Chuyên đề tính tổng dãy số có quy luật (102 trang)

1 CHUN ĐỀ: TÍNH TỔNG DÃY SỐ CĨ QUY LUẬT A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT Dạng 1: Tổng số hạng cách S Cần tính tổng: S Với a2 a1 a3 a1 a2 a2 an a3 an a1 an a2 a3 an (1) d (các số hạng cách giá trị d ) Số số hạng tổng n   an  a1  : d  với a1 số hạng thứ an số hạng thứ n Tổng S  n  a1  an  : Số hạng thứ n dãy an  a1   n  1 d Ví dụ 1: Tính tổng S 2019 2020 Phân tích: Các số hạng cách với d Lời giải Số số hạng dãy 2020 :1 Tổng S 2020 2020 : 2020 2041210 Bài toán tổng quát: Tính tổng S n Số số hạng dãy n :1 n Tổng S n n:2 Ví dụ 2: Tính tổng S 2019 2021 Phân tích: Các số hạng cách với d Lời giải Số số hạng dãy 2021 : 1011 Tổng S 2021 1011: Ví dụ 3: Tính tổng S 1022121 10 15 2015 2020 Phân tích: Các số hạng cách với d Lời giải Số số hạng dãy 2020 : Tổng S 2020 404 : 409050 404 Ví dụ 4: Tính tổng S 2 4039 2020 Phân tích: Các số hạng cách với d Lời giải Số số hạng dãy 2020 : Tổng S 2020 4039 : Ví dụ 5: Tính tổng S 10,11 1 4039 4081409,5 11,12 12,13 Phân tích: Các số hạng cách với d 1,01 Lời giải Số số hạng dãy 100 10,1 :1,01 Tổng S 10,11 100 90 : 90 4954,95 Dạng 2: Tổng có dạng S   a  a2  a3   a n (1) Phƣơng pháp TH 1: Nếu a  S  n  TH 2: Nếu a  để tính tổng S ta làm sau Bƣớc 1: Nhân hai vế 1 với số a ta aS  a  a  a3  a   a n  2 Bƣớc 2: Lấy   trừ 1 vế theo vế ta aS  S  a n 1   S  a n1  a 1 Ví dụ 1: Tính tổng S   22  23  24   220 Lời giải Ta có 2S  22  23  24  25   221 Vậy 2S  S  S  221  Ví dụ 2: Tính tổng S    22  23  24   2100 Lời giải Ta có 2S   22  23  24  25   2101 Vậy 2S  S  S  2101 1 Ví dụ 3: Tính tổng S   62  63  64   699 98,99 100 Lời giải Ta có 6S  62  63  64  65  6100 Vậy 6S  S  5S  6100  Suy S  6100  Dạng 3: Tính tổng có dạng A   a2  a4  a6   a2n (1) Phƣơng pháp: Bƣớc 1: Nhân hai vế đẳng thức với a ta được: a2 A  a2  a4  a6  a8   a2n2 (2) Bƣớc 2: Lấy    1 theo vế ta được: a A  A   a  a  a  a8   a n   1  a  a  a   a n   A  a  1  a n    A  a 2n2  a2 1 Ví dụ 1: Tính tổng sau: A   22  24  26    298  2100 (1) Lời giải Nhân vào hai vế với 22 ta được: 22.A  22  24  26  28    2100  2102 (2) Lấy    1 theo vế : 22.A  A   22  24  26  28    2100  2102   1  22  24  26    298  2100  A  2102   A  2102  Ví dụ 2: Tính tổng sau: B  1 1      2018 (1) 9 81 729 Lời giải 1 1 Đặt C      2018  B   C 81 729 Ta có: C   1 1     2018 3 1 1 C      2020 3 3 C 1  1 1  1 1 C       2018        2020  3  3 3  3 1 1  32018   C   2020  C    2020   3  3  8.32018 Ví dụ 3: Tìm giá trị x biết:  52  54   52 x  256  24 Lời giải Đặt A   52  54   52 x (1) Nhân vào hai vế với 52 ta được: 52.A  52  54  56  58    52 x2 (2) Lấy    1 theo vế : 2.A  A   52  54  56  58    22 x    1  52  54  .52 x  24 A  52 x    A  52 x   24 256  512  52 x   512  Vì    .5      x  Vậy x  giá trị cần tìm 24 24 24 24 2x Ví dụ 4: Tìm giá trị x biết:   x  1   x  1    x  1 2020  172022   x  12  1   , với x  