phương trình song điều hòa

phương trình song điều hòa

Phí Hùng Cường Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 81(05): 79 - 83 85 PHƯƠNG PHÁP GIẢI LẶP TÌM NGHIỆM XẤP XỈ CỦA MỘT BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA Lê Tùng Sơn * Trường ĐH Sư phạm - ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Trong bài báo này chúng tôi chúng tôi trình bày tóm tắt những kết quả nghiên cứu về việc giải lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán biên đối với phương trình song điều hòa trong [2] nhờ việc sử dụng sơ đồ lặp hai lớp của Samarski – Nikolaev mà sự hội tụ của sơ đồ lặp này về nghiệm gốc của bài toán ban đầu được đánh giá qua tính chất hoàn toàn liên tục của một toán tử biên xác định trên không gian Sobolev H S ( ∂ Ω), s≥0. Phần cuối là một số thực nghiệm trên máy tính điện tử nhằm kiểm chứng về sự hội tụ của dãy lặp đã được chứng minh về mặt lí thuyết. Keywords: BVP: Boundary Value Problem GIỚI THIỆU * Trong [2], chúng tôi đưa ra công thức nghiệm giải tích cho một bài toán biên đối với phương trình song điều hòa mô tả dao động của bản mỏng với điều kiện biên ngàm đàn hồi trên miền Ω là một hình tròn. Đó là bài toán biên đối với phương trình song điều hòa trong đó Ω chỉ là miền giới nội trong R 2 có biên ∂Ω đủ trơn, ∆ là toán tử Laplace, µ là tham số không âm, q -1 là một hàm số dương, n là véc tơ pháp tuyến ngoài của biên Γ. Sử dụng phương pháp tọa độ cực, với , x x là hai điểm tùy ý thuộc \ Ω Γ có tọa độ cực tương ứng là ( , ), ( , ) ϕ ϕ r r . , s s là hai điểm tùy ý thuộc biên Γ có tọa độ cực tương ứng là ( , ), ( , ) ψ ψ R R . , s s n n lần lượt là các véc tơ pháp tuyến ngoài của biên Γ tại các điểm , s s . Khi đó nghiệm gốc u của bài toán trên được cho bởi công thức: ( ) ( , ) ( ) Ω = − ∫ u x G x x v x dx , 0 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) Ω Ω =− − Γ ∂ ∫ ∫ s s G x s v x G x x f x dx v s d n * Tel: 0280 3856 894; Email: letungson.dhsptn@gmail.com ( , ) G x x là hàm Green được của toán tử Laplace ∆ 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 os( ) 1 ( , ) ln 2 ( ) 2 os( ) ϕ ϕ π ϕ ϕ + − − = − − − r r R R rrc G x x r r rrc Hơn nữa, chúng tôi còn chứng minh được với 3/2 ( ) − ∈ Ω s f H thì 0 ( ) ∈ Γ s v H và do đó, 5/2 ( ) + ∈ Ω s u H . Trong đó, 3/2 5/2 ( ), ( ), ( ) − + Ω Γ Ω s s s H H H là các không gian Sobolev, 0. ≥ s Dưới đây, chúng tôi giới thiệu một phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán trên. Có thể tóm tắt như sau: sau khi phân rã bài toán gốc cấp bốn đối với phương trình song điều hòa về dãy các bài toán biên cấp hai đối với phương trình elliptic, xuất hiện thêm một ẩn hàm biên 0 v , ẩn hàm biên này được đưa vào một phương trình toán tử có dạng Av 0 = f. Một trong những phương pháp số tìm v 0 là giải lặp phương trình Av 0 = f bằng sơ đồ lặp hai lớp của Samarski – Nikolaev giới thiệu trong [6]. Sự hội tụ của dãy nghiệm xấp xỉ về nghiệm gốc của phương trình toán tử trên chủ yếu được đánh giá qua hai định lí: định lí 1 trong [1] của Đặng Quang Á và định lí 1 trong [6] của Samarski – Nikolaev. Phần cuối của bài báo, chúng tôi đưa ra một số kết quả thực nghiệm trên máy tính điện tử nhằm kiểm tra sự hội tụ của dãy lặp đã được chứng minh về mặt lí thuyết. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lê Tùng Sơn Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 81(05): 85 - 89 86 Trong quá trình tìm nghiệm giải tích của bài toán (1.1) – (1.3), việc tìm ra dãy các hàm riêng của toán tử là một cơ sở trực chuẩn của không gian H 0 (Ω) = L 2 (Ω) đóng vai trò then chốt. Sẽ rất khó khăn nếu Ω ⊂ R n , n>2. Mặt khác, trong quá trình tính toán, đòi hỏi các tích phân đều phải được tính tường minh. Điều này không phải lúc nào cũng thực hiện được. Các lí do trên cho thấy, việc tìm nghiệm giải tích chỉ mang tính khả thi cho một lớp khá hẹp các bài toán biên đối với phương trình song điều hòa. Chúng tôi hi vọng phương pháp giải lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán (1.1) – (1.3) mà chúng tôi trình bày dưới đây phần nào khắc phục được những khó khăn nói trên. Mặt khác, nghiệm xấp xỉ tìm được có đánh giá sai số đủ nhỏ với nghiệm gốc sẽ mang ý nghĩa thực tiễn khi sử dụng. GIẢI BÀI TOÁN (1.1)-(1.3) 1. Đưa bài toán (1.1) – (1.3) về phương trình toán tử biên Đặt ∆ = u v và kí hiệu 0 v v Γ = , từ bài toán (1.1) – (1.3) ta được dãy các bài toán sau 0 , , , , ∆ = ∈Ω   = ∈Γ = ∂Ω  v f x v v x (1.4) và , , 0, . ∆ = ∈Ω   = ∈Γ = ∂Ω  u v x u x (1.5) (1.4) và (1.5) là các bài toán biên đối với phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet, theo [4], với 3 2 0 ( ), ( ), 0 − ∈ Ω ∈ Γ ≥ s s f H v H s thì (1.4) có duy nhất nghiệm v ∈ H S +1/2 (Ω) do đó, (1.5) có duy nhất nghiệm U ∈ H S +5/2 (Ω). Ẩn hàm biên v 0 được xác định phải thỏa mãn điều kiện: khi thay v 0 vào (1.4), giải liên tiếp hai bài toán (1.4), (1.5), ta được nghiệm u của bài toán (1.1) – (1.3). Trước hết, ta định nghĩa một toán tử biên B được xác định bởi công thức: 0 , Γ ∂ = ∂ u Bv n (1.6) trong đó, v và u lần lượt là nghiệm của các bài toán: 0 0, , , , ∆ = ∈Ω   = ∈Γ  v x v v x (1.7) và , , 0, . ∆ = ∈Ω   = ∈Γ  u v x u x (1.8) Sử dụng điều kiện (1.3) trong bài toán gốc, kết hợp với (1.6), ta có phương trình 1 0 0 µ Γ ∂ + = − ∂ u qv Bv n , (1.9) trong (1.9), 1 u là nghiệm của dãy các bài toán 1 1 , , 0, , ∆ = ∈Ω   = ∈Γ  v f x v x (1.10) và 1 1 1 , , 0, . ∆ = ∈Ω   = ∈Γ  u v x u x (1.11) Đặt 1 Γ ∂ = − ∂ u F n (1.12), với giả thiết 3 2 ( ), − ∈ Ω s f H dễ dàng suy ra: 1 2 1 ( ). + ∈ Ω s u H Vì vậy, theo định lí vết: F ∈ H s-1 ( Γ ), s ≥ 0. Từ (1.7) và (1.12), ta có phương trình Sv 0 = F (1.13) S = µQ I (1.14). B được xác định bởi (1.6), I là toán tử đơn vị cho việc xác định ẩn hàm biên v 0 , với vế phải F hoàn toàn xác định. Định lí 2.1. (xem[2]) Với B là toán tử xác định bởi (1.6), (1.7), (1.8). Khi đó i) B là toán tử tuyến tính, đối xứng, dương trong không gian Hilbert L 2 ( Γ ) với tích vô hướng 2 0 0 0 0 ( ) ( , ) . . Γ Γ = Γ ∫ L v t v t d ii) 1 : ( ) ( ) + Γ → Γ s s B H H hoàn toàn liên tục, 0. s ≥ 1 ( ), ( ) + Γ Γ s s H H là các không gian Sobolev. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phí Hùng Cường Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 81(05): 79 - 83 87 Nhận xét Từ kết quả của Định lí 2.1, ta rút ra: + Nếu µ = 0, q > 0 thì S = B, do đó S là toán tử tuyến tính, đối xứng, dương, hoàn toàn liên tục. + Nếu µ > 0, q ≥ q 0 > 0 thì S là toán tử tuyến tính, đối xứng, giới nội và xác định dương. 