BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà CHỦ ĐỀ 6: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Lợi ích việc chứng minh hai tam giác suy cặp cạnh tương ứng nhau, cặp góc tương ứng 2/ Các trường hợp tam giác * Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh: Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tương ứng tam giác hai tam giác * Trường hợp cạnh - góc - cạnh: Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác * Trường hợp góc - cạnh - góc: Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác 3/ Việc chứng minh hai đoạn thẳng (hay hai góc) ta làm sau: - Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác - Chứng minh hai tam giác - Suy hai cạnh (hay hai góc) tương ứng 4/ Chú ý: Để tạo hai tam giác nhau, ta phải vẽ thêm đường phụ nhiều cách: - Nối hai cạnh có sẵn hình để tạo cạnh chung hai tam giác - Trên tia cho trước, đặt đoạn đoạn thẳng khác - Từ điểm cho trước, vẽ đường thẳng song song với đoạn thẳng - Từ điểm cho trước, vẽ đường thẳng vng góc với đoạn thẳng B/ CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1: Cho góc vng xOy, điểm A tia Ox, điểm B tia Oy Lấy điểm E tia đối tai Ox, điểm F tia Oy cho OE= OB, OF= OA a Chứng minh AB = EF, AB EF b Gọi M N trung điểm AB EF Chứng minh tam giác OMN vng cân BỒI DƯỠNG TỐN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Hướng dẫn GT · xOy = 900; A Ox, B Oy ; OE = OB, OF= OA ; M AB: MA = MB KL N EF: NE = NF a) AB = EF, AB EF b) V OMN vuông cân Chứng minh a Xét V AOB V FOE có: y OA = OF ( GT) ·AOB = FOE · = 900 F H V AOB V FOE(C.G.C) OB = OE (GT) N AB = EF( cạnh tương ứng) E µA = F µ (1) ( góc tương ứng) B O µ = 900 E µ +F µ = 900 (2) Xét V FOE : O · Từ (1) (2) Eµ + µA = 900 EAH =900 EH HA hay AB EF b Ta có: BM = EN = AB( M trung điểm AB) EF( M trung điểm EF) Mà AB = EF BM = EN µ = 900 Mặt khác: V FOE : O µ +F µ E = 900 µ = 900 µ = 900 µA + B V OAB : O Mà µA = Fµ (cmt) µ = E µ B Xét V BOM V EON có : OB = OE (gt) ; Bµ1 = µ (cmt) E ; BM = EN (cmt) V BOM = V EON (c.g.c) ¶ = O ¶ OM = ON (*) Và O ¶ +O ¶ =900 nên O ¶ +O ¶ =900 MON · Mà O = 900 (**) 3 Từ (*) và(**) V OMN vng cân M A x BỒI DƯỠNG TỐN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Ví dụ 2: Cho V ABC cân đỉnh A Trên cạnh AB lấy điểm D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Nối D với E Gọi I trung điểm DE Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng Hướng dẫn GT KL V ABC: AB = AC ; D AB, E AC cho BD = CE ; I DE: ID = IE B, I, C thẳng hàng A · · + EIC Phân tích: B, I, C thẳng hàng BIE = 1800 · · Cần c/m BID = EIC D · · = 180 Mà BID + BIE B C I F Cần tạo điểm F cạnh BC: V EIC = V DIF E Ví dụ 3: Cho V ABC, µA = 600 Phân giác BD, CE cắt O Chứng minh : a V DOE cân b BE + CD= BC Hướng dẫn GT µ (E AB) µ (D AC) ; CE: Phân giác C V ABC, µA =600 ; BD: Phân giác B KL BD CE = {O} a V DOE cân b BE + CD= BC a) Ta có: V ABC: Bµ + Cµ =1800 - µA =1800 - 600 = 1200 (Định lý tổng A ba góc tam giác) E µ µ B C Mà Bµ1 = (BDlà