Chuyên đề liên hệ phép chia có dư với phép chia hết (41 trang)

1 CHUYÊN ĐỀ.LIÊN HỆ PHÉP CHIA CÓ DƯ VỚI PHÉP CHIA HẾT BÀI TOÁN ƯỚC VÀ BỘI ƯỚC CHUNG (ƯCLN) VÀ BỘI CHUNG (BCNN) A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Ước Bội số nguyên Với a, b  Z b 0 Nếu có số ngun q cho a = b.q ta nói a chia hết cho b Ta cịn nói a bội b b ước a Nhận xét - Nếu a = b.q ta nói a chia cho b q viết a : b q - Số bội số nguyên khác Số ước số nguyên - Các số -1 ước số nguyên Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b số dư k số (a – k) ⋮ b Ước chung hai hay nhiều số ước tất số Ước chung số a, b, c kí hiệu ƯC(a, b, c) Bội chung hai hay nhiều số bội tất số Bội chung số a, b, c kí hiệu là: BC(a, b, c) Ước chung lớn Bội chung nhỏ * Ước chung lớn hai hay nhiều số số lớn tập hợp ước chung số * Bội chung nhỏ hai hay nhiều số số nhỏ khác không tập hợp bội chung số II.BÀI TẬP VẬN DỤNG Dạng 1: Tìm số tự nhiên n để thỏa mãn điều kiện chia hết (số cho số tự nhiên, số nguyên) Bài tập Tìm số tự nhiên n để (3n + 14) chia hết cho (n + 2) Hướng dẫn Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + Mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2) Do (5n + 14) chia hết cho (n +2)  chia hết cho (n + 2)  (n + 2) ước  (n +2)  1 ; ; 4  n   ; 2 Vậy với n 0; 2 (5n + 14) chia hết cho (n +2) Bài tập Tìm số tự nhiên n để n  15 số tự nhiên n3 Hướng dẫn Để n  15 số tự nhiên (n + 15) chia hết cho (n + 3) n3  [(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3)  12 chia hết cho (n +3)  (n + 3) Ư(12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12  n  0; 1; 3; 9 Vậy với n  0; 1; 3; 9thì n  15 số tự nhiên n3 Bài tập 3.Tìm số tự nhiên n để 3n + chia hết cho n – Hướng dẫn Để 3n + 4n - Û [1.(3n + 4) - 3.(n - 1) ] n - Û n - hay n – Ỵ Ư(7) én - =  ê Þ ê n = ë én = ê ê ën = Vậy với n = n = 3n +  n – Bài tập Tìm số tự nhiên cho 4n - chia hết cho 2n - Hướng dẫn Ta có 4n-5 = 2( 2n-1) - Để 4n-5 chia hết cho 2n-1 chia hết cho2n-1 Với 2n-1=1 => n=1 Với 2n-1=3 => n=2 n = 1;2 Bài tập 5.Tìm số tự nhiên n để n2 + 3n +  n + Hướng dẫn n2 + 3n +  n + n (n + 3) +  n +   n + => n +  Ư(6) = {1; 2; 3; 6} => n = 0; n = Bài tập Tìm a  N để a + bội a – Hướng dẫn Để a +1 bội a -1 nên a 1 a 1 1  số nguyên a a a => a – ∈ Ư(2) = {-1,1,2} => a ={0,2,3} (thỏa mãn a ∈ N) Bài tập 7.Tìm số nguyên n để:  n  2n chia hết cho n  Hướng dẫn Ta có  n  2n = + n(n – 2) =>  n  2n ⋮ (n – 2) ⋮ (n – 2) => n – ∈ Ư(5) = {-5, -1, 1, 5} => n ∈ {- 3, 1, 3, 7} Bài tập 8.Tím tất số nguyên n để phân số n 1 có giá trị số nguyên n Hướng dẫn n 1 số nguyên (n+1) (n-2) n Ta có (n+1) =  (n  2)  3 Vậy (n+1) (n - 2) (n-2) (n-2)  Ư(3) =   3;  1;1;3 => n    1;1;3;5 Bài tập Cho A = n Tìm n nguyên để A số nguyên n4 Hướng dẫn A= n n4 5 1  = n4 n4 n4 Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên   n + hay n +  Ư(5) Lập luận tìm n = -9, -5, -3, Bài tập 10.Tìm số nguyên n để phân số 4n  có giá trị số nguyên 2n  Hướng dẫn Ta có: 4n  4n   n(2n  1)  7  n  = 2n  2n  2n  2n  Vì n nguyên nên để 4n  nguyên nguyên 2n  2n  => 2n –  Ư(7) = {–7; –1; 1; 7}  2n  {– 6; 0; 2; 8}  n  {– 3; 0; 1; 4} Vậy với n  {– 3; 0; 1; 4} 4n  có giá trị số nguyên 2n  Bài tập 11.Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau số tự nhiên: B = 2n  5n  17 3n   n2 n2 n2 Hướng dẫn B= 2n  5n  17 3n 2n   5n  17  3n 4n  19     n2 n2 n2 n2 n2 B= 4n  19 4(n  2)  11 11  4  n2 n2 n2 Để B số tự nhiên 11 số tự nhiên n2  11  (n+2)  n +  Ư(11) =  1; 11 Do n + > nên n + = 11  n = Vậy n = B  N Dạng Tìm số nguyên dương biết số yếu tố có kiện ưcln bcnn * Nếu biết ƯCLN(a, b) = K a = K.m b = K.n với ƯCLN(m; n) = (là diều kiện số m, n cần tìm) , từ tìm a b * Nếu biết BCNN (a, b) = K ta gọi ƯCLN(a; b) = d a = m.d b = n.d với ƯCLN(m; n) = (là diều kiện số m, n cần tìm) , từ tìm a b Bài tập Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 ƯCLN(a, b) = 16 Hướng dẫn Giả sử a ≤ b Ta có ƯCLN(a, b) = 16 => a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = ; m ≤ n Ta có: a + b = 128 => 16(m + n) = 128 => m + n = Vì ƯCLN(m, n) = nên: Trường hợp 1có: m = 1, n = => a = 16, b = 112 Trường hợp có: m = 3, n = => a = 48, b = 80 Bài tập Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 ƯCLN(a, b) = Hướng dẫn Giả sử a ≤ b Do ƯCLN (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN (m, n) = ; m ≤ n Ta có ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 => mn = Vì ƯCLN (m, n) = nên: Trường hợp có: m = 1, n = => a = 6, b = 36 Trường hợp có: m = 2, n = => a = 12, b = 18 Bài tập Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 ƯCLN (a, b) = Hướng dẫn ƯCLN(a, b) = => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = Ta có: a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 , mà ƯCLN(m, n) = => m = 13 n = => a = 65 b = 25 Bài tập Tìm a, b biết a + b = 42 BCNN (a, b) = 72 Hướng dẫn Gọi d = ƯCLN(a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = Khơng tính tổng qt, giả sử a ≤ b => m ≤ n Do : a + b = d(m + n) = 42 (1) BCNN (a, b) = mnd = 72 (2) => d ước chung 42 72 => d thuộc {1 ; ; ; 6} Lần lượt thay giá trị d vào (1) (2) để tính m, n => Chỉ có trường hợp d = => m + n = mn = 12 => m = n = (thỏa mãn điều kiện m, n) Vậy d = a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 Bài tập Tìm a, b biết a - b = 7, BCNN (a, b) = 140 Hướng dẫn Gọi d = ƯCLN(a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = Do : a - b = d(m - n) = BCNN (a, b) = mnd = 140 (1’) (2’) => d ước chung 140 => d thuộc {1 ; 7} Thay giá trị d vào (1’) (2’) để tính m, n ta kết : d = => m - n = mn = 20 => m = 5, n = (thỏa mãn điều kiện ƯCLN(m, n) = 1) Vậy d = a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 Bài tập Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, BCNN (a, b) = 60 Hướng dẫn Ta có ƯCLN(a, b) = ab/BCNN (a, b) = 180/60 = Tìm (a, b) = 3, tốn đưa dạng Bài tập Kết : a = 3, b = 60 a = 12, b = 15 Bài tập Tìm a, b biết a/b = 4/5 BCNN (a, b) = 140 Hướng dẫn Đặt ƯCLN(a, b) = d Vì , a/b = 4/5 , mặt khác ƯCLN(4, 5) = nên a = 4d, b = 5d Lưu ý BCNN(a, b) = 4.5.d = 20d = 140 => d = => a = 28 ; b = 35 Bài tập Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 ƯCLN (a,b) = Hướng dẫn Giả sử a ≤ b Do (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; ƯCLN(m, n) = ; m ≤ n Vì : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 => mn = Vì ƯCLN(m, n) = nên: Trường hợp có m = 1, n = => a = 6, b = 36 Trường hợp có m = 2, n = => a = 12, b = 18 Bài tập Tìm hai số tự nhiên a b, biết: BCNN(a,b) = 300; ƯCLN(a,b) =15 a +15= b Hướng dẫn + Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 15m; b = 15n (1) ƯCLN(m, n) = (2) + Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy :  BCNN  15m; 15n   300 15.20  BCNN  m; n   20 (3) + Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy :  15m  15 15n  15. m  1 15n  m  n (4) Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có trường hợp : m = 4, n = thoả mãn điều kiện (4) Vậy với m = 4, n = 5, ta số phải tìm : a = 15 = 60; b = 15 = 75 Bài tập 10 Tìm hai số a,b biết bội chung nhỏ a; b 420, ƯCLN(a;b) = 21 a + 21 = b Hướng dẫn + Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn số tự nhiên m n khác 0, cho: a = 21m; b = 21n ƯCLN(m, n) = (1) (2) + Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra:  BCNN  21m; 21n   420 21.20  BCNN  m; n   20 (3) + Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra:  21m  21 21n  21. m  1 21n  m  n Trong trường hợp thoả mãn điều kiện (2) (3), có Trường hợp: m = 4, n = m = 2, n = thoả mãn điều kiện (4) Vậy với m = 4, n = m = 2, n = ta số phải tìm là: a = 21.4 = 84; b = 21.5 = 105 (4) Bài tập 11 Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu chúng 84, ƯCLN chúng 28 số khoảng từ 300 đến 440 Hướng dẫn Gọi hai số phải tìm a b ( a, b  N* , a > b) Ta có: ƯCLN(a, b) = 28 nên a = 28k b = 28q Trong k, qN*và k, q nguyên tố Ta có : a - b = 84  k - q = Theo ra: 300 ≤ b < a ≤ 440  10 < q < k q = 11và k = 14 Ta có : a = 28 11 = 308 ; b = 28 14 = 392 Vậy hai số phải tìm 308 392 Dạng 3: Liên hệ phép chia có dư với phép chia hết, bcnn, ưcln * Nếu số tự nhiên a chia cho số tự nhiên b số dư k => a – k ⋮ b * Nếu a ⋮ b a ⋮ c mà ƯCLN(a, b) = => a chia hết cho tích b.c (a, b, c ∈ N) * Nếu a ⋮ b a ⋮ c mà a số nhỏ => a = BCNN(a, b) (a, b, c ∈ N) * Nếu a ⋮ b m ⋮ b mà b lớn => b = Ư CLN(a, m) (a, b, m ∈ N) Bài tập 1: Một số tự nhiên chia cho dư 5, chia cho 13 dư Nếu đem số chia cho 91 dư bao nhiêu? Hướng dẫn Gọi số a Vì a chia cho dư 5, chia cho 13 dư  a  97; a  913 mà ƯCLN(7,13) = nên a  97.13  a+9=91k  a = 91k - = 91k - 91+ 82 = 91(k - 1) + 82 (k  N) Vậy a chia cho 91 dư 82 Bài tập 2: Tìm số tự nhiên a biết chia 355 cho a ta số dư 13 chia 836 cho a có số dư Hướng dẫn Theo đề chia 355 cho a ta số dư 13 nên ta có 355 a.m  13 với m  N * a  13 hay a.m 342 18.19 (1) chia 836 cho a ta số dư => Ta có 836 a.n   a.n 828 18.46 với n  N * (2) Từ (1) (2) suy a 18 số tự nhiên cần tìm Bài tập 3: Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư Hỏi số chia cho 2737 dư bao nhiêu? Hướng dẫn Gọi số cho A Theo ta có: A = 7.a + = 17.b + 12 = 23.c + Mặt khác: A + 39 = 7.a + + 39 = 17.b + 12 + 39 = 23.c + + 39 = 7.