25 câu ôn phần toán đánh giá tư duy đh bách khoa hn phần 15 (bản word có giải)

25 câu ơn phần Tốn - Đánh giá tư ĐH Bách Khoa HN - Phần 15 (Bản word có giải) II TOÁN TRẮC NGHIỆM Câu 36: Một khối cầu ngoại tiếp khối lập phương Tỉ số khối cầu khối lập phương π A B 3 π C 3 D 2 Câu 37: Có giá trị nguyên m để bất phương trình log x  (2m  5)log x  m  5m   có nghiệm ngun không 1791 nghiệm nguyên? A 10 B C D 11 Câu 38: Cho hàm số y  f ( x)  x  ax có đồ thị hình vẽ bên Gọi S1 , S2 diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi  5 A  ;   4 1 1 B  ;  3 2 Câu 39: Hình vẽ bên đồ thị hàm số y  A ad  0, ab  B bd  0, ab  S1  a thuộc khoảng đây? S 40  1 C  0;   3  3 D  ;   4 ax  b Mệnh đề sau đúng? cx  d C bd  0, ad  D ad  0, ab  Câu 40: Gọi (C) tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  z   z  z 8 Diện tích hình phẳng giới hạn (C) là: A 24 B C 16 D Câu 41: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, Gọi S tập hợp số tự nhiên có năm chữ số chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần Chọn ngẫu nhiên tập S số, tính xác suất để số chọn chia hết cho A B C D Câu 42: Thiết diện qua trục hình nón tam giác cạnh có độ dài 2a Thể tích khối nón A πa 3 B πa 3 12 C πa 3 D πa 3 Câu 43: Một sinh viên trường làm ngày 1/1/2020 với mức lương khởi điểm a đồng tháng sau năm lại tăng thêm 10% chi tiêu hàng tháng 40% lương Anh ta dự định mua hộ chung cư giá rẻ có giá trị thời điểm 1/1/2020 tỷ đồng sau năm giá trị hộ tăng thêm 5% Với a sau 10 năm mua hộ đó, biết mức lương mức tăng giá trị nhà không đổi (kết quy trịn đến hàng nghìn đồng) A 11.487.000 đồng B 14.517.000 đồng C 55.033.000 đồng D 21.776.000 đồng x x 2 Câu 44: Có số nguyên x thỏa mãn   5.2  64   log  4x  0 ? A 22 B 25 C 23 D 24 Câu 45: Cho nhôm hình vng cạnh 2016(cm) Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn A x = 336 B x = 504 C x = 672 D x =1008 Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên 3a Khoảng cách từ A đến (SCD) A a 14 B a 14 C a 14 D a 14 Câu 47: Cho tập hợp A =1;2;3;4;5;6;7;8 Từ tập hợp A lập số gồm chữ số đôi khác cho số lẻ không chia hết cho 5? A 20100 B 12260 C 40320 D 15120 Câu 48: Cho chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a, tam giác SAC vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính khoảng cách d SC, AB A d  a 6 B a C 2a 21 D 2a 30 Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x  y  z  0 hai đường thẳng d1 : x  y z 1 x  y z 1   , d2 :   Đường thẳng vng góc với (P), đồng thời cắt d1 d có 1 2 1 phương trình là: A x y  z 2   2 1 B x  y  z 1   2 C x  y z 1   2 1 D x  y 1 z    1 Câu 50: Trong khơng gian Oxyz, cho tứ diện có điểm A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2), D(4;5;-7) Trên cạnh AB, AC, AD lấy điểm B, C, D thoả mãn AB AC AD   8 Khi tứ diện ABCD AB AC AD tích nhỏ mặt phẳng (BCD) có phương trình dạng 6x  my  nz  p 0  m, n, p   Tính m2  n  p A B -3 C D -7 Câu 51: Ông Thành vay ngân hàng 2,5 tỷ đồng trả góp hàng tháng với lãi suất 0,51% Hàng tháng, ông Thành trả 50 triệu đồng (bắt đầu thừ vay) Hỏi sau 36 tháng số tiền ơng Thành cịn nợ (làm tròn đến hàng triệu)? A 1019 triệu đồng B 1025 triệu đồng C 1016 triệu đồng D 1022 triệu đồng Câu 52: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1 ( t ) 2 t (m / s) Đi 12s, người lái xe gặp chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a  12  m / s  Tính qng đường s (m) tô từ lúc bắt đầu chuyển động đến dừng hẳn? A s = 168 (m) B s = 166 (m) C s = 144 (m) D s = 152 (m) Câu 53: Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  3x  A 11 B C D Câu 54: Cho hàm số f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ Có giá trị ngun  π 3π  tham số m để phương trình f (f (cos x)) m có nghiệm thuộc khoảng  ;  ? 