Lời giải Đặt B    x  1   x  1    x  1 2020 (1) Nhân hai vế (1) cho  x  1 ta được: B  x  1   x  1   x  1   x  1    x  1 2 2022 (2) Lấy    1 theo vế ta được: B  x  1  B   x  1   x  1   x  1    x  1  2 2022   1   x  12   x  14   x  12020      x  1  2022 B  x  1  1   x  1   B     x  1  2022 Theo cho: x  1   172022  B    x   17  x  18 ( thỏa mãn)  x  12  1  x  12  1 x  1       172022  2022 Vậy x  18 Ví dụ 5: Chứng minh rằng:  52  54   540 chia hết cho 26 Lời giải Phân tích: Ta nhóm thừa số liền kề để làm xuất thừa số 26 Ta có:  52  54   540  1  52    54  56    538  540   1    1    538 1  52   26  4.26  538.26 Vậy  52  54  .540 chia hết cho 26 Ví dụ 6: Chứng minh rằng:  22  24   2100 chia hết cho 21 Lời giải Phân tích: Ta nhóm thừa số liền kề để làm xuất thừa số 21 Ta có:  22  24   2100  1  22  24    26  28  210    296  298  2100   1  2    1  2  24    296 1  22  24   21  6.21   296.21 Do đó:  22  24   2100 chia hết cho 21 Ví dụ 7: Chứng minh rằng:  32  34   3100 chia hết cho 82 Lời giải Phân tích: Ta nhóm hai thừa số cách để làm xuất thừa số 82 Ta có:  32  34   3100  1  34    32  36     390  394   396  3100   1  34   32 1  34    390 1  34   396 1  34   82  32.82   390.82  396.82 Vậy  32  34   3100 chia hết cho 82 Ví dụ 8: So sánh:  52  54   540 với 542  23 Lời giải Đặt A   52  54   540  52 A  52  54  56   542  52 A  A   52  54  56   542   1  52  54   540   24 A  542   A  542  542  542    24 24 23 542  Vậy      23 40 Ví dụ 9: So sánh:  72  74   7100 với Lời giải 7102  2019 2021 Đặt A   72  74   7100  A    76   7102  A  A     76   7102   1     7100   48 A  7102   A  7102  7102  2019 7102  2019   48 48 2021 Dạng 4: Tính tổng S  a  a3  a5   a 2n1 , với n  1, n N ; a  1 Phƣơng pháp: S  a  a3  a5   a n1 1 Bƣớc 1: Nhân vế 1 với a ta : a S  a3  a5   a 2n1  a 2n1  2 Bƣớc 2: Lấy    1 ta :  a2  1 S  a2n1  a S  Vậy a  a  a   a n 1 a n 1  a a2 1 a n 1  a  a 1 Ví dụ 1: Tính tổng S1   23  25   251 Lời giải Áp dụng công thức a  a3  a5   a n1  S1   23  25   251  a n 1  a với n  26; a  ta : a2 1 252  252   22  3   99     Ví dụ 2: Tính tổng S2             3  3  3 Lời giải Áp dụng công thức a  a3  a5   a n1   1  1  1 S2             3  3  3 99 a n 1  a với n  50; a  ta : a 1   101    100  3 3 1    99  1 8.3   1  3   Ví dụ 3: S3   999  99999   999 15 so Phân tích: + )  10  1; 999  103  ; 99999  105  ;….; 999  1015  15 so +) Tổng có số hạng Lời giải Ta có: S3   999  99999   999  10  103  105   1015   15 so Áp dụng công thức a  a3  a5   a n1  a n 1  a với n  8; a  10 ta : a2 1 1017  10 1017  10 10  10  10   10   102  99 15 1017  10 1017  802 Vậy S3  8  99 99 Dạng 5: Tổng có dạng: S  1.2  2.3  3.4   n  n  1 Ví dụ 1: Tính tổng: A  1.2  2.3  3.4   98.99 Phân tích: Khoảng cách hai thừa số số hạng Để tách số hạng thành hiệu hai số nhằm triệt tiêu cặp hai số, ta nhân số hạng A với (ba lần khoảng cách hai thừa số) Thừa số viết dạng    số hạng