Luận văn không gian b meetric và sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ t co (tt)

1 Mở đầu Lí chọn đề tài Giải tích lồi mơn giải tích đại, nghiên cứu tập lồi hàm lồi với vấn đề liên quan Bộ môn có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặc biệt tối ưu hoá, bất đẳng thức biến phân, tốn cân v.v Có thể nói, giải tích lồi mơn quan trọng làm sở toán học tối ưu hoá số lĩnh vực khác Do phạm vi ứng dụng rộng rãi giải tích lồi, nên nhu cầu học tập, giảng dạy, nghiên cứu ứng dụng môn ngày nhiều Việt Nam Trong giải tích lồi, định lý tách hai tập lồi có vai trị trung tâm Về chất, định lý tách trả lời câu hỏi phần tử có thuộc tập lồi khơng, khơng thuộc có tính chất gì? Đây câu hỏi liên thuộc (membership), vấn đề tốn học Ta hình dung tập lồi tập hợp nghiệm hệ phương trình đại số, hay vi, tích phân, tập điểm bất động ánh xạ, tập nghiệm toán tối ưu v.v Dĩ nhiên câu trả lời có, vấn đề liên thuộc giải Trái lại, câu trả lời khơng, xảy điều gì? Điều giải thích định lý tách thuộc loại định lý chọn công cụ mạnh, thường dùng để chứng minh tồn đối tượng nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực khác Do phạm vi ứng dụng rộng rãi giải tích lồi nói chung định lý tách hai tập lồi nói riêng nên chọn đề tài "Ứng dụng định lý tách tối ưu hóa" để nghiên cứu 2 Mục đích nghiên cứu Trình bày cách hệ thống định lý tách không gian hữu hạn chiều khơng gian vơ hạn chiều ; Trình bày ứng dụng định lý tách tối ưu hóa Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp cơng cụ giải tích lồi bao gồm: • Lý thuyết tập lồi, hàm lồi, định lý tách • Các tốn tối ưu Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiêu cứu: Định lý tách • Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng tối ưu hóa Dự kiến kết đạt • Trình bày cách hệ định lý tách ứng dụng tối ưu hóa • Chứng minh định lý tách Tổng quan cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Các định lý tách: Trình bày kiến thức : tập lồi, tập affine, nón lồi, hàm lồi định lý tách Chương 2: Một số ứng dụng lý thuyết tối ưu: Phát biểu toán tối ưu ứng dụng định lý tách toán tối ưu 3 Chương Các định lý tách Trong chương này, chúng tơi trình bày sơ lược số kiến thức sở Định nghĩa tính chất đa tập affine, tập lồi, hàm lồi định lý tách không gian hữu hạn chiều không gian vô hạn chiều Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2] 1.1 Tập lồi - Hàm lồi 1.1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1.1 ([2]) (đa tạp affine) Cho X không gian vectơ, ta ký hiệu L(x, y), [x, y], (x, y), [x, y) đường thẳng qua x, y, đoạn thẳng, khoảng mở nửa khoảng nối hai điểm x y Tức L(x, y) = {λ x + (1 − λ )y|λ ∈ R}, [x, y] = {λ x + (1 − λ )y|λ ∈ [0, 1]}, (x, y) = {λ x + (1 − λ )y|λ ∈ (0, 1)}, [x, y) = {λ x + (1 − λ )y|λ ∈ (0, 1]} Một tập