Bài toán hình trong đề thi csp từ 2011 2021

BÀI TỐN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI CHUN SƯ PHẠM Sưu tầm: Trần Văn Tuân Bài (SP 2021, vòng 1) Cho ba điểm A, B, C cố định cho A, B, C thẳng hàng, B nằm A C Gọi (d) đường thẳng qua C vng góc với AB Lấy điểm M tùy ý (d) Đường thẳng qua B vng góc với AM , cắt đường thẳng AM, (d) I, N Đường thẳng M B cắt AN K a) Chứng minh tứ giác M IKN nội tiếp b) Chứng minh CM.CN = AC.BC c) Gọi (O) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N Vẽ hình bình hành M BN E Gọi H trung điểm đoạn thẳng BE Chứng minh OH vuông góc với đường thẳng (d) OH = AB Bài (SP 2021, vòng 2) Cho A, B hai điểm cố định nằm đường tròn tâm O, bán kính R Giả sử C điểm cố định tia đối tia BA Một cát tuyến thay đổi qua C cắt đường tròn (O) D E (D nằm C E ) Các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACE cắt giao điểm thứ hai M Biết bốn điểm O, B, M, E tạo thành tứ giác OBM E Chứng minh a) Tứ giác OBM E nội tiếp b) CD.CE = CO2 − R2 c) M ln di chuyển đường trịn cố định Bài (SP 2020, vòng 1) Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B tiếp điểm) đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I khác C O) Đường thẳng IA cắt (O) hai điểm D E (D nằm A E ) Gọi H trung điểm đoạn thẳng DE a) Chứng minh AB.BE = BD.AE b) Đường thẳng d qua điểm E song song với AO, d cắt BC điểm K Chứng minh HK//CD c) Tia CD cắt AO điểm P , tia EO cắt BP điểm F Chứng minh tứ giác BECF hình chữ nhật Bài (SP 2020, vòng 2) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O) có AB > BC Một đường tròn qua hai đỉnh A, C tam giác ABC cắt cạnh AB, BC hai điểm K, N (K, N khác đỉnh tam giác ABC ) Giả sử đường tròn (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt giao điểm thứ hai M (M khác B ) Chứng minh a) Ba đường thẳng BM, KN, AC đồng quy điểm P b) Tứ giác M N CP tứ giác nội tiếp c) BM − P M = BK.BA − P C.P A Bài (SP 2019, vịng 1) Cho đường trịn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi AA1 , BB1 , CC1 đường cao tam giác ABC Đường thẳng A1 C1 cắt đường tròn (O) điểm A0 C (A1 nằm A0 C1 ) Các tiếp tuyến đường tròn (O) A0 C cắt B a) Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh HC1 A1 C = A1 C1 HB1 b) Chứng minh ba điểm B, B , O thẳng hàng c) Khi tam giác ABC tam giác đều, tính A0 C theo R Bài (SP 2019, vòng 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) AB > AC Gọi D, E chân đường cao hạ từ A, B tam giác ABC Gọi F chân đường vng góc hạ từ B lên đường thẳng AO a) Chứng minh B, D, E, F bốn đỉnh hình thang cân b) Chứng minh EF qua trung điểm BC c) Gọi P giao điểm thứ hai đường thẳng AO đường tròn (O), M \ N trung điểm EF CP Tính góc BM N Bài (SP 2018, vịng 1) Cho hình chữ nhật ABCD với BC = a, AB = b Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD Qua điểm M dựng đường thẳng cắt đường chéo AC hình chữ nhật ABCD điểm P cắt đường thẳng BC điểm Q cho B nằm C Q Khi M P ⊥ AC , hãy: a) Tính P Q theo a b b) Chứng minh a.BP = b.P N \ \ Chứng minh M NP = M N Q (không thiết M P AC vng góc với nhau) Bài (SP 2018, vịng 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt đường thẳng AB AC theo thứ tự D E Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC lấy điểm P cho AP vng góc với P C Đường thẳng qua B song song với OP cắt P C Q Chứng minh rằng: a) P B = P Q b) O trực tâm tam giác ADE \ \ c) P AO = QAC Bài (SP 2017, vòng 1) Cho đường trịn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn Các tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt P Gọi D, E tương ứng chân đường vng góc hạ từ P xuống đường thẳng AB, AC M trung điểm BC \ \ a) Chứng minh M EP = M DP b) Giả sử B, C cố định A chạy đường trịn (O) cho tam giác ABC ln tam giác có ba góc nhọn Chứng minh đường thẳng DE qua điểm cố định c) Khi tam giác ABC tam giác đều, tính diện tích tam giác ADE theo R Bài 10 (SP 2017, vịng 2) Cho đường trịn (O) bán kính R điểm M nằm ngồi đường trịn (O) Kẻ tiếp tuyến M A, M B tới đươnmgf tròn (O) (A, B ) tiếp điểm Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khác A B ) Gọi I, K trung điểm M A, M C Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D a) Chứng minh KO2 − KM = R2 b) Chứng minh tứ giác BCDM tứ giác nội tiếp c) Gọi E giao điểm thứ hai đường thẳng M D với đường tròn (O) N trung điểm KE Đường thẳng KE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F Chứng minh bốn điểm I, A, N, F thuộc