Luận văn các phép đồng dạng, tích các phép đồng dạng trong mặt phẳng và ứng dụng

1 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phát triển giáo dục đào tạo quốc sách hàng đầu, động lực quan trọng thúc đẩy nghiệp cơng nghiệp hố, đại hố đất nước, điều kiện để phát huy nguồn lực người Đây trách nhiệm toàn Đảng, toàn dân giáo viên lực lượng đóng vai trị nịng cốt quan trọng Để có người động, sáng tạo, có lực phát giải vấn đề, đáp ứng yêu cầu ngày cao nguồn nhân lực đất nước giai đoạn phát triển mới, đòi hỏi ngành giáo dục đào tạo mà trực tiếp lực lượng giáo viên phải có phương pháp dạy học phù hợp Nghị TW2- khoá VIII khẳng định “ Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư cho người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, đại vào trình dạy học ” Định hướng pháp chế hố luật giáo dục: “ Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học Bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, lý thú học tập cho học sinh” Nghiên cứu phép đồng dạng tích phép đồng dạng, đồng thời khai thác ứng dụng giúp cho người giáo viên hiểu sâu vai trị phép đồng dạng tích chúng dạy học tốn trường THPT hình học sơ cấp trường đại học, phép đồng dạng có nhiều ứng dụng thực tiển ứng dụng giải tốn phổ thơng, đặc biệt ứng dụng phép đồng dạng tích chúng để giải số dạng tốn như:  Chứng minh hình đồng dạng;  Chứng minh thẳng hàng, song song, đồng quy;  Chứng minh hệ thức lượng;  Giải lớp toán liên quan đến tỷ số độ dài;  Giải lớp liên quan đến tìm quỹ tích, dựng hình Việc nghiên cứu đề tài hướng tới tìm tịi dạng tốn giải tích phép đồng dạng, đặc biệt sử dụng tích phép quay phép vị tự, tích phép đối xứng trục phép vị tự cho phép ta giải lớp phong phú tốn trường phổ thơng Từ trước đến chưa có luận văn nghiên cứu dạng tắc phép đồng dạng khai thác ứng dụng chúng Vì chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu “Các phép đồng dạng, tích phép đồng dạng mặt phẳng ứng dụng” Mục đích đề tài Khai thác vai trị tích phép đồng dạng việc giải tốn hình học sơ cấp đặc biệt nghiên cứu cách mở rộng phát triển toán SGK nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi toán Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp định tính thơng qua đọc nghiên cứu tài liệu chuyên khảo báo nhằm tổng hợp kết sở chứng minh kết lớp toán nghiên cứu luận văn Dự kiến kết đạt Sử dụng tích phép dời hình để ứng dụng giải dạng tốn: - Chứng minh đường thẳng song song, đồng qui; - Chứng minh thẳng hàng, vng góc; - Lớp toán lượng; - Các toán cực trị; - Tốn tìm tập hợp điểm (Tìm quỷ tích điểm); - Các tốn dựng hình Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận phụ lục, luận văn gồm chương: Chương Phép đồng dạng mặt phẳng 1.1 Vài nét lịch sử nghiên cứu 1.2 Định nghĩa khái niệm 1.3 Phép vị tự 1.4 Sự xác định phép đồng dạng 1.5 Sự phân loại phép đồng dạng 1.6 Dạng tắc phép đồng dạng Chương Khai thác dạng toán ứng dụng phép vị tự 2.1 Các toán chứng minh song song, vng góc 2.2 