2  A B C D Câu 55: Một nút chai thủy tinh khối tròn xoay (H ), mặt phẳng chứa trục (H ) cắt (H ) theo thiết diện hình vẽ bên Tính thể tích V (H ) A V 23π  cm  B V 17π  cm  C V 13π  cm  D V  41π  cm3  Câu 56: Thương cau sáu bổ ba Ghét cau sáu bổ làm mười Số người tính đủ tám mươi Cau mười lăm quả, tính người ghét thương? A Số người thương 30, số người ghét 50 B Số người thương 50, số người ghét 30 C Số người thương 60, số người ghét 20 D Số người thương 40, số người ghét 40 Câu 57: Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình 33 x  5.32 x  3.3x   m 0 có nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 cho x1   x2   x3 là: A B C D Vô số Câu 58 Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC ; A(2;1;1); B(1; 2;1); C (1;1; 2) Độ dài đường cao kẻ từ A tam giác là: A B C D Câu 59: Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn -10;10 để hàm số y  cos x  nghịch 3cos x  m  π biến khoảng  0;  ?  3 A 15 B 17 C 16 D 18 Câu 60: Số phức z1 nghiệm có phần ảo dương phương trình bậc hai z  2z  0 Môđun số phức   i  z1 bằng: A B 10 C 10 D 18 III TỐN TỰ LUẬN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có SC ⊥ (ABCD), đáy ABCD hình thoi có cạnh a  ABC = 1200 Biết góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) Bài 2: Trên sân bay máy bay cất cánh đường băng d (từ trái sang phải) bắt đầu rời mặt đất điểm O Gọi (P) mặt phẳng vng góc với mặt đất cắt mặt đất theo giao tuyến đường băng d máy bay Dọc theo đường băng d cách vị trí máy bay cất cánh O khoảng 300 (m) phía bên phải có người quan sát A Biết máy bay chuyền động mặt phẳng (P) độ cao y máy bay xác định phương trình y x (với x độ dài máy bay dọc theo đường thẳng d tính từ O) Tính khoảng cách ngắn từ ngườiA (đứng cố định) đến máy bay -HẾT - HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT II TOÁN TRẮC NGHIỆM Câu 36: Một khối cầu ngoại tiếp khối lập phương Tỉ số khối cầu khối lập phương A π B 3 π C 3 D Phương pháp giải: a - Bán kính khối cầu ngoại tiếp khối lập phương cạnh a R  - Thể tích khối cầu bán kính R V   R - Thể tích khối lập phương cạnh a V a Giải chi tiết: Gọi hình lập phương có đỉnh hình Gọi O tâm hình lập phương Khi O tâm ngoại tiếp khối lập phương Bán kính khối cầu R OA  AC  a  2 4  a   3a Thể tích khối cầu V1   R      3   Thể tích khối lập phương V2 a  3a Tỉ số thể tích khối cầu khối lập phương V1   V2 a3 Chọn A 2 Câu 37: Có giá trị nguyên m để bất phương trình log x  (2m  5)log x  m  5m   có nghiệm ngun khơng q 1791 nghiệm nguyên? A 10 B C D 11 Phương pháp giải: - Đặt ẩn phụ t log x - Biện luận phương trình Giải chi tiết: ĐKXĐ: x  Đặt t log x Khi phương trình trở thành t  (2m  5)t  m  5m    (t  m  1)(t  m  4)   m 1  t  m   m   log x  m   2m1  x  2m4 2 Để bất phương trình log x  (2m  5) log x  m  5m   có nghiệm ngun khơng q 1791 nghiệm ngun  2m4  2m 1 1792   2m 128 14  