M ⊂ X gọi đa tạp affine, hay đơn giản tập affine, với cặp điểm x, y ∈ M ta có L[x, y] ∈ M 4 Từ định nghĩa ta có tính chất sau: a) Giao họ đa tạp affine đa tạp affine Nếu A ⊂ X tập X ta gọi bao affine A, ký hiệu A f f (A), giao tất đa tạp affine chứa A Từ tính chất a) A f f (A) đa tạp affine đa tạp affine bé chứa A A f f (A) biểu diễn cách tường minh Ta gọi véctơ có dạng m m i=1 i=1 ∑ λi với λi ∈ R thỏa mãn ∑ λi = tổ hợp affine véctơ {a1 , a2 , , am } Ta nhận tính chất sau b) A f f (A) = {x | x tổ hợp affine vectơ thuộc A} c) A đa tạp affine A = A f f (A), tức ) ( m A= m ∗ ∑ λiai | m ∈ N ; ∈ A; λi ∈ R : ∑ λi = i=1 i=1 d) M đa tạp affine với m ∈ M ta có M − m ≤ X, tức M = m +V , với V khơng gian X Lúc đó, ta gọi chiều đối chiều M chiều đối chiều V : dim M := dimV, codim M := codimV Định nghĩa 1.1.2 ([1, 2]) (siêu phẳng) Cho X không gian vectơ, đa tạp affine M ⊂ X gọi siêu phẳng codim M = Trong trường hợp X = Rn siêu phẳng tập hợp điểm có dạng  x ∈ Rn |aT x = α a ∈ Rn vectơ khác 0, α ∈ R Bây Y không gian vectơ, ta ký hiệu L(X,Y ) khơng gian ánh xạ tuyến tính từ X vào Y Đặc biệt Y = R, ta đặt X # , không gian phiếm hàm tuyến tính X Khi ta có e) M ⊂ X siêu phẳng tồn f ∈ X # \ {0} α ∈ R cho M = f −1 (α) = {x ∈ X : f (x) = α} f) Nếu codim M = k ∈ N tồn siêu phẳng M1 , M2 , , Mk cho M= k \ Mi Định nghĩa 1.1.3 ([2]) Một tập A không gian vectơ X gọi hấp thụ ∀ v ∈ X, ∃ε > 0, (−εv, εv) ⊂ A hay, cách tương đương, ∀ v ∈ X, ∃δ > 0, ∀|t| ≥ δ , v ∈ tA Một điểm x0 gọi điểm bọc A A − x0 hấp thụ Tập tất điểm bọc A, ký hiệu core A, gọi lõi A Như vậy, x0 ∈ core A ⇔ ∀ v ∈ X, ∃ε > 0, ∀ λ > ∈ (−ε, ε) : x0 + λ v ∈ A Định nghĩa 1.1.4 ([2]) (tập lồi) Tập hợp C ⊂ X gọi lồi với cặp điểm x, y ∈ C ta có [x, y] ⊂ C Tính chất Tập lồi có tính chất sau Giao họ tập lồi lồi Ta gọi bao lồi tập A ⊂ X , ký hiệu coA, giao tất tập lồi chứa A Dễ thấy coA tập lồi tập lồi bé chứa A m m i=1 i=1 Một tổ hợp ∑ λi với λ ≥ 0, ∑ λi = gọi tổ hợp lồi véctơ {a1 , , am } coA = {x|x tổ hợp lồi vectơ thuộc A} C tập lồi C = coC, tức ( m C= m ∑ λiai | m ∈ N∗; ∈ C; λi ≥ : ∑ λi = i=1 ) , i=1 N∗ ký hiệu tập số tự nhiên khác không Nếu A B tập lồi α ∈ R, tập A + B, αA lồi Định nghĩa 1.1.5 ([2]) (nón lồi) Một tập K ⊂ X gọi nón với k ∈ K λ > ta có λ k ∈ K Nón K với K tập lồi gọi nón lồi Nón lồi nhỏ chứa tập A ⊂ X gọi bao nón lồi tập A ký hiệu m Một tổ hợp tuyến tính ∑ λi gọi tổ hợp dương λi ≥ với i=1 i, tổ hợp dương không tầm thường tồn hệ số λi dương chặt 6 a) Giao họ nón lồi nón lồi Ta gọi bao nón lồi tập A ⊂ X, ký hiệu coA, nón lồi bé chứa A Lúc đó, b) coA = {x|x tổ hợp dương không tầm thường vectơ thuộc A} c) K nón lồi coK, tức ) ( m m K= ∑ λiki | mi ∈ N; ki ∈ K; λi ≥ : i=1 ∑ λi > i=1 d) Nếu K1 , K2 nón lồi chứa gốc K1 + K2 = co(K1 ∪ K2 ) 1.1.