thứ nhất,   1 số hạng thứ hai,    số hạng thứ ba, …, 100  97  số hạng cuối Lời giải: Ta có: 3A  1.2.3  2.3.3  3.4.3   98.99.3 A  1.2   0  2.3   1  3.4      98.99 100  97  A  1.2   0  2.3   1  3.4      98.99 100  97  A  1.2.3  2.3.4  3.4.5   97.98.99  98.99.100   0.1.2  1.2.3  2.3.4   97.98.99 A  98.99.100 Suy ra: A  98.99.100  323400 Bình luận: Ta thấy: A  98.99.100 tích ba thừa số, 98.99 hai thừa số số hạng lớn tổng, thừa số 100 99  (bằng thừa số lớn A cộng với khoảng cách hai thừa số số hạng A ) Bài toán tổng quát: S  1.2  2.3  3.4   n  n  1  n  n  1 n   Ví dụ 2: Tính tổng: B  1.3  3.5  5.7   99.101 Phân tích: Khoảng cách hai thừa số số hạng Để tách số hạng thành hiệu hai số nhằm triệt tiêu cặp hai số, ta nhân số hạng B với (ba lần khoảng cách hai thừa số) Thừa số viết dạng   1 số hạng thứ nhất,   1 số hạng thứ hai,   3 số hạng thứ ba, …, 103  97  số hạng cuối Lời giải: Ta có: 6B  1.3.6  3.5.6  5.7.6   99.101.6 6B  1.3   1  3.5   1  5.7   3   99.101 103  97   1.3.1  1.3.5  3.5.7  5.7.9   97.99.101  99.101.103  1.3.5  3.5.7   97.99.101   99.101.103  1029900 Suy ra: B  1029900  171650 Bài toán tổng quát: n S  1  k   1  k 1  2k    n  n  k    n  n  k  , n, k  * n 1 (khoảng cách thừa số số hạng k ) n * Nhân S với ba lần khoảng cách ta được: 3kS   3kn  n  k  n 1 * Phân tích số hạng tổng để xuất số hạng đối nhau: 3kn  n  k   n  n  k  n  2k    n  k  n  n  k  Từ tính tổng S Dạng 6: Tổng có dạng: 12  22  32   n2 Bài toán tổng quát: Chứng minh : 12  22  32    n2  Lời giải S = 12  22  32  42   n2 S  1.1  2.2  3.3  4.4   n.n n. n  1 2n  1  1  1  2.  1  3.  1   n  n  1  1 1.2  2.3  3.4   n  n  1  1       n  Mà 1.2  2.3  3.4  4.5   n  n  1  S  n  n  1 n   (Theo dạng trƣớc) n  n  1 n   n  n  1 2n    n 1    n  n  1     n  n  1 2  n  n  1 2n  1 Do đó, ta có cơng thức tính dãy số: Vậy S  S  12  22  32    n2  n. n  1 2n  1 Ví dụ 1: Tính tổng sau: N   22  32  42  52  992 A     16  25  36   10000 Lời giải Tính N Áp dụng tốn tổng quát Ta thấy n  99 nên N  S  12  22  32    n2  n. n  1 2n  1 n  n  1 2n  1 99. 99  1 2.99  1   328350 6 Tính A Ta biến đổi A dạng tương tự biểu thức N ta có: A     16  25  36   10000 = 12  22  32  42  52  62   1002 = 100 100  1 2.100 1  338350 (với n  100 ) Ví dụ Tính tổng sau: B   12  22 – 32  42    192  202 Lời giải Tính B Ta biến đổi B dạng quen thuộc biểu thức N cách thêm bớt tổng 22  42   1002 B   12  22 – 32  42    192  202 B   12  22  32   202    22  42  62   202  10 B 20. 20  1 2.20  1  2.22 12  22  32   102  B  2870  10.10  1 2.10  1 B  2870  3080  210 Dạng : Tính tổng có dạng S  12  32  52    2k  1 với k   PHƢƠNG PHÁP: Cách 1: Ta tính tổng S  12  32  52    2k  1 dựa vào tổng dạng 1.2  2.3  3.4    n  1 n Trước hết ta xét tổng A  1.2  2.3  3.4    2k  1 2k  A  1.2.3  2.3.3  3.4.3    2k  1 2k.3  A  1.2     2.3   1  3.4       2k  1 2k  2k  1   2k    A  1.2.3  0.1.2  2.3.4  1.2.3  3.4.5  2.3.4    