1  log    m 7  14   m  [ 3;7] Vậy có 11 giá trị m thỏa mãn Chọn D Câu 38: Cho hàm số y  f ( x)  x  ax có đồ thị hình vẽ bên Gọi S1 , S2 diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi S1  a thuộc khoảng đây? S 40  5 A  ;   4 1 1 B  ;  3 2  1 C  0;   3  3 D  ;   4 Phương pháp giải: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x), y  g ( x) , đường thẳng x a, x b b S | f ( x)  g ( x) | dx a Giải chi tiết: Ta có;  x ax  a   S1    x  ax dx       1   12    12  x ax  1  S2   x  ax dx     2a  0    12 a  S1 12   10  20a  28  14a  a    Vì S2 40 3 21  2a 40 1 1 Vậy a   ;   2 Chọn B Câu 39: Hình vẽ bên đồ thị hàm số y  A ad  0, ab  ax  b Mệnh đề sau đúng? cx  d B bd  0, ab  C bd  0, ad  Phương pháp giải: Đồ thị hàm số y  ax  b d có tiệm cận đứng đường thẳng x  cx  d c Đồ thị hàm số y  ax  b a có tiệm cận ngang đường thẳng y  cx  d c Đồ thị hàm số y  ax  b b cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x  cx  d a Giải chi tiết: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x  d   cd  c a Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang đường thẳng y    ca  c D ad  0, ab  Từ cd  0, ca   ad  Đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hoành độ x  b   ab  a Câu 40: Gọi (C) tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  z   z  z 8 Diện tích hình phẳng giới hạn (C) là: A 24 B C 16 Phương pháp giải: - Gọi z x  yi  z x  yi Thay vào giả thiết đề biểu diễn y theo x - Vẽ đồ thị hàm số, xác định hình dạng (C ) - Diện tích hình thoi 1/ tích hai đường chéo Giải chi tiết: Gọi z x  yi  z x  yi , theo ta có: | x  yi  x  yi  | 4 | x  yi  x  yi |8  | x  | 4 | yi |8  | x  | 4 | y |4  1  ( x  2) x 2  | y | 1  ( x  2) x   3   x x 2  | y |   x x   Vẽ đồ thị hàm số ta được: ⇒(C) hình thoi ABCD hình vẽ, có đường chéo AC = 2, BD = Vậy S C   2.8 8 D Câu 41: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, Gọi S tập hợp số tự nhiên có năm chữ số chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần Chọn ngẫu nhiên tập S số, tính xác suất để số chọn chia hết cho A B C D Phương pháp giải: - Tìm số số tự nhiên có năm chữ số chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần - Tìm số số tự nhiên có năm chữ số chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần mà có tổng chia hết cho (tức tìm số cặp gồm chữ số có tổng chia hết cho xếp với chữ số 3) - Tính xác suất Giải chi tiết: - Chọn chữ số từ chữ số 1, 2, 4, có C4 6 cách - Sắp xếp chữ số vừa chọn từ chữ số 1, 2, 4, với chữ số ta có 5! cách xếp Tuy nhiên chữ số hoán vị cho 3! lần mà số khơng đổi nên có 5! 20 cách xếp 3! - Theo quy tắc nhân ta có S 6.20 120 Gọi A biến cố mà số chọn chia hết cho Do số chọn có chữ số nên cần tổng chữ số lại chia hết cho chia hết cho Ta có cặp số có tổng chia hết cho từ chữ số 1, 2, 4, (1,5),(2,4),(5,1),(4,2) Khi đó: A 4.20 80 Vậy xác suất để số chọn chia hết cho từ tập S 80  120 Chọn D Câu 42: Thiết diện qua trục hình nón tam giác cạnh có độ dài 2a Thể tích khối nón A πa 3 B πa 3 12 C πa 3 D πa 3 Phương pháp giải: - Thiết diện qua trục tam giác cạnh 2a nên đường sinh 2a, bán kính đáy a - Sử dụng định lí Pytago tính chiều cao khối nón - Từ tìm đường cao hình nón tính thể tích V  πRhR h Giải chi tiết: A a 14 B a 14 C a 14 D a 14 Phương pháp giải: - Gọi O=AC∩BD Khi đó: d(A,(SCD))=2d(O,(SCD)) - Gọi F trung điểm CD Chứng minh (SCD)⊥(SOF) - Trong (SOF) kẻ OH⊥SF chứng minh OH⊥(SCD) - Tính d(O,(SCD)) suy d(A,(SCD)) Sử dụng định lí Pytago hệ thức lượng tam giác vuông Giải chi tiết: Gọi O  AC  BD  SO  ( ABCD )  SO  CD (1) Gọi F trung điểm CD Do ABCD hình vng nên OF  CD (2) Từ (1), (2) ta có CD  ( SOF )  ( SCD)  ( SOF ) Trong ( SOF ) kẻ OH  SF  OH  ( SCD )  d (O, ( SCD )) OH ABCD hình vng cạnh 2a nên AC 2a  OC a Tam giác SOC vuông O nên SO  SC  OC  9a  2a a Tam giác DOC vng cân O có OF đường trung tuyến nên OF  Tam giác SOF vng O có đường cao OH nên OH  SO.OF SO  OF  a 7.a 7a  a Ta có: AO  ( SCD) C   a 14 d ( A, ( SCD)) AC  2 d (O, ( SCD)) OC  d ( A, ( SCD)) 2d (O, ( SCD))  a 14 a 14 Vậy khoảng cách từ A đến ( SCD) DC a Câu 47: Cho tập hợp A =1;2;3;4;5;6;7;8 Từ tập hợp A lập số gồm chữ số đôi khác cho số lẻ không chia hết cho 5? A 20100 B 12260 C 40320 D 15120 Phương pháp giải: - Số lẻ không chia hết cho số có tận {1;3;7} - Sử dụng hốn vị quy tắc nhân Giải chi tiết: Gọi số có chữ số a1a2 a8 Vì số lập số lẻ không chia hết a8 ∈{1;3;7}⇒ Có cách chọn a8 Số cách chọn a1,a2, ,a7 từ tập chữ số lại khác a8 7!=5040 cách Vậy số số gồm chữ số đôi khác cho số lẻ không chia hết cho 3.5040=15120 Chọn D Câu 48: Cho chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a, tam giác SAC vuông cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách d SC, AB A d  a 6 B a C Phương pháp giải: - Dựng CD//AB, CD=AB Khi d(SC,AB) = d(AB,(SCD)) = d(A,(SCD)) = 2d(H,(SCD) Giải chi tiết: Gọi H trung điểm AC Do tam giác SAC vuông cân S nên SH  AC 2a 21 D 2a 30  SH  AC  Ta có: ( SAC )  ( ABC )  SH  ( ABC ) ( SAC )  ( ABC )  Kè CD / / AB, CD  AB Khi d ( AB, SC ) d ( AB, ( SCD)) d ( A, ( SCD)) 2d ( H , ( SCD)) (do H trung điểm AC) Kẻ HF⊥CD, F∈CD Mà SH  CD( SH  ( ABCD)  ( SHF )  CD  ( SHF )  ( SCD) Trong ( SHF ) kẻ HP  SF  HP  ( SCD)  d ( H , (SCD )) HP Ta có: tam giác SAC vng cân S có trung tuyến SH  SH  AH HC  AC 2a  a 2 Tam giác HCF có HCF 60  HF HC sin 60  a Tam giác SHF vng H có đường cao HP a a HF HS a 21  HP    2 HF  HS 3a  a2 Vậy khoảng cách d SC, AB 2a 21 Chọn C Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x  y  z  0 hai đường thẳng d1 : x  y z 1 x  y z 1   , d2 :   Đường thẳng vng góc với (P), đồng thời cắt d1 d có 1 2 1 phương trình là: A x y  z 2   2 1 B x  y  z 1   2 C x  y z 1   2 1 D x  y 1 z    1 Phương pháp giải: - Gọi A d  d1 , gọi B d  d Tham số hóa tọa độ điểm A, B theo hai biến t1 , t2   - Tính AB xác định VTPT n (P)   - Vì d  ( P ) nên AB nP phương Từ giải hệ tìm t1 , t2  - Với t1 , t2 tìm xác định VTCP đường thẳng d AB chọn đáp án Giải chi tiết: Gọi đường thẳng cần tìm d Gọi A d  d1  A   t1 ; t1;   2t1  , gọi B d  d  B   t2 ; 2t2 ;   t2   Ta có: AB  t2  t1  1; 2t2  t1 ;  t2  2t1   Mặt phẳng (P) có VTPT n (2; 2;  1)   Vì d  ( P ) nên AB nP phương t  t1  2t  t1  t  2t1   2 1  t  t  2t  t1  t 1 2 2 2t  t1 2t  4t1  t1 0   A(1;0;  1), B(3; 2;  2)   AB (2; 2;  1) VTCP đường thẳng d Vậy có đường thẳng đáp án A thỏa mãn Chọn A Câu 50: Trong khơng gian Oxyz, cho tứ diện có điểm A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2), D(4;5;-7) Trên cạnh AB, AC, AD lấy điểm B, C, D thoả mãn AB AC AD   8 Khi tứ diện ABCD AB AC AD tích nhỏ mặt phẳng (BCD) có phương trình dạng 6x  my  nz  