đường tròn Bài 11 (SP 2016, vòng 1) Cho ba điểm A, B, M phân biệt, thẳng hàng M nằm A, B Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB , dựng hai tam giác AM C BM D Gọi P giao điểm AD BC a) Chứng minh AM P C BM P D tứ giác nội tiếp √ √ b) Chứng minh CP.CB + DP.DA = AB c) Đường thẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp tứ giác AM P C BM P D cắt P A, P B tương ứng E, F Chứng minh tứ giác CDF E hình thang Bài 12 (SP 2016, vịng 2) Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC Kẻ đường cao AH Đường trịn (O) đường kính AH cắt cạnh AB, AC tương ứng D E Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC S a) Chứng minh tứ giác BDEC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh SB.SC = SH c) Đường thẳng SO cắt AB, AC tương ứng M N Đường thẳng DE cắt HM, HN tương ứng P Q Chứng minh ba đường thẳng BP, CQ AH đồng quy \ ACB \ Bài 13 (SP 2015, vòng 1) Cho tam giác ABC có góc ABC, \ = 600 Các đường phân giác BB1 , CC1 tam giác nhọn BAC ABC cắt I a) Chứng minh tứ giác AB1 IC1 nội tiếp b) Gọi K giao điểm thứ hai (khác B ) đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1 I Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp c) Chứng minh AK ⊥ B1C1 Bài 14 (SP 2015, vòng 2) Cho tam giác nhọn ABC , AB < AC M trung điểm cạnh BC , O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy H Các tiếp tuyến với (O) B C cắt S Gọi X, Y giao điểm đường thẳng EF với đường thẳng BS, AO Chứng minh rằng: a) M X ⊥ BF b) Tam giác SM X đồng dạng với tam giác DHF EF BC c) = FY CD Bài 15 (SP 2014, vòng 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) đường kính AC = 2R Gọi K M theo thứ tự chân đường vng góc hạ từ A C xuống BD, E giao điểm AC BD, biết K thuộc đoạn BE (K khác B E ) Đường thẳng qua K song song với BC cắt AC P a) Chứng minh tứ giác AKP D nội tiếp b) Chứng minh KP ⊥ P M \ = 600 AK = x Tính BD theo R x c) Biết ABD Bài 16 (SP 2014, vòng 2) Cho hình vng ABCD có tâm O Gọi M trung điểm cạnh AB Các điểm N, P theo thứ tự thuộc cạnh BC, CD cho M N song song với AP Chứng minh \ a) Tam giác BN O đồng dạng với tam giác DOP N OP = 450 b) Tam đường tròn ngoại tiếp tam giác N OP thuộc đường thẳng OC c) Ba đường thẳng BD, AN, P M đồng quy Bài 17 (SP 2013, vòng 1) Cho tam giác ABC khơng cân, có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AA1 , BB1 , CC1 tam giác ABC cắt H , đường thẳng A1 C1 AC cắt D Gọi X giao điểm thứ hai đường thẳng BD với đường tròn (O) a) Chứng minh DX.DB = DC1 DA1 b) Gọi M trung điểm cạnh AC Chứng minh DH ⊥ BM Bài 18 (SP 2013, vòng 2) Cho tam giác ABC khơng cân, nội tiếp \ Đường đường trịn (O) BD (D ∈ AC ) đường phân giác ABC thẳng BD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E Đường trịn (O1 ) đường kính DE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F a) Chứng minh đường thẳng đối xứng với đường thẳng BF qua đường thẳng BD qua trung điểm cạnh AC \ = 600 bán kính đường b) Biết tam giác ABC vuông B , BAC trịn (O) R Hãy tính bán kính đường tròn (O1 ) theo R Bài 19 (SP 2012, vòng 1) Cho tam giác ABC Đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, AC tương ứng K, L Tiếp tuyến d đường tròn (O) điểm E thuộc cung nhỏ KL, cắt đường thẳng AL, AK tương ứng M, N Đường thẳng KL cắt OM P cắt ON Q 1\ \ a) Chứng minh M ON = 900 − BAC b) Chứng minh đường thẳng M Q, N P OE qua điểm c) Chứng minh KQ.P L = EM.EN Bài 20 (SP 2012, vịng 2) Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn (O) Điểm M thuộc cung nhỏ CD (O) (M khác C D) M A cắt DB, DC theo thứ tự X, Z M B cắt CA, CD theo thứ tự Y, T CX DY cắt K \ \ \ \ \ = 1350 a) Chứng minh M XT = T XC, M Y Z = ZY D CKD KY ZT KX b) Chứng minh + + = MX MY CD c) Gọi I giao điểm M K CD Chứng minh XT, Y Z, OI qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KZT Bài 21 (SP 2011, vịng 1) Cho đường trịn (O) đường kính AB = 10 Dây cung CD đường tròn (O) vng góc với AB điểm E cho AE = Các tiếp tuyến B C đường tròn (O) cắt K , AK CE cắt M a) Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác OBK Tính BK b) Tính diện tích tam giác CKM Bài 22 (SP 2011, vòng 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O), BE CF đường cao tam giác ABC Các tiếp tuyến với đường tròn (O) B C cắt S Các đường thẳng BC OS cắt M AB BS a) Chứng minh = AE ME b) Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS c) Gọi N giao điểm AM EF , P giao điểm AS BC Chứng minh N P ⊥ BC