hình bình hành MF1AE 2, ME 1CD2, MD1BF2 uuur uuur uuur Ta có: MD = (MD + MD 2) , F2 B E M D1 D D2 E1 C Hình 1.50 uuur uuur uuur uuur uuur uuur ME = (ME + ME 2) , MF = (MF + MF 2) 2 uuur uuur uuur uuur Cộng vế đẳng thức nhóm ta được: MD + ME + MF = MO http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Bài 1.32: Ta gọi M trung điểm AB M' hình chiếu M lên d Khi uuur uuur uuuuu r đó, ta có: AA ' + BB ' = 2MM ' Gọi N trung điểm GC (ta có G trung điểm MN) N' hình chiếu lên d thì: uuuu r uuur uuuur uuuuu r uuuur uuuu r GG ' +CC ' = 2NN ' , MM ' + NN ' = 2GG ' Từ ba đẳng thức ta có đpcm r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r Bài 1.33: Đặt u = OA + OB + OC + OE + OF uuu r uuu r uuur uuu r uuu r Vì ngũ giác nên vectơ OA + OB + OC + OE phương với OF r uuu r nên u phương với OF r uuu r r r Tương tự u phương với OE suy u = ur r ur ur uu r Bài 1.34: Giả sử n vectơ , i = 1, 2, , n Đặt u = a1 + a2 + + an Vì tổng n - vectơ n vectơ phương với vectơ cịn ur ur r r r lại u phương với hai vectơ a1, a2 nên u = Bài 1.35: (hình 1.51) a) Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp D ABC ta có æ B æ C æ A Cö Aö Bö a =rỗ cot + cot ữ cot + cot ữ cot + cot ữ ữ; b = r ỗ ữ; c = r ỗ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ç ç ç è 2ø è 2ø è 2ø uur uur uur r Theo ví dụ ta có aIA + bIB + cIC = uur ỉ A uur r ỉ B ưuur ỉ C C÷ Aử Bử ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗcot + cot ữIA +ỗcot + cot ữIB + ỗcot + cot ữIC = ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố 2÷ ø è 2ø è 2ø uuu r uur uur uur uur uur uur uur uur b) Ta có IM = IB + IC ; IN = IC + IA ; IP = IA + IC 2 Theo câu a) ta có ( ) ( ) ( ) A E F P N I B r A uur uur B uur uur C uur uur cot IB + IC + cot IA + IC + cot IA + IB = 2 u u u r u u r u u r r A B C Suy cot IM + cot IN + cot IP = 2 c) Ta có ( ) ( ) ( D M Hình 1.51 ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word C uur uur uur uuu r uur uuu r uur uur uur uuu r uur uur IA = IP + IN - IM ;IB = IM + IP - IN ;IC = IM + IN - IP Kết hợp ví dụ suy uur uur uur r aIA + bIB + cIC = uuu r uur uur r Û ( b + c - a ) IM + ( a + c - b) IN + ( a + b - c ) IP = uur ( p - c ) uur ( p - b) uur DC uur DB uur d) ID = IB + IC = IB + IC BC BC a a uur uur uur Û aID = ( p - c ) IB + ( p - a ) IC với p nửa chu vi Tương tự ta có : uur uur uur uur uur uur bIE = ( p - a ) IC + ( p - c ) IA ; cIF = ( p - b) IA + ( p - a ) IB A M B C A' Hình 1.52 uur uur uur uur uur uur Þ aID + bIE + cIF = ( 2p - b - c ) IA + ( 2p - c - a ) IB + ( 2p - a - b) IC uur uur uur uuur uuu r uuu r r = aIA + bIB + cIC Þ aAD + bBE + cCF = Bài 1.36: (hình 1.52)Gọi A' giao điểm AM với BC ta có uuuu r A 'C uuur A ' B uuur MA ' = MB + MC (*) BC BC A 'C SMA 'C S A 'C S = = MAC Þ + = MAC + A ' B SMA 'B SMAB A 'B SMAB Mặt khác A 'B SMAB Þ = BC SMAB + SMAC A 'C SMAC = Và (1) BC SMAB + SMAC uuuu r uuur MA ' uuur SMBC MA = MA (2) Mặt khác MA ' = MA SMAB + SMAC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Thay (1) (2) vào (*) ta điều phải chứng minh Bài 1.37: (hình 1.53)Ta chứng minh quy nạp ur A1 Với n = đẳng thức trở thành ur ur ur r ek ae + be + ce 3=0 Ak (đúng đẳng thức tương đương với đẳng thức r uuu r 11) e e k- Giả sử với n = k - 1, k ³ r Ak-1 Gọi e vectơ đơn vị vng góc với A1Ak- uuur hướng tam giác A1Ak- 1Ak ek- Ak-2 Theo giả thiết quy nạp ta có Hình 1.53 