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.1.6 ([2]) Cho X không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff f : X → [−∞, ∞] phiếm hàm X Các tập hợp dom f := {x ∈ X| f (x) < ∞}, epi f := {(x, γ) ∈ X × R| f (x) ≤ γ} gọi miền hữu hiệu đồ thị f Ngoài ra, với α ∈ R ta gọi tập hợp sau tập mức hàm f tương ứng với mức α: C( f ; α) := {x ∈ X| f (x) ≤ α} Hàm f gọi thường dom f 6= 0/ f (x) > −∞, ∀x ∈ X, gọi lồi X epi f tập lồi khơng gian X × R Nếu − f hàm lồi f gọi hàm lõm Mệnh đề 1.1.7 ([2]) Nếu f lồi dom f lồi Nếu f lồi C( f ; α) lồi với α ∈ R 7 Mệnh đề 1.1.8 ([2]) Cho f : X → (−∞, +∞] Lúc đó,
f lồi ⇔ f λ x + (1 − λ )y ≤ λ f (x) + (1 − λ ) f (y); ∀x, y ∈ X; ∀λ ∈ (0, 1) Mệnh đề 1.1.9 ([2]) (Bất đẳng thức Jensen) Cho f : X → (−∞, +∞] Khi ! f lồi ⇔ f ∑ λix i=1 m m m i i i ≤ ∑ λi f (x ); ∀x ∈ X; ∀λi ≥ : i=1 ∑ λi = i=1 Định nghĩa 1.1.10 ([1]) Một điểm a ∈ C gọi điểm tương đối C điểm C theo tôpô cảm sinh affC (tập a-phin nhỏ chứa C) Ta ký hiệu tập hợp điểm tương đối C riC Theo định nghĩa ta có: riC := {a ∈ C | ∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C}, B lân cận mở gốc 1.2 Các định lý tách Trong giải tích lồi nhiều lĩnh vực khác giải tích hàm, giải tích khơng trơn giải tích phi tuyến v.v định lý tách hai tập lồi có vai trị trung tâm Về chất, định lý tách trả lời câu hỏi phần tử có thuộc tập lồi khơng, khơng thuộc có tính chất gì? Đây câu hỏi liên thuộc (membership), vấn đề tốn học Ta hình dung tập lồi tập hợp nghiệm hệ phương trình đại số, hay vi, tích phân, tập điểm bất động ánh xạ, tập nghiệm toán tối ưu v.v Dĩ nhiên câu trả lời có, vấn đề liên thuộc giải Trái lại, câu trả lời khơng, xảy điều gì? Điều giải thích định lý tách thuộc loại định lý chọn công cụ mạnh, thường dùng để chứng minh tồn đối tượng nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực khác Người ta chứng minh tương đương định lý tách định lý Hahn-Banach quen thuộc giải tích hàm Sự mở rộng định lý tách ứng dụng đa dạng chúng từ lý thuyết đến vấn đề thực tế (chẩn đoán u lành, u ác y học, dự đoán thành bại, phát triển doanh nghiệp v v ) đề tài nghiên cứu thu hút quan tâm nhiều người 8 1.2.1 Định lý tách trường hợp hữu hạn chiều Định nghĩa 1.2.1 ([1]) Cho hai tập C D khác rỗng Rn , ta nói siêu phẳng aT x = α tách C D aT x ≤ α ≤ aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D (1.1) Ta nói siêu phẳng aT X = α tách chặt C D aT x < α < aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D (1.2) Ta nói siêu phẳng aT X = α tách mạnh C D sup aT x < α < inf aT y, ∀x ∈ C, ∀y ∈ D y∈D x∈C (1.3) Định nghĩa 1.2.2 ([1]) (siêu phẳng tựa) Cho x0 ∈ C Ta nói aT x = α siêu phẳng tựa C x0 ,nếu aT x0 = α, aT x ≥ α ∀ x ∈ C Như siêu phẳng tựa C x0 siêu phẳng qua x0 để tập C phía Định nghĩa 1.2.3 ([1]) (hình chiếu) Cho C 6= 0/ (khơng thiết lồi) y vectơ bất kỳ, đặt dC (y) := inf kx − yk x∈C Ta nói dC (y) khoảng cách từ y đến C Nếu tồn π ∈ C cho dC (y) = kπ − yk, ta nói π hình chiếu (vng góc) y C Định nghĩa 1.2.4 ([1]) (nón pháp tuyến ngồi) Cho C ⊆ Rn , x0 ∈ C, nón pháp tuyến ngồi tập C x0 tập hợp NC (x0 ) := {w | wT (x − x0 ) ≤ ∀ x ∈ C} Mệnh đề 1.2.5 ([1]) Cho C tập lồi đóng khác rỗng Khi đó: Với y ∈ Rn , π ∈ C hai tính chất sau tương đương: (i) a) π = pC (y), b) y − π ∈ NC (π) (ii) Với y ∈ Rn , hình chiếu pC (y) y C tồn (iii) Nếu y ∈ C, hpC (y) − y, x − pC (y)i = siêu phẳng tựa C pC (y) tách hẳn y khỏi C, tức hpC (y) − y, x − pC (y)i ≥ 0, ∀ x ∈ C, hpC (y) − y, y − pC (y)i < Mệnh đề 1.2.6 ([1]) Cho C tập lồi khác rỗng x0 ∈ / riC Khi tồn siêu phẳng tựa C hình chiếu x0 C Định lý 1.2.7 ([1]) (Định lý tách 1) Cho C D hai tập lồi khác rỗng Rn , cho C ∩ D = / Khi có siêu phẳng tách C D Định lý tách vừa nêu suy từ Bổ đề 1.2.8 đây, định lý tách tập lồi phần tử khơng thuộc Bổ đề 1.2.8 ([1]) (Bổ đề liên thuộc) Cho C ⊂ Rn tập lồi khác rỗng Giả sử x0 ∈ / C Khi tồn t ∈ Rn , t 6= thoả mãn ht, xi ≥ ht, x0 i , ∀x ∈ C (1.4) Định lý 1.2.9 ([1]) Cho C D hai tập lồi đóng khác rỗng cho C ∩D = 0/ Giả sử có tập com-pắc Khi hai tập tách mạnh siêu phẳng Cũng trên, định lý tách mạnh dễ dàng suy từ bổ đề sau nói tách mạnh tập lồi đóng điểm bên tập Bổ đề 1.2.10 ([1]) Cho C ⊂ Rn tập lồi đóng khác rỗng cho ∈ / C Khi tồn véc-tơ t ∈ Rn , t 6= α > cho ht, xi ≥ α > 0, ∀x ∈ C 10 Từ định nghĩa ta thấy rằng, hai tập nằm siêu phẳng, chúng tách được, ví dụ siêu phẳng Để loại bỏ trường hợp cực đoan này, người ta đưa khái niệm tách sau: Ta nói hai tập C D tách siêu phẳng aT x = α (1.1) thỏa mãn hai tập không nằm trọn siêu phẳng tách Chú ý A B hai tập lồi mà riA ∩ riB = 0, / hai tập tách được, ví dụ A B hai đường chéo hình chữ nhật mặt phẳng chiều Tuy nhiên chúng tách đúng, theo mệnh đề sau đây: Mệnh đề 1.2.11 ([1]) Cho hai tập lồi khác rỗng A B Điều kiện cần đủ để hai tập tách ri A ∩ ri B = / Một hệ quan trọng định lý tách bổ đề chọn mang tên nhà toán học Hungary Farkas, chứng minh từ năm 1892 dạng định lý hình học Bổ đề trực quan, dễ áp dụng nhiều lĩnh vực tối ưu, điều khiển, lý thuyết toán tử v.v Hệ 1.2.12 ([1]) Cho A ma trận thực cấp m × n a ∈ Rn Khi hai hệ có hệ hệ có nghiệm: Ax ≥ 0, aT x < với x ∈ Rn , (1.5) AT y = a, y ≥ với y ∈ Rm (1.6) Một cách phát biểu tương đương, ngơn ngữ hình học, bổ đề Farkas  là: Nửa không gian x|aT x ≥ chứa nón {x|Ax ≥ 0} véc-tơ a nằm nón sinh hàng ma trận A Tức AT x ≥ → at x ≥ AT y = a, y ≥ Tính chất hình học bổ đề rõ Nó nói nón lồi, đóng {x|Ax ≥ 0}  nằm nửa không gian x|aT x ≥ véc-tơ pháp tuyến a nón sinh hàng ma trận A 1.2.2 Định lý tách trường hợp vô hạn chiều Định nghĩa 1.2.13 ([2]) Cho A B hai tập không gian vectơ X Một phiếm