Các tốn chứng minh thẳng hàng, đồng quy 2.3.Chứng minh tập hợp điểm thuộc đường trịn 2.4 Các tốn liên quan đến quỹ tích 2.5 Các tốn dựng hình 2.6 Các tốn lượng Chương Vận dụng tích phép đồng dạng vào giải dạng toán 3.1.Các toán chứng minh đồng qui, thẳng hàng 3.2.Các toán lượng 3.3.Các toán cực trị 3.4.Các tốn tìm quỹ tích 3.5.Các tốn dựng hình Chương PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Vài nét lịch sử nghiên cứu Việc nghiên cứu phép đồng dạng có hệ thống từ khái niệm, tính chất, ứng dụng, tích phép đồng dạng Những tài liệu nghiên cứu phép đồng dạng có hệ thống kể đến cơng trình tác giả I.M.Iaglom “Các phép biến hình’’ nhà xuất quốc gia Matxcova 1955, sách trình bày vấn đề phép dời hình bao gồm: 1) Các phép tịnh tiến, đối xứng qua điểm, phép quay, phép đối xứng qua đường thẳng, phép đối xứng trượt, hình, phân loại phép dời hình mặt phẳng 2) Các phép đồng dạng Chương I Phân lớp phép đồng dạng - Đồng dạng tâm (vị tự) - Đồng dạng tâm phép quay, đồng dạng tâm đối xứng Chương II Ứng dụng phép dời hình phép đồng dạng để giải toán cực trị Ở Việt Nam phép biến hình trình bày cách có hệ thống tác giả Nguyễn Mộng Hy “Các phép biến hình mặt phẳng” nhà xuất giáo dục, tác giả đề cập vấn đề sau: Chương I Đại cương phép biến hình mặt phẳng số vấn đề liên quan đến phép biến hình Chương II Phép dời hình mặt phẳng Chương III Phép vị tự phép đồng dạng mặt phẳng Giáo trình “Hình học sơ cấp” tác giả Đào Tam nhà xuất ĐHSP Hà Nội năm 2012 trình bày cách có hệ thống vấn đề sau: Các phép biến hình bao gồm - Phép dời hình; - Phép đồng dạng; - Tích phép biến hình Nội dung phép dời hình trình bày “Phép đẳng cự ứng dụng giải tốn hình học phổ thơng “ nhóm tác giả T.S Nguyễn Duy Bình – Ths Nguyễn Chiến Thắng Quan điểm trình bày phép biến hình mặt phẳng không gian nội dung cụ thể: - Sơ lược ma trận; - Một số khái niệm không gian afin; - Ánh xạ afin; - Ánh xạ đẳng cự; - Phép đẳng cự mặt phẳng; - Phép đẳng cự không gian; - Một số ứng dụng phép đẳng cự Vai trò phép đồng dạng Qua nghiên cứu tài liệu trình bày phép đồng dạng làm sáng tỏ vai trị chủ yếu phép đồng dạng tốn học sơ cấp tốn học phổ thơng cụ thể sau: 1) Do phép đồng dạng mặt phẳng không gian phép afin nên sử dụng phép đồng dạng giải số toán liên quan đến bất biến afin chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy, tỉ số đơn, tỉ số độ dài hai đoạn thẳng phương, chứng minh hai đường thẳng song song 2) Mặt khác tính chất lượng suy từ phép đồng dạng mơ tả tư tưởng nhờ quan hệ nhân theo sơ đồ sau: Đồng dạng Định lý Pitago Hệ thức lượng tam giác Định lý cosin Định lý sin 1.2 Định nghĩa khái niệm phép đồng dạng mặt phẳng 1.2.1 Định nghĩa: Một phép biến hình gọi phép đồng dạng mặt phẳng hay vắn tắt phép đồng dạng phẳng, kí hiệu Z với hai điểm A, B P ảnh A '  f ( A), B '  f ( B) thỏa mãn A ' B '  k AB (trong k số thực dương cho trước) Số k gọi tỉ số đồng dạng Phép đồng dạng tỉ số k kí hiệu Z  k  1.2.2 Tính chất - Phép