2k  1 2k  2k  1   2k  2  2k  1 2k  A   2k  1 2k  2k  1  A  2k  1 2k  2k  1 Mặt khác A  0.1  1.2  2.3  3.4    2k  1 2k  A   0.1  1.2    2.3  3.4     2k   2k  1   2k  1 2k   A  1          2k  1  2k    2k   A  1.2  3.6    2k  1  4k    A  1.1.2  3.3.2    2k  1  2k  1 2  A  12  32    2k  1   2.S   Vậy S  A  2k 1.2 k 2 k 1   Cách 2: Ta tính tổng S  12  32  52    2k  1 dựa vào tổng dạng 2.4  4.6    2k   2k công thức n2    n  1  n  1 88 1 96 96 1 B      B  (2) 101 505 576 6 Từ (1) (2)  Bài 113 1 B (Đề thi HSG huyện Giao Thủy 2018-2019) Cho A    42  43   448  449 ; Chứng minh rằng: A  B  4100 B Lời giải A  1   42  43   498  499    42  43   499  4100 A  A  4100   A  Vì 4100   4100  Bài 114 4100  4100  4100 B   A 3 (Đề thi HSG trường Trần Phú 2018-2019) Cho M   22  23  24   22017  22018 a) b) Tính M Chứng tỏ M chia hết cho Lời giải a) Ta có 2M  22  23  24   22018  22019 Lấy 2M  M  22019  Vậy M  22019  b) M    22    23  24    25  26     22017  22018  M  1    23 1    25.(1  2)   22017 1   M    23  25   22017  Vậy M Bài 115 (Đề thi HSG huyện Vĩnh Tƣờng 2019-2020) Chứng minh rằng: A    22   22009 Lời giải A    22  23   22009  1    22 1     22008 1   Bài 116 ( Đề thi HSG huyện Nga Sơn 2016-2017) Khơng sử dụng máy tính tính giá trị biểu thức: A  22  42  62   982 Lời giải A  22  42  62   982 2A  22  42   962  982    2.2.2  2.4.4   2.98.98  1  3    5   97  99  98 89  1.2  2.3  3.4  4.5   97.98  98.99 6A  3.1.2  3.2.3   3.98.99  1.2.3  0.1.2  2.3.4 1.2.3   98.99.100  97.98.99  98.99.100  A  98.99.100 :  167100 Bài 117 ( Đề thi HSG huyện Nga Sơn 2016-2017) 1    Chứng minh  S  31 32 60 5 Lời giải   1  1 1  1 *)S                   40   41 42 50   51 52 60   31 32 1   1   1    S                   30   40 40 40   50 50 50   30 30 10 10 10 47 48 S   S   S  (1) 30 40 50 60 60 1   1   1   *)S                   40   50 50 50   60 60 60   40 40 10 10 10 37 36 S   S   S  (2) 40 50 60 60 60 Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Bài 118 ( Đề thi HSG huyện Vĩnh Lộc 2017-2018) 2016 2017 Cho tổng T      2015  2016 So sánh T với 2 2 Lời giải Cho tổng S  2016 2017     2015  2016 2 2 2016 2017 2T      2014  2015 2 2 2016 2015 2017 2016 2017 2T  T        2014  2014  2015  2015  2016 2 2 2 2 1 2017 T      2015  2016 2 2 1 1 1 Đặt N     2015  2N      2014 2 2 2 2N  N   2015  N  2017 2017 Nên T    2016   2016  T  2 Bài 119 (Đề thi HSG huyện 2018-2019) 2014 1) Cho tổng gồm 2014 số hạng: S       2014 4 4 Chứng minh S  2) Tìm tất số tự nhiên n, biết n  S(n)  2014, S(n) tổng chữ số n Lời giải T 90 2014 1) 4S      2013 4 1 2014  3S  4S  S      2013  2014 4 4 1 1 1  3S      2013 Dat M      2013 4 4 4 1  4M       2012 4 4  3M  4M  M   2013   M  4 4  3S   S    2) Nếu n số có chữ số n  999 S(n)  27 Suy n  S(n)  999  27  1026  2014(ktm) Mặt khác n  n  S(n)  2014 nên n số có chữ số Vậy n số tự nhiên có chữ số, suy S  n   9.4  36 Do vậy, n  2014  