hàm tuyến tính f ∈ X # \ {0} gọi tách A B f (a) ≤ f (b)( f (a) ≥ f (b)); ∀a ∈ A, ∀b ∈ B 11 Hình 1.1: Bổ đề Farkas Điều tương đương với việc nói rằng, tồn số α ∈ R cho f (a) ≤ α ≤ f (b); ∀a ∈ A, ∀b ∈ B Lúc đó, ta nói siêu phẳng H( f ; α) := f −1 (α) = {x ∈ X| f (x) = α} tách A B Trường hợp B tập điểm: B = x0 , ta nói đơn giản siêu phẳng H( f ; α) tách A x0 Rõ ràng, siêu phẳng tách hai tập, có thường khơng Định nghĩa 1.2.14 ([2]) (phiếm hàm Minkowskii) cho C tập lồi hấp thụ X Ta định nghĩa phiếm hàm Minkowskii C hàm xác định PC (x) := inf{λ > | x ∈ λC}; x ∈ X Ta có • ≤ PC (x) < ∞ với x ∈ X; • PC phiếm hàm tuyến tính; • {x ∈ X | PC (x) < 1} ⊂ C ⊂ {x ∈ X | PC (x) ≤ 1} • 12 Định lý 1.2.15 ([2]) (Định lý tách bản) Cho A B hai tập lồi khác rỗng, coreA 6= 0/ A ∩ B = / Lúc đó, tồn siêu phẳng tách A B Bổ đề 1.2.16 ([2]) Nếu C tập lồi hấp thụ x0 ∈ / C tồn siêu phẳng tách C x0 Định lý 1.2.17 ([2]) Giả sử hai tập lồi A B không gian X rời Hơn nữa, hai điều kiện sau thoả mãn a) IntA∪ IntB 6= 0, / b) dimX < ∞, có siêu phẳng đóng tách A B Với f ∈ X # α ∈ R Ký hiệu H + ( f ; α) := {x ∈ X| f (x) ≥ α}; H − ( f ; α) := {x ∈ X| f (x) ≤ α} nửa không gian sinh siêu phẳng H( f , α) Ta nói hai tập A B tách mạnh tồn phiếm hàm f 6= số γ > β cho A ⊂ H − ( f ; β ) B ⊂ H + ( f ; γ) Lúc đó, có α ∈ (β , γ) ta nói siêu phẳng H( f ; α) tách mạnh A B Định lý 1.2.18 ([2]) (Định lý tách mạnh) Cho A B hai tập lồi khác rỗng rời X cho A đóng B compact Lúc đó, tồn siêu phẳng đóng tách mạnh A B 13 Chương Một số ứng dụng lý thuyết tối ưu Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa tính chất tốn tối ưu số ứng dụng định lý tách : tính hình chiếu tập lồi, tính vi phân hàm lồi, chứng minh định lý Karush-Kuhn-Tucker Kiến thức chương tham khảo tổng hợp từ tài liệu [1, 3] 2.1 Bài toán tối ưu 2.1.1 Khái niệm toán tối ưu Xét toán min{ f (x) : x ∈ C}, (P) C ⊆ (với X khơng gian đó, thơng thường X ≡ Rn ), f : C → R, C miền chấp nhận được, f hàm mục tiêu Định nghĩa 2.1.1 ([3]) x∗ ∈ C gọi nghiệm tối ưu địa phương (P) tồn lân cận U x∗ cho f (x∗ ) ≤ f (x) ∀x ∈ U ∩C 14 Nếu f (x∗ ) ≤ f (x) ∀x ∈ C x∗ gọi nghiệm tối ưu toàn cục (P) Thông thường C := {x ∈ X, g j (x) ≤ 0, hi (x) = 0, j = 1, , m, i = 1, , p.} (2.1) g j , hi hàm ràng buộc Bài toán (P) với C cho (2.1) gọi trơn hàm mục tiêu ràng buộc trơn (khả vi) Chú ý 2.1.2 ([3]) max{ f (x) : x ∈ C} = − min{− f (x) : x ∈ C}, (P) tập nghiệm tối ưu trùng Dưới xét vài ví dụ điển hình tốn tối ưu Mơ Hình (Mơ hình sản xuất tối ưu) Giả sử người ta cần sản xuất n loại hàng hóa Ký hiệu x j ( j = 1, , n): Số lượng sản phẩm loại j cần sản xuất ( cần xác định) c j ( j = 1, , n): Giá sản phẩm loại j j : Vật liệu i (i = 1, , m) cho sản xuất đơn vị sản phẩm thứ j bi : Khả cung cấp cho vật liệu loại i (i = 1, , m) Mục