(a + 6) = 17.(b + 3) = 23.(c + 2) Như A+39 đồng thời chia hết cho 7,17 23 Nhưng Ư CLN(7,17,23) = => (A + 39)  7.17.23 nên (A+39)  2737 => A+39 = 2737.k => A = 2737.k - 39 = 2737.(k-1) + 2698 Do 2698 < 2737 nên 2698 số dư phép chia số A cho 2737 Bài tập 4: Tìm số tự nhiên lớn có chữ số, cho chia cho dư chia cho 31 dư 28 Hướng dẫn: Gọi số cần tìm a ( a  N,100 a 999 ) Vì a chia cho dư chia cho 31 dư 28 nên: a  8   a  2831 a   88   a  28  3131 a  18   a  331 a   648   a   6231 a  658  a  6531 Vì (8, 31) = nên a + 65  (8.31) hay a + 65  248  a = 248k – 65 (k  N*) Vì a số có chữ số lớn nên k = 4, a = 248.4 – 65 = 927 Vậy số cần tìm 927 Bài tập 5: Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số biết số chia cho 4,6,7 dư Hướng dẫn Gọi số cần tìm a điều kiện a  N,a 100 Vì a chia cho 4, 6, dư  a  34,6,7 Mà a nhỏ => a – nhỏ => a- = BCNN(4,6,7) Mà ƯCLN(4, 6, 7) = => BCNN(4,6,7) = 4.7.6 = 168  a  168  a 171 Vậy số cần tìm 171 Bài tập 6: Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 11 dư 6, chia cho dư 1và chia cho 19 dư 11 Hướng dẫn Gọi số cần tìm a ta có: (a - 6)  11 ; (a - 1)  ; (a - 11)  19 => (a - + 33)  11 ; (a - + 28)  ; (a - 11 +38 )  19 => (a +27)  11 ; (a +27)  ; (a +27)  19 Mà a nhỏ => a + 27 nhỏ => a + 27 = BCNN(11, 4, 9) Do ƯCLN (4 ; 11 ; 19) = => BCNN(11, 4, 9) = 11.4.9 = 396 => a + 27 = 396 => a = 369 Bài tập 7: Tìm số tự nhiên a nhỏ cho: a chia cho dư 3, a chia cho dư Hướng dẫn Ta có: a = 5q + ; a = 7p + Xét a +17 = 5q + 20 = 7p + 21 => a +17 chia hết cho => a +17 bội chung Vì a số tự nhiên nhỏ nên a +17 = BCNN(5,7) = 35 => a = 18 Bài tập 8: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết số chia cho 3, cho 4, cho 5, cho dư 2, cịn chia cho dư Hướng dẫn Gọi số tự nhiên a, ta có a – = BC(3; 4; 5; 6) Mà BC( 3; 4; 5; 6) = 60; 120; 180; 240; … Nên a nhận giá trị 62; 122; 182; 242 … Mặt khác a số nhỏ chia cho dư tức (a – 3) số nhỏ chia hết cho => a = 122 (vì a = 62 62 – = 59 không chia hét cho 7) Bài tập 9: Học sinh khối xếp hàng; xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 dư học sinh Nhưng xếp hàng 11 vùa đủ Biết số học sinh khối chưa đến 400 học sinh.Tính số học sinh khối 6? Hướng dẫn Gọi số Hs khối a (3 x = 235 Số HS lớp 6A (235 - 26) : 11 + = 20 HS Số HS lớp 6B (235 - 25) : 10 + = 22 HS Bài tập 12: Số học sinh khối trờng cha đến 400 bạn, biết xếp hàng 10; 12; 15 dư xếp hàng 11 khơng dư Tính số học sinh khối trường Hướng dẫn Gọi số học sinh a (a  Z*) Ta có a -  BC(10; 12; 15) a - = 60k (k  N*)  a = 60k + k a 63 123 183 243 Ta xem 303 363 423 với giá trị k a < 400 a  11 Trong giá trị trên, có a = 363 < 400 a  11 Vậy số học sinh cần tìm 363 học sinh Bài tập 13: Một đơn vị đội xếp hàng, hàng có 20 người, 25 người, 30 người thừa 15 người Nếu xếp hàng 41 người vừa đủ (khơng có hàng thiếu, khơng có ngồi hàng) Hỏi đơn vị có người, biết số người đơn vị chưa đến 1000? Hướng dẫn Gọi số người đơn vị đội x (x  N)