36  1978  n  19ab Vì 1978  n  2014    n  20cd *Nếu n  19ab Ta có: 19ab  1   a  b   2014  1910  11a  2b  2014  11a  2b  104  a Và 11a  104  2b  104  2.9  86   10  a,a  a   b   n  1988(tm) *Nếu n  20cd Ta có: 20cd     c  d   2014  2002  11c  2d  2014  11c  2d  12  c c   d   n  2006(tm) Và 11c  12   c   2d  1(ktm) Vậy n 1988; 2006 (Đề thi HSG huyện Hậu Lộc 2017-2018)       Thực phép tính: A  1  1  1   1    1.3  2.4  3.5   2017.2019  Bài 120 Lời giải       A  1  1  1   1    1.3  2.4  3.5   2017.2019  2.2 3.3 4.4 2018.2018 16 20182   2017.2019 1.3 2.4 3.5 2017.2019 1.3 2.4 3.5  2.3.4 .2018.2.3.4 2018 2018.2 4036   1.2.3 .2017.3.4.5 2019 1.2019 2019 Bài 121 (Đề thi HSG huyện 2018-2019) Thực tính: a) A   1 1    2013 1    1   3   2013 91 b) B  1    2011  2013 2012  2014 2013.2014        1.3 2.4 3.5 4.6 2011.2013 2012.2014 2013.2014 Lời giải a) Ta coù     n  n  n  1 2.3 3.4 2013.2014 2014  A  1         2 2013 2 2 A 1 2014       1     2014  2 2 2 1 A  1     2014    1014552 2 1 1 1   b) B  2           2011.2013 2.4 4.6 2012.2014  2013 2014  1.3 3.5  1 1  11 1 1 1  1.3     ; 3.5     ; .; 2011.2013   2011  2013         Thay :  1 1       ;     ; ;          2.4   4.6   2012.2014  2012 2014  1 1 1  1  1  B   1              2011 2013 2012 2014  2013 2014  3 B (Đề thi HSG huyện Cẩm Thủy 2017-2018) 1 1 Cho S      Chứng minh S  9 Lời giải Bài 122 1 1     2 Ta có S 1  2 1.2 1  2.3 1  3.4 1  8.9 1 1 1 1 1 1                 1.2 2.3 3.4 8.9 2 3 9 Vậy S  S 92 Bài 123 (Đề thi HSG huyện Cẩm Thủy 2017-2018) Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng:     n  aaa Lời giải     n  aaa  1  n  n :  111.a  n  n  1  2.3.37.a Mà 37 số nguyên tố * n > 37 suy n  37.2  74 n   3.a  3.9  27  n  26 vô lý Nên n  37 suy xảy n = 37 n + = 37 38  N (loại) +) Với n + = 37  36.37  2.3.37.a  36  6.a  a  N thỏa mãn +) Với n = 37  37.38  2.3.37.a  38  6.a  a  Vậy n = 36, a = Bài 124 (Đề thi HSG ) Tính: A =  22  23  24   220 Lời giải: 2A =  23  24  25   221 ⇒ 2A  A = 221     22    23  23   220  220  = 221 Bài 125 (Đề thi HSG ) Cho : S  30  32  34  36   32002 a) Tính S b) Chứng minh S  Lời giải: a) Ta có S  30  32  34  36   32002 32 S  32  34  36  38   32004 (0,5đ) Suy ra: 8S  32004  ⇒ S = 2004  (0,5đ) b) S   30  32  34   36  30  32  34    31998  30  32  34  =  30  32  34 1  36   31998  = 911  36   31998  (0,75đ) suy ra: S  (0,25đ) Bài 126 (Đề thi HSG ) Cho A = + 32 + 33 + 34 ………+ 3100 chứng minh A chia hết cho 120 Lời giải: Ta nhóm làm 25 nhóm, nhóm số hạng sau: A = (3 + 32 + 33+ 34) +……+ (397+398+399+3100) = (1 + + 32+33)+…….+ 397(1+3+32+33) 0,5 đ Ta lại thấy: + + 32+33 = 40 Nên A = 40 (3 + 35 +39 +………+397 ) 0,5đ = 40.3 (30 + 34 +38 +………+396 ) 0,5đ 93 = 120 (30 + 34 +38 +………+396 ) Điều chứng tỏ A 120 (đpcm) 0,5đ (Đề thi HSG ) Bài 127 Cho A = + 73 + 75 + + 71999 Chứng minh A chia hết cho 35 Lời giải: 1999 A = + + + + = (7 + ) + (7 + 77) + + (71997 +71999) A = 7(1 + 72) + 75(1 + 72) + + 71997(1 + 72) A = 7.50 + 75 50 + 79.50 + + 71997.50  A Chia hết cho (1) A = + 73 + 75 + + 71999 = 7.