tiêu là: Xác định x j , ( j = 1, , n) với lợi ích cực đại khả cung cấp nguyên vật liệu giá biết Xây dựng toán n max{ ∑ c j x j }(≡ cT x) j=1 với điều kiện n x j ≥ 0, ∑ j x j ≤ bi (i = 1, , m) j=1 Ràng buộc cho ta tốn quy hoạch tuyến tính Mơ hình ( Bài toán vận tải) Giả sử người ta cần vận chuyển loại hàng hóa từ số địa điểm sán xuất (hay kho) đến nơi tiêu thụ Biết 15 • m: Số điểm cung cấp (các nhà máy); • n: Số nơi tiêu thụ; • xi j : Số lượng (cần xác định) vận chuyển từ nhà máy i đến kho j; • ci j : chi phí vận chuyển đơn vị hàng hóa từ i đến j; • bi : Số lượng hàng nhà máy i; • d j : Số lượng hàng kho j tiếp nhận Vấn đề đặt xác định lượng hàng cần vận chuyển từ kho đến nơi tiêu thụ cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ Vấn đề mơ tả dạng tốn tối ưu sau: m n ∑ ∑ ci j xi j i=1 j=1 với ràng buộc x ≥ 0; n ∑ xi j ≤ bi (i = 1, , m); j=1 m ∑ xi j ≤ d j ( j = 1, , n); i=1 Đây tốn quy hoạch tuyến tính đặc biệt Mơ hình Giả sử có n khu dân cư địa điểm P1 , P2 , , Pn Người ta muốn xây trạm biến cho khu dân cư Yêu cầu đặt trạm biến xây vùng định sẵn Vấn đề đặt tìm vị trí vùng định sẵn cho tổng đường dây từ trạm biến đến khu dân cư bé Ký hiệu C vùng cho mà trạm biến xây vùng x điểm thuộc tập C để xây trạm biến Khi tổng khoảng cách từ x đến n khu dân cư n f (x) := ∑ kx − Pj k j=1 Khi dạng tốn học mơ hình ( n ∑ kx − Pj k ) : x ∈C j=1 Trong trường hợp có khu dân cư mơ hình mơ tả hình vẽ sau 16 Mơ hình (Tối ưu hai cấp) Trong mơ hình có hai cấp, gọi cấp (cấp lãnh đạo) cấp (cấp dưới) Giả sử • Điểm x: Giải pháp cấp (cần xác định); • Tập A: Tập giải pháp (tập chiến lược) cấp 1, tức giải pháp phải chọn tập A; • Điểm y: Giải pháp cấp (cần xác định); • Tập B: Tập giải pháp (tập chiến lược) cấp 2, tức giải pháp phải chọn ập B; • f1 (x, y): Lợi ích cấp phương án cấp chọn x cấp chọn y; • f2 (x, y): Lợi ích cấp phương án cấp chọn x cấp chọn y; Vấn đề đặt tìm giải pháp x∗ ∈ A, y∗ ∈ B cho lợi ích cấp cấp cao Mơ hình hai cấp mơ tả dạng tốn tối ưu sau max f1 (x, y) x∈A y nghiệm toán max f2 (x, z) z∈B 17 2.1.2 Sự tồn nghiệm điều kiện tối ưu 2.1.2.1 Sự tồn nghiệm Xét toán min{ f (x) : x ∈ C ⊆ Rn }, (P) Có trường hợp cho tồn nghiệm (toàn cục) tốn • C = 0/ ( khơng có phương án chấp nhận ); • f khơng bị chặn C (infx∈C f (x) = −∞); • infx∈C f (x) > −∞ cực tiểu không tồn C; • ∃x∗ ∈ C cho f (x∗ ) = minx∈C f (x) Hai định lý cho biết điều kiện để Bài tốn P có nghiệm tối ưu Định lý 2.1.3 ([3]) Điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm toàn cục (P) F + (C) := {t ∈ R : f (x) ≤ t, x ∈ C} (2.2) tập đóng bị chặn Định lý 2.1.4 ([3]) (Weistrass) Nếu C compact f nửa liên tục C, (P) có nghiệm tối ưu Hệ 2.1.5 ([3]) Nếu f nửa liên tục C thỏa mãn điều kiện f (x) → +∞, x ∈ C, kxk → +∞ f có cực tiểu C Câu hỏi đặt x∗ nghiệm tối ưu (địa phương tồn cục), điều xảy với x∗ ? Chúng ta có câu trả lời cho câu hỏi Định lý 2.2.3 mục sau 2.2 Một số ứng dụng định lý tách 2.2.1 Tính vi phân hàm lồi Phép tính vi phân vấn đề giải tích cổ điển Trong giải tích lồi, lý thuyết phong phú nhờ tính chất tập lồi hàm 18 lồi Trong phần này, mở rộng khái niệm đạo hàm khái niệm vi phân số tính chất Đặc biệt áp dụng định lý tách siêu phẳng tựa để chứng minh tồn vi phân hàm f trường hợp f lồi Như ta biết, hàm lồi khả vi điểm đó, phương trình tiếp tuyến điểm nằm đồ thị Tuy nhiên, hàm lồi khơng khả vi, ví dụ hàm lồi biến f (x) = |x| không khả vi x = Trong trường hợp này, người ta mở rộng khái niệm đạo hàm đạo hàm, cho có tính chất đạo hàm hàm lồi khả vi Định nghĩa 2.2.1 ([1]) Cho f : Rn → R ∪ {+∞} Ta nói x∗ ∈ Rn đạo hàm f x hx∗ , z − xi + f (z) ≤ f (z) ∀ z Tương tự hàm lồi khả vi thơng thường, biểu thức có nghĩa phương trình tiếp tuyến nằm đồ thị hàm số Tuy nhiên khác với trường hợp khả vi, tiếp tuyến khơng tồn Ký hiệu tập hợp tất đạo hàm f x ∂ f (x) Nói chung tập (có thể rỗng) Rn Khi ∂ f (x) 6= 0, / ta nói hàm f khả vi phân x ∂ f (x) ln tập lồi đóng (có thể rỗng) Ta ký hiệu dom(∂ f ) := {x | ∂ f (x) 6= 0} / Mệnh đề 2.2.2 ([2]) Cho f : Rn → R ∪ {+∞} lồi, thường Khi đó: (i) Nếu x ∈ / dom f ,thì ∂ f (x) = / (ii) Nếu x ∈ int(dom f ), ∂ f (x) 6= 0/ compact Ngược lại, ∂ f (x) 6= 0/ compact, x ∈ ri(dom f ) Định lý 2.2.3 ([2]) (đối với trường hợp lồi) Giả sử C 6= 0, / lồi f hàm lồi, khả vi C Khi đó, x∗ nghiệm tối ưu (P) ∈ ∂ f (x∗ ) + NC (x∗ ) (2.3) NC (x∗ ) nón thường C x∗ Hệ 2.2.4 ([2]) Nếu x ∈ intC, x∗ ∈ S(C, f ) ( tập nghiệm tối ưu (P)), x∗ ∈ ∂ f (x∗ ) Trường hợp đặc biệt f khả vi C khơng gian ngun = ∇ f (x∗ ) 19 2.2.2 Chứng minh Định lý Karush-Kuhn-Tucker Xét toán (P) xác định f (x) Với ràng buộc  x ∈ D := x ∈ X : g j (x) ≤ 0; hi (x) = 0, j = 1; ; m; i = 1; ; k 0/ 6= X ⊆ Rn , f , g j , hi : Rn → R ∀i, j Ta định nghĩa hàm Lagrange sau m k L(x, λ , µ) := λ0 f (x) + ∑ λ j g j (x) + ∑ µi hi (x) j=1 i=1 Chúng ta gọi (P) toán lồi X lồi tất hàm f , g j lồi, h j affine Định lý 2.2.5 ([3]) (Karush-Kuhn-Tucker) Giả sử (P) toán lồi Nếu x∗ nghiệm tối ưu tốn (P), tồn λi∗ ≥ (i = 0, 1, , m) µ ∗j ( j = 1, , k) không đồng thời không cho L(x∗ , λ ∗ , µ ∗ ) := L(x, λ ∗ , µ ∗ )( Đạo hàm triệt tiêu ) x∈X λi∗ gi (x∗ ) = (i = 0, 1, , m) ( phần bù ) Hơn nữa, intX 6= 0/ điều kiện Slater sau ∃x0 ∈ D : gi (x0 ) < 0, i = 0, 1, , m thỏa mãn hàm affine hi (i = 1, , k) độc lập tuyến tính X, λ0∗ > hai điều kiện điều kiện đủ để x∗ nghiệm tối ưu (P) 20 Kết luận Luận văn nghiên cứu định lý tách ứng dụng tối ưu hóa, kết cụ thể Nêu chứng minh định lý tách không gian hữu hạn chiều không gian vô hạn chiều Nêu khái niệm toán tối ưu dựa vào định lý tách chứng minh tồn nghiệm tối ưu