Luận văn các định lý nhúng trong không gian sobolev

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC PHẠM ĐÌNH THƯƠNG CÁC ĐỊNH LÝ NHÚNG TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA - NĂM 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC PHẠM ĐÌNH THƯƠNG CÁC ĐỊNH LÝ NHÚNG TRONG KHƠNG GIAN SOBOLEV LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng THANH HÓA - NĂM 2021 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Phạm Đình Thương i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Trong trình làm luận văn, Thầy người ln tận tình hướng dẫn, bảo, giúp đỡ động viên em suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc, kính trọng đến Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy cô giảng dạy lớp K12 cao học Giải tích, trường Đại học Hồng Đức Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý quý báu mơi trường thuận lợi để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng quản lý đào tạo, Phòng quản lý sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa KHTN, Bộ mơn Giải tích Phương pháp Giảng dạy toán khoa Khoa học Tự nhiên trường Đại học Hồng Đức tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành thời hạn luận văn Cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp ln khích lệ, động viên giúp đỡ tơi trình học tập nghiên cứu khoa học Thanh Hóa, tháng 06 năm 2021 Kí tên Phạm Đình Thương ii Mục lục Mở đầu Chương Các không gian hàm 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian Banach 1.3 Không gian SoBolev 1.3.1 Trung bình hóa 1.3.2 Đạo hàm suy rộng 1.3.3 Không gian Sobolev Wpm (Ω), ≤ p < ∞ 12 1.3.4 Không gian W˚ pm (Ω), ≤ p < ∞ 17 1.3.5 Không gian W2m,l (QT ) 18 Chương Các định lý nhúng không gian Sobolev ứng dụng 19 2.1 Các định lý nhúng 19 2.2 Bài tốn tồn nghiệm phương trình Elliptic 25 2.2.1 Bài toán biên thứ định lý nghiệm 25 2.2.2 Sự tồn nghiệm suy rộng toán Dirichlet 28 2.3 Bài toán biên thứ hai thứ ba 30 Tài liệu tham khảo 35 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các định lý nhúng phần kiến thức khó tốn cao cấp, việc nghiên cứu định lý nhúng quan trọng trung tâm tốn học nước nghiên cứu với mục đính áp dụng vào giải tốn phương trình đạo hàm riêng Hiện nay, nước có nhiều nhóm nghiên cứu định lý nhúng lớn phải kể đến nhóm nghiên cứu trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, nhóm nghiên cứu trường Đại học Quốc Gia Hà Nội nhóm có buổi seminar định kỳ số định lý nhúng mở rộng chúng Vì tác giả chọn đề tài: “Các định lý nhúng không gian Sobolev” để nghiên cứu áp dụng định lý nhúng khơng gian Sobolev, giải tốn đạo hàm suy rộng, tốn phương trình đạo hàm riêng đề tài cho luận văn Mục tiêu nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu định lý nhúng không gian Sobolev Nghiên cứu áp dụng vào giải số toán liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Định lý nhúng không gian Sobolev Một số toán liên quan Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết chuẩn bị không gian hàm Nghiên cứu áp dụng định lý nhúng không gian Sobolev giải tốn đạo hàm suy rộng, tốn phương trình đạo hàm riêng Phương pháp nghiên cứu Phân tích, tổng hợp hệ thống hóa lý thuyết để nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan định lý nhúng không gian Sobolev, số tập áp dụng định lý nhúng không gian Sobolev Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu số kiến thức khơng hàm quan trọng Tìm hiểu khái niệm nghiệm phương trình Elliptic cấp hai Nghiên cứu tính tồn nghiệm, tính giải toán biên ban đầu phương trình Elliptic