( 70 + 72 + 74 + + 71998)  A Chia hết cho (2) Mà ƯCLN(5,7) =  A Chia hết cho 35 Bài 128 (Đề thi HSG ) m 1 Cho với m, n số tự nhiên      n 1998 Lời giải: m 1 Từ đến 1998 có 1998 số Nên vế phải có 1998 số hạng ta ghép      n 1998 thành 999 cặp sau: m   1  1     1            n  1998   1997   1996   999 1000   1999 1999 1999 1999     1.1998 2.1997 3.1996 999.1000 Quy đồng tất 999 phân số ta được: m 1999.a1  1999.a2  1999.a3   1999.a997  1999.a998  1999.a999  n 1.2.3.4.5.6.7.8.9 1996.19978.1998 Với a1 , a2 , a3 , , a998 , a999  N m 1999.(a1  a  a3   a997  a998  a999 )  n 1.2.3 1996.1997.1998 Vì 1999 số nguyên tố Nên sau rút gọn, đưa dạng phân số tối giản tử số thừa số 1999 Vậy m Chia hết cho 1999 Bài 129 (Đề thi HSG huyện Đầm Hà trƣờng Quảng Lợi 2007-2008) Tính tổng sau phương pháp hợp lý nhất: 1 1 A     1.2 2.3 3.4 49.50 2 2 B     3.5 5.7 7.9 37.39 Lời giải Ta có: 1 1 A     1.2 2.3 3.4 49.50 94 1 1 1 1 A          2 4 49 50 1 49 A   50 50 Ta cịn có: 2 2 B     3.5 5.7 7.9 37.39 1 1 1 1 B          5 7 37 39 1 12 B    39 39 13 Bài 130 (Đề thi HSG huyện Đầm Hà trƣờng Quảng Lợi 2007-2008) * Tìm n  biết:     2n –1  225 Lời giải Ta có:     2n –1  2n  1 n 2n2     n2 2 suy n2  225 Vậy n  15 Bài 131 (Đề thi HSG 6) Tính giá trị biểu thức sau: 16 14 7 C     15.31 31.45 45.52 52.65 13.70 Lời giải 16 14 7     15.31 31.45 45.52 52.65 13.70 1 1 1 1          15 31 31 45 45 52 52 65 65.70 1 1 1 1 1           15 31 31 45 45 52 52 65 65 70 1 14  11     15 70 15.14 210 Bài 132 (Đề thi HSG huyện Ngọc Lạc trƣờng Cao Thịnh 2006-2007) Tính giá trị biểu thức : a) A    2    2   2003   2004   2005 C b) B    13 19  25  31  ( B có 2005 số hạng) Lời giải a) A    2  3   3     2002  2003   2004  2005         1( có 1002 số hạng)  1003 b) B    13 19  25  31  ( B có 2005 số hạng)  1 C Ta cịn có: C   7  13   19  25   31  37   ( C có 1002 cặp)      6012 Vậy B  6013 95 (Đề thi HSG Phòng GD-ĐT Tam Dƣơng 2018-2019) 1 1 1 Cho A       ;B     2012 1007 1008 2012 Bài 133  A Tính   B 2013 Lời giải Ta có: A   1 1     2012 1 1  1 1            2012 2012  2 1 1   1        1       2012  1006  1  1    B 1007 1008 2012 Suy ra: A  A 1   B B  A Vậy   B 2013  12013  2013 1 Bài 134 (Đề thi HSG cấp trƣờng) Chứng minh rằng: 1 1 1 a)       16 32 64 3 99 100 b)      99  100  3 3 16 3 Lời giải 1 1 1 1 1 1 a) Đặt A          3  5 16 32 64 2 2 2  2A  1 1 1  2 3 4 2 2  A  A  3A    3A   A  26   1 26 b) Đặt A  99 100      99  100 3 3 3  3A   3 99 100      98  99 3 3 3 1 1 100  A       98  99  100 3 3 3 96 1 1  A       98  99 3 3 (1) 1 1 Đặt B       98  99 3 3 1 1  3B      97  98 3 3 B  B  3B     B  (2) 99 3  A 16 Bài 135 (Đề thi HSG cấp trƣờng) Tính tổng S  1.2  2.3  3.4   99.100 Từ (1) (2)  A  B  Lời giải S  1.2  2.3  3.4   99.100 3S  1.2  