2. Phép lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.1) – (1.3) Xét phương trình toán tử (1.23) Sv 0 - F. Từ nhận xét trên, với µ = 0, q > 0, khi đó ta có phương trình Bv 0 = F, (2.1) trong đó, toán tử B được xác định bởi (1.6), F được xác định bởi (1.12). Sử dụng sơ đồ lặp hai lớp Samarski - Nikolaev trong [6] giải lặp phương trình toán tử (2.1) cho bởi công thức: ( 1) ( ) 0 0 0 , 0,1,2, τ + − + = = k k k v v Bv F k ,(2.2) τ là tham số lặp. Vì B là toán tử tuyến tính, đối xứng, dương và hoàn toàn liên tục, nên theo Bổ đề 1 trong [1], sơ đồ lặp (2.2) sẽ hội tụ về nghiệm của phương trình (2.1). Khi đó sơ đồ lặp (2.2) được thực hiện bởi quá trình lặp sau cho việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.1) – (1.3) Bước 1. Cho giá trị xấp xỉ ban đầu của (0) 2 0 ( ) ∈ Γ v L , chẳng hạn (0) 0 0 v = . Bước 2. Biết ( ) 0 , 0,1,2, = k v k , giải liên tiếp hai bài toán ( ) ( ) ( ) 0 , , , .  ∆ = ∈Ω  = ∈Ω  k k k v f x v v x (2.3) ( ) ( ) ( ) , , 0, .  ∆ = ∈Ω  = ∈Ω  k k k u v x u x (2.4) Bước 3. Tính xấp xỉ mới ( ) ( 1) ( ) 0 0 , . τ + ∂ = − ∈Γ ∂ k k k u v v x n (2.5) Với mỗi k, gọi ( ) ( ) , k k v u lần lượt là nghiệm của các bài toán (2.3), (2.4), vì các hàm u, v có sự phân tích u = u 1 + u 2 , v = v 1 + v+2, trong đó, v 1 , u 1 lần lượt là nghiệm của các bài toán (1.10), (1.11), còn v 2 , u 2 thỏa mãn các bài toán 2 2 0 0, , , , ∆ = ∈Ω   = ∈Γ  v x v v x (2.6) và 2 2 2 , , 0, , ∆ = ∈Ω   = ∈Γ  u v x u x (2.7) nên từ (2.6) và (2.7), kết hợp với phương trình (1.6), ta có 2 0 Γ ∂ = ∂ u Bv n . (2.8) Mặt khác, vì 1 2 , u uu x n n n ∂ ∂ ∂ = + ∈Γ ∂ ∂ ∂ nên tại mỗi bước lặp k ta luôn có ( )( ) 1 2 , kk u uu x n n n ∂ ∂∂ = + ∈Γ ∂ ∂ ∂ (2.9) và từ (2.8) ta thu được ( ) ( ) 2 0 Γ ∂ = ∂ k k u Bv n (2.10) Từ (2.9) và (2.10), ta suy ra ( ) ( ) 1 0 , k k uu Bv x n n ∂∂ = + ∈Γ ∂ ∂ (2.11) Thay (2.11) vào (2.5), ta nhận được sơ đồ lặp (2.2). MỘT SỐ THỰC NGHIỆM VÀ KẾT QUẢ Chúng tôi tiến hành một số thực nghiệm trên máy tính nhằm kiểm tra sự hội tụ của quá trình lặp (2.3) – (2.5) đã được chứng minh về mặt lí thuyết. miền Ω được lựa chọn làm thực nghiệm là hình vuông đơn vị. Phủ Ω bởi lưới đều có cỡ của bước lưới lần lượt là 1 2 1 32 = = =h h h , tương ứng với lưới 33X33, 1 2 1 64 = = =h h h , tương ứng với lưới 65 65 × , 1 2 1 128 = = = h h h , tương ứng với Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lê Tùng Sơn Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 81(05): 85 - 89 88 lưới 129 129 × . Các hàm u được chọn trước làm nghiệm gốc của bài toán (1.1) – (1.3), từ đó các hàm vế phải được tính theo u sao cho thỏa mãn các điều kiện biên. Các bài toán vi phân (2.3), (2.4) được xấp xỉ bậc hai trên các lưới, các đạo hàm theo pháp tuyến và các đạo hàm riêng được được xấp xỉ bởi công thức sai phân có độ chính xác cùng bậc. Các hệ phương trình thu được sau sai phân được giải bằng phương pháp thu gọn khối lượng tính toán trong [6]. Tiêu chuẩn dừng lặp cho quá trình lặp (2.3) – (2.5) là: ( 1) ( ) 2 ( ), ε + ∞ − < = k k u u O h h là bước lưới. Thông qua con đường thực nghiệm, chúng tôi nhận thấy: khi chọn các giá trị tham số lặp τ dần đến 1 thì số lần lặp K thực hiện thuật toán sẽ giảm và nhỏ nhất khi 1 τ = , vì vậy trong các thực nghiệm dưới đây, tham số lặp τ được chọn trước bằng 1. Sai số Erro= , app app u u u ∞ − là nghiệm xấp xỉ của quá trình tính toán. Các thực nghiệm được thực hiện trên PC Pentium 4 CPU 1.80Ghz trong môi trường MATLAB. Các kết quả chính của thực nghiệm được thống kê qua các bảng dưới đây. Nhận xét Qua các kết quả thực nghiệm chúng tôi nhận thấy khi phủ Ω bởi lưới dày hơn, chẳng hạn thay lưới 65 65 × bởi lưới 129 129 × , thì số mắt lưới tăng lên, do đó, số lần thực hiện thực hiện thuật toán buộc phải tăng lên, tỉ lệ thuận với giá trị của K và thời gian thực hiện, nhưng sai số giữa nghiệm gốc và nghiệm xấp xỉ giảm xuống, tức độ chính xác được tăng lên. Cũng cần lưu ý rằng thời gian thực hiện thuật toán trên mỗi loại PC có thể không như nhau, tùy thuộc vào cấu hình và tốc độ xử lí của mỗi loại. Thời gian tiếp theo, chúng tôi sẽ nghiên cứu về quá trình lặp cho bài toán này trong trường hợp µ > 0, q ≥ q 0 > 0, tức là S là toán tử toán tử tuyến tính, đối xứng, giới nội và xác định dương và một số thực nghiệm trên máy tính điện tử có tốc độ xử lí cao. Bảng 1 : 2 2 2 ( 1) .