đồng dạng z K phép afin; - Trong mặt phẳng, phép đồng dạng biến đường trịn thành đường trịn có bán kính k lần bán kính đường trịn ban đầu; - Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài k lần đoạn thẳng ban đầu; - Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn góc hai yếu tố (góc hai tia góc hai đường thẳng) 1.3 Phép vị tự tính chất 1.3.1 Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho trước điểm O số thực k khác 0, phép biến hình biến mọiđiểm M thành M ' cho OM '  kOM gọi phép vị tự tâm O tỉ số k Phép vị tự gọi thuận k > 0, nghịch k < - Kí hiệu: VOk hay V  O, k  Điểm O gọi tâm vị tự, số k gọi tỉ số vị tự - Một phép vị tự hoàn toàn xác định cho biết tâm O tỉ số k - Cho hình H tập hợp ảnh điểm thuộc H phép biến hình VOk lập thành hình H' gọi ảnh vị tự hình H phép biến hình Kí hiệu: VOk : H  H' 1.3.2 Một số tính chất phép vị tự Định lí 1.3.2.1 Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M N thành hai điểm M ' N ' M ' N '  k MN M ' N '  | k | MN Chứng minh: Nếu O tâm phép vị tự theo định nghĩa, ta có OM '  kOM , ON '  kON Vậy M ' N '  ON '  OM '  kON  kOM  k (ON  OM )  kMN Từ suy M ' N '  | k | MN Định lí 1.3.2.2 Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm thẳng hàng Chứng minh: Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng mà B nằm A C , tức BA  mBC với m  Nếu phép vị tự tỉ số k biến A, B, C thành A ', B ', C ' theo định lí 1.2.2.1 ta có B ' A '  k BA, B ' C '  k BC Từ suy B ' A '  k BA  k (mBC )  m(k BC )  mB 'C ', tức ba điểm A ', B ', C ' thẳng hàng với B ' nằm A ' C ' Định lí 1.3.2.3 Phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn Chứng minh: M' M O I I' Hình 1.1 Giả sử V phép vị tự tâm O tỉ số k ( I ; R) đường tròn cho Gọi I ' ảnh I M ' ảnh điểm M ta có I ' M '  | k | IM Bởi IM  R I ' M '  | k | R M ' thuộc đường tròn ( I ' ; R ') với R '  | k | R Đó ảnh đường tròn ( I ; R) qua phép vị tự V Hệ 1.3.2.4 Phép vị tự biến A thành A’, biến B thành B’ đường thẳng AB A’B’ song song với trùng A ' B '  k AB Hệ 1.3.2.5 Phép vị tự biến tam giác thành tam giác đồng dạng với biến góc thành góc có cạnh tương ứng phương Hệ 1.3.2.6 Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng phương với nó, biến tia thành tia phương với 1.4 Sự xác định phép đồng dạng mặt phẳng Định lý 1.4 Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC A'B'C' đồng dạng với theo tỉ số k, nghĩa A' B '  k.AB, B 'C '  k.BC, C ' A'  k.CA có phép đồng dạng f : P  P biến A, B, C theo thứ tự thành A ', B ', C ' Chứng minh: Xét phép vị tự VkA tâm A tỉ số k biến tam giác ABC thành tam giác AB1C1 , đó: AB1  k AB, B1C1  k.BC, C1 A  k.CA , (Hình 1.2) C' A B B1 C A' C1 Hình 1.2 B' Như phép vị tự VkA :  ABC  AB1C1   A ' B ' C ' Khi theo định lí tồn phép dời hình D biến A, B1, C1 theo thứ tự thành A ', B ', C ' Do tích D V ( A, k ) phép đồng dạng Z  k  tỉ số k biến A thành A ' , B thành B ' , C thành C ' Giả sử có hai phép đồng dạng Z1 Z biến  ABC