2.3  3.4   99.100   1.2.3  2.3.3  3.4.3   99.100.3  1.2.3  2.3   1  3.4      99.100 101  98  1.2.3  1.2.3  2.3.4  2.3.4  3.4.5   98.99.100  99.100.101 S  99.11.101:  33.100.101 Bài 136 (Đề thi HSG cấp trƣờng) 1 1 Chứng tỏ       41 42 43 79 80 12 Lời giải Ta thấy Vậy 1 đến có 40 phân số 41 80 1 1 1       41 42 43 78 79 80 1  1 1  1              59 60   61 62 79 80   41 42 Vì 1 1 1       41 42 60 61 62 80 (1) (2) 1   1 1              Ta có:   60 60   80 80 80 80   60 60  20 20 1     60 80 12 Từ 1 ,   ,  3  (3) 1 1 1        41 42 43 78 79 80 12 97 Bài 137 (Đề thi HSG cấp trƣờng) 6 6 Tính tổng S  chứng tỏ S      2.5 5.8 8.11 29.32 Lời giải 3      Ta có S    29.32   2.5 5.8 1  1 1  1  30               1 29 32  2 5  32  32 Vậy S  Bài 138 (Đề thi HSG cấp trƣờng) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: a1 , a2 , , a10 Chứng minh có số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10 Lời giải Lập dãy số Đặt B1  a1 B2  a1  a2 B3  a1  a2  a3 B10  a1  a2   a10 Nếu tồn Bi  i  1, 2,3 10 chia hết cho 10 tốn chứng minh Nếu khơng tồn Bi chia hết cho 10 ta làm sau: Ta đem Bi chia cho 10 10 số dư (các số dư  1, 2,3, ,9 ) Theo nguyên tắc Dirichle, phải có số dư Các số Bm  Bn chia hết ch10  m  n  (đpcm) Bài 139 (Đề thi HSG cấp trƣờng) Tìm số tự nhiên n chữ số a biết rằng:     n  aaa Lời giải Từ 1; 2;……;n có n số hạng Suy    n  n.(n  1) Mà theo ta có:     n  aaa Suy  n  1 n  aaa  a.111  a.3.37  n  n  1  2.3.37.a Vì tích n  n  1 chia hết cho số nguyên tố 37 nên n n  chia hết cho 37 Vì số  n  1 n  n  37 có chữ số nên n   74    n   37 98 Với n  37 37.38  703(ktm) Với n   37  36.37  666(tm) Vậy n  36, a  1    36 666 (Đề thi HSG cấp trƣờng) 1 1 1 48 49 S Cho S        P       Hãy tính 48 49 50 49 48 47 P Lời giải 48 49 P      49 48 47 Bài 140        48     1        1     1   49   48   47    50  50 50 50 50  50 50             2 50 49 48  49 48 1 S  1  50         P 50  50 49 Bài 141 (Đề thi HSG cấp trƣờng) 1 1 Cho M       Chứng minh M  2 2009 20102 Lời giải Ta có: M 1 1     1.2 2.3 2008.2009 2009.2010 1 1 1 1 M          2 2008 2009 2009 2010 M  1  M 1 2010 Bài 142 (Đề thi HSG cấp trƣờng Bắc Nghĩa) 3 3     Tính M  5.7 7.9 9.11 59.61 99 92     92      B  10 11 100 Tính A b) Cho A  99 98 97 1 1 1 1 B         100 45 50 55 500 Lời giải 3 3 a) M      5.7 7.9 9.11 59.61  2         5.7 7.9 59.61  99 1 1 1 1          5 7 59 61   1  56 84        61  305 305 99      98   99       2   99 98 97 b) A  99 98 97 1 1 1 1         100 100 Tử số  100   100   100  99   1    1     1   99   98    100  99  100 100 100        1     1    99 98 97  100 100 100 100 100      99 98 97 100 1 1   100       2  100 99 98 1  100      2  100 99 Vậy A   100 1    100 (1) 92 92      10 11 100 B 1 1     45 50 55 500 Tử số 92 = 92      10 11 100 8  8   8    92  1    1    1     1      10   11   100   8 8  92  1      1        100   10 11   1   40       500   