phân giác Bµ ); Cµ1 = (CE phân giác Cµ ) 2 µ C µ 1200 B µ µ Nên B1 + C1 = = = 600 2 O B F D C · V OBC có BOC = 1800 - ( Bµ1 + Cµ1 ) = 1800 - 600 =1200 (Định lý tổng ba góc tam giác) ¶ = 1800( kề bù) ; BOC ¶ = 1800( kề bù) · · Mặt khác: BOC +O +O ¶ =O ¶ =600 O BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà · ¶ =O ¶ = BOC =600 · Vẽ phân giác OF BOC (F BC) O ¶ =O ¶ =O ¶ =O ¶ =600 Do : O Xét V BOE V BOF cú: ả = B (BDl phõn giỏc µ ); BO cạnh chung ; O ¶ =O ¶ =600 B B 1 V BOE = V BOF(g.c.g) OE = OF (1) ( hai cạnh tương ứng) Và BE = BF c/m tương tự V COD = V COF(g.c.g) OD =- OF (2) (hai cạnh tương ứng) CD = EF Từ (1 ) (2) OE = OD V DOE cân b) Ta có BE = BF ; CD = CF (cmt) BE+CD=BF+FC=BC Vậy : BE + DC= BC * Nhận xét: · - Ví dụ cho ta thêm cách vẽ đường phụ:Vẽ phân giác OF BOC Khi OF đoạn thẳng trung gian để so sánh OD với OE - Ta vẽ thêm đường phụ cách khác: Trên BC lấy điểm F cho BF= BE Do cần c/m V BOE = V BOF(g.c.g) V COD = V COF(g.c.g) C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tam giác ABC tam giác A'B'C' có AB=A'B', AC= A'C' Hai góc A A'bù Vẽ trung tuyến AM kéo dài đoạn MD = MA Chứng minh: a ·ABD = µA ' b AM = B'C' Bài 2:Cho tam giác ABC vẽ tam giác tam giác vuông cân A ABE ACF Chứng minh: a BF = CE BF CE b Gọi M trung điểm BC CMR: AM = EF BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Bài 3: Cho V ABC, vẽ tam giác tam giác vuông cân A ABE ACF Vẽ AH vng góc với BC Đường thẳng AH giao EF O CMR: O trung điểm EF Bài 4: Cho V ABC có µA = 600 Dựng ngồi tam giác tam giác ABM CAN a CMR: Ba điểm A, M, N thẳng hàng b c/m BN = CM · c Gọi O giao điểm BN CM Tính BOC Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu hai cạnh trung tuyến ứng với cạnh thứ ba tam giác hai cạnh trung tuyến ứng với cạnh thứ ba tam giác hai tam giác Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = AC ,gọi M trung điểm cua cạnh BC a) Chứng minh tam giác ABM&ACM b) Chứng minh AM vng góc với BC c) AM phân giác góc A Bài 7: Cho ABC có AB < AC Kẻ tia phân giác AD BAC ( D thuộc BC) Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = AB, tia AB lấy điểm F cho AF = AC Chứng minh rằng: a) BDF = EDC b) BF = EC c) F, D, E thẳng hàng d) AD FC Bài Cho ABC, M trung điểm BC Trên tia đối tia MA, lấy điểm E cho ME = MA a) Chứng minh AC // BE b) Gọi I điểm AC, K điểm EB cho AI = EK Chứng minh điểm I, M, K thẳng hàng Bài Cho góc nhọn xOy tia phân giác Oz góc Trên Ox, lấy điểm A, Oy lấy điểm B cho OA = OB Trên tia Oz, lấy điểm I Chứng minh: a) AOI = BOI b) AB OI BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Bài 10 Cho góc nhọn xOy Trên tia Ox, lấy điểm A C Trên tia Oy lấy điểm B D cho OA = OB ; OC = OD (A nằm O C; B nằm O D) a) Chứng minh OAD = OBC b) So sánh góc CAD CBD Bài 11 Cho ABC vuông A TRên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC a) Chứng minh ABC = ABD b) Trên tia đối tia AB, lấy điểm M Chứng minh MBD = MBC HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: a) Xét V AMC