cấp hai Cấu trúc luận văn Ngoài lời cảm ơn, mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương 1: Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm không gian hàm quan trọng, đặc biệt khơng gian Sobolev Chương 2: Trình bày kết luận văn Đầu tiên trình bày kiến thức định lý nhúng Tiếp theo trình bày phương trình Elliptic cấp hai, sở định lý nhúng chứng minh tồn nghiệm, tính giải tốn biên phương trình elliptic cấp hai Chương Các không gian hàm 1.1 Khơng gian metric Trong phần này, chúng tơi trình bày số kết không gian metric Nội dung phần tham khảo tài liệu Định nghĩa không gian metric phát biểu sau Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập khác rỗng Ánh xạ d : X × X → R gọi metric X thoả mãn điều kiện: (1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X d(x, y) = x = y (2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X (3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, cặp (X, d) gọi khơng gian metric Nếu khơng có nhầm lẫn, ta dùng cụm từ "không gian metric X" thay dùng cụm từ "khơng gian metric (X, d)" Sau số ví dụ khơng gian metric Ví dụ 1.1.2 Giả sử M tập khác rỗng tập số thực R Ta đặt d(x, y) = |x − y| với x, y ∈ M Khi đó, nhờ tính chất quen thuộc giá trị tuyệt đối, ta kiểm tra dễ dàng (M, d) khơng gian metric Ví dụ 1.1.3 Kí hiệu Rk = (x1 , · · · , xk ) : xi ∈ R, i = 1, k tập hợp k số thực Với x = (x1 , · · · xk ), y = (y1 , · · · , yk ) thuộc Rk , ta đặt: v u k u d(x, y) = t ∑ (xi − yi )2 i=1 Khi điều kiện (1) (2) rõ ràng, ta cần kiểm tra điều kiện( 3), tức chứng minh v u u t k ∑ i=1 v u u (xi − zi )2 ≤ t k ∑ i=1 v u u (xi − yi )2 = t k ∑ (yi − zi)2 i=1 Đặt = xi − yi , bi = yi − zi + bi = xi − zi Ta lại có k k a2i + d (x, z) = ∑ (ai − bi ) = ∑ i=1 i=1 k ∑ b2i + i=1 k ∑ bi i=1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schawrs cho số hạng sau ta v v u u k k k u k u k d (x, z) = ∑ (ai + bi )2 = ∑ a2i + ∑ b2i + 2t ∑ a2i t ∑ b2i i=1 i=1 v u u t k ∑ i=1 i=1 i=1 v u u a2 + t i k i=1 2 ∑ b2i  i=1 Từ đó, ta lấy hai vế trở với kí hiệu cũ, ta có d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Vậy (Rk , d) không gian metric metric gọi metric thơng thường Rk Ví dụ 1.1.4 Giả sử X tập tùy ý khác rỗng Ta đặt ( x = y, d(x, y) = x 6= y với x, y ∈ X Ta kiểm tra d metric X Dễ thấy điều kiện (1) 2) Điều kiện (3) có dạng d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) i) Nếu x 6= z d(x, z) = vế sau lớn ii) Nếu x = z d(x, z) = vế sau lớn Vậy điều kiện (3) thỏa mãn nên (X, d) không gian metric Metric d gọi metric rời rạc X Ví dụ 1.1.5 Kí hiệu tập hợp hàm liên tục f : [a, b] → R C[a,b] với hàm f , g thuộc C[a,b] , ta đặt d( f , g) = max | f (x) − g(x)| x∈[a,b] Vì f , g hàm liên tục [a, b] nên hàm | f − g| Do giá trị lớn hàm | f − g| đạt khoảng đóng [a, b] nên d( f , g) xác định Các điều kiện (1) ( 2) hiển nhiên Vì ∀x ∈ [a, b] : | f (x) − h(x)| ≤ | f (x) − g(x)| + |g(x) − h(x)| ≤ max | f (x) − g(x)| + max |g(x) − h(x)| x∈[a,b] x∈[a,b] nên max | f (x) − h(x)| ≤ max | f (x) − g(x)| + max |g(x) − h(x)| x∈[a,b] x∈[a,b] x∈[a,b] hay d( f , h) ≤ d( f , g) + d(g, h) với f , g, h ∈ C[a,b] Vậy (C[a,b] , d) khơng gian metric Ví dụ 1.1.6 Cũng tập hợp C[a,b] ta đặt d1 ( f , g) = Z b | f (x) − g(x)|dx, a (C[a,b] , d1 ) không gian metric 1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.2.1 Cho X khơng gian tuyến tính Một chuẩn X hàm số || · || : X → R thoả mãn: (i) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X, ||x|| = x = ∂ u dxi ∂ xi −∞ Do  n |u(x)|n/(n−1) ≤ ∏ 1/(n−1) ∂ u dxi  ∂ xi Z+∞