thành  A'B'C' phép Z 21 Z1 đồng dạng tỉ số biến  ABC thành tức Z 21 Z1  Id Z  Z1 Định lý chứng minh 1.5 Sự phân loại phép đồng dạng 1.5.1 Khái niệm chiều tam giác Tam giác ABC gọi có chiều thuận chiều quay từ A  B  C ngược chiều kim đồng hồ, ngược lại gọi chiều nghịch 1.5.2 Phép đồng dạng thuận nghịch  Một phép đồng dạng gọi đồng dạng thuận biến tam giác thành tam giác chiều với  Một phép đồng dạng gọi phép đồng dạng nghịch biến tam giác thành tam giác ngược chiều với 1.6 Dạng tắc phép đồng dạng 1.6.1.Tích phép vị tự phép quay tâm 1.6.1.1 Định nghĩa: Phép vị tự - quay tích phép vị tự phép quay có tâm Nhận xét: Tỷ số phép vị tự coi số dương QO180 VOk  VO k 1.6.1.2 Định lý: Trong mặt phẳng, phép đồng dạng thuận tỉ số k, phân tích thành tích phép vị tự tỉ số k phép quay quanh điểm, có tâm quay trùng với tâm vị tự Tích giao hốn 10 1.6.1.3 Cách xác định ảnh điểm qua phép vị tự - quay Cho phép quay QO phép vị tự VOk với k  (Hình 1.3) O α Ta có A1  OA1  OA (1) A1   ;  OA OA    QO : A    OA '  kOA1 (2) A'   OA ; ' OA    k O  V : A1 A  A' Hình 1.3  OA ' k  (3) Từ (1) (2)   OA  OA; OA '      Như VOk QO phép đồng dạng thuận Z  O; ; k  biến A thành A ' xác định (3) Khi O gọi tâm;  gọi góc quay; k tỉ số phép vị tự - quay 1.6.1.4 Một số tính chất phép vị tự - quay a) Định lí: Giả sử phép vị tự - quay Z  O; ; k  : A A' ; B B '   A ' B '  kAB  AB; A ' B '       b) Hệ  Phép vị tự - quay biến đường thẳng thành đường thẳng góc hai đường thẳng góc đồng dạng  Phép vị tự - quay biến đường tròn thành đường tròn, tâm thành tâm tỉ số hai bán kính đường tròn ảnh tạo ảnh tỉ số đồng dạng 1.6.1.5 Cách xác định tâm phép vị tự - quay Cho phép vị tự - quay Z  O; ; k  Hãy xác định tâm O biết 46 dấu “=” xãy A thuộc đoạn A1 BA1    120 Nhận xét: Do tam giác tự đồng A dạng với nên ta thay tam giác bẳng tam giác tự đồng dạng với 600 α 600 ta tốn tổng qt sau: B C D Hình 3.10 Bài tốn 3.3.2 Cho tam giác ABC có AB  2, AC  6, BAC   thay đổi 0    1800  D điểm thuộc mặt phẳng bờ BC khơng chứa A cho tam giác BCD có BDC  900 , BCD  300 Tìm  để độ dài AD lớn Bài giải: (Hình 3.11) Khi  thay đổi D thay đổi CB   không đổi CD cos30 Ta xét phép đồng dạng: D(C ,300 , CA1 ; ACA1  300 ) : D  B, A  A1 Do  CA 3  hai tam giác CDB CAA1 đồng dạng nên suy CAA1  900 Xét phép đồng dạng D(C;300 ; ) : DA  BA1 , 47 suy AA1  BA1  Khi đó: DA A1 1 AC AC   2 A α BA1 đạt giá trị lớn Từ DA  BA1 lớn 300 B 300  B, A, A1 thẳng hàng C  BAC  900 Khi Max BA1  BA  AA1   D Vậy ADmax   Hình 3.11 Bài tốn 3.3.3 Cho đường trịn đường kính AB điểm C cố định thuộc đoạn AB( C khác A, B) lấy điểm M đường tròn Đường thẳng qua M, vng góc với MC cắt tiếp tuyến qua A B đường tròn E F Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác CEF M di chuyển đường tròn Bài giải: Ta dễ dàng chứng minh ECF  900 Nên diện tích tam giác ECF là: y S ECF  CE.CF F Ta có tam giác AEC đồng dạng x BCF (do BCF  BFM  900  CMB M  CMA  CEA ) ,nên suy ra: AE BC  AC BF  AE.BF  