ur e1 A2 ur ur uuur r r A1A2e1 + A2A3e2 + + Ak- 2Ak- 1ek- + Ak- 1A1 ( - e) = (1) r uuu r ur r Mặt khác xét tam giác A1Ak- 1Ak ta có A1Ak- 1e + Ak- 1Akek- + AkA1ek = (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Bài 1.38: (hình 1.54)Gọi Bi , i = 1, 2, , n A1 B tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh Ai Ai +1 Bn A2 · · Xét tứ giác A1B1IBn có A1BnI = A1B1I = 90 An B2 ·B A I = B · AI n 1 A3 Bn-1 I · · Suy BnIA1 = B1IA1 Mặt khác IB1 = IBn dó An-1 IA1 ^ B1Bn Bn-2 An-2 Tương tự ta có IAi ^ Bi - 1Bi , i = 2, 3, , n Hình 1.54 Xét đa giác lồi B1B2 Bn theo định lý nhím ta có ur ur ur r BnB1.e1 + B1B2.e2 + + Bn- 1Bn en = A ur A ur A ur r Û IB1.cos e1 + IB2.cos e2 + + IBn cos n en = 2 Mà IB1 = IB2 = = IBn suy đpcm HB HB BC c2 Bài 1.39: Ta có = = 2, HC HC BC b uur u u r u ur 2 b c IB + IC Suy IH = c + b2 c + b2 uur uur uur b2 uur c2 uur Mà b2 + c2 = a2 IH = - IA nên suy - IA = IB + IC a a uur uur uur r 2 Hay a IA + b IB + c IC = 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word ur e2 A3 uuur MD uuur MC uuur MD MC BC + BD Þ BM = BC + BD BM = CD CD CD CD Từ suy MD MC AM + BM < ( AC + BC ) + ( AD + BD ) CD CD ổMD MC ữ ị AM + BM < ỗ + ữ.max { AC + BC ; AD + BD } ỗ ữ ốCD CD ø Þ p < max { AC + BC + AB ; AD + BD + AB } Hay p < max { p1; p2 } Bài 1.79: Ta chứng minh quy nạp + Với n = : hiển nhiên + Giả sử BĐT với n = k ta chứng minh với n = k +1 hay 2k+3 uuu r å OPi ³ i =1 uuur uuuuuu r Trong 2k + vectơ ta chọn hai vectơ có góc lớn nhất, giả sử OP1, OP2k+3 r 2k+2 uuur uuu r uuur uuuuuu r uuu Đặt OA = OP1 + OP2k+3 , OB = å OPi i =2 · Suy điểm A, B nằm góc P·1OP2k+3 AOB £ 900 uuu r uuu r uuu r Þ OA +OB ³ OB uuu r Mặt khác theo giả thiết quy nạp ta có OB = uuur OPi ³ 2k+2 å i =2 uuur uuu r uuu r uuu r OPi = OA +OB ³ OB ³ 2k+3 Suy å i =1 §4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Bài 1.80: a) xM = Bài 1.81: xI = kb - a a +b 5b + 2a b) xI = c) xN = k- a +b +c DA CA a- d a- c =Û =b- d b- c DB CB Û ab - ac - bd + cd = bc - ab - cd + ad Û 2(ab + cd) = c(a + b) + d(a +b) Û 2(ab + cd) = (a + b)(c + d) Bài 1.82: Ta có http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word 19 æ a 3ử ổa ổ a ữ 0; , Bỗ - ; 0ữ ,C ỗ ; 0ữ ữ Bi 1.83: a) A ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ç ç ø è ø è2 ø è ổ a a 3ử ữ ; ữ b) E ỗ ç ÷ ç è4 ø ỉ a 3ư ÷ 0; ÷ c) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác u trựng vi trng tõm G ỗ ỗ ữ ỗ ø è Bài 1.84: a) A ( - 4; 0) , C ( 4; 0) , B ( 0; 3) , D ( 0; - 3) ỉ 3ư 2; ữ b) I ỗ ữ, G ( 0; 1) ữ ç è 2ø Bài 1.85: Kẻ BH ^ AD Þ BH = 3; AB = 3; AH = A(0;0) ;B( 3;3) C (4 + 3;3) D(4;0) uuur uuur uuu r AB = 3;3 BC = (4;0) CD = - 3;- uuur AC = + 3;3 ( ( ) ) ( ) Bài 1.86: ĐS: A ( - 6; 0) , D ( 6; 0) , B ( - 3; 3) , C ( 3; 3) , F ( - 3; - 3) , E ( 3; - 3) ur Bài 1.87: ĐS: a) u = (28;- 28) ur b) u = (0; ) r Bài 1.88: ĐS: a) u( - 38; 3) b) M ( - 2; - 1) æ1 1ư ;- ÷ Bài 1.89: a) Trung điểm BC I ỗ ữ ỗ ữ, trng tõm ca tam giỏc ABC l ố2 2ứ ổ4 Gỗ ; 1ữ ữ ữ ỗ ố3 ứ uuur uuur ùỡ x = Þ D ( 0; 1) b) Tứ giác ABCD hình bình hành Û AB = DC Û í ïïỵ y = Bài 1.90: Do I ( 4; - 1) trung điểm CD nên đặt uuu r C ( - x; - 1- y ) , D ( + x; - 1+ y ) Þ CD ( 2x; 2y ) uuu r uuu r ìï x = Tứ giác ABCD hình bình hành Û CD = BA Û í ïïỵ y = ỉ9 ; 2÷ Vậy C ( 2; - 2) , D ( 6; 0) , O ỗ ữ ữ ç è2 ø 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word