V DMB có: · AM = MD (gt) ; ·AMC = DMB (đối đỉnh); MC = MB( gt) V AMC = V DMB (c.g.c) µ (hai góc tương ứng) AC = BD ( hai cạnh tương ứng) ; µ A1 = D AC//BD ( có cặp góc SLT nhau) · BAC + ·ABD = 1800(hai góc phía) · Mà BAC + µA ' = 1800(gt) A ·ABD = µ A' A' b) Xét V ABD V B'A'C' có: AB = A'B'(gt) ; ·ABD = µA ' (cmt) BD = A'C'(=AC) V ABD V B'A'C'(c.g.c) B' B C' M C D AD = B'C' ( hai cạnh tương ứng) Mà AM = 1 AD (gt) AM = B'C' 2 * Nhận xét: Hai tam giác có hai cặp cạnh cặp góc xen chúng bù trung tuyến thuộc cạnh thứ ba tam giác nửa cạnh thứ ba tam giác BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Bài 2: F · · · · a) Ta có: EAC = EAB + BAC = 90 + BAC E · · · · = BAC + CAF = 900 + BAC BAF A · = BAF · EAC I V ABF = V AEC(c.g.c) O Xét V ABF V AEC có: · · AB = AE(gt) ; BAF = EAC (cmt) ; AF = AC (cmt) B C M µ = E µ ( hai góc tương ứng) (1) BF = CE ( hai cạnh tương ứng) B 1 Gọi O I giao điểm CE với BF AB Xét V AEI vuông A có Eµ1 + Iµ1 = 900(2) Và Iµ1 = Iµ2 (đối đỉnh) (3) · Từ (1), (2) (3) Bµ1 + Iµ2 =900 BOI = 900 BF CE · · · · b) Ta có: EAB + BAC + CAF + FAE = 3600 · · · · BAC + FAE = 3600 - ( EAB + CAF ) =3600-(900+900)=1800 Ta thấy: V ABC V EAF có hai cặp cạnh cặp góc xen chúng bù nên trung tuyến AM = EF K O E Bài 3: F I A Kẻ EI AH, FK AH (I, K AH) Xét V AEI V ABH có: $ µ = 900; AE = AB (gt) I= H · · = BAH (cặp góc có cạnh tương ứng vng góc nhọn) EAI V AEI = V ABH (cạnh huyền- góc nhọn) EI = AH ( hai cạnh tương ứng) Tương tự: V AFK = V CAH (cạnh huyền- góc nhọn) FK = AH ( hai cạnh tương ứng) Xét V OEI V OFK có: · · $ µ = 900 ; EI = FK (=AH) ; KFO = IEO (SLT, EI//FK) I= K B H C BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà V OEI = V OFK(g.c.g) OE = OF ( hai cạnh tương ứng) Mà O EF(gt) O trung điểm EF Bài 4: · · a) V ABM, V CAN BAM = CAN =600 · · · · Vậy MAN = BAM + BAC + CAN = 600+600+600=1800 M,A,N thẳng hàng b) Xét V ABN V ACM có: M · · AB = AM (gt); BAN = CAM (=1200) ; AN = AC(gt) A N V ABN = V ACM(c.g.c) BN = CM ( hai cạnh tng ng) O ả (hai gúc tng ng) v Cà1 = N B C · c) BOC góc ngồi V OCN · · · · BOC = OCN + ONC = Cµ1 + ·ACN + ONC ả (cmt) M Cà1 = N ả + ·ACN + ONC · · BOC =N = ·ACN + ·ANC =600+600=1200 Bài 5: A' Lấy D AM: MD = MA Lấy D' A'M': M'D' = M'A' Xét V ABM V DMC có: · MB = MC(gt) ; ·AMB = CMD (đối dỉnh) AM = MD(cách lấy điểm D) A M' B M C 1 D V ABM = V DMC(c.g.c) ¶ (1)( hai góc tương ứng) CD = AB( hai cạnh tương ứng) Và ¶A2 = D ¶ ' (2) C/m tương tự ; C'D' = A'B'; ¶A '2 = D Xét V ACD V A'C'D' có: AC = A'C'(gt) ; AD = A'D' (vì AM = A'M') ; CD = C'D' ( = AB) V ACD = V A'C'D'(c.c.c) C' B' D' BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà ¶ =D ¶ ' (3) µ A1 = ¶A '1 D 1 · Từ (1), (2),(3) ¶A2 = ¶A '2 mà µA1 = ¶A '1 BAC = B· ' A ' C ' Vậy V ABC = V A'B'C'(c.g.c) * cách 2: V AMC V A'M'C' cú: AM = A'M'(gt); àA1 = ảA '1 (cmt); AC= A'C'(gt) V AMC = V A'M'C' (c.g.c) MC = M'C'( hai cạnh tương ứng) Mà MC = 1 BC; M'C' = B'C'(gt) Do đó: BC = B'C' 2 Vậy V ABC= V A'B'C'(c.c.c)