45 50 55 1   40       45 50 55 500    40 Vậy B  1 1     45 50 55 500 Từ (1) (2)  A 100   250% B 40 (2) 100 Bài 143 (Đề thi HSG huyện Việt Yên) 3 3 3 3 Cho A                2 2 2 2 2 2012 3 B    2 Lời giải Ta có: 3 3 3 3 A                2 2 2 2 2 2012 3 3 3 3 3  A               2 2 2 2 (1) 2013 (2) Lấy (2) trừ (1) ta được: 3 A A    2 3 A  2 2013 2013  3    2 32013  A  2012  2 2013 2013 Vậy B  A  32014  32012  2 Bài 144 (Đề thi HSG huyện Quỳnh Lƣu) Cho biểu thức : M   52  53   580 Chứng tỏ rằng: a) M chia hết cho b) M số phương Lời giải a)M      80    52    53  54     579  580     52   52   52    578   52   30 1  52   578  30 b) Ta thấy : M   52  53   580 chia hết cho (1) Mặt khác, 52  53   580 chia hết cho 52 Suy M   52  53   580 không chia hết cho 25 (2) Từ (1) (2) suy M khơng số phương (Đề thi HSG quận Ba Đình 1990-1991)    Cho A  31.7 7.42 10.41 10.57 Bài 145 B 11    19.31 19.43 23.43 23.57 2013 :2 101 Tính tỉ số A ? B Lời giải A B 1    50 80 130              31.7 7.41 10.41 10.57  31 41  10  41 57  31.41 41.57 31.57 11    11  24 28 52              19.31 19.43 23.43 23.57 19  31 43  23  43 57  31.43 43.57 31.57 Vậy A 130  B 52 (Đề thi HSG trƣờng THCS Lê Ngọc Hân 1997-1998) 1 1     Tính tổng: A  1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30 Bài 146 B Ta có : 4    5.8 8.11 11.14  305.308 Lời giải: n(n  1)(n  2)(n  3)  3n(n  1)(n  2)(n  3)  3 n  n 3n(n  1)(n  2)(n  3)  1 n3 n     n(n  1)(n  2)(n  3) n(n  1)(n  2)(n  3)   1 1     n(n  1)(n  2) (n  1)(n  2)(n  3)  Nên : A = 1 1     1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30 1 1 451  4059       1.2.3 28.29.30  28.29.30 8120 B= 41 1 41  4 1  41  4.303 101                    11   305 308   308  3.5.308 385 Vậy A  B  451 101 28390   8120 385 89320 (Đề thi HSG 6_ Quận Hai bà Trưng 1996 - 1997) 2 ; ; ; Cho dãy phân số viết theo qui luật: 11.16 16.21 21.26 a) Tìm phân số thứ 45 dãy số b) Tính tổng 45 phân số Bài 147 Lời giải: 102 231.236 a) Phân số thứ 45 dãy số : b) Tổng 45 phân số : 2 5     11.16 16.21   2 1 1       231.236   11 16 16 21 (Đề thi HSG 6) 2    a) Tính tổng: S  1.2 2.3 3.4  1  45   231 236  1298 Bài 148  b) Chứng minh rằng:   32  33  34  2  98.99 99.100  3100  40 Lời giải: a) S  2    1.2 2.3 3.4  2  98.99 99.100 1   2     1.2 2.3 3.4  1 1 1  2       1 2 3 1    98.99 99.100   1 1      98 99 99 100  99 99 49 1   2   1   100 50 50  100  b)  32  33  34   3100    32  33  34    35  36  37  38    397  398  399  3100     32  33  34   34   32  33  34    120.30  34.120   120  30  34   396   32  33  34   396.120  396  40 Bài 149 (Đề thi HSG 6) Một dãy số cộng có 45 số hạng Biết số hạng 50 Hãy xác định dãy số cộng Lời giải: Trước số hạng có 22 số hạng , sau số hạng có 22 số hạng * Nếu cơng sai d  u1  50  22  28 Dãy số 28, 29, 30, 50, 71, 72 * Nếu công sai d  u1  50  22.2  u45  50  22.2  94 Dãy số 6, 8, 10, 50, 92, 94 Dễ thấy công sai d lớn