AC.BC - không đổi Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: E A C O Hình 3.12 B 48 1 S ECF  CE.CF  AE  AC BC  BF  AE AC.BC.BF  AC.BC 2 Vậy diện tích nhỏ tam giác ECF AC.BC 3.4 Các tốn tìm quỹ tích Giả sử ta cần tìm quỹ tích điểm M có tính chất T Với phép đồng dạng D đó, điểm M có tính chất T biến thành điểm M’ có tính chất T' ngược lại, điểm M’ có tính chất T' biến thành điểm M có tính chất T Việc tìm quỹ tích điểm M’ có tính chất T' thường dễ dàng so với trực tiếp tìm quỹ tích điểm M Khi đó, quỹ tích điểm M’ hình (H’) quỹ tích điểm M hình (H), tạo ảnh hình (H’) qua D Khi dùng phép đồng dạng để giải toán quỹ tích, ta cần làm phần thuận phép đồng dạng phép biến đổi 1-1 Để tìm quỹ tích điểm M, ta thực theo bước: - Bước 1: Chỉ phép đồng dạng thích hợp biến điểm M’ thành điểm M - Bước 2: Xác định quỹ tích điểm M’(dễ dàng) - Bước 3: Suy quỹ tích điểm M ảnh quỹ tích điểm M’ qua phép đồng dạng nói Bài toán 3.4.1 Trên mặt phẳng cho hai đường thẳng 1;  Mỗi điểm M mặt phẳng người ta đặt tương ứng với điểm M’ cách sau: đường thẳng m qua M cắt đường thẳng 1;  điểm P,Q cho M trung điểm PQ Các điểm P’, Q’ hình chiếu vng góc P, Q tương ứng đường thẳng  ; 1 Gọi M’ trung điểm P’Q’ Tìm quỹ tích M’ M chạy đường tròn 49 Bài giải: Giả sử 1 cắt  O  1 , 2    (Nếu 1 / / 2 tốn khơng có nghĩa trung điểm thuộc đường thẳng song song cách 1;  ) Khi đó: O  OPP '  OQQ ' (g.g) OP OQ OP OP '    OP ' OQ ' OQ OQ '   OPQ  OP ' Q '    OPM  P'  OP ' M ' P M' M Q' OM ' OP '   cos ( không phụ OM OP Q thuộc vào việc chọn M) Δ2 Hình 3.13 Ta có: M ' OP '  MOP  MOP '  M ' OP suy OM’ đối xứng OM qua phân giác  góc tạo 1;  suy M’ ảnh M qua D  O, , k  với k  cos Do M chạy đường trịn (O) M’ chạy đường trịn (O’) ảnh đường tròn (O) qua phép đồng dạng D  O, , k  Bài toán 3.4.2 Một đường thẳng tùy ý qua đỉnh A tam giác ABC cắt cạnh BC M Các điểm O1 , O2 tâm đường tròn ngoại tiếp với tam giác tương ứng ABM ACM Hãy tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng O1O2 thay đổi (luôn qua A) Bài giải: Do ABM  AO1O2 ACM  AO2O1 nên tự đồng dạng với (ứng với vị trí thay đổi tam giác AO1O2 ta có hai tam giác đồng dạng ) tập tam giác đồng dạng với tam giác ABC (g.g) 50 Gọi O trung điểm O1O2 tam giác AO2O tự l AO AI đồng dạng   AO2 AC (I trung điểm BC ) A  O ảnh O2 qua phép đồng dạng D( A, k , ) AI ;    AC , AI  với k  AC O2 O1 C M I B Do O2 thuộc trung trực  AC Hình 3.14 nên O thuộc đường thẳng  ' ảnh  qua D( A, k , ) Bài tốn 3.4.3 ([11]) Cho đường trịn tâm O, dây cung BC cố định Điểm A di động cung AXB Tìm tập hợp hình chiếu trung điểm AB lên đường thẳng AC Bài giải: Gọi M hình chiếu trung điểm I của đoạn thẳng AB lên AC P hình chiếu B lên AC, K trung điểm A X BC Khi tam giác BAP đồng dạng tam α giác BOK  I BA BO   m - không đổi AP OK O S Do M trung điểm AP nên ta có BA BA  2m   2m AM AP  tam giác BAM tự đồng dạng ABM   B K Hình 3.15 M P C 51 BM BS  BM  k  Xét phép đồng dạng D  B, ,   : A  M , BA BO  BA  ( S- trung điểm OK) Từ suy quỹ tích M ảnh cung AXB qua phép đồng dạng D  B, k ,   Bài toán 3.4.4 ([10]) Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O) điểm C thay đổi đường trịn Dựng hình vng ABCD Tìm quỹ tích điểm B điểm D Bài giải: Trên đoạn thẳng AC lấy điểm P M cho AM=AB=AD Khi đó, ta có: AM AB   AC AC B Ngoài (AM,AB)=450 (AM,AD) = -450.Suy ra, O A phép vị tự V tâm A, tỉ số k  M biến điểm C thành điểm C M phép quay Q tâm A góc quay 450 biến điểm M thành điểm R Q D Hình 3.16 B Vậy gọi F phép hợp thành V Q F biến C thành B Vì quỹ tích C đường trịn (O), nên quỹ tích B ảnh đường trịn qua phép đồng dạng F hay quỹ tích B   ,450  ảnh đườngtròn (O) qua phép vị tự - quay Z  A,   Đường trịn quỹ tích B xác định sau: Gọi AR đường kính đường trịn (O) PQ đường kính (O) vng góc với AR (ta kí hiệu điểm P,Q cho (AR,AP)=450) Khi ta thấy 52 phép đồng dạng F biến AR thành AP Vậy quỹ tích điểm B đường trịn đường kính AP Tương tự ta có quỹ tích điểm D đường trịn đường kính AQ Nhận xét: Các ví dụ tìm quỹ tích điểm ta sử dụng tính chất phép vị tự - Quay, ta sẻ xét số ví dụ tìm quỹ tích ta sử dụng phép vị tự - đối xứng trục Bài tốn 3.4.5 Cho đường trịn (O), đường thẳng d điểm P cố định Với điểm M thuộc đường tròn (O) ta xác định điểm N đối xứng qua d I trung điểm đoạn PN Tìm tập hợp điểm I M thay đổi đường tròn (O) Bài giải: Từ điều kiện đầu ta P thấy quỹ tích N đường tròn d (O’) mà PI  PN , điều chưng O'' I tỏ I ảnh N qua phép vị tự VP2  phép 1  Z  P, d ,  : M 2  đồng dạng O' O M N I Hình 3.17 1  nên Z  P, d ,  : (O) 2  (O '') Vậy tập hợp điểm I M thay đổi đường tròn (O”) Bài toán 3.4.6 ([15]) Trong mặt phẳng cho ∆ABC Một đường trịn (O) thay đổi qua A, khơng tiếp xúc với đường thẳng AB; AC có tâm O chuyển động đường thẳng BC Đường tròn cắt đường thẳng AB AC M; N.Tìm quỹ tích trực tâm H ∆AMN 53 Bài giải: Gọi D điểm xuyên tâm đối điểm A đường trịn (O).Thế M N theo thứ tự hình chiếu vng góc D AB AC Và đó, trực tâm H ∆AMN điểm đối xứng với D qua trung điểm MN Gọi M’; N’ hình chiếu H AC AB Dễ thấy ∆AHM’  ADM vng có góc A nên AHM Từ ta được:  AH , AM '    AD, AM  (1) AH AM '   cosBAC  cosBAC AD AM Do đó: ADM (2) AH  cosBAC  cos ,   BAC (3) AO A N' M' B O H a C N M D x Hình 3.18 Từ (1), (2) (3) nói lên AH đối xứng với AO phân giác Ax góc A ∆ABC AH  k (khơng đổi) AO k  cos Vậy H ảnh O phép vị tự - đối xứng Z(A; Ax; k) 54 Nếu kí hiệu đường thẳng BC quỹ tích điểm H đường thẳng a’, ảnh a phép đồng dạng nghịch Z(A; Ax; k) bỏ hai điểm H1 H2 ảnh O1 O2 a BAO1  CAO2  900 Vậy, quỹ tích điểm H đường thẳng a’ bỏ hai điểm H1; H2 3.5 Các tốn dựng hình Để dựng hình H thỏa mãn tính chất α đó(thường bất biến phép đồng dạng) quy dựng H’ ảnh hình H qua phép đồng dạng Sau sử dụng phép đồng dạng để dựng H Bài toán 3.5.1 ([11]) Cho đường tròn (O) tiếp xúc với đường thẳng a cho trước, điểm A cho trước thuộc a Giả sử P điểm thuộc (O) Hãy dựng đường tròn tiếp xúc với đường tròn (O) P tiếp xúc đường thẳng a