( 1) = − − u x y Lưới K Error Thời gian(giây) 33 X 33 8 1.02e-4 4.13 65 X 65 11 2.35e-5 7.36 129 X 129 14 4.18e-5 12.09 Bảng 2: sin( ). os( ) π π = u x c y Lưới K Error Thời gian(giây) 33 X 33 7 6.33e-3 2.53 65 X 65 7 3.72e-4 4.17 129 X 129 15 2.09e-4 9.55 Bảng 3 : 2 2 ( 1) ( 1) = − + − y x u x e y e Lưới K Error Thời gian(giây) 33 X 33 4 5.21e-4 2.43 65 X 65 4 1.37e-4 5.12 129 X 129 7 3.09e-5 8.40 Bảng 4: 4 4 2 2 0.25 0.5 = + + + u x y x y Lưới K Error Thời gian(giây) 33 X 33 3 1.78e-4 1.27 65 X 65 4 2.62e-4 4.41 129 X 129 6 8.07e-5 6.30 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phí Hùng Cường Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 81(05): 79 - 83 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Dang Quang A, Construction of iterative method for solving a mixed boundary problem for biharmonic equation, Proceedings of the Fifth Mathematical Conference of Vietnam, Ssi. And Tech. Publ. House, Hanoi, 47 – 55, 1999. [2]. Đặng Quang Á, Lê Tùng Sơn (2001), “Xây dựng nghiệm giải tích của một bài toán biên đối với phương trình song điều hòa”, Tạp chí Khoa học và Công nghệ , Đại học Thái Nguyên, 4(20), 66 – 71. [3]. Dang Quang A, Le Tung Son, Iterative method for solving a mixed boundary value problem for biharmoniv type equation, Tạp chí Tin học và Điều khiển học, Vol. 22. No. 3. 229 – 234. 2006 [4]. Lions J. L. and Magenes E. Problems aux limites non honogenes es applications, Vol. 1, Dunod, Paris. 1968 [5]. Samarski A. A. The Theory of Difference Schemes, NewYork, Marcel, Dekker. 2001 [6]. Samarski A. A. and Nikolaev E. S. Numerical Methods for Grid equations, Vol. 1, Direct Methods, Birkhauser, Basel Boston, Berlin, 1989 SUMMARY AN ITERATIVE METHOD IN FINDING APPROXIMATE SOLUTIONS OF THE BOUNDARY PROBLEM FOR BIHARMONIC EQUATION Le Tung Son * College of Education - Thai Nguyen University In this paper, we propose a method for constructing of boundary operator for a boundary value problem type equation and constructing an iterative process for it. It is based on the reduction the BVP for differential equations of degree four to BVP for equations of degree two and the result of some pratices to verify the convergence of the iterative scheme for the original problem. Keywords: BVP: Boundary Value Problem * Tel: 0280 3856 894; Email: letungson.dhsptn@gmail.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn . đối với phương trình song điều hòa mô tả dao động của bản mỏng với điều kiện biên ngàm đàn hồi trên miền Ω là một hình tròn. Đó là bài toán biên đối với phương trình song điều hòa trong. khá hẹp các bài toán biên đối với phương trình song điều hòa. Chúng tôi hi vọng phương pháp giải lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán (1.1) – (1.3) mà chúng tôi trình bày dưới đây phần nào khắc. KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 81(05): 79 - 83 85 PHƯƠNG PHÁP GIẢI LẶP TÌM NGHIỆM XẤP XỈ CỦA MỘT BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA Lê Tùng Sơn * Trường ĐH Sư phạm - ĐH Thái