p 0  m, n, p   Tính m2  n  p A B -3 C D -7 Phương pháp giải: VABCD AB AC AD   - Sử dụng tỉ số thể tích Simpson V  AB AC AD    AB C D  a b c  - Áp dụng BĐT Cô-si: abc   (a, b, c  0) Dấu "=" xảy a b c        - Chứng minh VAB'C'D' nhỏ (BCD) / / B C D , tìm tỉ số BC D     viết phương trình mặt phẳng Giải chi tiết: AB  , từ tìm tọa độ điểm B , VTPT AB Ta có:  AB AC AD   VABCD AB AC AD  AB AC AD     VABCD AB AC AD   27  VABCD  VABCD 512   512   27    BCD  / /(BCD) AB AC AD         Dấu xảy  3  AB AC AD AB  AB     BC ( 1;  3;3)   n BC D [ BC , BD] (6;0;2) Ta có:      BD (2; 4;  6)   3 13   3 3    11 Tiếp tục có: AB (1;1;1) nên AB  AB  ; ;   B  ; ;   8 8 8 8      Khi phương trình mặt phẳng B C D 11  13     x     z   0  x  z  0 8 8   Vậy m 0, n 2, p   m  n  p 3 Chọn A Câu 51: Ông Thành vay ngân hàng 2,5 tỷ đồng trả góp hàng tháng với lãi suất 0,51% Hàng tháng, ông Thành trả 50 triệu đồng (bắt đầu thừ vay) Hỏi sau 36 tháng số tiền ơng Thành cịn nợ (làm tròn đến hàng triệu)? A 1019 triệu đồng Phương pháp giải: B 1025 triệu đồng C 1016 triệu đồng D 1022 triệu đồng n Sử dụng công thức trả góp (trả đầu tháng): A S   r   M   r  1 r  r n 1 , đó: A: số tiền cịn lại sau n kì hạn S: số tiền vay ban đầu M: số tiền trả hàng tháng r: lãi suất kì hạn Giải chi tiết: Số tiền nợ sau tháng thứ là:  2500  50    0,51%  2500   0,51%   50   0, 51%  (triệu đồng) Số tiền nợ sau tháng thứ hai là: [2500(1  0,51%)  50(1  0,51%)  50].(1  0, 51%) 2500(1  0,51%)  50(1  0,51%)2  50(1  0,51%) 2500(1  0,51%)  50(1  0,51%)[1  (1  0,51%)] … Số tiền nợ sau 36 tháng là: 2500(1  0,51%)36  50(1  0,51%)[1  (1  0,51%)   (1  0,51%)35 ] 2500(1  0,51%)36  50(1  0,51%) 1[1  (1  0,51%)36 ]  (1  0,51%) ≈1022 (triệu đồng) Chọn D Câu 52: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1 ( t ) 2 t (m / s) Đi 12s, người lái xe gặp chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a  12  m / s  Tính quãng đường s (m) ô tô từ lúc bắt đầu chuyển động đến dừng hẳn? A s = 168 (m) B s = 166 (m) C s = 144 (m) D s = 152 (m) Phương pháp giải: Chia quãng đường vật thành giai đoạn: Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến gặp chướng ngại vật Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến dừng hẳn Tổng quãng đường xe là: S S1  S  m  b Sử dụng cơng thức tính qng đường vật khoảng thời gian từ aa đến v  t  dt a Giải chi tiết: Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến gặp chướng ngại vật Quãng đường xe là: 12 12 12 S1  v1  t  dt 2tdt t 0 144  m  Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến dừng hẳn Ơ tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v  t  a  t  dt  12t  c Vận tốc xe gặp chướng ngại vật là: v   v1  12  2.12 24  m / s    12.0  c 24  c 24  v  t   12t  24 Thời gian xe gặp chướng ngại vật đến xe dừng nghiệm phương trình:  12t  24 0  t 2 2 Khi đó, quãng đường xe là: S2 v  t  dt   12t  24  dt   6t  24t  0 24  m  Vậy tổng quãng đường xe là: S = S1+S2 = 168(m) Câu 53: Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đồ thị hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số g  x   f  x  3x  A 11 B C Phương pháp giải: - Dựa vào đồ thị xác định số nghiệm phương trình f  ( x ) 0 - Tìm số nghiệm g  ( x) 0 Giải chi tiết: g ( x)  f x  3x    g  ( x)  x  f  x  x      x 1  Cho g ( x ) 0     f x  x 0   D