Bài giải: Giả sử dựng đường trịn (O’) thỏa mãn u cầu tốn tiếp xúc với đường thẳng a B Nếu dựng (O’) tâm O’ giao đường trung trực đoạn thẳng PB đường thẳng qua B vuông góc với a Sử dụng phép biến hình để dựng B Biết phép vị tự tâm P biến (O’) thành (O), a thành a’ tiếp xúc a' B1 với (O) B1 a’//a Từ B1 điểm đối xứng A qua O nên B giao P O PB1 với a Cách dựng: - Dựng B1 điểm đối O' B a A Hình 3.19 xứng A qua O - Dựng B giao PB1 với a - Dựng đường trung trực d PB đường thẳng vng góc với a B 55 - Dựng d  a  O ' tâm đường trịn (O’) cần tìm Nhận xét:Ý tưởng toán sử dụng phép vị tự để dựng hỉnh, nghiên ta sử dụng phép đồng dạng để giải toán mở rộng tập sau Bài tốn 3.5.2 Cho đường trịn (O) tiếp xúc với đường thẳng a điểm A cho trước Giả sử P điểm thuộc (O) Hãy dựng đường tròn (O’) trực giao với đường tròn (O) P tiếp xúc đường thẳng a Bài giải: Để dựng đường tròn (O’) ta cần xác định điểm tiếp xúc B với a  Phân tích: Giả sử dựng a' (O’) thỏa mãn toán tiếp xúc với đường P thẳng a B trực giao với đường trịn (O) K P Khi OP  OP ' O O' Ta thực phép đồng dạng   D  P,900 , a A OP   OP '  biến (O’) thành (O) d B Hình 3.20 OP   Khi đó: D  P,900 ,  : B  K biến tiếp tuyến a (O’) thành tiếp OP '   tuyến a’ (O) K  a '  a  Cách dựng - Dựng a’ tiếp tuyến (O), vng góc a - Dựng K giao (O) với a’ - Dựng  qua P vng góc KP cắt a B - Dựng trung trực d1 PB đường thẳng d2 qua B vng góc a - Dựng O’ giao d1 d2 56 Bài toán 3.5.3 ([10]) Dựng tứ giác (lồi) nội tiếp ABCD biết độ dài cạnh: AB = a; BC = b; CD = c; DA = d, a, b, c, d độ dài cho trước Bài giải:  Phân tích: Giả sử tứ giác ABCD dựng ABCD nội tiếp A  C  1800 (hoặc B  D  1800 ) Kéo dài cạnh BC phía Cực để xuất DCx  BAD kề bù với DCB Trên tia Cx (tia đối tia CB) lấy điểm E cho tam giác DCE đồng dạng với tam giác DAB Bài toán dựng tứ giác ABCD quay dựng DCE Giả sử DCE đồng dạng với DAB, hai tam giác chung đỉnh D Bởi DCE suy từ DAB phép vị tự - quay Z(D,   ( DA; DC ) , k = c ) d D d c Bởi vậy, đặt k = ; d ( DA; DC )  ADC   O B Z(D;; k): D; A c a Xét phép vị tự - quay Ta có Z: D δ A b C E C B E cho E  [BE] Hình 3.21 Khi DCE đồng dạng với DAB DCE  DAB B, C, E thẳng hàng theo thứ tự đó, đồng thời ta BDE  ADC   Bài tốn trở thành dựng DBE có yếu tố biết: BC = b; CE = BE  ac  bd DE c  ; CD = c; d DB d Ta cần dựng điểm D điểm giao điểm đường ca , d 57  (C; c) đường trịn Apollonius    có đường kính IJ mà I, J chia chia đoạn BE theo tỉ số k = c Đỉnh A dựng sau d  Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình khơng có nghiệm hình tuỳ vào       có cắt hay khơng 58 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Qua trình nghiên cứu luận văn đạt kết sau:  Đã làm sáng tỏ sở lý thuyết phép đồng dạng bao gồm: phép vị tự tính chất chúng, tích phép vị tự với phép quay tích phép vị tự với phép đối xứng trục  Đưa số dạng toán thường gặp phép vị tự đặc biệt sử dụng tích phép đồng dạng để giải số dạng tốn khó trường THPT cần thiết với chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia  Nghiên cứu đề tài giúp cho giáo viên trường THPT nhìn nhận vấn đề phép đồng dạng chuyên đề cao hai hình đồng dạng sai khác phép đồng dạng thuận nghịch  Qua nghiên cứu đề tài làm sáng tỏ sở để mở rộng phát triển số tốn sơ cấp nhờ chuyển đổi cơng cụ từ việc sử dụng phép hình sang sử dụng tích phép biến hình từ cần thay đổi giả thiết tốn để có tốn mới.Khi xây dựng tốn chúng tơi ln cố gắng dẫn dắt, định hướng từ toán sở từ gợi mở cho học sinh, giúp học sinh phát vấn đề, giải vấn đề từ phát triển tư sáng tạo, nâng cao chất lượng giáo dục cho học sinh 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Thanh Cầu (2011), Sử dụng phép vị tự để giải số tốn hình học phẳng, luận văn thạc sỹ, Đại học Thái Nguyên [2] Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), Hình học 11 nâng cao , NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Nguyễn Mộng Hy (2007), Hình học 11, NXB giáo dục [4] Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh (2007), Bài tập hình học 11 , NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Mông Hy (Chủ biên), Nguyễn Văn Đồnh, Trần Đức Hun (2007), Bài tập hình học 10 , NXB Giáo dục, Hà Nội [6] Nguyễn Mộng Hy (2003),Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo Dục, Hà Nội [7] Đoàn Quỳnh (chủ biên) –Phạm Khắc Biên-Văn Như Cương – Nguyễn Đăng Phất- Lê Bá khánh Trình (2010), Tài liệu chun tốn Hình học 11, NXB giáo dục [8] Đoàn Quỳnh (chủ biên) –Phạm Khắc Biên-Văn Như Cương – Nguyễn Đăng Phất- Lê Bá khánh Trình (2010), Tài liệu chun tốn Bài tập hình học 11, NXB giáo dục [9] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Văn Như Cương (2012), Hình học 10 Nâng cao, NXB giáo dục [10] Hoàng Ngọc Quang (2014), Ứng dụng phép vị tự,phép vị tự quay để giải toán,chuyên đề hội thảo trường chuyên miền Duyên Hải Bắc Bộ [11] Đào Tam (2007), Giáo trình hình học sơ cấp, NXB Đại học sư phạm [12] Đào Tam tác giả khác(2004), 200 vô địch Tốn,Tập 4, Hình học phẳng, NXB Giáo Dục [13] Đào Tam (2005), Phương pháp dạy học hình học trường trung học phổ thông , NXB Đại học sư phạm 60 [14] Đào Tam, Lê Hiển Dương (2008), Tiếp cận phương pháp dạy học không truyền thống vào dạy học toán trường đại học trường phổ thông, NXB đại học sư phạm [15] Tuyển tập đề thi học sinh giỏi quốc gia mơn tốn(2003), NXB Giáo Dục [16] Tuyển chọn theo chun đề mơn Tốn (2010); Tập Hai; Hình học, Tổ hợp,Xác suất, Số phức, Tủ sách Toán học Tuổi trẻ, NXB Giáo Dục [17] Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học & tuổi trẻ (2006), NXB Giáo Dục Việt Nam [18] Tạp chí Tốn học & tuổi trẻ - đặc san số (2013), NXB Giáo Dục Việt Nam [19] Tuyển tâp 30 năm tạp chí tốn học tuổi trẻ (2000), NXB giáo dục, Hà Nội [20] Tuyển tập đề thi vào lớp 10 chuyên toán Hà Tỉnh (2010) [21] I.M.Iaglom(1955), Các phép biến hình, NXB Văn hóa-kỹ thuật quốc gia, Matxcova Liên Xô cũ (tiếng Nga) [22] B.I.Acgunôp- M.B.Ban (1977), Hình học sơ cấp, NXB Giáo Dục